金融市场中专家意见的扩散近似

为了方便起见，我们也将T=0写下来，尽管在时间零点不一定有专家意见。当时的专家视图Tkis建模为Rd值随机向量zk=uTk+（Γk）εk，其中矩阵Γk∈ Rd×非对称正定义和εkis多元N（0，Id）分布。我们假设εkis的序列是独立的，并且它与u和布朗运动B和WR都是独立的。注意，给定uTk，专家意见zk是多变量N（uTk，Γk）-分布的。这意味着当时的专家观点对当时的漂移状态提供了一个无偏的估计。矩阵Γkre反映了专家的可靠性。请注意，时间点Tkdo不需要是确定性的。然而，我们附加了一个假设，即序列（Tk）k∈Iis独立于（εk）k∈以及市场上的布朗运动和u。这从本质上说，信息日期的时间安排没有关于漂移u的额外信息。然而，关于序列（Tk）k的信息∈i对于最佳投资组合决策可能很重要。在下一节中，我们一方面考虑具有确定性信息日期的情况，另一方面考虑信息日期是泊松过程的跳跃时间的情况。可以允许相对专家观点，即专家可以对两种股票的漂移差异进行估计，而不是绝对观点。请参见Sch"ottle等人【25】，了解如何通过选择矩阵在这两种模型之间切换以获得专家意见。我们在第3节和第4节中的主要结果解决了当信息日期的数量增加时如何获得严格收敛结果的问题。

我们将表明，对于某些专家意见序列，从这些专家意见中提取的信息（由过滤器表示）对于大量专家意见而言，本质上与从观察另一个差异过程中获得的信息相同。然后，可以将这一差异过程解释为专家意见的专家差异近似，从而对漂移状态进行连续的时间估计。让这个估计由扩散过程djt=utdt+σJdWJt，（2.1）给出，其中WJis是一个l维布朗运动，其中≥ 它独立于模型中的所有其他布朗运动和信息日期Tk。矩阵σJ∈ Rd×lhas满秩等式d.2.2筛选不同的信息区域对于上述金融市场中的投资者，选择良好交易策略的能力主要基于未知漂移过程的可用信息。为了能够评估来自观察专家意见的信息的价值，我们考虑了具有不同信息来源的各种类型的投资者。这遵循了Gabih等人【11】和Sass等人【23】的方法。投资者可用的信息可以用投资者过滤FH=（FHt）t来描述∈[0，T]其中H作为各种信息制度的占位符。我们使用NP（度量值P下的空集集集）扩充的过滤。我们考虑的情况是fr=（FRt）t∈[0，T]，其中FRt=σ（（Rs）s∈[0，t]）∨ σ（NP），FZ=（FZt）t∈[0，T]，其中FZt=σ（（Rs）s∈[0，t]）∨ σ（（Tk，Zk）Tk≤t）∨ σ（NP），FJ=（FJt）t∈[0，T]，其中FJt=σ（（Rs）s∈[0，t]）∨ σ（（Js）s∈[0，t]）∨ σ（NP），FF=（FFt）t∈[0，T]，其中FFt=σ（（Rs）s∈[0，t]）∨ σ（（us）s∈[0，t]）∨ σ（NP）。说到H投资者，我们指的是投资者过滤FH=（FHt）t的投资者∈[0，T]，H∈ {R，Z，J，F}。

请注意，R-investor只观察回报过程R，Z-investor将观察回报过程的信息与离散时间专家意见ZK相结合，J-investor观察回报过程，连续时间专家J。F投资者拥有关于漂移的完整信息，因为她可以直接观察漂移过程。本案例作为基准。如前所述，我们金融市场的投资者根据漂移过程的可用信息做出交易决策。只有F投资者才能观察到漂移，其他投资者必须对其进行估计。部分信息下漂移的条件分布称为滤波器。在均方意义上，给定可用信息的时间t漂移的最佳估计量为条件平均mHt：=E[ut | FHt]。通过查看相应的条件协方差矩阵qht：=E，可以评估该估计器与漂移真实状态的接近程度（ut- mHt）（ut- mHt）>FHt.请注意，由于我们在这里处理高斯分布，滤波器也是高斯分布，并由条件均值和条件协方差矩阵完全表征。在接下来的章节中，我们将研究Z投资者的过滤器行为，该投资者可以接触到越来越多的专家观点。为此，我们在下文中陈述了上述各类投资者的过滤器动态。对于R-investor，我们采用了著名的卡尔曼滤波器。引理2.1。R-investor的滤波器为高斯滤波器。

条件平均值mr遵循动态sdmrt=α（δ- mRt）dt+QRt（σRσ>R）-1（dRt- mRtdt），其中qr是普通Riccati微分方程的解ddtqrt=-αQRt- QRtα+ββ>- QRt（σRσ>R）-1QRt。初始值为mR=和QR=∑。这个引理直接来自卡尔曼滤波理论，例如，见Leptser和Shiryaev的定理10.3【19】。请注意，QRT遵循一个普通的微分方程，称为RiccatieEquation，因此具有确定性。接下来，我们考虑观察专家意见引理2.2的分歧过程R和J.Diffusion近似值的J-investor。J-investor的滤波器为高斯滤波器。条件平均值Mj遵循动态SDMjt=α（δ- mJt）dt+QJt（σRσ>R）-1（σJσ>J）-1!>dRt公司- mJtdtdJt- mJtdt！，式中，QJis为普通Riccati微分方程的解ddtqjt=-αQJt- QJtα+ββ>- QJt（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1.QJt（2.2），mJ=和QJ=∑。证据首先，注意矩阵（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1.∈ Rd×非对称正定义，因此非奇异。滤波器的分布以及MJ和QJ的动力学立即遵循卡尔曼滤波器理论，再次参见Liptser和Shiryaev中的定理10.3【19】。请注意，就像R-investor的情况一样，条件协方差矩阵是确定性的。现在让我们来谈谈Z投资者。回想一下，该投资者在专家意见发布之日（可能是随机的）持续观察回报过程。在下面的引理中描述了mZand QZin的动力学。引理2.3。

给定一系列信息日期Tk，Z投资者的滤波器为高斯滤波器。条件均值和条件协方差矩阵的动力学如下所示：（i）在信息日期Tk和Tk+1之间，k∈ N、 它保持SDMzt=α（δ- mZt）dt+QZt（σRσ>R）-1（dRt- mZtdt）用于t∈ [Tk，Tk+1），其中qz遵循普通Riccati微分方程ddtqzt=-αQZt- QZtα+ββ>- QZt（σRσ>R）-1QZT用于t∈ [Tk，Tk+1）。初始值分别为mzt和QZTk，mZ=mandQZ=∑。（ii）信息日期Tk，k的更新公式∈ N、 aremZTk=ρk（QZTk-)mZTk公司-+身份证件- ρk（QZTk-)Zk=mZTk-+身份证件- ρk（QZTk-)Zk公司- mZTk公司-andQZTk=ρk（QZTk-)QZTk公司-= QZTk公司-+ρk（QZTk-) - 身份证件QZTk公司-,式中，ρk（Q）=Γk（Q+Γk）-1.证明。对于确定性时间点Tk，上述引理是Sass等人[23]的引理2.3，其中给出了详细的证明。对于Tkneed不确定的更一般情况，我们假设序列（Tk）k∈Iis独立于市场中的其他随机变量。特别是，（Tk）k∈I和漂移过程u是独立的。因此，条件平均值和条件协方差矩阵的动力学与确定性信息日期的动力学相同，并且我们得到了相同的更新公式，唯一的差异在于更新时间现在可能是不确定性的。信息日期之间滤波器的高斯分布如下所示，如卡尔曼滤波理论中的先前引理所示。信息日期的更新可视为退化离散时间卡尔曼滤波器。因此，贝叶斯更新后，信息日期的滤波器分布仍然是高斯分布。专家意见的差异近似值请注意，信息日期之间的mZand和Qzb动态与其他投资者相同，请参见引理2.1。信息日期Tkar的值是从Bayesianupdate获得的。

如果与R投资者和J投资者相比，我们的信息日期不确定，那么Z投资者的条件协方差矩阵QZof是不确定的，因为更新是在随机时间进行的。在证明我们的主要结果时，我们反复需要找到涉及条件协方差矩阵QJor QZ的各种表达式的上界。一个关键工具是这些矩阵的有界性。这里，考虑对称矩阵的偏序很有用。对称矩阵A、B∈ Rd×dwe写入A B如果B- A为正半定义。请注意 B特别意味着kAk≤ kBk。引理2.4。对于任何序列（Tk，Zk）k∈我有QZt QR和QJt 所有t的QRT≥ 特别是，存在一个常数CQ>0，使得kqzTk≤ CQ和kQJtk≤ CQfor所有t∈ [0，T]。证据Let（Tk，Zk）k∈Ibe任何一系列专家意见和（QZt）t∈[0，T]对应滤波器的条件协方差矩阵。每次更新都会降低协方差，即qztk QZTk公司-, 参见Sass等人【23】中的命题2.2。此外，如果（Pt）t≥0和（￠Pt）t≥0是相同Riccati微分方程的解，其中初始值为P，然后PtPtfor allt≥ 0，参见Kucera[18]中的定理10。归纳起来，我们可以在我们的设置qzt中推断出 所有t的QRT≥ 0。此外，可以显示QJt 所有t的QRT≥ 0类似于Sass等人[23]中的命题3.1的证明。证明的关键思想是使用FRt FJtforall t公司≥ 根据Sass等人[23]的定理4.1，存在一个正半限定矩阵QR∞这样的限制→∞QRt=QR∞.因此，kQRtk受某个常数CQ>0的限制，下面的声明如下。3确定性信息数据过滤器的扩散近似在本节中，我们研究了Z投资者在专家意见到达频率趋于一致时过滤器的渐近行为。

我们首先考虑确定性和等距信息日期的情况。因此，让n∈ N和n=Tn.现在假设每k=1，…，Tk=Tk，n、 其中（tk）k=1，。。。，nis确定性时间点序列tk=kn、 因此，有n个专家意见在时间间隔[0，T]内等距到达，两个信息日期之间的距离为n、 在下文中，我们推导了Z-investor的条件均值和条件协方差矩阵在发送n到单位时的收敛结果。请注意，早期的论文中讨论了离散时间滤波器的收敛性，例如Salgado等人【22】或Aalto【1】。在这里，作者展示了离散时间卡尔曼滤波器与连续时间等效滤波器的收敛性。InAalto【1】离散时间滤波器基于连续时间观测过程的离散时间观测，而在Salgado等人【22】中，作者近似连续时间信号和离散时间过程观测。这些假设都与我们的离散时间专家意见模型不匹配，这就是为什么我们需要在以下方面证明收敛性。我们使用一个额外的上标n来强调对专家意见数量的依赖，例如（QZ，nt）t∈[0，T]表示与这n个专家意见相对应的滤波器的条件协方差矩阵。在Sass等人【23】中，对于专家意见的形式z（n）k=ut（n）k+（Γ（n）k）ε（n）k（3.1）离散近似，证明了收敛结果，其中专家意见的协方差Γ（n）k对所有n都有界∈ N和k=1，n、 参见Sass等人【23】中的定理3.1。结果表明，在有界专家协方差假设下，itholdslimn→∞对于任何t，kQZ，ntk=0∈ （0，T）。

由于QZ，nti是估计量mZ，nt优度的度量，这意味着Z-investor的条件平均值成为漂移ut真实状态的任意好估计量。可以很容易地推断出limn→∞呃mZ，nt- ut对于任何t，i=0∈ （0，T）。因此，Z-investor基本上近似于完全知情的F-investor。这一结果在很大程度上依赖于专家协方差Γ（n）kare all bounded这一假设，这意味着专家的可靠性水平最低。在这里，我们研究了一种不同的情况，即更频繁的专家意见只能以牺牲准确性为代价。换句话说，我们假设ngoes为零，专家意见的方差Z（n）k增大。这样做的目的是近似大n的mZ、nand和QZ∈ N和大的Γ（N）k。为了简单起见，下面我们假设Γ（N）k=Γ（N）不依赖于时间。Wethen表明，对于在n中线性增长的适当标度Γ（n），从观察离散时间专家意见获得的信息与从观察另一个差异过程获得的信息是渐近相同的。这将是（2.1）中已经定义的差异。假设3.1。设（T（n）k）k=1，。。。，n=（t（n）k）k=1，。。。，n其中t（n）k=k如果k=1，n、 此外，让专家的协方差矩阵由Γ（n）k=Γ（n）给出=nσJσ>jk=1，n、 此外，我们假设在（3.1）中，n（0，Id）分布的随机变量ε（n）kare通过ε（n）k与（2.1）中的布朗运动wjj相联系=√nRt（n）k+1t（n）kdWJs，因此专家建议为z（n）k=ut（n）k+nσJZt（n）k+1t（n）kdWJs（3.2），k=1，n、 回想一下矩阵σJ∈ Rd×lis精确地表示扩散过程J的波动性，动力学djt=utdt+σJdWJt，σJhas满秩。对于上述Z（n）kas，离散时间专家意见和连续时间专家J明显相关。

事实上，它持有sz（n）k≈nZt（n）k+1t（n）kdJs=nJt（n）k+1- Jt（n）k.此外，利用Donsker定理可以很容易地证明分段常数过程（eJt）t∈[0，T]，由EJT定义：=nbt公司/ncXk=1Z（n）k，对于所有t∈ [0，T]在分布上收敛到JTA，n到达单位。然而，对于下面给出的主要收敛结果，我们需要更强的收敛概念。下面的定理说明了对于n到n的单位，QZ，ntto QJton[0，T]的一致收敛性。专家意见的差异近似3.2。在假设3.1下，存在常数KQ>0，因此QZ，nt- QJt≤ KQ对于所有t∈ [0，T]。特别是limn→∞支持∈[0，T]QZ，nt- QJt= 定理3.2的证明见附录B。它利用Gronwall\'sLemma的离散版本进行误差累积，见附录a中的引理a.1。利用条件协方差矩阵QZ，nto Qjj的一致收敛性，我们还可以在Lp意义上导出相应条件均值mZ，nto Mj的收敛性。定理3.3。让p∈ [1, ∞). 在假设3.1下，存在一个常数Km，p>0，使得ehmZ，nt- mJt公司圆周率≤ 公里，p所有t的p/2∈ [0，T]。特别是limn→∞支持∈[0，T]呃mZ，nt- mJt公司pi=0。定理3.3的证明也可以在附录B中找到。定理3.2和3.3指出，在假设3.1的设置中，观察到[0，T]上n个等距expertopinions的Z投资者的滤波器收敛于J投资者的滤波器。回顾J-投资者观察到分歧过程R和J，这意味着观察离散时间专家意见获得的信息与观察连续时间分歧类型专家J获得的信息非常接近。

离散专家意见的这种差异近似是有用的，因为MJ和Qjar的相关过滤方程比mZ、nand和QZ的过滤方程简单得多，后者包含信息日期的更新。计算QZ，在多变量情况下，非[0，T]需要在每个超区间[tk，tk+1]上对一个Riccati微分方程进行数值解。对于大量的专家意见，这会导致非常小的时间步和很高的计算时间。为了计算J-investor的滤波器，必须只找到[0，T]上的一个Riccati微分方程的解，我们可以使用更高效的数值解算器。我们将在第5节中看到，在投资组合优化问题中，收敛结果会转化为价值函数的收敛。备注3.4。注意，对于条件协方差矩阵QZ的收敛性，nto QJin定理3.2，我们不需要假设Z（n）kis如（3.2）所示。这是因为条件协方差矩阵QZ，Nt不取决于专家意见的实际形式，见引理2.3。因此，假设专家的协方差矩阵由Γ（n）k=Γ（n）给出是很有必要的=nσJσ>J。Z（n）kis形式的假设仅在定理3.3中需要，其中考虑了条件平均值mZ，nti。4随机信息日期过滤器的差异近似在本节中，我们考虑专家的意见不是在确定的时间点，而是在随机信息日期Tk，其中等待时间Tk+1- TKbetween信息日期是独立的，且呈指数分布，速率λ>0。回想一下，为了便于记法，我们将T设置为0。因此，可以将信息日期视为强度为λ的标准泊松过程的跳跃时间。在这种情况下，到达[0，T]的expertopinion总数不再是确定的。