随机波动率模型下的欧式期权定价

对这一观察结果的自然解释是，影响隐含波动率曲线斜率和斜度的差异参数是根据资产价格数据而非期权价格数据估计的。因此，一个有趣的经验续集将是研究当参数从市场期权价格校准时，模型价格边界的形状和覆盖范围如何变化。我们将此留作进一步调查。最后，我们注意到，带有定价边界的保守方法没有考虑关于不确定性的先验信念和偏好。然而，当使用UTI代替trueparameters ut时，L（ut，ut）是分配损失的函数，我们可以将信念与形式为JT（u）=Eu的值函数结合起来eRTtrsdsG+ZTtL（美国、美国）ds英尺这将导致类似的线性BSDE。损失可能基于估计参数的（近似）正态性或与经济价值相关的一些数量，例如对冲误差。在这两种情况下，损失的价值必须与期权支付的价值相关，这是一项复杂的任务，我们将此方法留给进一步研究。致谢感谢两位匿名推荐人对本文提出的详细而有益的建议。特格纳感谢沃伦堡基金会和牛津大学数量金融研究所的支持。科恩非常感谢牛津Nie金融大数据实验室和牛津曼量化金融研究所的支持。通过解解耦前向随机微分方程（2）-（12），给出了最佳控制值过程（或固定反馈控制的值过程，即确定性函数u的ut=u（t，St，Vt））的数值方法。

一般来说，无论是正向还是反向SDE，都没有太多的希望找到闭合形式的解，并且通常必须考虑数值方法。出于我们的目的，我们考虑Bouchard和Touzi（2004）的SimulationTechnology。A、 1 Bouchard和Touzi对时间网格π的模拟方案：0=t<···<tn=t，Bouchard和Touzi（2004）提出了一种方法来生成具有前向分量X和后向分量Y的解耦方程解的离散时间近似（Xπ，Yπ）。在模式的第一部分中，使用标准Euler-Maruyama近似在时间网格π上模拟正向分量Xπ，以生成N条Xπ路径（参见Kloeden和Platen（1992））。然后，分量Yπ由反向感应πtn=g（Xπtn）Zπti生成-1=iEhYπtiWti公司Xπti-1iYπti-1=EhYπti+f（Xπti-1，Yπti-1，Zπti-1)我Xπti-1i（27）其中我≡ ti公司- ti公司-1和Wti公司≡ Wti公司- Wti公司-1是从Xπ生成的ithtime和Wiener增量。（27）中的最后一个方程式是通过应用E[·| Fti获得的-1] 以下是BSDEYπti的简单离散化- Yπti-1= -f（Xπti-1，Yπti-1，Zπti-1)i+Zπti-1.Wti（28），并利用X的马尔可夫性质以及Yt和Zt都是XT的决定函数这一事实∈ [0，T]。Z的第二个方程通过（28）乘以接受有条件的期望。对于反向归纳法（27），必须计算条件期望并使方案可操作，这是通过近似值^E[·| Xπti来实现的-1] 回归函数E[·| Xπti-1] 基于模拟训练数据。也就是说，数据{Yπ（j）ti，W（j）ti，Xπ（j）ti-1}1≤j≤Nis用于（27）中的第一次回归，其中Xπ（j）是Xπ的jths模拟路径，andYπ（j）是前一时间步归纳的相应值。

对于第二次回归，{Yπ（j）ti，Z（j）ti-1，Xπ（j）ti-1}1≤j≤相应地使用Nis。作为非参数回归估计的一个例子，建议使用Nadaraya Watson加权平均作为核估计。为此，我们方便地使用k近邻核：对于Xπti-1和一般ξ∈ Fti，每个都有模拟结果{Xπ（j）ti-1，ξ（j）}1≤j≤N、 我们近似E[ξ| Xπti-1=Xπ（j）ti-1] ，j=1，N、 带^EhξXπ（j）ti-1i=PNl=1ξ（l）||Xπ（l）ti-1.- Xπ（j）ti-1|| ≤ d（j）kk+1（29），其中d（j）kis是Xπ（j）ti之间的距离-1及其kthnearest邻居，1（·）是指示函数。回归（29）和（27）产生了一种隐式模拟方法，作为方案的最后一步，建议截断Zπti-1和Yπti-1如果有合适的（可能是t和Xπti-E[Yπti的1依赖）界Wti | Xπti-1] ，E[Yπti | Xπti-1] 和Yti-1、k-最近邻估计量（29）以常数近似局部邻域中的回归函数。因此，它的偏差很低，但方差很大，并且不受边界维度诅咒的影响。对于另一种回归估计，我们考虑MARS方法（多元自适应回归棘），该方法以自适应方式使用分段线性基函数来近似回归函数。模型具有线性形式^EhξXπti-1i=β+MXm=1βmhm（Xπti-1） （30）其中，每个基函数hm（X）由成对分段线性样条线的集合构造Esc=n（Xk- η)+, (η - Xk）+：η∈ {Xk，π（j）ti-1} Nj=1，k=1，2o。因此，节点η位于X观测值集中的任何值处（上标tk表示X的分量）。

基函数hm（X）也可以是C中函数的ad倍积，其中d表示所选的模型顺序。通过将当前HM与C中的新函数相乘，依次建立模型（30）：对C中的所有对进行测试，只将产生最大剩余误差减少的项添加到（30）中。这里，所有系数β，β。用最小二乘法对每一步进行估计。然后，继续建立模型，直到出现规定的最大项数M。最后，使用删除程序（再次基于最小误差增加）对模型进行“修剪”，其中通过交叉验证估计最佳项数（详情见Hastie et al.（2005））。A、 2修改后的模拟方案作为Bouchard-Touzi方法的第一次修改，我们通过替换（27）中的第二次回归来考虑隐式方案的显式版本：Yπtn=g（Xπtn）Zπti-1=iEhYπtiWti公司Xπti-1iYπti-1=EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我Xπti-1i。（31）这来自于在正确的时间点Yti而不是Yti对BSDE进行离散化-1由于Y是一个连续的过程，随着时间网格变得更紧，在正确的时间点使用该值的效果正在消失。Gobet（2006）使用了离散化，其好处是可以明确计算Yπti-1在每次迭代的第二个回归步骤中。我们正在使用Milbrow的R软件包“earth”。源自T.Hastie和R.Tibshirani的《mda:mars》。

(2011).作为一个附加步骤，为了获得具有定点程序的隐式方法，我们可以使用（31）来获得第一个候选▄Yπti-1并用少量▄Yπti的隐式迭代来补充后向诱导中的每一步-1=EhYπti+f（Xπti-1，~Yπti-1，Zπti-1)我Xπti-1i，（32）并保持Yπti-1=~Yπti-1是我们下一步倒退的最终价值-见Gobet等人（2005）。其次，为了提高方案的稳定性，我们考虑对（31）进行修改，基于以下向后分量πti的递归-1=Yπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我- Zπti-1.Wti=Yπti+1+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)i+f（Xπti，Yπti+1，Zπti）i+1- Zπti-1.Wti公司- ZπtiWti+1=Yπtn+nXk=if（Xπtk-1，Yπtk，Zπtk-1)k- Zπtk-1.我们可以写出显式的后向归纳（31）asYπtn=g（Xπtn）Zπti-1=iE“Yπtn+nXk=i+1f（Xπtk-1，Yπtk，Zπtk-1)kWti公司Xπti-1#Yπti-1=E“Yπtn+nXk=if（Xπtk-1，Yπtk，Zπtk-1)kXπti-1#.（33）Bender和Denk（2007）提出了这一想法，Gobet和Turkedjiev（2016）对此进行了进一步探讨。好处是，由于近似条件预期而产生的误差不会以相同的速率累积。与前面的修改一样，我们可以用少量的迭代来补充（33）~Yπti-1=E“Yπtn+nXk=if（Xπtk-1，~Yπtk-1，Zπtk-1)kXπti-1#（34）对于隐式方法。对于另一种模拟方案，回想一下，对于马尔可夫前向后向方程，yt和zt都可以写成当前前向状态（t，Xt）的函数。因此，我们使用（31）的回归估计来写πti-1=^EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我Xπti-1i≡ ^yi-1（Xπti-1） （35）也就是说，生成Yt=y（t，Xt）的函数y（t，x）用^y（·）近似。

此外，如果我们在（35）的驱动程序中使用Zπtiin（来自上一时间步的Zπtif）来获得^yi-1（·），我们得到以下模式：πtn=g（Xπtn），Zπtn=xg（Xπtn）σ（Xπtn），Yπti-1=^EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti）我Xπti-1i==> ^yi-1（·），Zπti-1= x^yi-1（Xπti-1） σ（Xπti-1） ，（36）因为生成Zt的函数由Zt=xy（t，Xt）σ（Xt），见脚注8。特别是，如果我们采用MARS回归，则^y（·）将是分段线性样本及其乘积的总和，直至达到规定程度。因此，偏导数(s^y（·），v^y（·））很容易通过解析计算得到。此外，可以用Yπti迭代（36）的最后两个计算-1，Zπti-1用于方案的隐式版本。对于第二种类型的修正，我们可以包括回归函数的其他预测因子。例如，让CHe（t，x）表示根据Heston模型计算的具有终端支付（XT）的期权的定价函数。由于定价界y位于价格CHe（t，Xt）附近，我们可以将其作为回归估计πti的预测值-1=^EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我Xπti-1，CHe（ti-1，Xπti-1） i.（37）最后，我们提到了Alanko和Avellanda（2013）Zπti提出的标准方案（27）中第一次回归的修正-1=iEh公司Yπti- E[Yπti | Xπti-1]Wti公司Xπti-1i（38），目的是减少回归估计的方差。动机如下：对于某些连续函数Y（t，X），由于Yπti=Y（ti，Xπti），我们有zπti-1=E[y（ti-1+ i、 Xπti-1+ Xπti）Wti公司/i | Xπti-1] 估计量ThereOfNxj=1y（ti-1+ i、 Xπti-1+ Xπ（j）ti）√iz（j）i（39），其中z（j）是独立的标准正态随机变量。像Xπ（j）ti=漂移×i+差异×√iz（j），我们得到估计值（39）的方差约为yy（ti-1，Xπti-1） /（Ni） 对于小型因此，它爆炸了我→ 0

作为回报，如果我们使用nnxj=1y（ti，Xπti）- y（ti-1，Xπti-1） +金融机构-1.我√iz（j）i（40）其中fi-1.≡ f（Xπti-1，Yπti-1，Zπti-1） 和y（ti-1，Xπti-1) -金融机构-1.i=E[Yπti | Xπti-1] 从（27）可以看出，（38）的估计量（40）将具有近似方差2yx（ti-1，Xπti-1） /不适用+ifi公司-1/N，不依赖于ias这归零。在本节结束时，我们将演示以下示例中基于（31）和（33）的模拟方案。示例1。对于正向过程，我们用参数（r，κ，θ，σ，ρ）=（0，5.07，0.0457，0.48，-0.767），初始值（Sπ，Vπ）=（100，θ），在n=25个点和终端时间T=1的等距时间网格上。对于后向过程，我们考虑平凡的驱动因素f（Xt，Yt，Zt）=0，即dYt=ZtdWt，以及终端条件Yt=ST。因此，Y是鞅，我们有Yt=EQ[ST | Ft]=ST图7：左图：用示例1的零驱动因素模拟了五条Yπ（实线）的路径。采用显式格式（29）-（31），k=5个最近邻。前向分量Xπ=（Sπ，Vπ）是根据Heston的模型模拟的，虚线显示了Sπ对应的路径。右图：使用k=5显式方案（31）（黑色交叉）、基于递归的方案（33）（k=5（红色交叉）和k=100（蓝色交叉）重复50次，Yπ的N样本平均值（按递增顺序）。因为对于零利率，S也是Q鞅。由于驱动因素中没有Z的依赖性，反向归纳简化为回归Yπti-1=^E[Yπti | Xπti-1] 重复i=n，1和起始值Yπtn=Sπtn。

当k=回归估计器（29）的5个最近邻时，图7的左窗格显示了五条反向过程Yπ的模拟路径，以及显式方案（31）和相应的Sπ路径，可以看出，各分量之间的关系非常密切。从初始时间值来看，Yπ的N样本的平均值为98.532，与真值Y=EQ[ST]=S=100相比，而Yπtn=Sπtn的样本的平均值为99.998。如果我们重复模拟50次，并计算每次重复的Yπ平均值，我们将在图7的右窗格中获得结果。基于（31）的第一个显式方案产生的样本平均值非常接近真实值，如果我们用Yπ递归方案（33）重复模拟，我们会得到类似的结果。为了进行比较，我们还包括了k=100近邻的递归方案。最后，请注意，该示例对应于g（x）=x和效应α（St，Vt，ut）=（0，0）>，因此≡ Q、 因此，当驱动程序（10）的%=0时，我们得到的valueprocess Jt（u）=Eu[g（ST）| Ft]=EQ[ST | Ft]是（11）的解。A、 3欧式期权的模拟结果为了数值计算欧式期权的定价界限，我们考虑了表5中给出的参数设置和表3中给出的一组具有行权到期结构的看涨期权。认购价格根据赫斯顿模型的所谓半封闭价格公式计算，即通过价格的逆傅立叶变换进行数值积分（参见Gatherel（2011））。

然后通过数值优化，从Black-Scholes公式中获得相应的隐含波动率。欧洲看涨期权价格冲销/到期75 100 1254m 26.0044（0.2823）4.8239（0.2106）0.0070（0.1518）1y 29.4915（0.2482）10.9174（0.2124）1.8403（0.1832）10y 57.4959（0.2220）46.4060（0.2174）37.1943（0.2138）表3：欧洲看涨期权的价格和隐含波动率（括号内），由赫斯顿模型的半封闭定价公式计算，参数见表5。在考虑从最优控制价值过程中获得的定价边界之前，我们先看看通过最小化/最大化Heston的定价公式CHe（·）在（18）中的椭圆约束表示的参数不确定性集U上实现的价格，置信度为95%。isC±He=min（r，κ，θ）∈U±CHe（S，V；τ，K，Θ）（41）式中，Θ是模型参数的向量，包括（r，κ，θ），而K是走向，τ是成熟时间。基于表5，利用参数和椭圆确定性区域对（41）进行数值优化，我们得到了表4中的结果。

我们将使用这些作为即将进行的模拟研究的参考点。优化的赫斯顿定价函数罢工/到期75 100 1254m[25.9316，26.2591][4.5758，5.0572][0.0040，0.0124]（0.0520，0.3651）（0.1980，0.2225）（0.1441，0.1610）1年[28.6578，30.4061][9.9716，11.8229][1.3840，2.4824]（0.0303，0.3060）（0.1872，0.2364）（0.1659，0.2053）10年[54.5102，62.3675][40.2004，51.9955][30.7291，43.0811]（0.0195，0.3190）（0.1085，0.2925）（0.1444，0.2754）表4：价格和欧洲看涨期权的隐含波动率，通过赫斯顿定价公式在参数不确定性区域约束的参数（r，κ，θ）上的数值最小化/最大化计算。远期成分模拟远期成分X=（S，V）SDE（2）的远期成分X=（S，V）控制资产价格和方差，在前向-后向方程模拟方案的第一阶段进行模拟。我们采用标准的Euler-Maruyama方案计算对数价格，并使用隐式MilsteinModel参数Svrκθσρ100 0.0457 0.05 5.070 0.0457 0.4800-0.767rκβr 2.5e-05 0 0κ0 0 0.25 0β0 1e-04表5：用于欧洲期权价格边界数值计算的参数设置和协方差矩阵。生成variancelog Sπti=log Sπti的方案-1+u -Vπti-1.i+qVπti-1(ρWti+p1- ρWti）Vπti=Vπti-1+ κθi+σpVπti-1.Wti+σ((Wti）- i） 1+℃κ我在这里Wti，由具有方差的零均值正态分布生成的自变量i、 如果参数满足4κθ>σ，则该离散化模式生成正方差路径，并且我们不必像标准Euler-Maruyama模式那样进行任何截断，参见Andersen et al.（2010）或Alfonsi（2016）。