金融市场中专家意见的扩散近似

然而，我们分别在推论5.2和5.3中使用条件协方差矩阵的收敛性给出的证明更直接，因此产生了比我们从前面的命题中得到的更尖锐的收敛阶边界。备注5.5。为简单起见，我们在本节中仅限于对数效用的情况，其中条件协方差矩阵和条件均值的L-收敛足以证明值函数和最优策略的收敛性。考虑期望功率效用最大化而不是对数效用最大化的投资组合问题通常要求更高。我们已经看到，对于对数效用，值函数是根据滤波器的预期条件方差的积分函数给出的。由此产生的最优投资组合策略是短视的，只取决于当前的漂移估计。对于幂效用，值函数可以表示为条件平均值的一个非常复杂的积分函数的指数期望。因此，它取决于完整的滤波器分布，而不仅仅取决于其二阶矩。此外，最优策略不再是短视的，并且不仅取决于当前漂移估计，还包含取决于未来漂移估计分布的校正项。所以，对于电力公司，需要p>2的Lp收敛来证明值函数的收敛性，L收敛是不够的。对于电力公司案例中Z-investor投资组合问题的专家意见，上述过滤器最佳策略的封闭式表达式的差异近似不再可用。可以将动态规划方法应用于相关的随机最优控制问题。

对于Z投资者而言，这将导致价值函数的动态规划方程（DPE）以部分积分微分方程（PIDE）的形式出现，见Kondakji【17，Ch.7】。这些DPESC的解通常只能通过数值确定。可以根据该值函数和滤波过程mZ，λ和QZ，λ给出最优策略。同时，对于J-investor而言，上述方法会导致DPE的显式求解，从而可以通过一些Riccati方程的解给出值函数。同样，可以通过值函数和过滤过程MJ和QJ来计算最优策略。因此，过滤器和价值函数的差异近似值允许我们找到Z投资者的近似解，该近似解可以以闭合形式给出，且数值影响较小。这对拥有多种资产的金融市场极为有用，因为由此产生的问题的数值解会受到维度诅咒的影响，变得难以处理。对于具有单个资产的amodel，PIDE有两个空间变量，对于两个资产，已经有五个，对于三个资产，有九个变量。有关详细信息，请参阅我们即将发表的有关该主题的论文。6数值示例在本节中，我们通过一个数值示例来说明前面几节的收敛结果。我们考虑投资期限为一年的金融市场。为简单起见，我们假设市场上只有一种风险资产，即d=1。

我们的模型参数如表6.1所示。投资期限T=1利率r=0漂移过程的平均反转速度α=3漂移过程的波动率β=1漂移过程的平均反转水平δ=0.05漂移过程的初始平均值m=0.05漂移过程的初始方差∑=0.2收益的波动率σr=0.25连续专家的波动率σJ=0.2表6.1：数值示例的模型参数First，我们用确定的等距离信息日期tk=k来说明第3节的结果n、 k=1，n、 在哪里n=Tn。回想一下，在这种情况下，离散时间专家的方差为Γ（n）=nσJand，专家意见定义为（3.2）byZ（n）k=utk+nσJZtk+1Tkdwjsf或k=1，n、 在图6.1中，我们绘制了R、J和Z投资者的滤波器与时间的关系图。对于Z投资者，我们考虑n=10、20、100的情况。在上图中，我们可以看到条件变量qr和QJas以及QZ随时间变化。下图显示了相同参数的条件平均值mR、Mj和mZ的实现。回想一下，对于任何n，QRand QJas以及QZ∈ N是确定性的。在图6.1的上图中，可以看到对于任何固定的t∈ [0，T]，qjt的值以及QZ，ntforany n的值小于或等于QRt的值。这是引理2.4的结果。对于Z-investors，可以看到信息日期的更新会导致条件方差的减少。随着n的增加，任何t的条件方差QZ，n接近qjt∈ [0，T]。这是由于定理3.2所示。专家意见的差异近似值注意到，对于t，QR和QJT接近一个确定值。对于d=1股票的市场，Gabih等人[11]的命题4.6中提出了趋同，而对于任意数量股票的市场，Sass等人[23]的定理4.1中对趋同进行了推广。

对于（QZ，nt）t≥我们观察到一个周期性行为，其上限和下限均在渐近范围内。Sass等人【23，第4.2节】对此进行了详细研究。在下面的子图中，我们展示了各种条件平均数的实现。对于mZ，信息日期的n个更新步骤可见。一般来说，我们观察到，当n的值增加时，mj和mZ路径之间的距离变小，如图3.3.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.150.2条件方差rz，n=10Z，n=20Z，n=100J0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4-0.200.20.4条件平均值图6.1：确定性等距信息日期的滤波器模拟。上面的子图显示了R、J和Z-investor对于各种n值的条件方差，下面的子图显示了相应条件均值的实现。黑色虚线是漂移的平均反转水平δ。可以对第4节的设置进行类似模拟，将随机信息datesTkde定义为泊松过程的跳跃时间。我们再次假设模型参数如表6.1所示。回想一下，在假设4.1下，专家方差的形式为Γ（λ）=λσjj，专家意见如（4.2）viaZ（λ）k=uTk+λσJZkλk所示-1λdWJs。图6.2显示了除了R-和J-投资者的过滤器外，Z-投资者针对不同强度λ的过滤器。请注意，Z-InvestorBe情况下过滤器的条件方差在性质上与确定性信息日期的情况类似。然而，专家意见到达的时间现在是随机的。两个信息日期之间的等待时间随参数λ呈指数分布。

因此，Z investor的更新不会像图6.1中那样定期进行。图6.2的上图显示了λ=101001000的实现情况。一般来说，通过增加参数λ的值，可以增加信息日期的频率，从而导致专家意见的分歧近似值QZ，λtto qjt对于任何∈ [0，T]，如定理4.6所示。在下面的子图中，我们看到了mZ，λ的相应实现，以及之前的mra和mJas。同样，Z-investor的条件平均值的更新是可见的。同样引人注目的是，当我们考虑强度λ=10的Z投资者时，有时两个连续信息日期之间的距离相当大。在此期间，Z投资者的条件平均值与不遵守任何专家意见的R投资者的条件平均值更接近。然而，当强度λ增加时，Z投资者的条件平均值接近J投资者的条件平均值。对于λ=1000，条件平均值mZ、λ和mJalreadybehave非常相似。然而，请注意，对于固定信息日期mZ，n=100已经非常接近MJ。定理4.7显示了mZ，λ到mj的收敛性。文中还讨论了将等距离信息日期与随机信息日期进行比较时，收敛速度的差异。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.150.2条件方差SRZ，λ=10Z，λ=100Z，λ=1000J0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4-0.200.20.4条件平均值图6.2：随机信息日期作为泊松过程跳跃时间的滤波器模拟。

上面的子图显示了R投资者和J投资者的条件方差以及QZ，λ在不同强度λ下的实现情况，下面的子图显示了相应条件均值的实现情况。黑色虚线是漂移的平均回复水平δ。在本节的剩余部分中，我们想说明第5节中介绍的portfoliooptimization问题中的收敛结果。回想一下，Hinvestor的值函数的格式为vh（x）=log（x）+ZTtr（σRσ>R）-1.∑t+mtm>t- E【QHt】dt，（6.1），即它是条件协方差矩阵（QHt）t的积分泛函∈[0，T]。当n分别为λ时，这导致VZ、nand VZ、λ与Vjn的收敛，见推论5.2和5.3。在表6.2a中，我们列出了R-investor和J-investor的价值函数以及Z-investor在n个等距信息日期中的价值函数，不同的值为n。我们假设投资者的初始资本x=1，模型参数也是表6.1中的参数。我们看到，价值函数VZ，n（1）在n中增加，并且接近值VJ（1），对于n的大值。专家意见的差异近似计算在信息日期不确定的情况下，Z投资者的价值函数更为复杂。这是因为条件协方差矩阵（QZ，λt）t∈[0，T]也是不确定的。值函数，再次参见（6.1），取决于t的QZ，λt的期望值∈ [0，T]。此值无法轻松计算。为了从数值上确定表6.1中参数的值函数，我们对λ的每个值进行了10000次迭代的蒙特卡罗模拟。

在每次迭代中，我们生成一系列信息数据作为强度为λ的泊松过程的跳跃时间，并计算相应的条件变量（QZ，λt）t∈[0，T]。通过对所有模拟进行平均，可以得到VZλ（1）的良好近似值。微分近似VJ（1）以闭合形式提供，其计算不需要数值方法。表6.2b显示了VZ、λ（1）和内拍的估算结果，以及相应的95%置信区间。值VZ，λ（1）位于VR（1）和VJ（1）之间，它们在强度λ中增加，对于λ的大值，它们接近值VJ（1）。这与推论5.3一致。我们还观察到VZ，λ（1）≤ VZ，n（1），当将强度λ设置为确定性数字n时。回想一下，强度λ=n意味着在时间间隔[0，1]中平均有n个信息日期。然而，与VZ，n（1）相比，泊松过程的随机性导致了较低的值函数。对于大强度，这种差异可以忽略不计。H n VH，n（1）R 0.3410Z 10 0.5245Z 100 0.5511Z 1000 0.5531Z 10 000 0.5533J 0.5533（a）等距离信息数据λVH，λ（1）R 0.3410Z 10 0.5221（0.5211，0.5230）Z 100 0.5499（0.5496，0.5502）Z 1000 0.5530（0.5529，0.5531）Z 10 000 0.5533（0.5533，0.5533）J 0.5533（b）随机信息日期稳定6.2：不同投资者的价值函数，在随机信息日期不稳定的情况下，Z-investorA辅助结果的95%置信区间在本附录中，我们给出命题证明4.5并收集一些辅助结果，用于证明我们的主要结果。命题4.5的证明。从引理2.2直接得到一个SDDTQJT=L（QJt）- QJt（σJσ>J）-1QJt，紧接着就是QJT的表示。

从引理2.3中，回想一下信息日期之间QZ的矩阵微分方程，λreadsddtQZ，λt=L（QZ，λt）。现在，我们可以使用命题4.4包括信息日期和写入日期的QZ，λ的更新，λt=L（QZ，λt）dt+ZRdρ（λ）（QZ，λt-) - 身份证件QZ，λt-N（dt，du）（A.1）表示ρ（λ）（Q）=Γ（λ）（Q+Γ（λ））-请注意，被积函数是矩阵值，而积分是专家意见分量的离散近似值。通过（A.1），我们可以写出QZ，λt=∑+ZtL（QZ，λs）ds+ZtZRdρ（λ）（QZ，λs-) - 身份证件QZ，λs-N（ds，du）=∑+ZtL（QZ，λs）ds+ZtZRdρ（λ）（QZ，λs-) - 身份证件QZ，λs-~N（ds，du）+ZtZRdρ（λ）（QZ，λs-) - 身份证件QZ，λs-ν（ds，du）。（A.2）我们看到ρ（λ）（Q）- 身份证件Q=Γ（λ）（Q+Γ（λ））-1.- 身份证件Q=-Q（Q+Γ（λ））-1Q=-Q（Q+λσJσ>J）-第1季度。因此，（A.2）中的最后一个积分可以写成ZTZRDρ（λ）（QZ，λs-) - 身份证件QZ，λs-ν（ds，du）=-ZtZRdQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-ν（ds，du）=-ZtZRdQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-Д（u）λdu ds=-ZtλQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-ds，其中第二个等式来自命题4.4，最后一个等式是由于ν是概率密度。插回（A.2）yieldsQZ，λt=∑+ZtL（QZ，λs）- λQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-ds公司-ZtZRdQZ，λs-（QZ，λs-+ λσJσ>J）-1QZ，λs-~N（ds，du），并证明了QZ，λ的表示。下面的引理可以解释为Gronwall错误累积引理的离散版本。类似于引理A.1的陈述可以在Demaily【8，第8.2.4节】中找到。引理A.1。设（aj）j=0，。。。，n、 （hj）j=0，。。。，带aj的nbe实值序列≥ 0，hj>0，andL>0，b≥ 0实数，使aj+1≤ （1+hjL）aj+hjb，j=0，1，n-那么对于所有j=0，1，n it holdsaj公司≤eLtj公司- 1Lb+eLtja，其中tj=Pj-1i=0高。证据证明可以通过归纳法完成。对于j=0，这种说法是显而易见的。

对于诱导步骤，我们观察到1+x≤ Ex适用于所有x∈ R和henceaj+1≤ （1+hjL）aj+hjb≤ ehjLaj+hjb。由于归纳假设，因此我们有aj+1≤ ehjL公司eLtj公司- 1Lb+eLtja+ hjb公司=eL（tj+hj）- eLhj+HJLb+eL（tj+hj）a≤eLtj+1- 1Lb+eLtj+1a，完成验证。在定理3.3的证明中使用了下一个引理的专家意见分歧近似。首先，下面的引理是多维积分的Acauch–Schwarz不等式。引理A.2。让（Xs）s∈[0，t]是一个Rd值随机过程。ThenE公司ZtXsds≤ tZtE公司kXsk公司ds。证据首先，将范数拉入积分会增加左侧的表达式soEZtXsds≤ EZtkXskds.现在我们可以将通常的Cauchy–Schwarz不等式应用于一维积分和getEZtkXskds≤ EtZtkXskds= tZtE公司kXsk公司ds。最后一步要归功于富比尼。涉及随机积分估计的一个关键工具是It^oisometry。下面的引理使用等距来获得多元积分的估计。引理A.3。设W=（Ws）s∈[0，t]是m维布朗运动。让（Hs）s∈[0，t]是与W无关的anRd×m值随机过程，τ是以t为界且与W无关的停止时间。ThenE公司ZτHsdWs= EZτkHskFds≤ CnormE公司ZτkHskds,其中k·kf表示Frobenius范数，Cnorm>0仅取决于被积函数H证明的维数d×m。请注意，对于固定的确定性t，积分RSDWS是一个值为Rd的随机变量。

第i个条目ismXj=1ZtHijsdWjs。因此ZtHsdWs公司=dXi=1mXj=1ZtHijsdWjs.当应用期望值时，我们得到应有的独立性ZtHsdWs公司=dXi=1mXj，k=1EZtHijsdWjsZtHiksdWks=dXi=1mXj=1EZtHijsdWjs.（A.3）请注意，我们可以考虑过滤（Gs）∈[0，t]式中，Gs=σ（Wu，u≤ s）∨ σ（Hu，u∈ [0，t]）。由于H和W是独立的，W是关于（Gs）s的布朗运动∈[0，t]。而且，他的明显适应（Gs）s∈[0，t]。因此，我们可以应用通常的It^oisometry，得到（A.3）的右侧等于dxi=1mXj=1EZt（Hijs）ds= EZtkHskFds公司.专家意见的差异近似现在，考虑到停止时间τ，我们可以ZτHsdWs= EZt{s≤τ} HsdWs.由于τ与W无关，我们可以从前面的证明中推断出Zt{s≤τ} HsdWs= EZtk{s≤τ} HskFds= EZτkHskFds.范数的等价性意味着常数Cnorm>0的存在，其性质为ZτkHskFds≤ CnormE公司ZτkHskds,这就是证明。下面的引理给出了在收敛性证明中有用的另一个估计。引理A.4。设κ>0，且Qκ是Rd×dwithkQκk中的对称正定义矩阵≤ CQ表示所有κ。然后存在一个常数\'C>0，这样Qκ- QκQκ+κσJσ>J-1κσJσ>J≤\'\'Cκ。证据对于缩写，让A：=Qκ，B：=σJσ>J。然后我们可以写- A（A+κB）-1κB=A（A+κB）-1（A+κB- κB）=A（A+κB）-1A级=A.-1（A+κB）A-1.-1=A.-1+κA-1BA-1.-1，因此A.- A（A+κB）-1κB=A.-1+κA-1BA-1.-1.=λmin（A-1+κA-1BA-1)-1.≤λmin（A-1） +λmin（κA-1BA-1)-1.≤λmin（κA-1BA-1)-1=κkAB-1Ak。因此，我们获得Qκ- QκQκ+κσJσ>J-1κσJσ>J≤CQk（σJσ>J）-1kκ=\'Cκ，其中\'C=CQk（σJσ>J）-1k。下一个引理以积分形式陈述了Gronwall引理，我们在定理4.6和4.7的证明中使用了该引理。例如，可以在Pachpatte【20，第1.3节】中找到证据。引理A.5（Gronwall）。