金融市场中专家意见的扩散近似

然而，随着强度λ的增加，专家小齿轮将越来越频繁地到达。因此，我们在本节中要解决的问题是，在上一节中，专家意见分析对将n发送到单位的影响近似，当λ变为单位时会发生什么。我们使用上标λ强调对强度的依赖性。专家意见的格式为z（λ）k=uT（λ）k+（Γ（λ）k）ε（λ）k.（4.1），对于常数方差Γ（λ）k=Γ，即当存在一些不依赖于到达强度λ的专家可靠性恒定水平时，可以得出与确定性信息日期情况下类似的收敛到完整信息的结果。这一结果表明，对于大λ，Z投资者近似于完全知情的投资者。更准确地说，它保持着Slimλ→∞EQZ，λt= 0和limλ→∞EmZ，λt- ut= 0对于所有t∈ （0，T），参见Gabih等人[12]。与上述情况相反，我们现在再次假设，随着专家意见频率的增加，专家意见Z（λ）kalso的方差增加。如第3节所示，让Γ（λ）kgrow在λ中线性化是推导扩散极限的适当比例。假设4.1。Let（N（λ）t）t∈[0，T]是强度λ>0的标准泊松过程，与模型中的布朗运动无关。确定信息日期（T（λ）k）k=1，。。。，N（λ）T表示该过程的跳跃时间，并将T（λ）=0。此外，对于k=1，…，让专家的协方差矩阵为Γ（λ）k=Γ（λ）=λσJσ>J，N（λ）T。此外，我们假设在（4.1）中，N（0，Id）分布的随机变量ε（λ）kar通过ε（λ）k与（2.1）中的布朗运动wjj相联系=√λZkλk-1λdWJs，因此z（λ）k=uT（λ）k+λσJZkλk-1λdWJs（4.2）是信息日期T（λ）k的专家意见。

注意，为了定义Z（λ）k，布朗运动wjh可扩展为[0]上的布朗运动，∞).如果在随机信息日期T（λ）k实现漂移过程，专家意见中唯一的随机性来自确定性时间k之间的布朗运动wjb-1λ和kλ。回想一下，WJis是驱动微分J的布朗运动，我们将其解释为我们的连续专家。因此，离散专家意见z（λ）和连续专家之间存在直接联系。在下面，我们将省略时间点T（λ）k处的上标λ，以提高可读性，同时牢记对强度的依赖性。备注4.2。乍一看，构建专家意见aseZ（λ）k=uTk似乎更直观+√λσJpTk- Tk公司-1ZTkTk-1DWJS而非（4.2）中的。然而，我们稍后要证明mZ，λtto mJt的收敛性，这需要观察λ（Z（λ）k的加权和的差异- uTk）和RTQJSDWJS。结果表明，当替换Z（λ）kwitheZ（λ）k时，这将导致一个积分，其中被积函数被逐段定义为pλ（Tk- Tk公司-1)- 1.QJs。然而，括号中的术语没有固定的方差。这将结转至上述加权总和。这主要是因为对于X~ Exp（λ），xd的期望值不存在。当考虑Z（λ）kinstead时，出现的差异具有有限的方差，因为专家意见的近似值缺少信息日期的额外随机性。直觉上，威瑟兹（λ）的问题在于，这种形式的专家意见对布朗运动WJin不同区间的路径施加了不同的权重。

这与连续的专家形成了对比，他们的信息来自于观察由布朗运动WJ驱动的扩散J，并持续及时。因此，就布朗运动WJ的信息而言，（4.2）中建模的Z（λ）k比EZ（λ）k更接近连续专家。本节的目的是确定假设4.1下，当λ趋于完整时，即当专家意见越来越频繁地到达时，条件协方差矩阵xqz，λ和条件平均值mZ，λ的行为，同时变得越来越不可靠。在这里，用一种既包括信息日期之间的行为，又包括时间Tk的跳跃的方式来表示QZ，λ和mZ，λ的动态是有用的。为此，我们使用Cont和Tankov【5，第2.6节】中介绍的泊松随机测度来处理arepresentation。定义4.3。让(Ohm, A、 Q）是概率空间，ν是可测空间（E，E）上的测度。具有强度测度ν的泊松随机测度是函数N：Ohm×E→ 每个ω的Nsuchthat1∈ Ohm, N（ω，·）是（E，E）上的一个度量。2、每B∈ E、 N（·，B）是参数为ν（B）的泊松随机变量。3、对于不相交的E，Ep公司∈ E、 随机变量N（·，E），N（·，Ep）是独立的。对于泊松随机测度N，补偿测度N由N定义：Ohm×E→ R，其中N（ω，B）=N（ω，B）-ν（B）。下面的命题陈述了我们在下面需要的结果。有关证明，请参见Contand Tankov【5，第2.6.3节】。提案4.4。设E=[0，T]×Rd.Let（Tk）k≥1是强度λ>0且Uk，k=1，2，…，的泊松过程的跳跃时间，是一个独立的多元标准高斯随机变量序列∈ B（[0，T]）和B∈ B（Rd）letN（I×B）=Xk：Tk∈I{英国∈B} 表示I中的跳转次数，其中uk取B中的值。

然后N定义一个泊松随机测度，它保持：（i）对应的强度测度ν满足ν（[t，t]×B）=Z[t，t]λdtZBν（u）du，对于0≤ t型≤ t型≤ T，其中Д是Rd.（ii）上的多元标准正态密度，用于Rdit holdsXk:Tk上定义的Borel可测函数g∈[0，t]g（Uk）=Z[0，t]ZRdg（u）N（ds，du）。现在我们可以使用泊松随机测度来重新表述QZ，λ的动力学。提案4.5。设L:Rd×d→ Rd×ddenote函数，其中l（Q）=-αQ- Qα+ββ>- Q（σRσ>R）-第1季度。然后，在假设4.1下，我们可以写出qjt=∑+ZtL（QJs）- QJs（σJσ>J）-1QJs专家意见的dsdiffusion近似和qz，λt=∑+ZtL（QZ，λs）- λQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-ds公司-ZtZRdQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-任意t的N（ds，du）∈ [0，T]。命题4.5的证明见附录A。在下文中，我们给出了类似于定理3.2和3.3中的收敛结果，即Z投资者的条件协方差矩阵和条件平均值收敛于J投资者的条件协方差矩阵和条件平均值。在第3节中确定的等距信息日期设置中，条件协方差矩阵是确定的。对于条件平均，我们证明了Lp收敛性。由于条件均值的联合高斯分布，足以证明L-收敛，并使用Rosinński和Suchanecki[21]的结果推广到Lp收敛。在本节设置随机信息日期时，Z-investorare的条件协方差矩阵是随机的，条件均值的联合分布不再是高斯分布。因此，上述概括在这里不适用。因此，我们在下面直接证明了Lp收敛性。下一个定理说明了当λ趋于一致时，QZ，λ到QJon[0，T]的Lp收敛性。定理4.6。让p∈ [1, ∞).

在假设4.1下，存在一个常数Q，p>0，使得EhQZ，λt- QJt圆周率≤所有t的eKQ，pλpF∈ [0，T]和λ≥ 1，其中p=min{p，1}。特别是limλ→∞支持∈[0，T]呃QZ，λt- QJtpi=0。定理4.6的证明在附录C中给出。它基于我们在引理A.5中回顾的Gronwall的引理积分形式。我们还证明了条件均值的Lp收敛性。定理4.7。让p∈ [1, ∞). 在假设4.1下，存在一个常数，p>0，使得EhmZ，λt- mJt公司圆周率≤所有t的eKm，pλpf∈ [0，T]和λ≥ 1，其中p=min{p，1}。特别是limλ→∞支持∈[0，T]呃mZ，λt- mJt公司pi=0。定理4.7的证明见附录C。定理4.6和4.7表明，在假设4.1下，Z投资者的过滤器收敛于J投资者的过滤器。这些结果与第3节中的结果类似，在第3节中，我们假设了确定性和等距信息日期。在这里，我们看到，对于非确定性信息日期，收敛结果也是成立的，TK被定义为标准泊松过程的跳跃时间，即信息日期之间的时间呈指数分布，参数λ>0。当将λ发送到单位时，专家意见的频率将转到单位。同样，对于具有确定性信息日期的情况，Z（λ）kis在（4.2）中给出的假设仅用于定理4.7的证明。为了证明定理4.6，有必要假设专家的协方差矩阵的形式为Γ（λ）k=Γ（λ）=λσJσ>J。备注4.8。请注意，当比较p=2情况下条件协方差矩阵的定理3.2和4.6的收敛结果时，我们所显示的专家意见一致性的扩散近似速度存在差异。对于确定性等距信息数据，kQZ，nt的收敛速度- QJtkto零的顺序是n。

然而，对于随机信息日期，对于h的收敛速度只有λQZ，λt- QJtito零。这可以用泊松过程产生的额外随机性来解释，泊松过程决定了这种情况下的信息日期。上述定理提供了一个有用的差分近似值，因为J-investor的过滤器比Z-investor的过滤器更容易计算，每个informationdate都有更新。此外，条件协方差QJis是确定性的，可以提前计算，而QZ，λ是一个随机过程，当有新的专家意见时，必须更新。对于高频专家意见，可以通过替换精确的条件协方差QZ，λ及其差分近似QJ来简化mZ，λ的计算。给定离散时间专家的协方差矩阵Γ和到达强度λ，选择波动率σJis，使σJσ>J=λ-1Γ.更重要的是，如果我们考虑具有部分信息和离散时间经验观点的金融市场的效用最大化问题，则更简单的过滤方程带来的好处。有关对数效用的应用，请参见下一节和备注5.5以及Kondakji【17，Ch.7,8】，以了解更为复杂的电力效用案例，其中最优策略的闭式表达式适用于J投资者，但不适用于Z投资者。5效用最大化的应用作为前两部分收敛结果的应用，我们现在考虑金融市场中的投资组合优化问题。为了方便起见，我们在此假设无风险资产的利率r等于零。然而，下面的结果可以很容易地扩展到r 6=0的市场模型。投资者在市场上的交易可以用自筹交易策略（πt）t来描述∈[0，T]的值在Rd中。这里，πit，i=1。

，d是在t时投资于集合i的财富比例。相应的财富过程（Xπt）t∈[0，T]由随机微分方程dxπT=XπTπ>T控制utdt+σRdWRt首字母大写Xπ=X>0。投资者的交易策略必须适应其投资者的过滤。为了确保严格的正财富，我们还对交易策略施加了一些可积性约束。然后我们表示byAH（x）=π=（πt）t∈[0，T]π是FH自适应的，Xπ=X，EZTkσ>πtkdt< ∞H投资者可接受的交易策略类别。我们讨论的优化问题是一个效用最大化问题，投资者希望最大化终端财富的预期对数效用。因此，VH（x）=仰卧对数（XπT）π ∈ AH（x）o（5.1）是优化问题的值函数。部分信息下的效用最大化问题已在Brendle[4]中针对电力效用的情况得到解决。Karatzas和Zhao【16】也谈到了对数效用的情况。在Sass等人【23】中，在本文所述的不同信息制度背景下，具有对数效用的H投资者的优化问题已经得到解决。我们回顾了以下命题中的结果。专家意见分配的差异近似值5.1。优化问题（5.1）的最优策略是（πH，*t） t型∈[0，T]带πH，*t=（σRσ>R）-1mHt，最佳值为VH（x）=log（x）+ZTtr（σRσ>R）-1E[mHt（mHt）>]dt=对数（x）+ZTtr（σRσ>R）-1.∑t+mtm>t- E【QHt】dt。证据最佳策略的形式和价值函数的第一个表示形式已在命题5.1中给出，分别为Sass等人的定理5.1。

对于值函数的第二种表示形式，请注意qht=E[（ut- mHt）（ut- mHt）>| FHt]=E[utu>t- mHtu>t- ut（mHt）>+mHt（mHt）>| FHt]=E[utu>t | FHt]- mHt（mHt）>。因此，通过对双方的期望，E[mHt（mHt）>]=E[utu>t]- E【QHt】=∑t+mtm>t- E【QHt】，我们可以将其插入到第一个表示中。由于通过条件均值表示最优策略，从定理3.3和4.7可以直接看出，Z投资者的最优策略在Lp意义上收敛于J投资者的最优策略，分别为n，λ，趋于一致。此外，请注意，H投资者的价值函数是（QHt）t期望值的积分函数∈[0，T]。因此，定理3.2和4.6的收敛结果将延续到各个值函数的收敛结果。首先，我们从第3节讨论了确定性信息日期tkf的情况，其中我们展示了QZ，ntoQJ的一致收敛性。推论5.2。根据假设3.1，其成立VZ，n（x）- VJ（x）≤ 千伏对于任何初始财富x>0，其中KV=KQT tr（（σRσ>R）-1） 根据KQfrom定理3.2。特别是limn→∞VZ，n（x）=VJ（x）。证据根据命题5.1，我们推断VZ，n（x）- VJ（x）=ZTtr公司（σRσ>R）-1（QJt- QZ，nt）dt公司≤ZT公司tr公司（σRσ>R）-1（QJt- QZ，nt）dt，（5.2）注意到QZ、Nt和Qjt对于每个t都是确定性的∈ [0，T]。自（σRσ>R）-1是对称和正定义，QJt- QZ，ntis对称，根据Wang等人[26]的引理1tr公司（σRσ>R）-1（QJt- QZ，nt）≤ tr公司（σRσ>R）-1.QJt- QZ，nt.将其插入（5.2），我们从定理3.2得到VZ，n（x）- VJ（x）≤T tr（σRσ>R）-1.KQN当设定KV=KQT tr（（σRσ>R）时，证明了该主张-1).类似的结果也适用于第4节的设置，其中信息日期为泊松过程的跳跃时间。

回想一下，在定理4.6中，我们已经证明了QZ，λ到QJ的收敛性。专家意见的差异近似值冠状动脉5.3。根据假设4.1，其成立VZ，λ（x）- VJ（x）≤eKV公司√λ对于任何初始财富x>0和所有λ≥ 1，其中ekv=eKQ，1T tr（（σRσ>R）-1） 根据定理4.6，使用EKQ。特别是limλ→∞VZ，λ（x）=VJ（x）。证据在推论5.2的证明中，我们首先使用命题5.1获得VZ，λ（x）- VJ（x）≤ZTEh公司tr公司（σRσ>R）-1（QJt- QZ，λt）idt。通过与推论5.2的证明相同的推理，并应用定理4.6，我们得到VZ，λ（x）- VJ（x）≤ZTEhtr公司（σRσ>R）-1.QJt- QZ，λtidt公司≤T tr（σRσ>R）-1.eKQ，1√λ、 对于所有λ≥ 1、推论5.2和推论5.3表明，在假设3.1和假设4.1下，当信息日期的频率趋于一致时，Z投资者的价值函数收敛于J投资者的价值函数。以下命题表明，不仅Z投资者的价值函数收敛于J投资者的价值函数，而且πZ所获得效用的绝对差异，*,分别为πJ，*, 增加离散时间ExpertoPionions的数量或频率时变为零。这意味着，当离散时间专家意见的数量变大时，Z投资者观察离散时间专家意见的效用也会变得任意接近J投资者的效用。对于这个结果，我们需要条件期望的强L-收敛，这里的分布收敛是不够的。提案5.4。根据假设3.1，它保持不变→∞呃对数（XπZ，n，*T）- 对数（XπJ，*T）i=0，在假设4.1下，它保持slimλ→∞呃对数（XπZ，λ，*T）- 对数（XπJ，*T）i=0。证据考虑假设3.1的设置。

注意log（XπZ，n，*T）- 对数（XπJ，*T） =ZT（πZ，n，*t型- πJ，*t） >ut-kσ>RπZ，n，*tk公司- kσ>RπJ，*tk公司dt+ZT（πZ，n，*t型- πJ，*t） >σRdWRt=ZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1ut-（mZ，nt）>（σRσ>R）-1mZ，nt- （mJt）>（σRσ>R）-1mJtdt+ZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1σRdWRt=ZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1（2ut- mZ，nt- mJt）dt+ZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1σRdWRt，专家意见的差异近似，其中我们使用了命题5.1中的最优策略表示。当应用我们得到的绝对值和期望值时对数（XπZ，n，*T）- 对数（XπJ，*T）我≤EZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1（ut- mZ，nt）dt+EZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1（ut- mJt）dt+ EZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1σRdWRt.（5.3）对于（5.3）中的第一个总和，由于Cauchy–Schwarz不等式，我们有ZT（新界mZ）- mJt）>（σRσ>R）-1（ut- mZ，nt）dt≤ EZT公司（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1（ut- mZ，nt）dt公司≤ k（σRσ>R）-1kE新界ZTkmZ- mJtkkut- mZ，ntkdt≤ k（σRσ>R）-1kE新界ZTkmZ- mJtkdt公司1/2EZTku- mZ，ntkdt1/2.当n根据定理3.3和QZ，n的有界性变为完整时，该表达式的右侧变为零，参见引理2.4。（5.3）中的第二个和通过类比论证变为零。对于（5.3）中的第三个总和，请注意EZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1σRdWRt≤ EZT（mZ，nt- mJt）>（σRσ>R）-1σRdWRt1/2=EZTkσ>R（σRσ>R）-1（mZ，nt- mJt）kdt1/2≤ kσ>R（σRσ>R）-1kE新界ZTkmZ- mJtkdt公司1/2.在第二步中，我们使用了It^oisometry。同样，根据定理3.3，上述不等式的右侧变为零，因为n变为单位。假设4.1下的收敛性证明是完全相似的。注意，值函数的收敛性也可以直接从前面的命题推导出来。