对数收益重尾分布的期权定价

重新计算的步骤包括数值确定学生t分布的傅立叶变换与正弦函数的卷积（4.15），然后将其提高到所需的幂次，并计算傅立叶逆变换。为了获得概率密度，由于截断导致的概率损失，最终应进行适当的重新缩放。在另一种近似但更简单的方法中，可以首先获得小学生t分布的必要卷积数，然后进行截断。通过这种方式，我们可以捕获尾部行为，同时在极限处提供类似高斯的分布体。记住，Plerou et al.（1999）和andAmaral et al.（2000）对s股票价格回报的广泛分析表明，幂律尾部适用于较小时期，而与高斯相似的情况适用于较长时期。我们强调，这种方法提供的函数只是截断Student分布卷积的近似值。由于后面将在第4.5节中解释的原因，这里我们选择在相同的时间间隔内截断卷积(-Mγ，Mγ），并相应地仅在该区间内对近似的质量进行分析。为了更好地理解这一点，我们应该首先观察到，与罕见事件相关的总概率，这些事件被截断后重新移动，并且对于大量M的标准偏差，位于学生t分布的中心区域之外，其有界为asPextreme=2Z∞Mγ2γπ[γ+x]dx<4γπZ∞Mγdxx=3πM.（4.16），这意味着学生的t分布在尾干处被截断，接近标准化。类似的结果应该适用于它的卷积。用p（2）s表示两个Student t分布的卷积，并用p（2）s，t表示其截断版本。

同样，设p（2）T是两个截断的学生分布的集合。为了澄清这一推理，图1显示了两个带虚线的移位学生分布及其（非标准化）带全曲线的截断版本。根据定义，每个点的卷积是两个函数乘积的积分。因此，两个截断的Student分布的卷积将错过任何函数为零的积分部分。两个卷积n（y）=p（2）S，T（y）之间的差异- p（2）T S（y）是在14 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarev-5 0 5x0.050.10.150.20.250.30.350.4图中给出的2019年3月19日3:29 WSPC/I指令文件ma。两个学生t分布的草图（虚线）及其截断版本（完整）。请注意，截断函数和非截断函数重合，其中第一个函数为非零。当截断函数未规范化时，会发生这种重合。通过以下形式的两个积分（参见图1）（y）≈ 2Z∞MγpS（x）pS（x- y） dx=2Z∞Mγ2γπ（γ+x）2γπ[γ+（x- y） ]dx，（4.17），其中y是我们观察误差的点，或积分中涉及的两个分布峰值之间的位移。我们提醒大家，误差是近似的，因为截断的分布不应该归一化，我们使用了分布的s对称性。从Hardy et al.（1952）可以看出，通过使用积分的H¨older不等式z | f（x）g（x）| dx，可以很好地估计误差≤Z | f（x）| pdx1/pZ | f（x）| qdx1/q，（4.18），适用于实功率p，q∈ [1, ∞) 满足1/p+1/q=1。

然后，误差估计读数为（y）≤ 2.Z∞Mγ2γπ（γ+x）pdx公司1/pZ∞Mγ2γπ[γ+（x- y） ]qdx1/q=2Z∞Mγ2γπ（γ+x）pdx公司1/pZ∞Mγ-y2γπ（γ+x）qdx1/q.（4.19）从最后一个表达式中的秒积分可以很容易地注意到，误差随着y在y=Mγ时达到最大值而增大。由于积分中的被积函数衰减更快，因此将p取为比q大的r更为方便。通过使用2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件，对对数回报率的重尾分布进行操作定价，15以下不等式（γ+x）<x，（4.20）表示p→ ∞ 可以获得误差估计中第一项的以下界限Z∞Mγ2γπ（γ+x）pdx公司1/p<2γπZ∞Mγdxx4p1/p=2γ（Mγ）1-4ppπ（4p- 1） p≈πγM.（4.21）由于H¨older不等式中参数p和q之间的关系，对于p→ ∞ 应取q=1，或Z∞Mγ-y2γπ（γ+x）qdx1/q=Z∞Mγ-y2γπ（γ+x）dx。（4.22）由于归一化，当y=Mγ时，该积分的最大值为1/2，而对于y的一般值，其较小。在图2中，红色曲线通过使用（4.21）和（4.22）给出误差界的估计值，并除以该点（y）/p（2）S（y）处卷积的概率密度。可以看出，只有当y与截断点Mγ之间的标准差很小时，误差才会变得显著。这意味着在感兴趣的区域内，t代替了两个截断的Student t分布的卷积(-Mγ，Mγ），可以对两个Student t分布的c演化进行截断。通过使用归纳法，可以得出这样的误差估计也可以用于许多学生t分布的卷积。因此，以与n的卷积相同的方式表示-1学生的t分布为p（n-1） S。

现在，假设n的反褶积- 1分布p（n-1） n的卷积n的S，Tisan近似-1截断分布p（n-1） T S.表示byp（n-1） ，1T S该近似值与一个截断Student\'S t-分布pT S的卷积结果。这应该是n个截断Student t-分布p（n）t S的c-卷积的近似值。然后，n个分布p（n）S的截断卷积与n个截断分布p（n）t的卷积之间的误差将为n（y）=p（n）S，t- p（n）T S≈ p（n）S，T- p（n-1） ，1T S=p（n）S，T- p（n-1） S、T* pS，T，（4.23），其中我们提醒，星形表示卷积运算。最后一个近似值将通过类似于（4.17）的积分进行计算，该积分是Student t分布尾部与n卷积的乘积- 1此类功能。因此，该近似值的优度n（y）=由H¨olderinequality得到的优度将有界为n（y）≤ 2.Z∞Mγ2γπ（γ+x）pdx公司1/pZ∞Mγ-yhp（n-1） S（x）iqdx2019年4月19日1/q.（4.24）3:29 WSPC/I施工文件ma IN 16 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和KocarevAgain，用于p→ ∞ 最后一个方程中的第一项有界，如（4.21）所示。第二个可以用n进行数值研究- 1学生st分布的卷积。然而，由于这些的闭合形式未知，我们从它们的四个ier变换中获得了它们。如下文所述，快速傅立叶算法可以方便地对傅立叶变换及其逆进行数值研究，并提供函数的样本。为此，我们仅使用截断区域中的样本(-Mγ，Mγ），因为对于学生t分布的几十个卷积，大部分概率质量都包含在那里，这是通过数值验证的。

这意味着，只有在这个范围内的整合，与真正的整合没有太大区别。图2中给出了截断n个卷积p（n）S和截断Student t-分布的卷积n之间的误差界，以及截断卷积n- 1分布p（n-1） S，T除以每个关注点的n分布的卷积。可以看出，概率密度中的这种相对误差仅在截断点附近不为零。这可能表明，人们在估计外部事件时可能会犯严重错误，这可能是正确的。但是，由于数据不足，我们对该地区的对数收益分布的了解非常粗略，因此我们也不确定该地区的分布是否也有这样的尾部。我们可以总结出，出于实际原因，可以使用学生t分布的卷积，然后进行trunca运算，以获得不同权限的对数分布。4.4. 无套利原则金融中的关键概念之一是没有免费午餐。这是一个简单的表达，它意味着如果市场上有一些定价错误的商品，贸易商会立即注意到它，并根据定价错误的方向立即开始买卖，他们的行为会将价格推向正确的价值。如今，当信息传播速度相当快时，人们预计，除了在很短的时间内，任何套利机会都不存在。财务中最重要的数学结果之一是资产定价的基本定理。参见Harrison&Pliska（1981）、Kre ps（1981）和Delbaen&Schachermayer（1994）对其变量的证明。它指出，市场中没有套利与等价风险中性概率测度的存在是一致的。

这种概率度量与现实世界中观察到的概率度量不同。与使用中性概率时获得的价值相比，资产对实际观测值的未来价值预期通常产生更大的价值。这可以用这样一个事实来解释：投资股票的风险比投资债券的风险更高，而投资前者的投资者必须得到补偿。卡斯·伊迪（Cass idy）（2018）最近的一项研究在这两种可能性不同时提供了一个引人入胜的分析。这种理论方法非常有用，因为它可以确定股票及其衍生品现货价格的公允价值。衍生工具价格Pril 19，2019 3:29 WSPC/I指令文件操作定价，对数回报率的重尾分布1790 92 94 96 98 100对数回报率（伽马单位）-4.-3.-2.-1近似误差范围图。2、Student t分布的反褶积与截断Student t分布的反褶积之差的界。红色圆圈对应2个分布，而绿色圆圈对应50个分布的卷积。在本例中，学生的t分布γ=0.02，截断点位于100个标准偏差处，或Mγ=2。是对其明显随机的未来值的经验，通过对风险中性概率的响应进行计算，然后折现到以前的任何时间，尤其是当前时刻。贴现是用无风险债券利率r进行的。根据套利理论，这表明投资者不能从无到有地获得一定的收益，或者，没有一个投资组合可以比无风险的利率r增长得多。更具体地说，假设一只股票在未来某一时刻的预期价值为E[S（T）]，则与银行利率贴现后，其现值（T）=E[S（T）E-r（T-t） 】。

（4.25）如资产定价的基本定理所述，如果知道股票过去到现在t的价值S（u），并提供其未来发展平均值的以下估计值，则对股票价格进行建模的过程将是合适的-rTS（T）| S（u），0≤ u≤ t] =e-rtS（t），（4.26），其中平均值根据风险中性概率密度ityP=p（x）计算。最后一个表达见于Ros s（2014）。如果股票如2019年3月19日3:29 WSPC/I指令文件ma IN 18 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarevdistribution存在，则根据定理，相同的分布可用于获得该股票或有事项的公允价值。因此，当人们试图使用某种概率分布来达到这种目的时，首先应该验证它是否符合定理。在这项工作中，我们对离散时间内的价格动态进行建模，因此任何未来价格都被给定为asS（t）=S（0）eut+x，（4.27），其中u是股票的单步收益率，而x是r和OM超额收益率，由于股票市场的大量历史观察，我们将方便地用截断的t来描述其概率- 三自由度学生t分布的折叠卷积。关于学生t分布的截断卷积的期望值将发出哔哔声-rTS（T）| S（T）]=e-rTZxmax-xmaxS（t）eu（t-t） +xpT（x）dx。（4.28）在上一个等式中，我们特意将指数T置于风险中性分布P中，以强调不同时刻的指数T是不同的。可以注意到，在最后一个等式中出现了随机对数返回zxmax的矩母函数-xmaxexpT（x）dx=E[eX]=∞Xi=0mii！，（4.29）其中Mi是第i个力矩。对于对称分布，只有偶数阶矩是非零的。

此外，当高阶矩可以忽略时，可以得到更简单的近似。一般来说，要确定不同时期的所有动量并不容易。然而，对于独立且相同分布的变量，二阶矩随时间直线累积，因此在T周期内-音调hasZxmax-xmaxxpT（x）dx=（T-t） γ，（4.30），其中γ是对应于单个步骤的方差。当高阶矩可以忽略时，例如方差为rathersmallγ时<< 1，一个hasZxmax-X轴u（T-t） +xpT（x）dx≈ eu（T-t） [1+（t-t） γ]≈ e（u+γ/2）（T-t） 。（4.31）与布朗运动一样，我们可以要求银行利率、股票增长率和分布方差r=u+γ/2之间存在类似的关系。（4.32）这意味着，在离散时间动态环境下，trunca ted学生分布的卷积近似为风险中性分布-rTS（T）| S（T）]≈ e-rtS（t）。（4.33）2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件使用对数回报的重尾分布进行定价19为了估计最后一个表达式的准确性，我们通过数值计算得出了以下差异zxmax-xmaxexpT（x）dx- eTγ/2，（4.34），对于截断的学生T分布，不同时刻T，每日标准偏差γ=0.02。在差异按预期增长的情况下，在t=64天的时间内，其仅为需求值E的0.5%[eX]。有人认为，如果存在套利，套利规模至少不会太大，也无法提供设计利润。

因此，在这个具体的时间定价框架中，可以认为日志返回可以方便地用学生的TDI分布的卷积来描述。使用方差单独生成的矩母函数的这种良好近似是因为学生t分布的大部分概率在几个标准差（在这种情况下是几个γ）之内，而指数因子用水龙多项式相当好地近似。它的爆炸性影响在整合的极限处变得很重要，这可以通过截断分布来避免。显然，矩母函数和方差之间的精确关系具有更一般的形式zxmax-xmaxexpT（x）dx=eT f（γ，T），（4.35），其中f是通过γ对所有运动的影响进行编码的函数。我们在此强调f是一个时间相关函数，因为分布卷积的高阶动量在时间上通常不会像方差那样线性增长。因此，如果以下关系保持Sr=u+f，我们在此考虑的分布是风险中性的γ/2，T. （4.36）在这种情况下，对于固定利率r，股票增长率与单位周期方差之间的关系将是非线性的。这可能是未来研究的一个引人入胜的话题。4.5. 截断点上的期权价格敏感性正如我们从看涨期权公允价值的定义（2.7）中所看到的，使用对数收益的概率密度函数，根据幂律下降，将导致最终的期权价格。当我们选择使用截断分布作为避免发散的条件时，剩下来确定截断点。

为了更深入地了解这一点，我们分析了期权价格对分配宽度的依赖性，分配宽度是从分配点确定的。我们发现，通过我们的方法获得的值与市场观察到的值最接近到期期权，参数γhas2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma在20 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarevtaken的值范围为0.01和0.03，因此我们选择在t范围γ=0.02的中间进行敏感性分析。例如，图3显示了履约期权价格对对数回报分布宽度的依赖性，履约期权价格比一美元的股票现货价值低10%（左）或高10%（右）。红色、蓝色和黑色的三条曲线对应于到期日前1天、8天和64天的选项，年银行利率为2%，几乎与数据研究期间（2018年2月底和3月初）的值相匹配。为了更好地了解情况，将电流绘制为两个轴的对数比例。正如我们所见，这是一个增长非常缓慢的地区，对于货币以外的选项来说，这是一个更窄的区域。这种更高的敏感性是因为在计算此类期权时，只有分布的尾部才起作用，因为只有当价格上涨超过五个标准差时，这些期权在到期时才具有非零值。这个弱依赖区域完全从xmax开始延伸≈ 0.6至xmax≈ 6，对应于M≈ 30至M≈ 所选分布的300个标准偏差。因此，这种方法的实践者可以在两者之间取一个点，例如xmax=2，它将池塘对应到M=100。