随机波动率模型下的欧式期权定价

我们认为（B，S）完全是由两个随机来源Wand W驱动的金融市场模型中的交易资产，并且避免假设存在额外的、外部给定的、（依赖于波动性的）资产来完成模型。另一方面，我们排除了模型中的套利机会，并证明了风险中性度量空间的存在：Q存在于一组与P等价的概率度量Q中（不一定唯一），因此，在Q中的任何度量下，贴现资产价格都是鞅。在我们的模型上下文中，这意味着（S，V）在每个Q下都具有相同的微分矩阵∈ Q由P-动力学的扩散矩阵给出。这源于quadraticCarr和Sun（2007）给出了3/2过程的对数价格和积分方差联合变换的表达式。将It^o公式应用于1/V，我们发现逆CIR（κ，θ，σ）过程是一个带参数的3-over-2过程（^κ≡ κθ - σ,^θ ≡ κ/(κθ - σ), ^σ ≡ -σ). 使用他们的转换，提供^κ>-^σ/2，Ehe-λRTVtdti=Γ（γ- α)Γ(γ)^σy（0，1/V）αMα, γ, -^σy（0，1/V）式中（t，x）≡ x（e^κ^θ（T-t）- 1） /（^κθ）=x（eκ（T-t）- 1)/κα ≡ -（1/2+κ/σ）+p（1/2+κ/σ）+2λ/σγ≡ 2（α+1+^κ/σ）=1+2p（1/2+^κ/σ）+2λ/σ，M是反超几何函数。从这里，我们可以看到λ≥ -2^κ + σ√2σ= -2κθ -σ√2σ是转换为良好定义的充分条件。半鞅的变异（连续部分）在完全过滤空间上的等价概率测度下是不变的。此外，根据Girsanov定理，我们发现驱动随机源的规律是不变的：它们在Q中的所有等价度量下都是（独立的）维纳过程。考虑到这一点，我们将（s，V）的扩散矩阵乘以历史数据中的估计扩散参数。

然后，我们将等效风险中性度量的空间与所有容许控制上的受控度量qu所跨越的空间相等：Q≡ {区：u∈ U} 其中U表示可预测控制过程的空间U={ut}t≥0存在于紧凑不确定性集U中 Rd.特别是，我们从统计估计问题的推断中推断出不确定性集，并确定U由椭圆置信域表示，该置信域由观测到的Fisher信息（其渐近近似于我们估计的抽样协方差）得出。那么，我们要问的问题是，根据相应的模型定价边界，Q中的定价是否涵盖了市场期权价格。由于资产的波动过程本质上是潜在的，因此必须用某种方法来衡量。在下一节中，我们简要介绍了已实现的挥发度测量，它给出了方差过程的常用非参数估计量。然后，我们详细介绍了一些用于模型参数点估计和推断的估计方法。以下是基于标准普尔500指数数据的实证研究。3.1测量方差和统计推断我们使用标准普尔500指数价格的方差，根据高频观察的实际波动率测量值进行估计(~5min）的指数收益（参见Andersenand Benzoni（2009））。因此，如果s=（st，st，…）是一个具有每日价格的时间序列，实际方差度量值计算为rv（[ti-1，ti））=Xk:sk，sk+1∈[技术信息-1，ti]（ysk+1- ysk），其中【ti】-1，ti]是一天的持续时间，sk∈ [技术信息-1，ti]是ysk=log（ssk）的日间时间点-日志（ssk-1） 是日志返回。

实现的方差近似于综合方差：RV（[ti-1，ti]）P→Rtiti公司-1VSD（对于连续回归过程，一般半鞅的二次方差），时间ti的测量方差取为vTi=ti- ti公司-1RV（[ti-1，ti]）。这样，每日方差的时间序列v=（vt，vt，…）已获得。为方便起见，我们使用了牛津曼研究所实现的图书馆中的预计算方差估计值，如图1所示，以及2000年1月3日至2016年2月29日期间标准普尔500指数的收盘价。接下来，我们考虑从n+1个观测值v=（v，…，vn）的方差估计参数Θ=（κ，θ，σ）。这里，viis被视为Heber、Gerd、Lunde、Shephard和Sheppard（2009）实现的图书馆版本0.2的观察值，http://realized.oxford-man.ox.ac.uk.Figure1：2000年1月3日至2016年2月29日期间，标准普尔500指数的历史收盘价和已实现差异，每日观测4035次。对于进行观测的一组离散时间点（t，…，tn），使用i=ti+1-Title两次连续观测之间的时间间隔长度。一般来说，对于传递度为f（y；x，δ，Θ）的马尔可夫过程，对于Vt+δ| Vt=x的参数Θ可以用似然函数ln（Θ）=n进行推断-1Yi=0f（vi+1；vi，i、 （对数）似然函数的最大化参数是最大似然估计量。如果转换密度在闭合形式下未知，或者像平方根过程一样，是一种无法优化的类型（通过分析和数值格式），则可以考虑基于可能性的合适近似的备选方案。

这样做的一个直接方法是考虑过程V的时间离散近似Vπ，如Euler-Maruyama格式所示；这里是平方根过程Vπt+δ=Vπt+κ（θ- Vπt）δ+σpVπt（Wt+δ- Wt）（24），将给出近似的高斯对数似然函数ln（Θ）≡ 对数Ln（Θ）=-n-1Xi=0（vi+1- 不及物动词- κ(θ - 六）i） σvii+log（2πσvii） 。（25）Prakasa Rao（1983）中考虑了与上述形式相同的函数，用于漂移参数的最小二乘估计。对于具有遍历性的过程，Kessler（1997）将漂移和扩散参数的联合估计与高斯近似的跃迁密度视为（25），并表明在一般条件下，（24）可能会产生Vπt+δ的负结果，因此不适合以其标准形式进行模拟。附录A.3中讨论了备选方案。在这里，我们使用（24）表示近似高斯似然，即欧拉对比度（25），这一点定义得很好。估计量是渐近正态且有效的。他们的方法解决了跃迁密度的均值和方差未知的情况，并使用了近似值。对于平方根过程，显式表达式e[Vt+δ| Vt=v]=θ+（v- θ） e类-κδ≡ u（v，δ），Var（Vt+δ| Vt=v）=vσκ（e-κδ- e-2κδ) + θσ2κ(1 - e-κδ)≡ s（v，δ），代替近似值u（v，δ）≈ v+κ（θ- v） δ和s（v，δ）≈ σvδin（25）给定ln（Θ）=-n-1Xi=0（vi+1- u（vi，i） ）s（vi，i） +对数（2πs（vi，i） ）（26）形成一个近似高斯似然函数，该函数具有条件均值和方差的精确表达式。虽然已知当观测间隔时间较大时，Euler对比度（25）有很大的偏差，但（26）等估值器对于δ的任何值都是一致的。

原因是它们形成了二次鞅估计函数，参见Bibby和Sorensen（1995）以及Godambe和Heyde（1987）。通过观测信息矩阵o=-ln（Θ）Θ>ΘΘ=^Θ，可通过对数似然函数A估计值的数值微分来计算。^Θ的近似协方差矩阵由∑^Θ=I的逆矩阵给出-1和JTH参数的估计标准误差byp（I-1o）jj。因此，近似值为1- Θ的α置信域由ellipsenΘ：（Θ）给出-^Θ)Σ-1^Θ(Θ -^Θ)>≤ χd（1- α） 其中d是行向量Θ和χd（1）的维数- α） 是1-d自由度的chi-square分布的α分位数。最后，我们注意到，文献中已知几种用于统计估计赫斯顿模型的其他方法。例如，在访问高频返回数据时，可以咨询Barczy和Pap（2016）或de Chaumaray（2015）。3.2实证研究我们的实证研究基于来自牛津曼恩定量金融研究所和沃顿研究数据服务公司的市场数据。标准普尔500指数的价格使用了牛津大学（OxfordMan）的数据，这两种指数的历史收盘价都是以日频率和高频频率观察的(~ 5min）收益，用于（预先计算的）历史波动率估计。来自沃顿研究公司期权指标数据库的数据用于标普500指数上欧洲看涨期权的价格。

这里，我们使用op的历史报价和其他价格tionshttp://realized.oxford-man.ox.ac.uk和https://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/.Figure2：2000年1月3日至2016年2月29日期间，标准普尔500指数的历史收盘价和实现差异，843周观察。不同的执行价格和到期日，以及基础指数支付的相关股息收益率和与集合中每个期权到期日相对应的无风险利率。在对看涨期权的定价边界进行数值计算之前，我们根据标准普尔500指数的价格和方差，按照以下步骤估计赫斯顿模型的参数：1。首先，我们通过计算一周时间间隔内的已实现方差度量，将方差的观测频率抽取为每周观测，见图2。此操作平滑测量的方差过程，尤其是消除可能导致非稳健参数估计的极端方差峰值（见图1）。我们通过参数化（κ，β，σ）的周方差估计（κ，β，σ）7→模型的（κ，θ，σ）。我们采用基于欧拉条件矩的近似似然法，通过数值微分计算近似协方差矩阵。表1给出了结果（带有标准误差概念协方差矩阵的平方元素）以及每日方差的估计结果。从表1中的结果可以看出，日方差产生了相对较高的平均回归速度估计值，以适应极端观测和两个漂移参数的较大标准误差，这表明平方根过程对于日方差数据来说是一个拟合较差的模型。通过每周方差，我们可以获得更合理的结果和更低的标准误差。3.

除了方差过程的估计参数外，我们还可以用精确的条件矩估计（近似）似然。对于日常观测，数值优化不会收敛，而对于每周数据，这会产生与近似矩非常相似的参数估计和标准误差。模型与已实现协变量测度的关系系数。这给出了ρ=-标准普尔500指数的周方差和收盘价为0.274。估计值，每日数据κθσ29.6 0.0315 2.58标准误差κβσκ4.314 0.544 2.37e-06β0.544 0.074 1.79e-06σ2.37e-06 1.79e-06 0.0288估计值，每周数据κθσ4.59 0.0307 0.775标准误差κβσκ1.395 0.621 1 1.91e-06β0.621 0.0269 4.84e-06σ1.91e-06 4.84e-06 0.0189表1：根据标准普尔500指数的历史数据估计的参数和标准误差。左表：基于4035次每日观察的结果。右表：基于原始数据抽取的843周观察结果。所有估计均来自基于欧拉矩的近似似然函数的数值优化和微分。在估计模型参数和标准误差的情况下，我们继续计算欧式期权的定价上限和下限。我们按照以下步骤进行：1。我们考虑2012年8月31日至2015年8月31日三年期的历史市场价格的标准普尔500指数看涨期权。我们在此期间选择与周指数数据一致的日期（即期权和标准普尔500指数收盘价都有报价的日期）。这导致157个日期和244239个期权报价，用于不同的罢工和到期日。对于这段时间内的157个日期中的每一个，我们选择了一个带有删除线价格和到期时间的选项，如图3的右窗格所示。

在这里，选择每个时期的“初始”期权时，应具有中等的扣押到期日和尽可能接近实际价格的执行价格。然后，只要有市场报价，我们就保留相同的到期日和执行价格（相同的期权）。这一共给了我们四种选择。我们进一步记录相应到期日的零息票利率和当前分割收益率给出的相关无风险利率。图3的左窗格显示了转换为零股息价格后的最终出价/报价。通过首先计算Black-Scholes隐含波动率（具有有效股息收益率），然后重新计算零股息的Black-Scholes价格，对每个报价进行计算。为了计算看涨期权的定价界限，我们采用附录中描述的数值方法。在这里，我们最初有以下数字考虑：首先，对于表1中的参数估计（基于每周对数数据的二次协变量，给出[log S，σlog V]t=tRt√Vs公司√Vsd[ρW+p1- ρW，W]s=ρ，我们使用其已实现的协变量估计。图3：左图：标普500指数看涨期权的历史市场价格。图中显示了2012年8月至2015年8月31日期间的157个买入/卖出报价（转换为零股息价格）。右图：看涨期权的执行价格和到期时间。数据）我们有√4β=0.751<0.775=σ，这意味着由于产生负面结果，隐式米尔斯泰因方案可能失败（见附录A.3）。为了避免这种情况，我们根据Andersen等人（2010）的建议方法，在模拟中加入了截断步骤。

此外，我们将正向模拟的时间步数增加到n=1000，以防止产生负方差值。然后，我们将模拟的价格和方差下采样到n=25步的原始时间网格，用于反向模拟。其次，当方差值接近零时，反向过程的驱动程序将爆炸。由于正向模拟可能输出负值/零值，我们取消控制：u（Xt，Zt，Yt）≡ 0给出H（Xt，Zt，Yt）=-rYt，每次方差小于阈值时，Vt<ε，我们设置ε=0.00041，这是标准普尔500方差的最小值。4、我们用Y递归显式格式和回归的二次MARS方法模拟最优控制值过程，见附录A。包括控制变量，我们在一个时间网格上模拟了N=25个时间步的N=100000条正向-反向过程路径（对于正向过程，N=1000向下采样到N=25）。对于每个期权价格，我们使用估计的模型参数和相应的到期/履约、无风险利率以及市场数据中远期过程（标准普尔500指数水平和方差）的初始值进行单独模拟。我们用最小驱动程序（对于定价下限）和最大驱动程序来模拟反向过程。只要Vπti<0，由于计算Vπtian，方案的时间步就失败了，运行步只需用p（Vπti）+代替。

虽然这可以防止方案失败，但请注意，仍然可能会生成负值，尤其是当时间步长iis大型。当使用n=1000个时间步时，簿记生成的方差值的符号会产生99.3%的正结果，当n=25时，会产生96.7%的正结果。图4：标准普尔500指数上的欧洲看涨期权：通过模拟最优控制价值过程计算的定价上限和下限（虚线）。该图显示了每周有四种不同行使/到期结构的期权的模型价格和历史市场报价（实线）（见图3右窗格）。（对于上限）基于相同的正向模拟。使用协方差矩阵∑r，κ，β计算最优驱动因素的每个评估，其中我们使用表1中κ，β的估计标准误差和相关性，以及利率的标准偏差0.00005（r与κ，β不相关）。与之前一样，我们对不确定区域使用95%的置信度。最后，我们还通过在相同的95%不确定性区域内对赫斯顿定价函数进行数值优化，计算出每个被考虑的看涨期权的相应最低/最高价格，详情见附录A.3。从今以后，我们将这些作为配方奶粉的最优价格。模拟得出的定价上限和下限如图4所示，以及相应的市场报价。最优价格公式如图5所示。图中标记了履约价格和到期日发生普遍变化的日期（见图3右窗格），以区分不同的期权。