随机波动率模型下的欧式期权定价

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英文标题：
《European Option Pricing with Stochastic Volatility models under
  Parameter Uncertainty》
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作者：
Samuel N. Cohen and Martin Tegn\\\'er
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider stochastic volatility models under parameter uncertainty and investigate how model derived prices of European options are affected. We let the pricing parameters evolve dynamically in time within a specified region, and formalise the problem as a control problem where the control acts on the parameters to maximise/minimise the option value. Through a dual representation with backward stochastic differential equations, we obtain explicit equations for Heston\'s model and investigate several numerical solutions thereof. In an empirical study, we apply our results to market data from the S&P 500 index where the model is estimated to historical asset prices. We find that the conservative model-prices cover 98% of the considered market-prices for a set of European call options.
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中文摘要：
我们考虑了参数不确定性下的随机波动率模型，并研究了模型导出的欧式期权价格是如何受到影响的。我们让定价参数在指定区域内随时间动态演化，并将问题形式化为控制问题，其中控制作用于参数以最大化/最小化期权价值。通过倒向随机微分方程的对偶表示，我们得到了Heston模型的显式方程，并研究了其几个数值解。在一项实证研究中，我们将我们的结果应用于标准普尔500指数的市场数据，其中模型是根据历史资产价格估计的。我们发现保守模型价格覆盖了一组欧洲看涨期权所考虑市场价格的98%。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：波动率模型 期权定价 欧式期权 波动率 Mathematical

参数不确定性下随机波动率模型下的欧式期权定价Samuel N.Cohenand Martin Tegn\'er1,2，*塞缪尔。cohen@maths.ox.ac.uk，martin。tegner@eng.ox.ac.ukAbstractWe考虑参数不确定性下的随机波动率模型，并研究模型衍生的欧式期权价格是如何受到影响的。我们让定价参数在特定区域内随时间动态演化，并将问题形式化为控制问题，其中控制作用于参数以最大化/最小化期权价值。通过后向随机微分方程的对偶表示，我们得到了Heston模型的显式方程，并研究了其中的几个数值解。在一项实证研究中，我们将您的结果应用于标准普尔500指数的市场数据，该指数的模型估计为历史资产价格。我们发现，保守模型价格涵盖了一组欧洲看涨期权考虑市场价格的98%。关键词：期权定价，随机波动率，模型不确定性。1引言在本文中，我们考虑了当基础资产在考虑参数不确定性的情况下遵循随机波动率模型时的欧式期权定价问题，特别是这如何转移到衍生期权价格的保守边界。随机波动率模型的特点是资产价格的瞬时方差，即波动率，随时间随机演变。这是Black和Scholes（1973）半恒定波动率模型的自然推广，其中包括Hull和White（1987）、Stein和Stein（1991）、Heston（1993）、Bates（1996）和Heston（1997）提出的模型。

从经验资产回报行为的角度来看，支持这种普遍化的证据可以追溯到Black（1976），而Stein（1989）则强调了恒定波动率模型和期权价格数学研究所（牛津大学）的预测不匹配。牛津大学工程科学系和哥本哈根大学数学科学系。*通讯作者。从市场上观察。随机波动率是一种很有吸引力的选择，从文献中可以找到许多对其有利的研究。作为一个参数模型，立即意味着在将随机波动率模型用于定价或对冲市场工具之前，必须对其进行数据拟合。为此，至少有两种方法是常规的：要么根据历史资产价格进行估计，要么通过匹配模型衍生价格对市场期权价格进行校准（或者二者的组合，参见ait-Sahalia和Kimmel（2007））。无论使用哪种方法，都会面临参数不确定性，因为任何一种方法的点估计都会有误差。基于观察到的资产价格时间序列的估计器具有固有方差（并且可能存在偏差），而校准问题可能是不适定的。通过数值优化获得的最小值可能是局部的，并且多个参数设置可能会为市场匹配提供相同的模型。由于点估计的误差可以通过推断的置信区间来量化，因此资产价格的统计估计自然会产生参数不确定性的概念。因此，置信区间定义了一个不确定性集，该不确定性集包含给定置信水平下模型参数的真实值。

在这种情况下，推断的不确定性和估计的参数将与真实世界的概率度量相关联，而不是用于无套利定价的风险中性度量。另一方面，期权价格的校准将给出一组与风险中性度量相关的参数。然而，在这种情况下，没有明显的方法可以减少参数的不确定度集，从而量化校准产生的误差。问题仍然是参数不确定性如何影响随机波动率模型输出的期权价格。在统计估计的情况下，需要建立统计度量和风险中性定价度量下的参数之间的关系。在财务方面，这是由风险的市场价格来调节的，并且通常以这样一种方式，即模型保持形式不变。然后，不确定性可能传播到用于期权定价的风险中性参数。我们考虑漂移和跳跃参数中的不确定性，以解释参数不确定性代表了仓促波动率模型的不完整性：存在一个由不确定性集中风险中性参数值范围给出的等价定价度量空间（我们在第3节的介绍性讨论中对此进行了详细阐述）。我们立即从最佳/最坏情况的角度研究模型定价，并从参数不确定性中得出保守的定价界限。有两种方法是公平的：要么在不确定性集约束的参数上优化定价函数，要么将参数视为控制过程的动态组件，以优化期权价值。因此，前者是后者的特例，控制过程仅限于取常数值。

我们将该问题形式化为一个控制问题，由于所有定价度量都是等价的，这可以看作是度量的变化问题。根据Quenez（1997）的结果，期权价格的最优值函数可以表示为向后随机微分方程。这一假设的一个支持案例是罗杰斯（2001）指出的事实：虽然利用几年的数据可以在合理的置信度范围内估计可用性，但漂移估计需要更长时间段的数据。参数不确定性的假设，或更普遍的模型不确定性，作为一种固有的模型特征，肯定不是新的，其在金融中的重要性早就被Derman（1996）承认了。从概念上讲，模型不确定性借鉴了凯恩斯（1921）和奈特（1921）关于未知与已知未知的区分原则。根据Bann¨or和Scherer（2014）的概述，模型不确定性未知指的是金融市场上有一整套模型可用，但每个模型的可能性未知的情况。因此，参数不确定性是模型族可能参数化的特殊情况。此外，如果概率度量归因于模型（参数）族，则已知未知的概率度量处于模型（参数）风险的情况下。当涉及期权定价时，贝叶斯方法提供了一种有效的推断参数和模型风险的方法，并通过模型平均将其考虑在内，参见Jacquier和Jarrow（2000）、Bunnin et al.（2002）、Gupta et al.（2010）和Tegn'er和Roberts（2017）的非参数局部波动率方法。考虑到模型不确定性的情况，在El Karoui和Quenez（1995）、Avellanda等人的工作中率先采用了最坏情况下的方法。

（1995）、Lyons（1995）和Avellaneda以及第（1996）段。我们的控制理论方法与Avellaneda等人的方法类似。但与他们的非特定波动率相比，我们将自己置于参数化波动率模型的“模型内”设置中，其中参数是受控的，而不是波动率本身。因此，我们考虑了一种情况，即波动性模型的不确定性家族对金融市场进行了更详细的描述。可以说，这意味着更现实的保守价格。由于我们还建议如何推断参数的不确定性集，我们的方法应该对倾向于仓促波动的从业者特别有吸引力。概述Heston（1993）提出的模型将是我们研究的工作模型，我们在第2节中介绍了欧洲期权的风险中性定价以及受控价值过程的BSDE表示。我们展示了如何导出生成最优控制价值过程的BSDE的最优驱动因素，这为我们提供了参数不确定性下期权的定价边界。为了获得定价边界的实际值，我们必须求助于控制最优值的BSD的数值解。在附录A中，我们详细介绍了一些用于此目的的模拟方案，并在受控环境中演示了这些方法，以便能够比较和评估它们的性能。在第3节中，我们使用一个建议的数值方案，以实际市场数据为例来说明我们的方法。

对于标准普尔500指数上欧洲看涨期权的一组市场报价，我们研究了（数值计算的）模型界限实际覆盖观察到的市场价格的程度。我们还将结果与相应的常数参数最优价格进行了比较。最后，我们在第4节中处理了带跳跃的马尔可夫随机波动率模型的一般多资产情况。第5节结束。2赫斯顿随机波动率模型为了设定场景，我们考虑一个金融市场，由一个无风险货币账户和一个固定时间段内的风险资产组成[0，T]。我们假设无摩擦市场的标准假设：允许卖空，资产可以任意持有，没有交易成本，借贷以相同的利率进行。资产价格将被建模为过滤概率空间上的自适应随机过程，其概念将在下一节中正式化。2.1欧式期权定价(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，其中{Ft}t≥0是由两个独立的维纳过程Wand W生成的自然滤波，经过扩充以满足P-完备性和右连续性的通常条件。我们假设资产价格和方差V遵循Heston（1993）的模型，实际动态（在客观概率测度P下）由dst=u（Vt）Stdt+pVtSt（ρdWt+p1）给出- ρdWt），dVt=κ（θ- Vt）dt+σpVtdWt，对于非负常数κ、θ、σ和瞬时相关性ρ∈ (-1, 1). 因此，varianceprocess遵循一个平方根过程，并且它的边界小于零。如果Feller的条件满足，2κθ≥ σ、 无法达到边界。此外，相对收益率u被视为方差的确定函数。

除了风险资产外，市场还包含一个无风险的货币账户，其价值过程表示为B。货币账户支付恒定的回报率r，这意味着Bobeyong the determinative dynamics dBt=rBtdt。与魔杖器皿相关的风险流程的市场价格（γ，γ）假定为u（V）- r√五=ργ+p1- ργ（1） 正如赫斯顿所建议的，我们让γ≡ λ√V表示某个常数λ。然后我们得到了-（γ，γ）o（W，W）由(-γoW）=exp-Z、 λpVsdWs-Z、 γSDW-Z、 （λVs+（γs））ds如果我们定义了固定确定性时间T的测量值Q，则dqdp=E(-γoW）我们有Q等价于P（假设随机指数是鞅，即e[e(-γoW）t]=1表示所有t∈ [0，T]，Novikov和Kazamaki的条件也将其称为CIR过程，因为Cox等人（1985）将其用作短期利率模型。平方根过程可以追溯到Feller（1951年）。Heston根据Breeden（1979）的模型提出了这一选择，假设均衡消费过程也遵循平方根过程；然后，风险溢价与方差成比例。撇开总体风险偏好不谈，其结果是定价方程（3）方便地支持赫斯顿的定价公式。我们用o表示d维过程的随机积分：HoM=Pdi=1R。HitdMitforH，M取Rd中的值是有效的。Wong和Heyde（2006）在参数方面明确表达了这一点）。此外，根据Girsanov定理，{Wt}t∈[0，T]和{Wt}T∈[0，T]定义为Q下的独立维纳过程。

根据方程式（1），这给出了模型DST=rStdt+pVtSt（ρdWt+p1）的Q动力学- ρd￠Wt），dVt=（κθ- [κ+σλ]Vt）dt+σpVtdWt，（2）对于t∈ [0，T]我们注意到，方差动态在测量变化下是形式不变的：V在Q下也遵循一个平方根过程，具有“风险中性”参数κ、￠θ、σ，其中￠κ=κ+σλ和￠θ=κθκ+σλ。我们还看到贴现资产价格B-1S将是Q-鞅（即Q是一个等价的鞅测度），因此金融市场模型（B，S）是无套利的。然而，由于（γ，γ）可以任意选择，只要（1）满足，模型就不完整。这意味着λ可以由单个外部给定的资产（具有依赖于波动性的价格）来确定，以完成市场，γ由等式（1）唯一确定。任何其他未定权益都将被唯一定价。对于到期日为T且支付金额为g（ST）的欧式期权，我们得到了定价规则Dt=D（T，ST，Vt）的C1,2函数（T，s，v），T∈ [0，T]，对于满足以下偏微分方程的选项Dt+rsDs+{κθ- v（κ+σλ）}Dv+svDs+ρσvsDvs+σvDv=rD，（3），终端条件D（T，s，v）=g（s）。请注意，花括号中的表达式可以等效地写为▄κ（▄θ-v） 参数的风险中性规范。等效地，由Feynman–Kac，这意味着我们有通常的风险中性定价公式（t，s，v）=EQe-r（T-t） g（ST）（St，Vt）=（s，v）其中（S，V）遵循Q-动力学，初始时间t的初始值（St，Vt）=（S，V）∈ [0，T]。如果我们让λv=σλ和λ（t，St，Vt）=λvvt他在阐述中使用的波动性风险价格，那么定价方程（3）与赫斯顿的原始论文中的相同。该方程通过考虑价格的傅里叶变换进行求解，并通过逆变换得到“半封闭”定价公式。

然而，在实践中，必须通过数值积分方法计算逆变换。2.2参数不确定性下的保守定价Heston模型（以及任何其他随机波动率模型）基本上是基础金融市场的模型，即使它主要用于期权定价。定价指标通常被认为是为了方便而固定的，例如通过期权价格的模型到市场校准，与客观指标的联系对于分析并不重要；因此不一定明确。虽然我们也在处理期权定价，但在定价度量继承了objectivemeasure的不确定性的情况下，我们采取了稍微相反的方法。在这里，我们通过对目标参数的统计估计来推断定价参数的不确定性，因此度量之间的关系将起到不可或缺的作用。另一方面，如果直接从pricingparameters的校准方法中推导出不确定度，则无需在测量值之间建立明确的联系。我们将同时处理这两种情况，为此，我们假设暂时给出一个定价度量Q，以便能够用另一个受不确定性影响的定价度量替换它。为此，我们在模型中引入了参数不确定性，通过修改我们的参考测量值，以控制参数过程。也就是说，我们将风险中性度量Q替换为一个等价度量qu，在该度量qu下，受控动态st=ru（ut）Stdt+pVtSt（ρdWu1t+p1- ρdWu2t），dVt=κu（ut）（θu（ut）- Vt）dt+σpVtdWu1t，（4）对于t∈ [0，T]。控制过程{ut}t≥0是一个Ft可预测的过程，它在压缩集U中取值 R、 我们称之为参数不确定性集。