随机波动率模型下的欧式期权定价

我们为容许控制过程的空间（即，可预测过程取U中的值，具有充分可积性）写U，在Qu下，我们得到wu1和wu2是独立的维纳过程，稍后将对此进行解释。控制过程匆忙地实现了它的路径，而我们只是事先不知道哪个{ut}t≥0∈ U将主导（4）：不确定性相当于这个选择。此外，我们表示控件的组件{ut}t≥0={rt，κt，θt}t≥0和（4）的受控漂移功能，所有f:U→ R+，定义为ru（ut）=rt，κu（ut）=κt+σλ，θu（ut）=κtθtκt+σλ。（5） 请注意，受控漂移的这一规定依赖于以下前提，即Qparameters r、κ、θ通过用ru、κu、θu替换而受到参数不确定性的影响。不确定性反过来又被认为是从客观P参数的统计估计中推断出来的，表示为（rt、κt、θr）∈ U其中U是统计不确定性集，并通过mapU 3 ut7传输到定价参数→ （ru（ut）、κu（ut）、θu（ut））∈ Uλ由（5）给出。这里，Uλ是由相同映射所产生的受控参数的不确定性集。因此，与Q相关的参数λ起着促进不确定性转移的工具作用，它确定了不确定性价格参数所在的集合Uλ。在实践中，我们强制设置λ=0，以获得价格参数的不确定性正是估计的实际参数的不确定性，即Uλ≡ U、 然而，请注意，这并不意味着P≡ Q noru=r，cf。

方程式（1）。类似地，当采用校准方法直接给出定价参数和关联的不确定性集时，标识符RU（ut）=rt，κu（ut）=κt，θu（ut）=θt（6）将有助于用控制（rt，κt，θt）替换r，|κ，|θ∈ U、 现在，表示受限于风险中性不确定性集U内的不确定定价参数。利用（S，V）的受控动态表示受参数不确定性影响的模型，我们继续定义欧式期权价格的上下限。也就是说，对于在时间T由平方可积FT可测随机变量G给出的具有终值Payo ff的S上写的期权，我们将根据控制问题d给出的受控定价措施（即在参数不确定性下）从估值中获取最保守的价格-t=ess inf{ut}∈UEuhe公司-RTtrsdsGFTI和D+t=ess sup{ut}∈UEuhe公司-RTtrsdsGt的Fti（7）∈ [0，T]，其中Eu（·| F）表示Qu下的条件期望。因此，在某种意义上，当不确定性参数在不确定性集中以最优方式随机演化时，我们考虑出售期权多头/空头头寸的超级复制成本。为了找到与上一节等式（3）相对应的定价PDE，我们接下来考虑G=G（ST）给出的一些非负函数G的支付。由于问题的马尔可夫结构，我们得出最优价值过程将是当前资产价格和所述方差的函数-t=D-（t，St，Vt），D+t=D+（t，St，Vt），对于某些连续函数，D±：[0，t]×R+×R+→ R、 正如我们稍后将看到的，这些函数将满足欧式期权标准定价方程的半线性版本。

然而，在我们得出最优控制值过程（及其生成函数）的更精确表达式之前，我们要后退一步：我们将首先考虑固定控制的值过程及其与向后随机微分方程的联系。按照Cohenand Elliott（2015）中概述的Quenez（1997）的方法，我们将最优控制值过程视为密切相关的BSDE的解决方案。为了通过BSDES的双重公式来确定定价边界，我们首先考虑Girsanov的theoremdW1ut=dWt的以下表示- α（t，St，Vt）dt，dW2ut=dWt- α（t，St，Vt）dt。（8） 在这里，我们可以更明确地使用符号，例如（rt，|κt，|θt）∈U表示校准得出的定价不确定度。为简洁起见，我们避免这种概念上的区别。这借鉴了{Qu:u∈ U} 是一个不完全市场模型的等价鞅测度集，使得期权的最保守风险中性价格等于相同的空头头寸的超级复制成本：∏t（G）=infφ{Vt（φ）：Vt（φ）≥ G、 a.s.}是超复制G的（最便宜）可容许策略φ的贴现投资组合值，然后∏t（G）=ess supu∈UEu[| G | Ft]，达到最高值。例如，参见Cont和Tankov（2004），第10.2节。对于其核α=（α，α）>，直接代数则表明α（St，Vt，ut）=σ√及物动词κu（ut）θu（ut）- ~κ~θ - （κu（ut）- ^1κ）Vt-ρ（κu（ut）θu（ut）-~κ~θ-（κu（ut）-κ）Vt）+σ（rt-r）√1.-ρ（9） 将分别与Wu和▄W相关的动力学（4）和（2）联系在一起。

形式上，如果过程的随机指数α（S，V，u）>o（~W，~W）定义了测量变化Q→ Quon FT，dQudQ=EZ、 α（St，Vt，ut）dWt+Z。α（St，Vt，ut）dWtT、 （假设E（α>o~W）是鞅），则（8）中定义的w1u和W2ude是Quby-Girsanov定理下的两个独立的维纳过程。接下来，我们定义线性驱动函数f：（0，∞) ×(0, ∞) ×R×R1×2×U→ R asf（s，v，y，z，u）=%（s，v，u）y+zα（s，v，u）（10），其中%（s，v，u）≡ -r、 即控制的（负）第一部分，代表无风险利率。利用（9）-（10）定义的驱动因素，我们得到了Qu下期望值的以下表示：对于给定的固定控制过程u={ut}t≥0∈ U、 jt（U）=Euhe给出的控制值过程-RTtrsdsg（ST）Fti，t∈ [0，T]是线性马尔可夫倒向随机微分方程djt（u）=-f（St，Vt，Jt（u），Zt，ut）dt+ZtdWt，Jt（u）=g（St），（11）其中Z=（Z，Z）>-J（u）的鞅表示部分-是一个取R1×2值的过程（是BSDE解的一部分）。要了解这一点，请考虑求解（11）的过程j（u），并将E（Γ）设为Γ=Z的随机指数。-rtdt+Z.α（St，Vt，ut）>dWt。将它的乘积规则应用于E（Γ）J（u），得到d（E（Γ）tJt（u））=E（Γ）tZt+Jt（u）α（St、Vt、ut）>因此，由于E（Γ）J（u）是Q下的鞅，我们有jt（u）=E（Γ）tEQ[E（Γ）Tg（ST）| Ft]=eRtrsdsE（α>oW）tEQhe-RTrsdsE（α>W）Tg（ST）Fti=Euhe-RTtrsdsg（ST）Ftias E（α>W）是测量变化Q的密度→ Qu.BSDE（11）控制在不确定性集合U中演变的固定参数控制过程影响下的价值过程。

为了获得最低（最高）值情景，应在U中的所有容许控制上最小化（最大化）值过程，如下文所述，这是通过对tou进行逐点优化来实现的∈ 值处理的驱动程序函数的U。因此，我们确定了以下针对参数不确定性setH优化的驱动因素-（s、v、y、z）=ess infu∈Uf（s，v，y，z，u）和H+（s，v，y，z）=ess supu∈Uf（s，v，y，z，u），其中我们注意到，由于u是紧致的，因此可以同时达到内界和上界。根据BSDE的比较原则，我们得出以下主要结果：下/上最优控制值过程-t=ess infu∈UJt（u）和D+t=ess supu∈UJt（u）代表t∈ [0，T]，具有cadlag修改，这些修改是BSDEsdD±T=-H±（St，Vt，D±t，Zt）dt+ZtdWt，D±t=g（St）。（12） 具体而言，这些过程等于（t，St，Vt）的确定性函数，即对于某些连续函数D±：[0，t]×R+×R，D±t=D±（t，St，Vt+→ R、 在H的上确界范围内，我们进一步发现存在最优控制{u±*t} t型∈[0，T]∈ U是反馈控制。这意味着进程SU±*t=u±*（t，St，Vt），t∈ [0，T]是某些确定性函数的所有可预测控制中的最佳控制su±*: [0，T]×R+×R+→ U、 最后，通过半线性Feynman-Kac公式（假设存在解），我们得到了D-（t，s，v）满足以下半线性抛物线偏微分方程Dt+svDs+ρσvsDvs+σvDv（13）+ess inf（r，κ，θ）∈U-rD+rsDs+κu（κ）（θu（θ）-五）Dv= 0，终端值为D-（T，s，v）=g（s）。

在对应的D+（t，s，v）方程中，我们用上确界代替下确界。证明：对于结果的第一部分，自H-（s、v、y、z）≤ f（s，v，y，z，u）通过定义，我们得到了BSDE的（唯一）解（g（ST），H-) 满足年初至今≤所有控制装置的Jt（u）∈ U（直到无法区分）。这是BSDE比较定理的结果（Peng（1992），另见El Karoui等人（1997））。此外，当我们假设驱动因子f对J（u）-BSDE充分可积，以允许唯一解（即，它是一个随机Lipschitz驱动因子）时，可积性传递到H，从而Y-BSDE也接受唯一解。根据菲利波夫的隐函数定理（Beneˇs（1970），参见McShane和War field（1967）以及菲利波夫（1959）），对于每一个 > 0存在可预测的控件u∈ 使用f（s，v，y，z，u) ≤ H-（s、v、y、z）+. 自年初至今+（T- t） 用驱动程序H求解BSDE-（s、v、y、z）+, 比较定理得出Jt（u）) ≤ 年初至今+（T- t） （直到显示可识别性）并且我们有inclusionYt≤ Jt（u) ≤ 年初至今+（T- t） 。出租 → 0我们有Yt=ess infu∈UJt（u）=D-t对于每个t，也就是说y是最优值过程的一个版本。那个D-t之所以可以写成（t，St，Vt）的连续函数，是因为（12）是马尔可夫BSDE。此外，由于我们知道最优控制是可以实现的，菲利波夫定理给出了它是（t，St，Vt，D）的函数-t、 Zt），其中Zt=z（t，St，Vt）-由于马尔可夫BSDE，我们得到的结果是-*t=u-*（t，St，Vt）表示确定性函数。

为了获得优化驱动器H±的表达式，我们注意到，值函数的驱动器可以方便地表示为受控漂移与原始参数的偏差；通过重新排列（10）f（St，Vt，Yt，Zt，ut）=（rt- r） Ztp1- ρ√及物动词- Yt！+（κu（ut）- ~κ)-Zt公司√Vtσ+ρZt√Vtσp1- ρ!（14） +（κu（ut）θu（ut）- ИκИθ）Ztσ√及物动词-ρZtσp1- ρ√及物动词！- rYt公司。（15） 或者，这可以表示为asf（St，Vt，Yt，Zt，ut）=（rt- r） Ztp1- ρ√及物动词- Yt！+（κt- κ)-Zt公司√Vtσ+ρZt√Vtσp1- ρ!（16） +（κtθt- κθ）Ztσ√及物动词-ρZtσp1- ρ√及物动词！- rYt（17）自κu（ut）- κ=κt- κ和κu（ut）θu（ut）- κ▄θ=κtθt- κθ，这是由于漂移的线性形式（以及P→ Q、 关于λ的值）。如果我们让βt≡ κtθ并使用参数化（rt，κt，βt）7→ （rt，κt，θt），因此我们得到驱动力是散度的线性函数ut=（rt- r、 κt- κ、 βt- β).因此，在P参数存在统计不确定性的情况下，通过最小化/最大化线性目标（服从紧凑不确定度集U方程（16）给出的约束），或类似地，（14）在校准推导出的不确定度下与Q参数进行校准时，通过恒等式（6）获得最佳驱动因素H±。鞅表示Z的函数是通过应用其^o引理toDt=D（t，St，Vt）和使用半线性定价PDE（13）显式获得的，该定价PDE（13）给出了SDD（t，St，Vt）=-H（St、Vt、Dt、Zt）Dt+xD（t，St，Vt）σ（St，Vt）dwt其中xf车型≡ (旧金山，vf）和σ（s，v）应理解为（2）的扩散矩阵。因此，通过BSDE解的唯一性，z（t，s，v）≡ xD（t，s，v）σ（s，v）是Z的确定性生成函数。为此，我们考虑由二次公式给出的椭圆不确定性集=u：~u>∑-1u≤ χ对于某些正半有限矩阵∑和正常数χ。

特别是，从统计推断，我们得到- α置信椭圆▄u>∑-1r，κ，βИu≤ χ(1 - α） （18）代表u∈ U（对于显著水平α），其中∑r，κ，β是参数的协方差矩阵，χ（1-α） 是具有三个自由度的卡方分布的分位数（详见第3.1节）。由于参数的最大似然估计量的大样本正态性，椭圆不确定性集的形式证明为（18）是渐近似然的水平集。这与Wald假设检验下的置信区间给出的不确定性形式相同，近似于Neyman-Pearson引理给出的最优置信集（见Lehmann和Romano（2006））。同于u 7→ f（~u）是线性的，它没有内部平稳点，二次问题-= inf f（▄u）和H+=sup f（▄u），受▄u>的影响∑-1u=χ给出优化的驱动程序。解为（例如通过拉格朗日乘子获得）H±（St，Vt，Zt，Yt）=±qχn>t∑>nt- rYtu±（St，Vt，Zt，Yt）=±rχn>t∑>nt∑nt（19），其中，nt是由nt=“Ztp1”给出的方程（16）参数偏差系数的3×1向量- ρ√及物动词- Yt！，-Zt公司√Vtσ+ρZt√Vtσp1- ρ!,Ztσ√及物动词-ρZtσp1- ρ√Vt！#>。（19）中的最优驱动因素总结了我们的分析，因为我们现在有了描述优先级边界演化的随机微分方程（12）的显式形式。在我们继续用数值方法获得这些方程的近似解之前，需要做几点说明。首先，该方法适用于具有time-T terminal Payoff-Pigi（ST）的期权组合。由于定价边界（7）的非线性，我们还有D+（Pwigi（ST））≤PwiD+（gi（ST））对于权重spwi=1，因此，通过对整个投资组合进行对冲，可以降低单个对冲的超级复制成本。

其次，对于G代表的一般薪酬∈ FT，例如S上的路径相关欧式期权，我们有一个对应于（12）的数值过程方程，终端条件为D±T=G。然而，这个问题不再产生马尔可夫结构，我们没有由确定性函数生成的D±（或Z），附录a中的数值方法也不适用。第三，我们通过替换Q故意施加参数不确定性→ 与替换P形成对比→ Qudirectly（这将产生相同形式的影响α（t，St，Vt），控制测量值变化，但用uin（9）代替r）。原因是，控制BSDE（12）将具有终端条件g（ST），其中ST~ Q、 我们有可访问的参数（特别是，我们可以直接观察Q漂移，而不是估计P漂移u）。我们以一条技术性评论结束本节。备注1。到目前为止，我们还没有对过程α（St，Vt，ut）表示任何可积性条件，以保证（i）密度dQu/dQ和（ii）驱动器rf（St，Vt，Yt，Zt，ut）得到很好的定义，即测量变化Q→ QU有资格并证明f（因此H±）产生一个BSDE，该BSDE允许一个唯一的解决方案。为此，Novikov的条件eqhert | |α（St，Vt，ut）| | dti<∞ （20） 对于（i）和（ii）都是有效的，从那时起，驱动因素是随机Lipschitzin y和z（注意RTI以U为界），即| f（St，Vt，y，z，ut）- f（St、Vt、y、z、ut）|≤ ||α（St，Vt，ut）| |（| y- y |+| | z- z | |），其中| |α（St，Vt，ut）| |是可预测的，并且（20）成立。对于随机Lipschitzdriver，如果终端条件g（ST）有界，相关BSDE允许唯一解有界（参见。

Cohen和Elliott（2015），附录A.9.2）。对于（20）中的Novikov条件，我们注意到指数的被积函数可以写成| |α（St，Vt，ut）| |=a（ut）Vt+b（ut）Vt+c（ut），其中a（ut）=（κt- κ)σ(1 - ρ） b（ut）=σ（rt- r） +（κtθt- κθ）+2ρσ（r- rt）（κtθt- κθ)σ(1 - ρ） c（ut）=-2（σρ（r- rt）+κtθt- κθ）（κt- κ)σ(1 - ρ） 对于（20）中的期望，我们有eqherta（ut）VtdteRTb（ut）VtdteRTc（ut）dti≤ krEQheRTa（ut）VtdtiEQheRTb（ut）Vtdti（21），因为eRTc（ut）dt以常数k为界（对于ut∈ U） 我们使用了Cauchy-Schwarz不等式。如果我们从（21）右侧的第一个预期开始，我们有一个（ut）≤ “a表示常数”a。作为“a”的积分CIR过程的拉普拉斯变换≤ κ/（2σ），我们最终得到条件|κt- κ| ≤ κp1- ρ√. （22）积分方差E的拉普拉斯变换(-βRTVtdt）]可追溯到Cox等人（1985年），并对-β ≤ κ/（2σ），另见Carr等人（2003）。对于（21）的第二个期望值，我们使用b（ut）≤对于常数b，则为“b”，并且集成逆CIR过程的平面变换对于“b”是有限的≤2~κ~θ - σ√2σ!. （23）重新安排这个条件，我们得到σ（rt- r） +（κtθt- κθ）+2ρσ（r- rt）（κtθt- κθ) ≤1.- ρκθ - σ/2与（22）一起是（20）保持的充分条件。3实证视角在本节中，我们将研究保守定价方法如何将标准普尔500指数的历史价格带入一组真实市场数据。我们进行了一次经验实验，这里我们有以下基本原理作为我们研究的基础。我们让根据指数和方差的历史观察估计的统计参数代表客观测度P下的金融市场模型。因此，根据Heston的模型和估计参数，假设（S，V）随P动态变化。