金融市场中专家意见的扩散近似

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英文标题：
《Diffusion Approximations for Expert Opinions in a Financial Market with
  Gaussian Drift》
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作者：
J\\\"orn Sass, Dorothee Westphal, Ralf Wunderlich
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper investigates a financial market where returns depend on an unobservable Gaussian drift process. While the observation of returns yields information about the underlying drift, we also incorporate discrete-time expert opinions as an external source of information.   For estimating the hidden drift it is crucial to consider the conditional distribution of the drift given the available observations, the so-called filter. For an investor observing both the return process and the discrete-time expert opinions, we investigate in detail the asymptotic behavior of the filter as the frequency of the arrival of expert opinions tends to infinity. In our setting, a higher frequency of expert opinions comes at the cost of accuracy, meaning that as the frequency of expert opinions increases, the variance of expert opinions becomes larger. We consider a model where information dates are deterministic and equidistant and another model where the information dates arrive randomly as the jump times of a Poisson process. In both cases we derive limit theorems stating that the information obtained from observing the discrete-time expert opinions is asymptotically the same as that from observing a certain diffusion process which can be interpreted as a continuous-time expert.   We use our limit theorems to derive so-called diffusion approximations of the filter for high-frequency discrete-time expert opinions. These diffusion approximations are extremely helpful for deriving simplified approximate solutions of utility maximization problems.
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中文摘要：
本文研究了一个收益率依赖于不可观测高斯漂移过程的金融市场。虽然对收益率的观察产生了关于潜在漂移的信息，但我们也将离散时间专家意见作为外部信息来源。对于估计隐藏漂移，考虑给定可用观测值漂移的条件分布至关重要，即所谓的滤波器。对于同时观察收益过程和离散时间专家意见的投资者，我们详细研究了当专家意见到达频率趋于无穷大时滤波器的渐近行为。在我们的环境中，专家意见的频率越高，其准确性就越低，这意味着随着专家意见频率的增加，专家意见的差异就越大。我们考虑一个模型，其中信息日期是确定的和等距的，另一个模型，其中信息日期随机到达，作为泊松过程的跳跃时间。在这两种情况下，我们都推导出极限定理，说明从观察离散时间专家意见获得的信息与从观察某个可以解释为连续时间专家的扩散过程获得的信息是渐近相同的。我们使用极限定理推导出高频离散时间专家意见滤波器的所谓扩散近似。这些扩散近似对于导出效用最大化问题的简化近似解非常有用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Diffusion_Approximations_for_Expert_Opinions_in_a_Financial_Market_with_Gaussian_Drift.pdf (1.34 MB)

2022-6-10 05:38:43 上传

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关键词：金融市场 专家意见 maximization Optimization Unobservable

基于高斯漂移J"orn-Sass的金融市场专家意见的差分近似*, Dorothee Westphal+和Ralf Wunderlich2020年3月5日摘要本文研究了一个收益率依赖于不可观察的高斯漂移过程的金融市场。虽然对收益率的观察产生了关于潜在漂移的信息，但我们也将离散时间专家意见作为外部信息来源。为了估计隐藏漂移，考虑给定可用观测值的漂移的条件分布至关重要，即所谓的滤波器。对于同时观察回报过程和离散时间专家意见的投资者，我们详细研究了随着专家意见到达频率趋于一致，过滤器的渐近行为。在我们的环境中，专家意见的频率越高，其准确性就越低，这意味着随着专家意见频率的增加，专家意见的差异就越大。我们考虑了一个信息日期具有确定性且等距的模型，以及一个信息日期随机到达的泊松过程跳跃时间模型。在这两种情况下，我们都推导出极限定理，说明从观察离散时间专家意见中获得的信息与从观察某个可以解释为连续时间专家的扩散过程中获得的信息是渐近相同的。我们使用极限定理推导出高频离散时间专家意见滤波器的离散近似值。

这些差异近似非常有助于推导效用最大化问题的简化近似解。关键词：离散近似、卡尔曼滤波、Ornstein–Uhlenbeck过程、专家意见、投资组合优化、部分信息2010数学学科分类：初级91G10；次要93E11、93E20、60F25.1简介动态投资组合优化问题中的最佳交易策略在很大程度上取决于基础资产价格过程的变化。然而，漂移参数很难根据历史资产价格数据进行估计。漂移过程往往随时间随机波动，即使它们是常数，也需要很长的时间序列才能以令人满意的精度估计该参数。通常，漂移效应被波动性所掩盖。出于这些原因，从业者在确定最佳投资组合策略时，也会结合外部信息来源，如新闻、公司报道、评级或他们自己的直觉观点。这些外部信息来源称为专家意见。在经典的单周期马科维茨模型的背景下，这导致了著名的布莱克-利特曼方法，即通过证券分析师制定的观点改进回报预测，参见布莱克和利特曼[3]。在本文中，我们考虑了一个金融市场，其中收益取决于潜在的漂移过程，由于布朗运动产生的额外噪声，漂移过程是不可观察的。Gabih等人[11]已经对只有一项风险资产的市场和Sass中的一般设置进行了研究*德国凯瑟斯劳滕大学数学系，邮政信箱3049，67653 Kaisers劳滕；sass@mathematik.uni-吉隆坡。de+德国凯瑟斯劳滕大学数学系，P.O。

德国凯泽斯劳滕67653号3049信箱；westphal@mathematik.uni-吉隆坡。德国勃兰登堡理工大学数学研究所Cottbus Senftenberg，邮政信箱101344，03013 Cottbus，德国；拉尔夫。wunderlich@b-对于具有任意数量股票的市场，专家意见集【23】的近似值。选择好交易策略的能力取决于对未观察到的漂移的估计程度。为了估计hiddendrift，我们考虑了已知观测值漂移的条件分布，即所谓的滤波器。在均方意义上，隐藏漂移过程的最佳估计是给定可用信息的漂移条件平均值。衡量该估计量优劣的一个指标是其条件协方差矩阵。在我们的设置中，由于我们处理高斯分布，滤波器完全由条件均值和条件协方差矩阵表征。对于只观察回报过程的投资者，滤波器是经典的卡尔曼滤波器，参见Liptser和Shiryaev【19】。expertopinions提供了额外的信息来源，我们将其建模为到达离散时间点的无偏漂移估计。除了观察回报过程外，有权获得这些专家意见的投资者在每次到达时更新其当前漂移估计。这些更新减少了条件协方差，因此可以产生更好的估计。这可以被视为上述静态黑色-同窝人方法的连续时间版本。我们详细调查了一位同时观察回报过程和离散时间专家意见的投资者，并研究了专家意见到达频率趋于一致时过滤器的渐近行为。Sass等人【23】和Gabih等人。

[12] 已经解决的专家观点独立于到达频率，并且具有以有界协方差为特征的最小精度水平。在该设置中，当到达频率变为整数时，漂移估计的条件协方差变为零。这意味着条件均值收敛于真正的漂移过程，即在极限内，投资者拥有关于赎回的全部信息。在这里，我们研究了一种不同的情况，在这种情况下，更高频率的专家意见只能以单个专家意见的准确性为代价。换言之，随着专家意见出现频率的增加，专家意见的方差变得更大。一方面，这种假设确保投资者不可能在固定的时间间隔内获得任意多的信息。另一方面，它使我们能够推导出某种渐近行为，从而为观察到一定数量的离散时间专家意见的投资者提供一个合理的滤波器近似值。我们考虑两种不同的情况，一种是确定的等距信息日期，另一种是随机到达的信息日期，作为泊松过程的跳跃时间。对于与到达频率呈线性增长的专家意见的适当比例方差，我们证明了随着信息日期频率的增加，条件均值和条件协方差矩阵的Lp收敛性。我们的极限定理表明，从观察离散时间专家意见获得的信息与从观察某个与返回过程具有相同漂移的扩散过程获得的信息是渐近相同的。

这一过程可以被理解为一个持续时间的专家，他永久地提供关于漂移的嘈杂信息。我们的极限定理允许我们推导高频离散时间专家意见的滤波器近似值，我们称之为差分近似值。这些都是有用的，因为限制滤波器很容易计算，而离散时间专家意见的更新会导致计算涉及的滤波器。这对于推导效用最大化问题的简化近似解非常有帮助。我们将我们的差分近似应用于具有对数效用的投资组合优化问题。数值模拟表明，即使对于少数专家意见，该近似也是非常精确的。我们的filtershowever的严格Lp收敛结果也允许在更复杂的功率效用问题中推导值函数的收敛性，见备注5.5。连续时间专家的想法与Davis和Lleo[7]的观点一致，他们研究了一种称为“连续时间中的黑人-随地扔垃圾者”（BLCT）的方法。我们的结果显示了如何通过离散时间专家将BLCT模型作为BLCT模型的一个极限来获得BLCT模型。第一篇涉及BLCT的论文是Frey等人[9，10]，他们考虑了在泊松过程的跳跃时间得出漂移和专家意见的HMM。文献中已经阐述了离散时间卡尔曼滤波器与连续时间等效滤波器的收敛性，例如Salgado等人【22】或Aalto【1】针对确定性信息日期的情况。然而，我们在这种情况下的结果并不直接来自这些ConvergencerResults。原因是在我们的案例中，必须首先构建一个合适的连续时间专家。离散时间专家意见不仅仅是连续时间专家的离散化。

我们假设它们是真实漂移过程的噪声观测，其中专家意见噪声项的扩散近似与形成连续时间专家的扩散中的布朗运动相关。与文献[1，22]相反，我们还得到了离散经验点到达随机时间点而非等距时间网格的情况下的收敛结果。Coquet等人[6]考虑到过滤的弱收敛性，这允许在相当普遍的情况下证明条件期望的收敛性。然而，他们的结果并不直接适用于我们的情况，因为我们案例中的近似过滤顺序不包括在有限过滤中。在文献中，差异近似也出现在其他情况下。他们精通运筹学和精算数学。其基本思想是用一个比原始过程更易于分析的适当的差异过程来取代复杂的随机过程。该方法可与中心极限定理对随机变量和的正态近似进行比较。当把这些和看作随机过程或随机行走时，著名的Donsker定理导致了布朗运动的近似。关于基于弱收敛理论的扩散近似及其在重交通排队系统中的应用，请参阅Glynn的调查文章【13】。在风险理论中，计算破产概率的离散近似的应用可追溯到Iglehart【15】。我们还参考了Grandell【14，第1.2节】、Schmidli【24，第5.10和6.5节】、Asmussen和Albrecher【2，第V.5节】以及其中的参考文献。起点是经典的Cramér–Lundberg模型，其中保险公司的累计索赔额和最终盈余由复合泊松过程建模。

对于高强度的索赔额和小索赔额，后者可以近似为带漂移的布朗运动。这是由于当强度趋于一致时，适当比例的复合泊松过程相应地弱收敛到布朗运动。然而，这些复合泊松过程的经典结果不能直接应用于我们的问题。这里，过滤过程的跳跃不像复合泊松情形那样构成i.i.d.随机变量序列。由于在信息日期对过滤器进行贝叶斯更新，跳跃大小分布取决于当时过滤器的值。这需要特殊的技术来证明极限定理，从中可以导出微分近似。据我们所知，这些技术是对文学的新贡献。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了我们的金融市场模型，包括专家意见和针对不同信息来源投资者的不同信息制度。对于每一个信息区域，我们陈述了相应的条件均值和条件协方差矩阵的动态。第3节研究了离散时间专家意见到达确定性等距时间点的情况。对于观察收益和离散时间专家意见的投资者，我们显示了相应的条件均值和条件协方差矩阵与观察收益的投资者和连续时间专家的条件均值和条件协方差矩阵的收敛性。在第4节中，我们证明了类似的结果，即专家意见到达的时间点不是确定性时间点，而是标准泊松过程的跳跃时间，即信息日期之间的等待时间呈指数分布。

对于条件平均值，我们可以使用包含泊松随机测度的表示。当泊松过程的强度趋于一致时，我们证明收敛到与确定性信息日期相同的极限滤波器。第5节将收敛结果应用于效用最大化问题。对于最大化终端财富预期对数效用的投资者，最优交易策略取决于漂移的条件平均值，相应的最优终端财富是条件协方差矩阵的函数。这就是为什么第3节和第4节的收敛结果会延续到相应值函数的收敛。第6节提供了模拟和数值计算来说明我们的理论结果。附录Awe收集了证明我们的主要定理所需的一些辅助结果。附录B给出了定理3.2和3.3的证明，附录C给出了定理4.6和4.7的证明。符号：在本文中，我们使用符号IDF表示Rd×d中的单位矩阵。对于非对称和正半限定矩阵A∈ Rd×dwe称为对称正半无限矩阵B∈ Rd×d如果B=A，则A的平方根。平方根是唯一的，将用A表示。除非另有说明，否则每当A是矩阵时，kAk表示A的谱范数。专家意见的差异近似2市场模型和过滤2.1金融市场模型我们认为金融市场具有一个无风险和多个风险资产。基本模型与Sass等人[23]中的模型相同。在下文中，我们用T>0表示有限投资期限和fix过滤概率空间(Ohm, G、 G，P），其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]满足通常条件。假设所有过程都是G适应的。

市场由一个无风险债券组成，利率为常数确定利率r∈ R、 和d风险资产，使得d维回报过程遵循随机微分方程dRT=utdt+σRdWRt。此处WR=（WRt）t∈[0，T]是m维布朗运动≥ 我们假设σR∈ Rd×mhas满秩。漂移u是一个Ornstein–Uhlenbeck过程，并遵循动力学dut=α（δ- ut）dt+βdBt，其中α和β∈ Rd×d，δ∈ Rd和B=（Bt）t∈[0，T]是一个与WR无关的d维布朗运动。我们假设α是一个对称的正定义矩阵，以确保漂移过程的期望和协方差保持有界，漂移过程变为渐近系统平稳。从经济角度来看，这是合理的。初始漂移u是多变量分布的，u~ N（m，∑），对于某些m∈ Rdand some∑∈ Rd×D是对称的正半定义。我们假设u与B和WR无关。我们表示mt：=E【ut】和∑t：=cov（ut）。这个市场的投资者知道模型参数，能够观察回报过程。他们既没有观察到潜在的漂移过程u，也没有观察到布朗运动WR。然而，有关u的信息可以从观察R中获得。此外，我们在模型中加入了专家意见。这些专家意见到达离散时间点，并给出该时间点漂移状态的无偏估计。Let（Tk）k∈Ibe是一个值为（0，T）的递增序列，其中对于某些N，我们允许索引集I=N或I={1，…，N}∈ N、 Tk，k∈ 一、 专家意见到达的时间点。