对数收益重尾分布的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing with Heavy-Tailed Distributions of Logarithmic Returns》
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作者：
Lasko Basnarkov, Viktor Stojkoski, Zoran Utkovski and Ljupco Kocarev
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A growing body of literature suggests that heavy tailed distributions represent an adequate model for the observations of log returns of stocks. Motivated by these findings, here we develop a discrete time framework for pricing of European options. Probability density functions of log returns for different periods are conveniently taken to be convolutions of the Student\'s t-distribution with three degrees of freedom. The supports of these distributions are truncated in order to obtain finite values for the options. Within this framework, options with different strikes and maturities for one stock rely on a single parameter -- the standard deviation of the Student\'s t-distribution for unit period. We provide a study which shows that the distribution support width has weak influence on the option prices for certain range of values of the width. It is furthermore shown that such family of truncated distributions approximately satisfies the no-arbitrage principle and the put-call parity. The relevance of the pricing procedure is empirically verified by obtaining remarkably good match of the numerically computed values by our scheme to real market data.
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中文摘要：
越来越多的文献表明，重尾分布是观察股票对数收益率的合适模型。基于这些发现，我们在此开发了欧洲期权定价的离散时间框架。不同时期对数收益的概率密度函数可以方便地看作是三自由度Student t分布的卷积。这些分布的支持被截断，以获得选项的有限值。在这个框架内，一只股票的不同行权和到期日的期权依赖于一个参数——单位周期内Student t分布的标准偏差。我们的研究表明，在一定的宽度范围内，分布支持宽度对期权价格的影响很小。进一步证明了这种截断分布族近似满足无套利原则和看跌期权奇偶性。通过我们的方案获得的数值计算值与实际市场数据的非常好的匹配，实证验证了定价程序的相关性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Option_Pricing_with_Heavy-Tailed_Distributions_of_Logarithmic_Returns.pdf (441.22 KB)

2022-6-10 05:45:54 上传

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关键词：期权定价 distribution Convolutions observations Quantitative

2019年4月19日3:29 WSPC/INSTRUCTION FILE Main国际理论与应用金融杂志C 世界科学出版公司股票收益重尾分布期权定价。西里尔和Methodius大学，斯科普里，马其顿和马其顿科学与艺术学院，斯科普里，马其顿拉斯科。basnarkov@Finki。ukim。斯科普里莫斯科科学与艺术学院，Macedoniavstojkoski@manu.edu.mkZORAN德国柏林赫兹研究所UTKOVSKIFraunhofer He inrich Hertz Institute。utkovski@hhi.fraunhofer.deLJUPCO马其顿斯科普里KOCAREVMacedonian科学与艺术学院和SS计算机科学与工程学院。斯科普里西里尔和Methodius大学，Macedonialkocarev@manu.edu.mkReceived（日-月-年）修订（日-月-年）越来越多的文献表明，重尾分布代表了观察股票对数收益的适当模型。受这些发现的启发，我们在此开发了一个欧洲期权定价的离散时间框架。对于不同的每IOD，对数回归的概率密度函数可以方便地看作是学生t分布与三个自由度的卷积。这些分布的支持被截断，以获得选项的有限值。在这个框架中，一只股票的不同行使权和到期日的期权依赖于一个参数，即单位时期内学生t分布的标准偏差。我们提供的一项研究表明，对于wi-dth的特定价值范围，分销支持宽度对期权价格的影响较弱。进一步表明，这种截断分布族近似满足无套利原则和看跌期权平价。

为了克服这些观察结果，对原始Black-ScholesMerton模型进行了各种修改，可以大致分为三组。第一种方法的追随者以Black-Scholes-Merton公式为基础，并通过使用其他过程对其进行修改，以模拟罕见的e型喷口，例如见Merton（1976），Madan et al.（1998），Ko u（2002），Patel&Mehra（2018）。或者，Cox（1975）、Heston（1993）和Hagan et al.（2002）等人使用随机波动率来建模价格波动强度的时间变异性。在最后一组模型中，收益的幂律尾分布被用作起点。Matac z（2000年）、Borland（20 02b）、Borland&B ouchaud（2004年）、Mo riconi（2007年）和Cassidy等人（2010年）中给出了此类交替词的示例。在对数收益建模中，高斯分布比其他分布更适合用作构建基块的另一个特征是它是s表，即从该分布中提取的独立随机变量的线性组合也具有相同的分布。我们注意到，已知具有幂律尾的L'evi分布也具有这一性质a。尽管如此，尽管观察到的股票价格对数回报的柱状图的尾部似乎遵循幂律，但它们比列维类型的柱状图要薄，这意味着它们衰减更快，因此会出现有限的方差。具体地说，在一项详细的研究中，L'evy分布用常数0<α<2来参数化，并且它们用幂律尾部来表征，而不是高斯指数衰减，这可以在α=2时获得。它们像高斯分布一样稳定，这意味着两个或多个L'evy分布变量的和也是L'evy分布的。

正如Bouchaud&Potters（2003）所示，除了它们之外，没有其他的s表分布。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件《价格回报历史数据的对数算术回报3重尾分布的操作定价》，Plerou et al.（1999），Amaral et al.（2000）显示，累积分布的幂律尾部指数接近于α=3，它与L’evy区域α分开∈ (0, 2). 因此，从此类分布中提取的随机m变量的asum不会产生具有相同类型的变量分布–没有此类分布是稳定的。Student（1908）介绍了一种适用于小样本统计的概率分布，今天称为Student的t分布。它以自由度为参数，以幂律尾指数α为特征。虽然该分布不如高斯分布易于处理，但它也经常作为描述不同资产的对数收益率的一种方便的替代方法出现。特别是，在Blattber g&Gonedes（1974）中，它被用于股票动态建模，在Nadarajah et al.（2015）中，它被用于货币，而Platen&Rendek（2008）则将其用于市场指数回报建模。此外，Chicheportiche&Bouchaud（2012）将其用于联合分布研究，并得出结论，它可以为强相关股票提供良好的拟合。由于该函数很好地反映了对数回报的历史观测结果，尤其是在尾部，它已经找到了期权理论定价的实现方法。在Borland（2002a，b）提出的一种非高斯期权估值方法中，Student\'st分布是由相关随机过程得到的。在Cassidy等人的另一项建议中。

（2010），作为理论结果的基础，认为高斯与随机波动率的混合，使得波动率的倒数是卡方分布，遵循Student的t分布。通过使用真实数据的回报率对这一事实进行的经验验证为同一作者将其应用于期权定价提供了依据。在本文中，我们还利用具有三个自由度的Student t分布作为描述价格对数收益率动态的适当分布，然后将其应用于欧式期权的定价。因此，这项工作可以与期权价值理论中的两项早期贡献相比较。在Borland（2002a，b）和Borland&Bouchaud（2004）的第一种方法中，假设价格由随机过程和统计反馈驱动，这导致对数收益分布为Tsallis型，这是学生t分布的推广。由此产生的期权定价模型通过使用一个单一参数来确定整个罢工和到期的价值。在第二个贡献中，Cassidy et al.（2010）和Cas sidy et al.（2013）直接应用了Student的t分布，并对截断点的位置进行了分析。我们的评估框架主要由经验观察驱动，而不是旨在提供强有力的分析理论。我们尽可能专注于股票收益率和相关期权的特征，并使用众所周知的简单技术推导出一个方便的分布。

然而，我们也对d定价方案的理论基础进行了近似分析。为了实现学生期权定价的t分布，其SupportPril 19，2019 3:29 WSPC/I指令文件ma in4 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和Kocarevn需要截断（即其支持必须限制在某些特定领域），否则期权价格将是有限的，参见Bouchaud&Sornette（1994），McCa ule y et al.（2007）和Cassidy et al.（2010）。这意味着，在期权价格估值中，必须忽略尾部的极端对数收益集。实际上，有两个原因可以解释这种截断过程所产生的影响。首先，在现实中，我们可以更安全地假设股票价格的波动不具有完全的规模，并且有一个未知的上限和下限。这是因为观察到股票价格的动态是由个人的社会行为驱动的，这些个人能够观察到，并根据基础股票和市场的可用信息做出投资决策。事实上，许多其他现象表现出类似的特性，因此截断已在一系列领域得到应用，从环境问题Maltamo et al.（2004）到Traffic Cao et al.（2014）。第二，虽然在非截断分布中可能出现极端事件，但我们表明，在宽度的一定范围内，对期权价格的影响较弱。特别是，我们发现，另一个地区的期权价格增长非常缓慢，这是分销支持宽度的函数。在这方面，s支持中被忽视的部分延伸到了对极端事件作出反应的概率，这种极端事件在千年中罕见。

因此，可以认为通过建议程序获得的期权值足够稳定。s稳定性实际上意味着当截断点位于一个较宽的区域内时，价格对截断点位置的敏感性较低。这进一步表明，可以假设从具有截断幂律尾的分布中获得的期权价格是存在的。我们使用得到的截断分布作为构建块，以获得具有不同时间间隔的分布。我们在这里提出的定价方案是基于离散时间的，长周期的分布是由基本分布的卷积生成的。这些分布大致提供了无比特率的价格动态，因此可用于期权定价。我们的模型的预测能力与Black-Scholes-Merton和Borland（2002b）提出的作为基准的模型进行了比较。后者为我们的模型的应用能力提供了一个额外的维度，因为它使用相同的分布，并且可以用于在不同日期到期的期权。当将从我们的框架中获得的期权价格与在市场上观察到的期权价格进行比较时，我们可以看到，仅使用一个参数就可以很好地准确地估计不同行使和到期日的期权价格的市场价值。为了提醒读者，Black-Scholes-Merton公式需要一整套不同的波动率，以匹配具有不同行程和期限的期权的市场价值。

我们的模型的缺点在于它与离散时间相匹配，并且由于离散傅里叶变换的计算，它在能够提供结果的范围内有一个极限，我们相信这更多的是数值性质，而不是理论性质。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件《对数算术收益重尾分布的操作定价》5我们注意到，该估价程序不仅依赖于建议的分配，而且可以与其他可以跟踪观察结果的对数收益分布一起使用，例如，一些更密切跟踪观察结果的分布。这种情况可能会导致更好的拟合期权市场的观察值。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们提供了计算公平期权价格的一般公式。在第3节简要介绍了价格演变的见解之后，我们在第4节介绍了拟议的估价程序，并详细阐述了实施该程序所产生的问题。在第5节中，我们描述了用于验证定价方法的数据。随后，在第6节中，我们将介绍我们的模型在真实数据上的应用结果。最后一节7.2给出了结论和对未来工作的讨论。欧式期权的公平价格风险资产的欧式期权是指双方就该资产在某一履约日和某一日期的未来可能交易签订的合同。“看涨”期权的持有人有权购买，而“看跌”期权的持有人可以出售资产。履约价格K和到期日T是固定的，并在期权书写时提前确定，在理论分析中可以安全地假设为0。

欧洲期权只能在成熟时T行使，如果股票价格的市场价值S（T）大于罢工K，则认购期权的所有者会这样做。通过为Kand购买股票，并立即在市场上以S（T）出售股票，拥有期权的代理人会将差异S（T）资本化- K、 否则，当S（T）<K时，o选项的值为零，因为股票c可以在市场上以较低的成本购买。在编写0时或到期前的任何较晚时刻t，当期权在期权持有人与新持有人之间进行交易时，标的资产S（t）的当前价格是确定的，而只有对其在到期时的可能价值的假设。期权的公允价值应不利于买方或卖方。这意味着，从当前时刻t来看，到期时的期权价值应等于通过行使期权获得的预期收益。该经验被视为所有可能利润的测量值（T）- K、 我们注意到，在计算该值和期权的当前价格时，应用了无套利参数。该假设表明，存在风险中性概率分布，因此，未来任何时刻，尤其是到期日T，资产价值的预期，通过无风险债券利率r贴现，等于当前时刻的价格tS（T）=e-r（T-t） E[圣(Ohm)] = e-r（T-t） ZOhmST公司(Ohm)pT公司(Ohm)dOhm. （2.1）在最后一个等式中，Ohm 是一个随机变量，它对决定资产价格的随机事件产生的噪音进行建模，E表示数学期望。2019年4月19日3:29 WSPC/I指令文件ma IN 6 Basnarkov、Stojkoski、Utkovski和KocarevIf或者，此类概率测度Pt不存在，则可能存在套利。

我们指出，在概率分布pT的前一时刻t有一个好的模型是一个相当具有挑战性的问题(Ohm) 这将包括股票价格动态的所有典型特征，也不允许对不同的未来时刻进行任意调整。一旦有一个描述未来资产价值的风险中性概率，该资产上任何意外事件的当前价值，尤其是期权，也将排除期权上的套利。正如Ross（2014）所述，当股票未来价格的风险中性分布为pT（S）时，如果在到期时对其价值的预期进行相同的贴现T=e，则其欧式看涨期权的公允价值将为fa-ir-r（T-t） E[电流互感器(Ohm)] = e-r（T-t） Z∞K（S）- K） pT（S）dS，（2.2），其中积分仅针对期权具有非零价值的价格区域计算。由于未来是不确定的，我们回到了过去观察到的一些特性或规则将在未来保留的预期。例如，任何股票价格预计都会平均增长，因此其分布将随着时间的推移而改变，但其增长模式很可能会持续下去。因此，直接建模价格变化的概率分布比建模价格变化的概率分布更为方便。知道价格基本上是平均价格，通常表示已知当前和未来随机价格之间的关系asST=Steu（T-t） +x，（2.3），其中u是平均股票增长率，而x是模拟超额价格升值的随机变量。这意味着价格对数的差异或对数收益率将用一些分布p（x）=p[对数ST- 日志St- u（T-t） 】。