金融市场中专家意见的扩散近似

设I=[a，b]为区间，设u，α和β：I→ [0, ∞) 具有U（t）的连续函数≤ α（t）+Ztaβ（s）u（s）dsfor all t∈ 一、 Thenu（t）≤ α（t）+Ztaα（s）β（s）eRtsβ（r）DRDS适用于所有t∈ 一、 在第4节中，我们使用泊松随机测度。下面的引理给出了我们用于证明定理4.6的补偿泊松测度的一个重要性质，见Cont和Tankov[5]中的命题2.16。专家意见的差异近似引理A.6。对于可积实值函数f:[0，T]×Rd→ R、 过程（Xt）t≥0withXt=ZtZRdf（s，u）~N（ds，du）是E[Xt]=0且var（Xt）=E[Xt]=E的鞅ZtZRdf（s，u）λД（u）du ds.B确定性信息数据的证明B。1定理3.2的证明：协方差矩阵的收敛在整个证明过程中，为了更好的可读性，我们省略了信息日期t（n）k处的上标n，同时牢记对n的依赖性。证明基于找到QZ，ntk之间距离的递归公式-这里我们利用了QJ的欧拉近似。QJ的Euler格式近似。回想引理2.2中的qjj动力学。为了缩短旋转，设G:Rd×d→ Rd×dwithG（Q）=-αQ- Qα+ββ>- Q（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1.Qdenote微分方程（2.2）的右侧。然后（2.2）读取asddtQJt=G（QJt）。第一步是用Euler格式近似Qjb。因此，通过设置QJ，nt确定QJ，nb：=QJtk+G（QJtk）（t- tk）（B.1）适用于所有t∈ [tk，tk+1）。通过泰勒展开，我们得到qjt=QJtk+G（QJtk）（t- tk）+ξt（t- tk）其中ξ是一个矩阵值函数，涉及QJt的二阶导数。由于QJand及其导数在[0，T]上有界，参见引理2.4，矩阵ξ有界，因此局部截断误差与n、 换句话说，存在一些CEuler>0，这样QJt- QJ，nt≤ 塞勒n（B.2）表示所有t∈ [0，T]。误差估计（G）。

设Ce，CQ>0，设ε∈ Rd×dwith kεk≤ Ce，Q∈ Rd×dwith kQk≤ CQ。ThenG（Q+ε）=-α（Q+ε）- （Q+ε）α+ββ>- （Q+ε）（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1.（Q+ε）=G（Q）- εα +（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1.（Q+ε）-α+Q（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1.ε.因此，kG（Q+ε）- G（Q）k≤ kεk2kαk+k（σRσ>R）-1+（σJσ>J）-1k（2kQk+kεk）.这意味着存在一个常数CG>0，因此对于所有ε，Q∈ Rd×dwith kεk≤ CeandkQk公司≤ CQit holdskG（Q+ε）- G（Q）k≤ CGkεk.（B.3）专家意见的离散近似QZ，n的动力学。接下来，我们研究QZ，n的动力学，即与观察股票收益和离散专家意见的投资者相对应的协方差矩阵的动力学。我们知道，在信息日期tk，k=1，n、 我们有更新公式，ntk=Γ（n）QZ，ntk-+ Γ（n）-1QZ，ntk-.观察Γ（n）QZ，ntk-+ Γ（n）-1=Id+QZ，ntk-（Γ（n））-1.-1=Id+nQZ，ntk-（σJσ>J）-1.-1可写成诺依曼级数∞Xi=0-nQZ，ntk-（σJσ>J）-1.i=Id- nQZ，ntk-（σJσ>J）-1+∞Xi=2-nQZ，ntk-（σJσ>J）-1.i、 下面是QZ，ntk=QZ，ntk-- nQZ，ntk-（σJσ>J）-1QZ，ntk-+\'\'Rn（B.4），其中k\'\'Rnk≤ rn、 自QZ，ntk起-是有界的。在信息日期之间，矩阵QZ，nfollowsthe dynamicsdtqz，nt=-αQZ，nt- QZ，ntα+ββ>- QZ，nt（σRσ>R）-1QZ，ntfor t∈ [tk，tk+1）。QZ，n的一个时间步。在下面，我们构造一个连接QZ，ntk+1的公式-带QZ、ntk-. 首先，通过泰勒展开，我们可以看到qz，ntk+1-= QZ，ntk+-αQZ，ntk- QZ，ntkα+ββ>- QZ，ntk（σRσ>R）-1QZ，ntkn+Ln，其中kLnk≤ 氯n、 现在，当从（B.4）和rearrangingterms插入QZ，ntk的表示时，我们可以得出QZ，ntk+1的结论-= QZ，ntk-+ nG（QZ，ntk-) + Rn，（B.5），其中Rn是具有kRnk的矩阵≤ C泰勒对于C泰勒>0。估计误差的递推公式。对于k=0，n、 定义Ak=QZ，ntk-- QJtkandak=卡克。我们的目标是找到一个递归公式，从而得出这些估计值的上界。让k≥ 0

然后我们得到了（B.5）thatak+1=kAk+1k=kQZ，ntk+1-- QJtk+1k=kQZ，ntk-+ nG（QZ，ntk-) + 注册护士- QJtk+1k。因此，根据ak和QJ的定义，（B.1）中给出的nas，ak+1=k（QJtk+ak）+nG（QJtk+Ak）+Rn- QJtk+1k=kQJtk+nG（QJtk）+G（QJtk+Ak）- G（QJtk）+ Ak+Rn- QJtk+1k=kQJ，ntk+1-+ nG（QJtk+Ak）- G（QJtk）+ Ak+Rn- QJtk+1k。现在，（B.2）、（B.3）和（B.5）yieldak+1的估计≤ 塞勒n+nCGkAkk+kAkk+CTaylorn=（1+nCG）ak+（CEuler+CTaylor）n、 通过Gronwall引理的离散版本，参见附录中的引理a.1，这意味着≤eCGk公司n- 1克（CEuler+CTaylor）n≤eCGT- 1克（CEuler+CTaylor）n=：/Cn、 因此，对于所有k=0，我们有KQZ，ntk-- QJtkk公司≤Cn、 （B.6）专家意见的差异近似值QZ，nt和Qjt对于任意t的差异。我们现在表明，存在一些KQ>0的情况，使得kQZ，nt- QJtk公司≤ KQ对于所有t∈ [0，T]。让t∈ [0，T]带T∈ [tk，tk+1]我们可以写qz，nt- QJt=（QZ，nt- QZ，ntk-) + （QZ，ntk-- QJtk）+（QJtk- QJt）和hencekQZ，nt- QJtk公司≤ 新界kQZ- QZ，ntk-k+kQZ，ntk-- QJtkk+kQJtk- QJtk。根据（B.6），第二个和的范围为Cn、 现在我们来看另外两个Summand。通过定义QJ，我们可以编写第三次总结并询问QJTK- QJtk=kQJ，nt- G（QJtk）（t- tk）- QJtk公司≤ 新界kQJ- QJtk+nkG（QJtk）k≤ 塞勒n+第二个不等式是由（B.2）引起的。由于G和QJare连续，函数t 7→kG（QJt）k以某个∧CGon[0，T]为界。因此，kQJtk- QJtk公司≤ 塞勒n+~CGn、 对于第一个总结，我们观察到，像（B.5）中一样，我们得到了代表性kqz，nt- QZ，ntk-k=k（t- tk）G（QZ，ntk-) + Rnkfor some matrix Rnwith kRnk≤ C泰勒（t- tk）。则右侧的边界为nkG（QZ，ntk-)k+C泰勒n、 此外，我们还有KG（QZ，ntk-)k=千克（QJtk+QZ，ntk-- QJtk）k≤ kG（QJtk）k+CGkQZ，ntk-- QJtkkby（B.3）。

同样通过连续性，kG（QJtk）k≤CG和kQZ、ntk-- QJtkk公司≤Cnby（B.6）。把这些结果放在一起，我们得到存在一个常数KQ>0，这样kqz，nt- QJtk公司≤ KQ对于所有t∈ [0，T]。B、 2定理3.3的证明：条件均值的收敛首先证明p=2的说法。为了更好的可读性，我们在信息日期t（n）k省略了上标n。证明的思想是找到mZ，ntk-- mJtk公司我将应用引理A.1中Gronwall引理的离散版本来推导适当的上界。为了证明，我们引入了符号l（n）k：=QZ，ntk-QZ，ntk-+ Γ（n）-1Γ（n）对于k=1，n、 引理A.4特别暗示了kqz，ntk-- L（n）kk≤\'\'C对于某些常数“C>0”。专家意见的差分近似MJ和mZ的执行公式，n。通过引理2.2中的随机差分方程表示MJ，得到递归MJTK+1=e-αnmJtk+（Id- e-αn） δ+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σRσ>R）-1σRdVJ，1s+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σJσ>J）-1σJdVJ，2s，（B.7），其中σRdVJ，1t=dRt- mJtdt，σJdVJ，2t=dJt- mJtdt和VJ=（VJ，1，VJ，2）>，与投资者过滤FJ相对应的创新过程是（m+l）维FJ布朗运动。类似地，我们得到条件平均值mZ，ntherecursionmZ，ntk+1-= e-αnmZ，ntk+（Id- e-αn） δ+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QZ，ns（σRσ>R）-1σRdVZs，（B.8），其中σRdVZt=dRt- mZ、ntdt和VZ，对应于投资者过滤FZ，n的创新过程是一个m维Alfz，n-布朗运动。此外，mZ，nyieldsmZ，ntk=mZ，ntk的更新公式-+身份证件- Γ（n）QZ，ntk-+ Γ（n）-1.Z（n）k- mZ，ntk-= mZ，ntk-+ QZ，ntk-QZ，ntk-+ Γ（n）-1.utk+nσJZtk+1tkdWJs- mZ，ntk-= mZ，ntk-+ nL（n）k（σJσ>J）-1.utk+nσJZtk+1tkdWJs- mZ，ntk-.（B.9）当观察MJ和mZ之间的差异时，nit可以方便地与使用相同布朗运动的代表一起工作。创新过程之间的关系。

注意σRdVJ，1t=dRt- mJtdt=σRdVZt+（mZ，nt- mJt）dt和σJdVJ，2t=dJt- mJtdt=σJdWJt+（ut- mJt）dt。利用创新过程之间的这种联系，我们从（B.7）中得出MJTK+1=e-αnmJtk+（Id- e-αn） δ+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σRσ>R）-1σRdVZs+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σRσ>R）-1（mZ，ns- mJs）ds+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σJσ>J）-1σJdWJs+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σJσ>J）-1（us- mJs）ds。（B.10）同时，将（B.9）插入（B.8）yieldsmZ，ntk+1-= e-αnmZ，ntk-+ （Id）- e-αn） δ+Ztk+1tke-α（tk+1-s） QZ，ns（σRσ>R）-1σRdVZs+e-αnL（n）k（σJσ>J）-1σJZtk+1tkdWJs+e-αnnL（n）k（σJσ>J）-1（utk- mZ，ntk-).专家意见的差异近似值分割MJ和mZ的差异，第九次总结。将（B.10）与mZ、ntk+1的上述表示相结合-termsmJtk+1轻微重排后的产量- mZ，ntk+1-= An+Bn+Cn+Dn+En+Fn，其中N=e-αn（mJtk- mZ，ntk-),Bn=Ztk+1tke-α（tk+1-s） （QJs- QZ，ns）（σRσ>R）-1σRdVZs，Cn=Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σRσ>R）-1（mZ，ns- mJs）ds，Dn=Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σJσ>J）-1.- e-αnL（n）k（σJσ>J）-1.σJdWJs，En=Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σJσ>J）-1usds- e-αnnL（n）k（σJσ>J）-1utk，Fn=e-αnnL（n）k（σJσ>J）-1mZ，ntk--Ztk+1tke-α（tk+1-s） QJs（σJσ>J）-1mJsds。离散Gronwall引理的应用。现在的想法是将引理A.1中的离散Gronwall引理应用于估计HmJtk+1- mZ，ntk+1-i=EhAn+Bn+Cn+Dn+En+Fn我≤ 呃一i+5 EhBn公司+中国大陆+Dn+恩+Fn公司i+2 Eh（An）>（En+Fn）i.（B.11）在不等式中，我们使用了（a+····+ap）≤ p（a+···+ap），以及Bn+Cn+dn可以写成tk和tk+1之间布朗运动上的随机积分之和的事实。SinceAn=东-αn（mJtk- mZ，ntk-) 与这些随机积分无关，项E[（An）>（Bn+Cn+Dn）]消失。查找单个总和的上估计值。现在，我们将展示如何在上述分解中找到单个总和的上估计值。

首先，呃一i=Ehe-αn（mJtk- mZ，ntk-)我≤ 呃mJtk公司- mZ，ntk-谱范数的iby性质和α的正不确定性。