对数收益重尾分布的期权定价

（2.4）在最后一个等式中，p（x）是log returnsp[log ST]分布的移位版本- 记录漂移量u（T- t） 。分布p（x）在期权公允价值的确定中起着重要作用。传统上，对数收益率是用高斯分布很方便地建模的。一方面，当随机过程是许多相互依赖的随机力的结果时，这是合适的，这些随机力将价格运动描述为市场参与者独立决策的结果。另一方面，高斯分布具有许多有利的性质，使得解比任何其他函数都更容易处理。因此，这种分布是著名的布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价框架的核心。此外，高斯分布能够构建与期权价值相同的替代投资组合，并为其他期权属性（希腊）的计算提供便利。有关该主题的更多详细信息，请参阅Hull（2017）。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件操作定价与对数算术回报的重尾分布7为了提供一个具体的例子，我们考虑了瞬时回报率u和无风险利率r的股票上的欧元操作认购期权价格公式，当对数回报过程为高斯（t）=e-r（T-t） Z∞日志K/St-u（T-t） [Steu（t-t） +x个- K]√2πσe-x2σdx。（2.5）当股票到期价格等于删除线u（T-t） +xl=K.（2.6）可以注意到，与经验价格增长相比，高斯-伊恩分布的衰减更快，从而确保了积分（2.5）的收敛性。

我们注意到，当对数收益遵循高斯分布时，如果选择r=u+σ/2，价格分布将保持中性。因此，正如Ross（2014）所示，我们可以得到更简单的公式，并闭合期权价格的表达式。当使用厚尾分布时，期权定价积分（2.2）将发生分歧，因为指数价格项不能用任何幂律衰减进行补偿。Bouchaud&Sornette（1994）、Cassidy et al.（2013）和McCauley et al.（2007）对此类问题进行了解释。在这种情况下，必须找到一些补救措施，例如像Cassidy等人（2010）所建议的那样大幅截断分布，或者使用Moriconi（2007）和Cassidy（2012）提出的尾部远部指数下降的方法。显然，这种重尾分布的建模方法应该得到理论解释或经验证据的支持。然而，当没有足够的数据对极端价格冲击进行精确建模时，对对数收益分布的估计是猜测和方便的混合。我们的选择是基于方便，没有忽视所选概率分布的经验相关性。由于简单，我们选择了第一种方法，这意味着看涨期权价格将根据Ct（t）=e计算-r（T-t） Zxmaxlog K/St-u（T-t） [Steu（t-t） +x个- K] pT（x）dx，（2.7），其中xmaxis分布被截断的点。一旦一个ha完全确定了期权价格公式（2.7），当学生的t分布用于对数回报时，希腊人可以很容易地计算出来，正如Cassidy等人（2013）所示。请注意，看跌期权不会出现相同的收敛问题，当股票价格S低于行使价格K时，看跌期权的特点是在成熟时具有非零值。

因此，通过对标的股票收益分布进行平均，当前看跌期权价格isPT（t）=e-r（T-t） 兹洛格K/St-u（T-t）-∞[K]- Steu（T-t） +x]pT（x）dx。（2.8）2019年4月19日3:29 WSPC/I施工文件ma in8 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarevt由于价格在积分的第一个极限处的指数衰减而收敛，无论分布的衰减类型如何。然而，正如我们稍后将看到的，看跌期权的价格可以通过使用众所周知的看跌期权平价，从看涨期权的价格中计算出来。读者可以在Hull（2017）中找到关于这种关系的更多细节。3、股票价格动态的实证观察在发达市场交易的任何公司的股票价格图表上的观点都不会揭示导致其变化的任何常规机制。即使在最小的时间尺度上，它也具有随机摆动的特点。毫无疑问，此类金融时间序列的任何模型都应包含一定程度的随机性，并包含适当的概率分布。然而，据我们所知，在提供简单的数学可译性的同时，不存在包含所有观测特征的回报概率分布。当被观测变量受到具有相同方差的许多独立随机力的总和的影响时，应预测高斯分布或正态分布。股票价格的变化是市场参与者的需求和作用的结果，市场参与者对股票的价值有不同的需求和观点。

这是一个似是而非的假设，即他们的决策或多或少是独立的，因此他们的行为会以这样一种方式推动价格，即其在任何观察间隔内的变化都将是正态分布的。此外，由于高斯分布的数学工具非常成熟，人们倾向于相信这种分布是最合适的。然而，当考虑极端事件时，对价格对数收益直方图的研究并不符合高斯分布。它们似乎有相当大的尾巴，这实际上意味着，无论是价格升值还是下跌，发生的频率都比高斯分布预测的要高。在大约半个世纪前进行的一项关于棉花价格的特别研究中，Mandelbrot（1963）提出，相应的变化可以更合适地用尾指数α=1.7的L'evy分布建模，这意味着相应的概率密度下降为1/x2.7函数。最近，在一项更广泛的研究中，通过比较不同股票的更多数据，Plerou et al.（1999）和Amaral et al.（20 00）得出，在短期观察中，价格变化分布确实呈幂律下降，但速度更快，其特征是尾部指数约为3（α≈ 3). 这与L'evy区域（0,2）的距离足够大，这意味着这些分布函数具有有限的方差。根据中心极限定理，当变量数量不确定增长时，从具有有限方差的相同分布中提取的独立随机变量之和会向正态分布转化。同样的研究结果表明，在较长的时间内，价格变化似乎缓慢收敛于高斯分布，这一点也不奇怪。

2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件《对数算术回报的重尾分布定价》9 Bouchaud&Potters（2003）很好地解释了高斯收敛率。因此，有人认为，适当的价格波动模型应在较短时间内采用厚尾分布，而在考虑较长时间内的回报时，应使用高斯分布，例如Cassidy（201 1）。我们注意到，有人试图从理论上解释重尾的出现。在具体的例子中，Lux&Marchesi（1999）使用a gents之间的相互作用作为证明伸缩性的理由，而Gabaix等人（2003）将这些现象归因于大型市场参与者的行为。4、期权估价框架4.1。数学背景我们简要概述了理解拟议定价框架的全部潜力所需的基本数学工具。在离散时间系统中，作为各自的时间单位，通常取系统发生变化的最小间隔。在每个间隔i结束时，价格将其当前值Sito Si+1=Xi+1Si，其中Xi+1是一个封装变化的随机乘数。乘数通常被认为是独立的，为简单起见，可以考虑将初始价格标准化为S=1的情况。如果每一个时间间隔，pr ice乘以某个随机数Xi，则其在未来N时刻的随机值为N=SNYi=1Xi=NYi=1Xi。（4.1）由于平均而言，所有价格都在增长，因此提取平均增长系数并将随机乘数表示为Xi=MXi=eu+Xi是很方便的，（4.2）其中u是平均增长率u=log M，Xi=logXi是随机超额增长率。

假设平均增长率为常数，则未来股价可在n=euNNYi=1exi时表示。（4.3）最后一个表达式表明，为了获得最终价格的概率分布，不能找到随机变量乘积的分布。当一个人将随机数相乘而不是相加时，为了应用可用的数学机制，更合适的做法是考虑其对数的分布，这会导致给出的价格的对数为log SN=uN+NXi=1xi。（4.4）2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma in 10 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和KocarevThen，根据概率论中的已知结果，我们搜索的概率密度函数是从单个随机乘法器对数的概率密度卷积中获得的。更准确地说，当每个乘法器具有各自的密度pi（x）=Prob（logXi=x）时，最终价格的对数分布由卷积Prob（log SN）给出- uN=x）=（p* p* ··· * pN）（x），（4.5），其中两个函数的卷积是积分（f* g） （x）=Z∞-∞f（y）g（x- y） dy.（4.6）卷积运算有一个非常有用的性质，即两个函数卷积的Fourier变换是这些函数的Fourier变换的乘积。在金融文献中，人们可以在Bouchaud&Potters（2003）中找到卷积运算。然后，最终价格的对数概率的傅立叶变换ispN=F[Prob（log SN- uN=x）]=NYi=1pi，（4.7），其中pi=F[pi（x）]（4.8）是迭代i处单个价格增量的对数分布的傅立叶变换。回到原始问题，通过逆傅立叶变换pn（x）=Prob（log SN）得到对数价格的概率分布- uN=x）=F-1“NYi=1F[π（x）]#。

（4.9）最后一个公式可用于存在傅立叶变换的价格变化对数（对数收益）的任何分布。例如，高斯分布对于此类应用非常有吸引力，因为其傅里叶变换也具有指数形式，因此，任意数量的高斯分布数之和具有相同的分布。4.2. 回归概率分布建模选择适当的价格回报概率分布的直接方法是使用通过拟合股票价格历史数据获得的经验分布。然而，由于缺乏良好拟合所需的有效数据，尤其是在尾端，因此应谨慎对待这些分布的可靠性。可以遵循的另一条途径是使用分布函数，这些分布函数具有从股票市场观察到的幂律尾部等理想的函数，或者具有可能简单的傅立叶变换，2019年3月29日WSPC/I指令文件使用对数回报率的重尾分布进行操作定价11足够形成一个易于处理的数学分析，或类似的结果，在分析处理方面更方便。在这方面，Fama（1965）a和Blattberg&Gone de s（1974）的早期研究经验表明，如果将观测到的股票收益率分布的尾部视为幂律，而不是高斯分布的指数，则可以更好地对其进行建模。此外，正如Plerou et al.（1999）和Amaral et al.（2000）所示，累积分布的尾部指数为3，这意味着相应的概率密度下降为1/x。具有此类尾部指数的概率密度函数是学生的三自由度分布。

因此，许多提出基于学生和相关分布的期权估值公式的著作，如thoseby Borland（200 2b）、Borland&Bouchaud（2004）和Cassidy et al.（2010），已经开始出现。学生的t分布由自由度数和宽度参数γ确定。此分布的密度，自由度ispS（x）=2γπ（γ+x）。（4.10）它也非常方便，因为它有非常简单的傅里叶变换（ω）=√2π（1+γ|ω|）e-γ| ω|. （4.11）值得注意的是，这种情况下的标准偏差σ=pE[xpS（x）]等于其参数γ=σ。根据卷积性质（4.7），从该分布中提取的N个随机变量之和有一个四r变换器m，它是最后一个函数的幂，即FG，N（ω）=√2π（1+γ|ω|）Ne-Nγ|ω|。（4.12）使用逆傅立叶变换获得多个单步对数返回之和的分布。如Bouchaud&Potters（2003）所示，通过扩展原点周围小参数的傅立叶变换，任何阶的卷积都具有相同的尾部索引。由于它具有有限的方差，因此根据中心极限定理，从该分布中提取的许多随机变量的总和遵循高斯分布。然而，向高斯方向的收敛使得大量基本分布的卷积仅在平均值附近的中心区域是高斯型的，而不是尾部。从另一个角度来看，一个人拥有的总和越多（N越大），尾优势区域被进一步推向一体，因此总和变得更像身体和尾巴上部的正常分布。B注意，Tsallis分布构成了一个更广泛的类，其实数尾部指数类似于学生的t分布，这是一个特例。见Queiros等人。

（2005）了解更多有关Tsallis分布的信息。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma in12 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和KocarevAn对学生t分布的这些特征在期权估价中的潜力的分析已在Cassidy（201 1）中讨论。4.3. 重尾回报分布的截断在开发理论估值框架时，需要不同观察期的对数股票回报分布，以便能够为不同到期日的期权定价。对于稳定分布，如高斯分布和L'evy分布，任何数量的变量的卷积都像一个变量一样分布到一个尺度因子。因此，只需估计特定时期的分布的适当参数，然后自动确定任何时期的分布。对于其他分布类型s，卷积运算不会保留函数形式。因此，如果一组学生的t分布代表独立和相同分布的随机变量之和，则不能使用具有不同方差的学生t分布族来建模每个IOD不同的对数回报。虽然尾部的fall-o fff参数在内卷下保持不变，但分布体开始类似于高斯分布，并添加了其他变量。这种推理导致了这样一种想法，即人们应该尝试在单位周期内用适当的fit方差计算学生的t分布，然后将其卷积用于多个周期。不幸的是，正如已经看到的那样，幂律衰减无法补偿在计算看涨期权价值时价格的指数增长，必须将分布尾部的尖端更改为指数或截断，如方程（2.7）所示。

具有内部支持功能的trunca版本ftrunc（x）是指在某些区域内（xmin，xmax）与原始版本相同，而在ftrunc（x）外为零的版本=f（x）xmin≥ x个≥ xmax；0其他位置。（4.13）任何trunca ted函数都可以表示为非截断版本和矩形函数rect（x）的乘积=1 x分钟≥ x个≥ xmax；其他地方为0，（4.14），其值仅在截断后剩余的部分为1，而在外部为0。然后，由于傅里叶变换的卷积特性，截断函数的特征函数是两个函数的乘积，即原始函数和矩形函数的卷积。矩形的傅里叶变换是Sinc函数Sinc（x）=sin（x）/x，它也是一个零阶球形贝塞尔函数。在这种情况下，截断分布的傅里叶变换计算为形式的积分（见等式（4.6））Ftrunc（ω）=Z∞-∞F（η）sin（ω- η)ω - ηdη。（4.15）2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件：对数收益率重尾分布定价13对于Student t分布的情况，我们需要的傅立叶变换是经验函数与实数变元和移动球形贝塞尔函数乘积的积分。在文献中，据我们所知，这种集成没有封闭形式的解决方案。这意味着未命名学生t分布的傅立叶变换不能通过已知的初等函数或特殊函数来表示。提醒一下，这是我们分布族的组成部分，因为不同区间的价格变化分布是函数幂的傅立叶逆变换，如（4.15）。因此，如果有人愿意沿着这条路走下去，就只能依靠数值方法。