对数收益重尾分布的期权定价

为了获得“平台”边界与日志返回统计数据之间的有意义关系，可以找到对应于学生t分布截断部分的总概率。学生分布中出现eve nts的总概率与平均值之间存在许多标准偏差，如等式（4.16）所示。因此，对于高原的下限，M≈ 30，这种极端情况的总概率约为64000分之一。由于γ=0.02几乎相当于一天的价格变动，一年中大约有250个交易日，这意味着与尾端相对应的事件发生频率将低于两个半世纪一次。与M相对应的另一个价格高原边界≈ 根据与上述相同的推理，在尾巴末端的事件中，屈服概率为6000万分之一。这种情况120万年才发生一次！这一分析表明，如果幂律尾部延伸足够长，这意味着它适用于极为罕见的事件（多达数百年一次），那么获得的看涨期权价格将（真正）公平。否则，如果幂律更接近分布体，这可能意味着价格不可能发生大的变化，那么使用这种方法获得的期权价格在分布被截断的点上会非常敏感（参见图3中曲线的右侧部分）。为了更好地了解这一平台，表1中提供了现货价格为1美元且价格上涨10%的股票的看涨期权价格。对数收益分布的参数再次为γ=0.02，对于M=100标准偏差，截断点为xmax=2。

高原的左边界和右边界分别被任意选择为xmax，l=1和xmax，r=5。左、中、右边界点对应的价格分别用Cleft、Cmiddle和crights表示。为了估计平台的倾斜度，我们计算了pricesApril 19，2019 3:29 WSPC/I指令文件操作定价与对数回报重尾分布之间的不匹配21- 1切割点- 4.- 2货币中的买入期权价格- 1切入点0.10.110.120.130.14货币认购期权价格T=1 T=8 T=64图。3、期权价格对价格回报分布的依赖性支持宽度xmaxforthe the presented method for call option is 1（红色）、8（蓝色）和64（黑色）days from maturity（到期日）。左侧面板显示了in The money的示例，而右侧显示了out of The money选项。对于边界和中间的截断点裂缝=裂缝-Cmiddleand公司Cright=Cright-CMIDLE。从货币期权中可以看出，在考虑的三个期限（1天、8天和64天）内，期权价格在平稳期内相当稳定。对于现款期权，其价值更为敏感，高达10%，这是因为在计算其价值时仅使用分布的尾部，因此截断点非常重要。通过观察截断点对应的价格增长，可以获得截断点的另一个含义。如果选择使用100个标准偏差，或xmax=2，则增长因子为e≈ 7.4. 对于某些股票而言，这似乎可以在几个月内实现，但对于此类股票，可以采用更高的截断点，这一点稍微接近平台的右侧边界。例如，取xmax=3，增长因子为e≈ 20

虽然在这种情况下，c all optionprice对截断点的位置更为敏感，但对于任何资产来说，在一两年的时间内，这种规模的增长似乎都是不可能的。我们可以总结一下，至少对于我们这个时代的典型经济增长来说，使用这种幂律尾分布计算的期权的公平价格可能是“公平的”。在基于截断分布的期权估值模型中，看涨期权价格弱敏感的截断点位置存在一个很宽的enoug h区域是受欢迎的。此外，平台的位置表明，在估计期权价值时排除在考虑范围之外的事件的概率非常小。不幸的是，这也有缺点。特别是，不能在某个单位时间间隔内使用截断的Student分布作为日志返回值，而在另一个较长时间段内则严格应用连续返回值的独立性。卷积具有addingApril 19，2019 3:29 WSPC/I指令文件ma in22 Basnarkov，Stojkoski，Utkovski和KocarevTable 1的属性。期权价格平台倾向到期日（ITM）CLEFTCMIDLCRIGHT裂口CRIGHT一天0.100 0.100 0.100-0.000 0.0008天0.101 0.102 0.102-0.001 0.00064天0.124 0.125 0.125-0.008 0.002Days to Expiration（OTM）CLEFTCMIDLECRIGHT裂口CrightOne day 0.000 0.000 0.000-0.087 0.0388 days0.002 0.002-0.048 0.02064 days0.028 0.029 0.029-0.036 0.009有限支持概率分布的宽度。在重复卷积中，这导致分布宽度与单位周期数呈线性关系。然后，从1到s个周期的分布宽度不能适应高原。

因此，要么单位周期分布太窄，从而从左侧离开高原，要么更长时间的单位周期分布在右侧边界也会这样做。为此，我们选择在同一点截断所有分布。显然，这与消费回报的政治独立性相冲突。截断两个分布的卷积意味着，粗略地说，小回程和中等回程是独立的，而不是大回程。在极端大的收益率之前或之后出现中等或大型收益率的情况被认为是不可能的。我们认为，放弃所有尺度的对数收益的统计独立性是可以接受的，因为极大的收益或下跌是罕见的。从另一个角度看，在同一点截短不同时期的分布实际上是对数回归的上限。事实上，有人可能会认为，在一到两年内，超过eγ的ga-In极不可能发生，甚至在更短的时间内几乎不可能发生。我们总结说，这是获得对数收益分布族的有利交易，它与尾部观察到的分布非常相似，并提供对交易点弱敏感的期权价格。4.6. 股票收益分布的实际确定如上所述，我们选择使用学生的t分布作为优先选项，因为它允许在一定程度上进行分析处理。它具有分布的傅立叶变换的clos-e-d形式表达式，即它的卷积（4.12）。然而，逆傅里叶变换并不容易实现。因此，我们对这些逆傅里叶变换进行了数值计算。

除了在定义傅里叶逆变换时进行数值积分外，还可以使用一些算法进行实际计算，例如Cooley&Tuckey（1965）的算法。这种所谓的快速傅立叶变换（FFT）是计算序列Pn的（离散）傅立叶变换的一种有效方法，并导致aApril 19，2019 3:29 WSPC/I指令文件使用对数回报23序列Fourier系数Pn的重尾分布进行操作定价。当通过对某个函数p（x）进行采样获得原始序列时，如果采样间隔足够小，则离散傅立叶变换可以很好地表示函数p=F（p（x））的（连续）傅立叶变换的样本。因此，通过应用FFT及其逆函数，可以从概率密度函数或其特征函数中获得样本。接下来，应对这些样本进行插值，以达到所需的函数，或直接在数值例程中使用它们进行各自的计算，如确定与期权价格相对应的积分值。FFT的有用性在确定不规则序列（或函数）的傅立叶变换或那些分析结果不存在或尚未建立的傅立叶变换时尤其有效。就期权定价而言，这意味着可以使用对数收益的一些经验概率密度，然后通过应用FFT及其逆运算，可以确定累积对数收益的概率密度。我们要提醒的是，由于当分布的支持位于某个区域之外时，期权价格的敏感性很高，因此应该考虑截断点的位置。由于FFT算法在不同学科中得到了广泛的应用，因此可以在许多编程包中轻松找到用于计算FFT的函数。

那么，愿意应用我们的期权定价程序的人只需要实现计算积分的数值路线，积分可以方便地用sums表示。4.7. 关于看跌期权平价的说明在计算看跌期权价值时，可以应用相同执行价格和到期日的特定股票的看跌期权价格和看跌期权价格之间的众所周知的关系，例如可以在Hull（2017）中找到。它是它的一种形式It readsCT（t）- PT（t）=S（t）- DK=S（t）- e-r（T-t） K，（4.37），其中D=e-r（T-t） 用作折扣系数。如果使用看涨期权（2.7）和看跌期权（2.8）的关系，并将积分相加，则会得到Ct（t）- PT（t）=e-r（T-t） Z∞-∞[Steu（T-t） +x个- K] pT（x）dx=Ste（u-r）（T-t） Z∞-∞expT（x）dx- e-r（T-t） K.（4.38），通过应用近似无套利论证（4.31），该论证适用于具有小方差γ的分布<< 1，从上一个等式可以很容易地恢复Put调用奇偶校验（4.37）。数据一般来说，理论估值集中在欧式期权上，因为欧式期权的形式最简单。然而，当欧洲期权的数据稀缺时，对于empiricalApril 19，2019 3:29 WSPC/I指令文件ma in24 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarevanalysis，应寻求替代方案来测试其方案。在这方面，正如赫尔（2017）所述，我们可以依赖这样一个事实，即非股息支付股票的美式期权与其欧洲品种具有相同的价值。因此，欧式期权定价方案的实证测试可以通过利用数据和美式期权来完成。出于这个原因，我们在这里选择了从纳斯达克期权交易中心免费获得的美国期权数据。纳斯达克股票市场免费提供所有上市公司期权的每日数据。

然而，大多数公司的选项样本量都很小，无法得出可信的结论。因此，我们将实证分析局限于选定的一组市值较大且期权交易更频繁的公司。此外，我们牢记，所选集团在所代表的工业部门方面要足够多样化。表2给出了使用过的公司及其所属工业企业的完整列表。表2：。研究公司名单SYMBOLNAME SectorAAPL Apple Inc.TECHNOLOGY GOOGLALPHABE t Inc.TECHNOLOGY亚马逊。com公司。消费者服务设施Microsoft Corporation Technologyppepsico，股份有限公司消费者非耐用Samgnamgen I nc。Health Car eVODVodafone Group Plc Public Utilities Statesla，股份有限公司Capital Goods针对所有选定公司，我们收集了2019年1月到期的期权从2月28日至3月2日的交割信息。特别是，我们收集了期权的到期日、履约价值、给定日期的收盘买入价和卖出价、每日价格变化、成交量和未平仓利率。由于在不同的股票市场上，所有的行权价值都不存在，因此我们选择使用综合价值。此外，由于某次罢工的最后一笔交易价格的波动性，我们选择将出价和要价的平均值作为公平的市场价值。这样一来，期权价格应该随着罢工而单调变化，尽管我们观察到了一些例外情况。最后，对于一些资金严重不足的股票，即看涨期权，没有买入价，而卖价很小。我们不考虑此类情况。纳斯达克网站上给出的期权数据与当前值相对应，但与历史值相对应。

这意味着为了获得不同日期的数据，必须在每一天访问该网站。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件操作定价，带有对数回报的重尾分布25，其中投标值为零。在计算中，作为时间单位，我们考虑一年由252个工作日组成。这将生成一个数据集，该数据集涵盖了从一天到2天24天的选项。数字结果任何期权估值框架的基石都是基础金融资产价格动态的适当模型。当一位女士为分配原木返回量而做出选择时，她关心的是两个略微对立的要求。首先，所选择的概率函数需要与观察到的股价波动特征相匹配。其次，它应该足够简单，并允许对不同的时间尺度进行分析处理。我们决定使用的基本分布已被证明与历史收益相当吻合。然而，为了获得不同层位的分布，我们必须依赖涉及（逆）傅立叶变换的数值计算，它提供分布的样本，而不是封闭式公式。为了获得尽可能好的抽样，我们采用了我们能够获得的最密集的抽样。具体地说，数值计算是在个人计算机上进行的，当Ns=2时，分布中的最大样本数可以为。此外，当使用具有有限支持的傅里叶变换的函数时，会出现锯齿失真现象。当这种现象不明显时，分布的样本仅受到少量扰动，即通过这种方法获得的样本与实际分布的样本仅略有不同。

因为我们的重点只放在(-Mγ，Mγ）我们需要在该区域等间距分布的样本。在确定样本距离asd=2Mγ/Ns后，可以获得所需分布的傅里叶变换中的最高频率fmax=1/2d=Ns/4Mγ。我们注意到，所考虑的任何水平分布的傅里叶谱都是以闭合形式已知的，因为它只是Student t分布的傅里叶变换的幂，因此很容易获得样本。一旦有了概率分布的样本，期权价格就会通过积分（2.7）的数值估计来计算，我们已经应用了tra-pezoid规则。我们的模型仅通过对数收益率概率分布的标准差γ的近似值进行参数化。在一种方法中，该参数可以根据过去的观测结果进行估计，从而获得众所周知的历史波动率。另一方面，可以从市场上的期权中推断出最能再现市场价格的价值。这里，我们选择了第二种情况，因此将“隐含波动率”a作为标准偏差的度量。更准确地说，我们不会像通常那样采用与货币期权的确切价值相匹配的参数。相反，我们选择了最佳参数。对于幂长为2的序列，快速傅立叶变换最有效。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma in26 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarevt是一个对所有具有特定到期日的单一期权的理论和市场期权价格的差异产生最小均方误差的指令文件。

形式上，作为γ函数的均方误差为ε（γ）=NKXK[对数（CT（K，γ））- log（Cmarket（K））]，（6.1），其中Cmarket（K）是具有相同罢工和到期日的股票看涨期权的市场价格，NK是该股票和到期日的不同罢工次数。该对数误差与理论价格和市场价格之间的平均相对误差近似相关。价格的平均绝对误差在这里并不合适，因为货币外期权比货币内期权便宜得多，因此差异的加权不均。我们还确定了其他两个公式的最佳参数。这些隐含参数是通过拟合最接近到期日的期权的市场价值生成的。表3提供了我们所研究的所有公司的最佳值。如前所述，Student t分布的γ值与Black-Scholes-Merton模型的波动率值相似，因为两者都代表标准差。然而，它们略有不同，因为它们适用于整个罢工范围。请注意，Borland模型的参数明显更大，因为它对应的是年标准差，而不是日标准差，日标准差是其他两个公式的单位。在估计了最优参数后，计算了期限较长的期权的价格。同样，为了估计定价算法的准确性，我们使用了理论和市场期权价格对数的平均差异。表4、表5、表a和表6总结了模型与市场价值之间的平均误差。每个表对应于不同交易日的观察结果以及在不同日期到期的期权。