随机波动率模型下的欧式期权定价

我们将这些选项标记为（I）-（IV），并在表2中给出一些额外的结果。关于这些结果的解释说明如下所示首先，我们发现，对于几乎所有考虑过的看涨期权价格（157个看涨期权中的154个），市场出价/报价都在模型界限内，尤其是在查找最新的两个选项（III）-（IV）时，所有价格都在模型界限内，见表2。下限始终涵盖投标报价，且边界的价格区间围绕期权（III）-（IV）的中间市场价格相当对称对于选项（I），其价格接近上限（偶尔高于上限），选项（II）的价格也一样。该期权的货币性随着时间的推移而大幅增加（见图3的右窗格），而标准普尔500指数期权的上限与欧洲看涨期权的距离：（I）（II）（III）（IV）期限2004年9月12日至12月24日12月31日至12月13日23日13月12日30日至14日12月22日14月29日至8月15日31到期14月12日20日12月15日19日12月16日17日12月15日15日价差：价格5.6%3.4%5.6%7.1%价差：价差14.9%12.4%13.9%12.8英寸界限88.2%98.1%100%100%Optim：价差7.8 6.1 7.2 6.6区间11.8%0%76.9%72.2%表2：标准普尔500指数看涨期权模型价格的最优控制价值过程（定价界限）和公式最优价格区间的关键参数。价差-最高价格比率给出了市场价差的平均大小，作为每个期权平均中端市场价格的百分比。同样，价差界限比率将价格界限的范围与市场价差的范围进行比较。内边界图给出了落在模型边界内的市场报价的比例。根据最优价格公式的区间计算相应的图表。图5：通过优化Heston的看涨期权定价公式获得的最低和最高价格（红色虚线）。

黑色实线显示标准普尔500指数期权的市场报价。报价正在缩水。一种可能的解释是，该模型无法捕捉市场价格/隐含波动率的斜率和偏斜，尤其是因为这些参数是根据历史指数价格而不是期权价格估计的。为了调查这一点，我们查看了期权（II）第一个和最后一个日期的市场价格和一系列罢工的模型边界，图6中以隐含波动率绘制图6的左窗格显示了从开始日期开始的价格，显示了市场价格的大幅倾斜波动曲线，而赫斯顿优化公式中的价格产生了更大的波动，斜率更小。这表明，图6：左图：2012年12月31日记录的标准普尔500指数看涨期权在不同打击下的中端市场隐含波动性较高。相应的模型边界（虚线）和公式最优价格（红色虚线），都是隐含波动率。ATM期权（II）的波动性以星形标记。

右图：2013年12月23日（期权（II）考虑期的最后日期）记录的中期市场价格、模型边界和公式最优的隐含波动率。偏态水平需要满足市场波动率的曲率（粗略峰值、更强的负相关性以增加斜率和更高的“vol of vol”水平以增加偏态），以及更高的波动性水平才能使ATM公式价格与市场相适应（更高的平均回复水平和更低的回复速度）另一方面，相应的定价边界足够宽，可以在两个日期进行全面罢工，即使上限接近市场波动率，但在期权深入资金的较后日期，参见图6的右窗格。与公式最优价格的情况一样，我们注意到，界限不显示任何与市场波动相一致的曲率，这可能是因为负相关性水平较低，并且体积与体积。回到所有期权（I）-（IV）的价格，我们总共有98%的市场报价在定价界限内，而公式最优价格涵盖了40%的报价。

特别是，期权（II）的市场报价在整个期间都超出了最优预测公式，期权（I）的报价仅占其报价的11.8%。一般来说，价格上限太低，配方奶粉价格覆盖范围太小：优化价格的（平均）范围为~ 市场价差的7倍（见表2），因此与模型界限范围相比几乎减半(~ 13倍的市场利差）。基于统计推断的赫斯顿公式优化不足以覆盖所考虑数据的市场报价：价格区间太紧，货币期权通常超出模型预测，这表明没有捕捉到波动微笑。这可能是意料之中的，因为参数估计特别符合基础指数差异参数，而不是我们试图定价的实际期权。此外，我们使用一组恒定的参数来预测整个三年期间的期权价格，而在实践中，通常会定期更新估计值。因此，我们面临着赫斯顿模型的一项挑战性任务：在长期内为一组动态的市场期权定价，同时在将模型估计为数据时仅从基础资产中获取信息。作为回报，我们允许漂移参数在其95%的密度范围内变化，以表示市场模型的不完整性，毕竟，这提供了一个优化的价格范围，在一定程度上涵盖了期权报价。只有当我们推广该模型时，我们才能获得足够宽的保守定价界限，以涵盖大多数价格，即使一些深层次的货币期权仍然不在范围之内。

我们假设95%置信区间作为不完全性的代表，但允许对跨越风险中性度量空间的参数的不确定性有更一般的看法：它们不仅在置信区间内不确定，而且参数也随时间动态变化。最后，前一种方法对应于一个参数过程为常数的最优控制值过程，我们只需考虑这些参数的变化，以便以一种理想的方式涵盖期权的市场定价。4带跳跃的随机波动率模型为了完成本文，我们将在最后一节将我们的建模框架推广到带跳跃的马尔可夫随机波动率模型下的多资产设置。我们的目的是简要介绍不确定性定价如何转化为一般模型，我们有意避免深入细节和技术性消费。4.1一般马尔可夫模型我们考虑过滤概率空间上的金融市场模型(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），包括货币账户B，支付确定利率r的无风险利率，以及代表d风险资产价格过程的Rd值随机过程S=（S，…，Sd）>。此外，我们还有非负随机过程，V取Rd中的值，表示瞬时方差。通常，这两个维度是相等的，因此每个资产价格都被单个波动率所区分，我们也认为这里的情况是d=d。假设状态变量的m=2d列向量X=（S；V）的统计P-动力学形式为dxt=uP（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZZh（ξ，Xt-)§u（dξ，dt），其中up（·）是统计测度下的m维漂移函数，σ（·）是m×m值扩散矩阵，W是Rm值维纳过程。

跳跃部分由|u驱动，这是Blackwell空间Z上的一个补偿泊松随机测度，确定性补偿器up（dξ，dt）=ν（dξ）dt，h（·）是一个状态相关函数，在Rm中取值，控制X的跳跃大小。因为我们使用的是Rm维状态过程，所以我们取Z=Rm。我们假设{Ft}t≥0由W和||u共同生成，并增加以满足通常条件。假设函数up、σ、h的定义使得SDE允许在固定的确定时间T内（例如线性增长和局部Lipschitz连续）有唯一的解，并且V是非负的。此外，我们假设充分的可积性条件，使得市场模型不允许套利：存在一个等价的鞅测度Q，在此鞅测度下，S和V followsdSt=rStdt+σS（St，Vt）dWt+ZRdh（ξ，St-, Vt）~u（dξ，dt）dVt=uV（Vt，Γ）dt+σV（Vt）dwt，其中σS（·）和σV（·），均以Rd×m为单位，是σ的第一行和最后一行。d值函数uV（·，Γ）是参数Γ方差的Q漂移，而ΓW是Q下的m维维纳过程。为方便起见，我们假设跳跃只会影响资产价格；Z=Rd，h（·）是一个Rd值函数，而补偿器测量值up（dξ，dt）=ν（γ，dξ）dt取决于Q参数γ（我们对uphere使用相同的符号，即使补偿器在p和Q下可能不同）。此外，我们假设连续方差具有漂移和扩散函数，仅依赖于方差的状态。虽然将非零股息（以及跳跃和方差的S依赖系数）概括为非零股息应该很简单，但风险资产不被假定为携带股息支付。

作为under，我们假设Q下的所有系数都表现良好，以便存在适当的解决方案。市场模型（S，B）没有套利，但不完整，因为它比交易风险资产（d）有更多的随机源（2×d），并且由于资产价格呈现跳跃（即风险中性度量Q不是唯一的）。对于马尔可夫定价规则dt=D（t，St，Vt），t∈ [0，T]，D：[0，T]×Rd×Rd→ R、 D∈ C1,2，对于具有终端支付（ST）的欧式期权，我们有一个对应于（3）的定价方程，如下所示：Dt+LD- rD=0D（T，s，v）=g（s），其中L是在q下生成（s；v）的（与时间无关）微分算子。对于函数f（s，v）∈ C运算符定义为lf（s，v）=uQ（s，v）>xf（s，v）+trσ> （s、v）xxf（s，v）σ（s，v）+Zξ∈研发部f（s+h（ξ，s，v），v）- f（s，v）- h（ξ，s，v）>xf（s、v）ν（dξ）由于跳跃是由泊松随机测度生成的，因此S的跳跃将由St=Zz∈Rdh（z，St-, Vt）~u（dz，{t}）=h（zt，St-, Vt）1{St6=0}其中zt∈ RDI是集合中的一个（唯一）点，其中u（{zt}）=1。哪里x，xxx和x=（s，v）分别是梯度和Hessian算子，tr[·]是矩阵轨迹。根据Feynman-Kac表示公式，这相当于风险中性估值公式D（t，s，v）=等式e-r（T-t） g（ST）（St，Vt）=（s，v）.4.2参数不确定性下的定价在我们的模型中，我们引入了表示参数不确定性的受控度量qu。因此，使用{ut}t≥0是一个Ft可预测的控制过程，在紧凑的不确定性集中取其值U Rk，我们让受控动力学bedt=rtStdt+σS（St，Vt）dWut+ZRdh（ξ，St-, Vt）~uu（dξ，dt）dVt=uV（Vt，ut）dt+σV（Vt）dWut。其中，我们假设资产价格和方差的受控漂移rtStanduV（Vt，ut）=uV（Vt，Γt），在Q和Qu下具有相同的函数形式。

因此，控件具有组件ut=（rt，Γt，γt），其中，Γ是uV的参数，而γ是受控（形式不变）补偿器测量uup（dξ，dt）=ν（γt，dξ）dt与氡-Nikodym密度β（ξ，t，ut）的参数≡ duup/dup相对于up。我们让uQu（St、Vt、ut）≡（rtSt；uV（Vt，ut））表示（S；V）在Qu下的公共漂移（与公共Q漂移类似）。然后通过R1×m值过程α（St，Vt，ut）=σ来确定控制效果-1（St、Vt）uQu（St、Vt、ut）- uQ（St，Vt）-ZRdh（ξ，St-, Vt）（β（ξ，t，ut）- 1） ν（dξ）给出线性驱动函数f（s，v，y，z，θ，u）=-ry+zα（s，v，u）+Rξθ（ξ）（β（ξ，t，u）-1） ν（dξ），其中最后一个参数是函数θ：Rd7→ R、 在模有效积分和Lipschitz条件下，我们得到了固定容许控制的值函数Jt（u）=Eu[e-RTtrudug（ST）| Ft]，t∈ [0，T]，作为线性BSDEdJt（u）=-f（St，Vt，Jt（u），Zt，Θt，ut）dt+ZtdWt+Zξ∈RdΘt（ξ）~u（dξ，dt）JT（u）=g（ST），其中Z是R1×m值，而Θ是在函数θ：Rd7空间中取其值的过程→ R、 结果与赫斯顿模型的情况类似：将It^o的productrule应用于E（∧）J（u），其中∧=-R、 rtdt+α（St，Vt，ut）o~W+R.R（β（ξ，t，ut）- 1） u（dξ，dt），看到E（λ）J（u）是一个鞅，并使用E（λ+R.rtdt）T=dQu/dQ表示E（λ）tJt（u）=E[E（λ）tJt（u）| Ft]的测量变化，以获得重新排列后的值过程的原始表达式。

此外，定义紧凑不确定性setH±（s、v、y、z、θ）上的逐点优化驱动函数=ess supu∈U±f（s、v、y、z、θ、U）,通过比较定理，我们得到了最优控制值过程（上/下定价边界）{D±t}t∈[0，T]={| ess sup{ut}±Jt（u）}T∈[0，T]是BSDEsdD±T=-H±（St，Vt，D±t，Zt，Θt）dt+ZtdWt+Zξ∈RdΘt（ξ）~u（dξ，dt）d±t=g（ST）。这里也是这样，这是因为我们在y、z和θ中有一个线性驱动器，以及BSDE的比较定理。为了简洁起见，我们省略了该证明，其遵循的方式与前一个案例中赫斯顿模型的方式相同（详情请参见Cohen andElliott（2015），第21章）。同样，由于我们在马尔可夫环境下工作，我们可以用确定性函数Dt=D（t，St，Vt）来编写解决方案，对于最优控制也是如此：存在一个函数u*（t、s、v）使反馈控制u*t=u*（t，St，Vt）是所有容许控制中的最优控制。最后，与Heston模型一样，我们通过半线性Feynman-Kac公式得出D（t，s，v）满足半线性偏微分方程Dt+tr[σ>xxDσ]+ess inf（r，Γ，γ）∈U-rD+（uQu）>xD+Zξ(D-h>xD）ν（γ，dξ）= 0终端条件D（T，s，v）=g（s），其中D是速记法forD（t，s+h（ξ，s，v），v）- D（t、s、v）。尽管存在许多此类PIDEO的数值方法，但可以选择模拟BSDE解决方案（例如，见Bouchardand Elie（2008）），尤其是当问题的维数较高时。5结论模型不确定性（此处以参数不确定性表示）是Knight（1921）正式提出的公认概念，其重要性至少自Derman（1996）以来就已在金融领域进行了研究。

本文的重点是研究如何将参数不确定性纳入随机波动率模型，以及它如何影响欧式期权的衍生价格。所考虑的不确定性相当普遍：利率和波动率漂移参数允许在统计估计推断出的预先描述的不确定性区域内随时间变化（常数参数为特例）。然后，从最坏情况的角度研究了对定价的影响，期权价格的边界可以嵌入到控制问题中，控制扮演着不确定参数的角色。以赫斯顿模型为例，研究了控制问题——BSDE对偶，并以马尔可夫线性BSDE的形式导出了定价边界（最优值过程）的显式方程。该BSDE的解决方案考虑了一个带有多个建议修改的数值方案，并在类似于动态参数设置的已知结果设置中对方案进行了评估。基于偏差/方差（和计算）考虑，我们提出了一个模式，用于对应用于真实市场数据的方法进行实证研究。研究标普500指数上欧洲看涨期权的一组买入/卖出市场报价及其相应的模型价格界限，发现即使模型（和不确定性集）是根据标普500指数的历史价格估计的，98%的市场期权价格在模型规定的界限内。相反~ 当使用恒定参数时，40%的市场报价在最大/最小模型价格区间内。在动态和常量参数设置中，可以看出模型隐含波动率没有遵循市场隐含波动率的曲率。