对数收益重尾分布的期权定价

可以注意到，我们的模型无法为最长期限的期权创造价值。我们认为，这是由于傅里叶变换的数值计算，其分辨率是一项正在进行的研究，正如Bouchaud&Potters（2003）中所示，学生的t分布与三个自由度的卷积随速率向高斯变换√也就是说，高斯尾和重尾的有效区域大致满足√N log Nγ，其中γ是学生t分布的参数。对于此处考虑的最长时间，N=224，这意味着该交点位于距离原点约35个标准偏差γ处。因此，我们可以使用高斯分布来为如此长的周期的期权定价。然而，在哪个周期n可以从Student\'s T分布的卷积转换为高斯分布的决定，应该用更详细的理论分析来检验。此外，还需要将这种方法的预测能力与该区域内的市场期权价格进行比较。最后，我们可以注意到，对于其他时期，很明显，对于几乎所有的2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件操作定价，对数收益的重尾分布27表3。

通过将理论期权价值的对数价格与市场价值的均方误差最小化，得出隐含分布参数。公司γσBorσBSM28 2月AAPL 0.012 0.279 0.017AMGN 0.016 0.374 0.020AMZN 0.012 0.290 0.016GOOGL 0.014 0.338 0.016MSFT 0.013 0.305 0.013PEP 0.010 0.223 0.011TSLA 0.020 0.475 0.040VOD 0.014 0.337 0.0121 MarchAAPL 0.015 0.405 0.025AMGN 0.019 0.502 0.027AMZN 0.014 0.373 0.022GOOGL 0.017 0.463 0.021MSFT 0.016 0.418 0.018PEP 0.014 0.358 0.013TSLA 0.021 0.592 0.051VOD 0.018 0.471 0.0142第二MarchAAPL 0.011 0.214 0.027AMGN 0.028 0.628 0.028AMZN 0.013 0.260 0.015GOOGL 0.013 0.271 0.015MSFT 0.012 0.249 0.012PEP 0.012 0.243 0.012TSLA 0.019 0.382 0.024VOD 0.012 0.279 0.011认为我们的模型比BSM和Borland模型性能更好，有时会导致一个数量级的误差。为了描述这些结果背后的直觉，在图e 4中，我们展示了通过我们的方法获得的两家公司的看涨期权价格的对数，以及Borland和Black-Scholes-Merton模型，作为从纳斯达克网页收集的市场价值的函数。左面板显示了一个典型案例，该方法在确定市场价值方面优于其他基准模型。它的预测能力主要是因为它甚至在打击谱的货币外部分也会出现曲线。当这部分相当宽时，这意味着有比2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma更高的罢工，28 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和KocarevTable 4。

2月28日至matur ityCompanyModel 2 7 12 17 21 26 36 224A的对数期权价格均方误差0.022 0.044 0.031 0.048 0.034 0.043 0.080–Borland 0.033 0.092 0.085 0.164 0.108 0.135 0.287 0.20 9BSM 0.071 0.047 0.052 0.102 0.121 0.160 0.091 0.086AMZNOur 0.065 0.104 0.074 0.132 0.172 0.265 0.261–Borland 0.082 0.108 0.263 0.065 0.132 0.063 0.155 0.003BSM0.026 0.013 2.709 0.019 0.269 0.036 0.118 0.046AMGNOur 0.005 0.430 0.012 0.017 0.006 0.040 0 0.020–Borland 0.003 0.122 0.2 14 0.415 0.313 0.682 0.584 0.607BSM 0.072 0.179 0.062 0.224 0.204 0。354 0.114 0.374GOOGLOur 0.022 0.021 0.009 0.013 0.007 0.012 0.003–Borland 0.030 0.210 0.153 0.187 0.267 0.335 0.119 0.460BSM 0.026 0.025 0.021 0.065 0.037 0。052 0.019 0.022MSFTOur 0.020 0.021 0.026 0.007 0.010 0.005 0.035–博尔兰0.021 0.060 0.349 0.187 0.219 0.148 0.443 0.330BSM 0.020 0.020 0.066 0.009 0.007 0.002 0.011 0.010PEPOur 0.025 0.010 0.065 0.233 0.017 0.029 0.151–博尔兰0.017 0.051 0.200 0.256 0.251 0.322 0.361 0.9 30BSM 0.105 0.059 0.383 8.151 0.055 0。057 0.269 0.041TSLAOur 0.035 0.034 0.016 0.025 0.021 0.047 0.025–Borland 0.039 0.264 0.274 0.276 0.317 0.213 0.729 0.033BSM 0.349 1.370 0.916 1.095 1.183 0。960 1.656 0.776VODOur 0.061 0.044 0.050 0.038 0。021 0.044 0.038–Borland 0.060 0.063 0.199 0.199 0.139 0.268 0.341 1.0 21BSM 0.063 0.043 0.011 0.012 0.006 0.013 0.003 0.121注：粗体表示三个考虑的公式中的最小误差。该股票的现货价格——其他模式ls——通常表现出较弱的表现。当市场参与者对无价期权不感兴趣时，一些接近于货币的期权被交易，其他模型有时可以更好地预测市场期权价格。您可以在图4的右面板中看到这样一种情况。

从数值计算中可以观察到的另一个特征是，Borland模型通常会对s定价过高，而Black-Scholes-Merton公式会对无价期权定价过低。我们的方法最薄弱的一面是偏离了期权的市场价值，而这些期权几乎是合算的。从图4可以明显看出，thr eemodels对深度套现期权的价格产生了相当好的预测，而偏差主要在罢工谱的其他部分。这种相似性是因为大部分价格来自2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件中的部分操作定价，带有对数回报的重尾分布29表5。

3月1日至matur ityCompanyModel 1 6 11 16 20 25 35 223a数据的对数期权价格均方误差0.019 0.063 0.059 0.013 0.006 0.014 0.013–Borland 0.016 0.605 0.505 0.666 0.521 1.119 0.8 74 0.534BSM 0.194 0.737 0.653 0.822 0.698 1.2 56 0.722 0.605AMZNOur 0.059 0.098 0.060 0 0.120 0.121 0.1 78 0.183–Borland 0.056 0.268 0.397 0.165 0.353 0.275 0.4 61 0.015BSM0.189 0.264 0.568 0.126 0.186 0.167 0.135 0.006AMGNOur 0.021 0.451 0.014 0.027 0.059 0.068 0.085–Borland 0.022 0.080 0 0.416 0.495 0.658 0.797 0.932 0.598BSM 0.174 0.068 0.419 0.528 0。672 0.800 0.621 0.704GOOGLOur 0.038 0.087 0.042 0.030 0.022 0.039 0.020–Borland 0.035 0.453 0.519 0.604 0.506 0.815 0.5 63 0.750BSM 0.056 0.239 0.392 0.269 0.214 0.3 69 0.164 0.352MSFTOur 0.025 0.036 0.096 0.052 0.036 0.037 0.117–Borland 0.024 0.248 0.767 0.517 0.536 0.559 0.932 0.576BSM 0.021 0.106 0.206 0.203 0.182 0.187 0.214 0.137PEPOur 0.001 0.021 0.041 0.111 0.091 0.129 0.054–Borland 0.001 0.205 0.549 0.874 1.083 0.980 1.4 07 1.824BSM 0.004 0.019 0.075 6.259 0.082 0.089 1.259 0.172TSLAOur 0.111 0.054 0.038 0.025 0.027 0.043 0.022–Borland 0.125 0.529 0.730 0.645 0.709 0.681 1 1.279 0.035BSM 1.709 2.436 2.255 2.160 2.282.2 45 3.072 1.607VODOur 0.021 0.043 0.098 0.133 0。146 0.242 0.240–Borland 0.021 0.102 0.301 0.392 0.455 0.741 0.8 20 0.640BSM 0.021 0.016 0.019 0.039 0.038 0.067 0.063 0.134注：粗体表示三个考虑的公式中的最小误差。积分分布主体所在的位置，这意味着尾部的贡献不显著。为了便于理解，我们在图6中提供了下限对数K/S的积分-u（T-t） 直到变量上限x，作为上限x的函数。

很明显，只需要远离概率分布峰值的几个标准差γ，就可以获得货币看涨期权中任何dee-ply价格的良好近似值。在考虑放弃货币期权时，人们应该注意到，除非标的资产出现大幅增长，否则这些期权在到期时将一文不值。这意味着它们的值是由积分（2.7）确定的，其中只有一个分布有贡献。由于指数尾的衰减速度比幂律尾快得多，因此B-lack-Scholemerton公式和其他两个c之间的差异很容易理解。2019年4月19日3:29 WSPC/I施工文件ma IN 30 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和KocarevTable 6。

3月2日至matur ityCompanyModel 5 10 15 19 24 35 22日数据的对数期权价格均方误差0.018 0.006 0.015 0.021 0.061 0.033–Borland 0.056 0.037 0.066 0.074 0.133 0.128 0.051BSM 1.587 0.782 1.456 1.560 2.457 1.2 93 1.090AMZNOur 0.048 0.073 0.100 0.108–Borland 0.114 0.116 0.105 0.158 0.115 0.128 0.012BSM 0.041 0.107 0.546 0.301 0.920 0 0.7140.904AMGNOur 0.038 0.095 0.500 0.267 0.865 0.738–Borland 0.038 0.160 0.679 0.412 1.225 1.208 0.567BSM 0.022 2.577 0.021 1.490 0.027 0.172 0.005GOOGLOur 0.028 0.019 0.007 0.005 0.004 0.004–Borland 0.080 0 0.094 0.048 0.124 0.123 0.054 0.242BSM 0.043 1.049 0.042 0.034 0.074 0.0 30 0.103MSFTOur 0.046 0.011 0.017 0.009 0.006 0.003–Borland 0.064 0.079 0.037 0.160 0.109 0.301 0.143BSM 0.0340.142 0.042 0.033 0.010 0.0 79 0.034pour 0.010 0.029 0.144 0.073 0.056 0.029–Borland 0.003 0.072 0.169 0。271 0.239 0.623 1.013BSM 0.055 0.138 6.029 0.232 0.143 0.2 30 0.684TSLAOur 0.040 0 0.020 0.026 0.025 0.049 0.019–Borland 0.098 0.123 0.15 0.194 0.126 0.471 0.006BSM 0.057 0.406 0.055 0.069 0.042 0.89 0.074VODOur 0.014 0.012 0.009 0.17 0.013 0.022–Borland Land 0.016 0.021 0.026 0.044 0.132 0.190 0.622BSM 0.014 0.012 0.015 0.014 0.005 0.11 0.304注：粗体表示三者中误差最小考虑过的公式。期权定价模型的相关性通常通过验证其预测不同罢工隐含波动率的潜力来确定。如果它能够生成通过确定Black-Scholes-Merton模型中的波动率而获得的波动率曲线，从而产生观察到的市场价格，则假设它是可以接受的。我们在这项工作中没有使用隐含波动率测试，因为在我们所研究的数据中，对于所有股票和几乎所有到期日，一些罢工的买入和卖出市场价值的平均值都低于可能的最低期权价格。

这意味着不存在可能导致此类公平期权价格的波动性。事实上，此类市场期权价格低于零波动率下可能获得的最小理论值。这是由于实际代表套利的投标价值非常小——人们可以立即执行期权并获得利润。除此之外，我们在图6中显示了2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件中的隐含波动率，即对数回报率为31200 300 400 500执行价格的重尾分布的操作定价- 2.- 1TSLA 16.03.2018800 1000 1200 1400 1600 1800履约价格- 1AMZN 2018年3月23日，我们的BSM模型观测博兰迪格。4、将所提出算法的期权价格与Borland公式和BlackScholes-Merton公式进行比较，得出各自的市场价值。左图为2018年3月1日至2018年3月16日到期的特斯拉期权价格。右侧面板为2018年2月28日至2018年3月23日到期的亚马逊对应价格-5 0 5对数返回（伽马单位）0.20.40.60.8我们的模型BSMFIG。使用建议的框架（英文版）和Black-Scholes-Merton方法（中文版）计算看涨期权价格所用积分的整数和。横轴的单位是分布参数γ=σ。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma in32 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarev120 130 150 160 180 190 200 210执行价格0.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04隐含波动性您的模型观察Borlandig。6、我们模型和Borland模型的隐含波动率曲线与市场价格的隐含波动率曲线。显示的结果与2018年3月1日观察到的苹果看涨期权相符，该看涨期权将于三周后的3月23日到期。大约三周后到期的期权的AAPL。

我们可以注意到，Borland的理论模型以及我们的模型都产生了类似于市场波动率曲线的波动率曲线。虽然前者似乎更接近于货币内期权的市场决定价值，但我们的方法在货币外部分表现更好。此外，还有一些明显缺少市场价格隐含波动性的价值，即期权的出价低于最小可能价格的价值。结论本文提出的期权定价方案依赖于这样一个假设，即未来将在统计上遵循过去的观察结果，或者对数收益率的分布是平稳的。截短的Student t分布作为具有不同视界的分布链的一个相邻块被引入，因为它很好地模拟了观察到的历史回报，尤其是在尾部。期权是一种工具，其公平性应该是对未来期望的结果。在未来没有任何其他见解的情况下，人们可以相信这很可能是过去，因此在2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件中使用此概率分布或一些类似的概率分布，使用对数回报的重尾分布33计算预期。学生的t分布及其截断版本除了提供了很好的观察到的日志回报外，由于其简单性，还应用了学生的t分布及其截断版本。从这类函数中提取的Sumsof变量不具有封闭的分布形式，但其特征函数具有封闭的分布形式。进一步得出，这种分布的卷积会导致不同时间间隔的对数回报模型，这大致符合无套利原则，也支持看跌期权奇偶关系。

最后，除了相对的理论合理性之外，所提出的定价框架已经显示出非常好的准确性，能够很好地适应不同行业几家公司的美式期权的市场价值。我们的动机是为定价框架打下良好的基础，而不是设计现成的定价公式。尽管如此，该公式所产生的价格似乎超过了实际数据，仅使用一个参数就具有很高的精度。然而，我们应该强调的是，Plerou et al.（1999）和Amaral et al.（2000）对历史回报的观察事实上表明，分布是不对称的，而且不同公司的概率密度的尾部并不像四级多项式那样明显下降。这意味着可以尝试为每家公司应用更一般的Tsallis分布，并提供适当的参数，甚至为正回报和负回报提供不同的参数。期权理论定价的实践者直接应用提议的程序，用适当的尾部指数对其进行修改，甚至使用自己方法获得的经验分布，并将其插入定价框架。在这种情况下，通过使用FFT及其逆函数来确定不同层位的回报分布，整个过程将是数值的。我们期望在这种情况下出现的问题将与计算Fourier变换的算法的实现有关。价格回报的连续随机过程会影响任何水平的回报分布。这是使具有高斯回报分布的维纳过程非常可信的特征之一。