随机波动率模型下的欧式期权定价

我们在一个等距的时间网格上模拟N=100000条路径，N=25节。通过反向模拟优化的赫斯顿公式作为反向成分Y的第一个模拟示例，我们考虑了一年到期的见票即付的最优价格公式（价格见表4）。因此，我们根据所考虑的看涨期权价格优化（41）的结果参数，用等式（10）的非优化驱动因子f（Xt，Yt，Zt，ut）模拟后向分量，其中ut为常数。这使我们能够在知道数值计算的真实值的情况下，评估模拟方案的准确性。模拟（41）的优化价格而不是看涨期权的空控制普通价格（见表3）的原因是，优化价格模拟依赖于Z相关驱动因素，而Q价格在（10）中的影响为零，因此模拟方案的Z回归步骤对于普通价格失效（参见示例1）。首先，我们考虑上一节中模拟方案的以下四种变化：1。k=5最近邻回归（29）2的显式格式（31）。23次MARS回归（30）的显式格式。k=5近邻回归的显式递归格式（33）。二次MARS回归的显式递归格式。图8：货币赎回时一年最优价格公式的数值计算（表4）。左图：100次重复模拟中最小价格Yπ的N样本平均值（按递增顺序）。我们使用n=25个时间点的等距时间网格，并在每次模拟中生成n=100000条Yπ路径。右图：对应的最大化价格。

图中显示了基于k=5最近邻估计量（红色标记）和2度MARS估计量（黑色标记）的四个显式方案的结果。虚线表示根据（优化后的）赫斯顿公式计算的真实买入价格，而蓝星表示根据N条模拟路径xπ=（sπ，Vπ）计算的蒙特卡罗价格。对于每个方案1-4，我们重复100次模拟公式最优价格，并计算样本偏差和均方根误差。结果如表6所示，而图8显示了所有重复模拟的价格。反向模拟优化Heston priceScheme Ave.E（^π）偏差：E（^π）-πRMSE:pE[（^π）- π） ]显式knn 11.6552-0.1677 0.1783显式MARS 11.7378-0.0851 0.0987递归knn 11.7968-0.0261 0.0608递归MARS 11.8164-0.0065 0.0534正向MC 11.8041-0.0188 0.0508显式knn 9.9960 0.0244 0.0511显式MARS 10.4993 0.5277 0.5292递归knn 10.0351 0.0635 0.0766递归MARS 10.0004 0.0288 0.0509正向MC 9.9719 0.0003 0.033 80表6：模拟在N=100000和N=25的情况下，一年到期的货币买入期权的公式优化价格（表4中的真实值）。样本-从每次模拟的100次重复中计算出的平均值、偏差和均方根误差。从表6中我们可以看到，显式递归MARS方案在低偏差和低RMSE方面表现最好，尽管简单的显式knn方案在较低的价格下表现良好。

将反向模拟与直接从正向模拟计算出的蒙特卡罗价格进行比较，我们在价格较高的情况下具有接近相同的性能。由于后向模拟步数依赖于前向模拟步数，因此我们不能期望在精度上有任何超过前向模拟步数的改进。后向模拟优化赫斯顿价格II方案E（^π）E（^π）- πpE[（^π）- π） ]向前MC 11.8094-0.0135 0.0411Rec。MARS，var.减少11.8169-0.0060 0.0433Rec。火星，两个隐式11.8196-0.0033 0.0468Rec。火星，变红&两个imp.11.8164-0.0065 0.0433Rec。MARS，呼叫预测器11.8166-0.0063 0.0435Rec。火星，Z功能11.6868-0.1361 0.1489Rec。火星，Z-fun。&三个imp.11.6794-0.1435 0.1558向前MC 9.9719 0.0003 0.0380Rec。MARS，var.减少10.0075 0.0359 0.0501 EC。火星，两个隐式10.0027 0.0311 0.0495Rec。火星，变红&两个imp.10.0094 0.0378 0.0515Rec。MARS，呼叫预测器10.0082 0.0366 0.0507Rec。火星，Z功能10.1096 0.1380 0.1502Rec。火星，Z-fun。&三项影响10.1661 0.1945 0.2034表7：N=100000和N=25时，一年到期的见票即付期权（表4中的真实值）模拟公式优化价格的准确性。样本-从每次模拟的100次重复中计算出的平均值、偏差和均方根误差。接下来，我们继续对模拟方案进行以下修改：5。带方差缩减的显式递归MARS（38）6。显式递归MARS和两个隐式迭代（34）7。5和68的组合。显式递归MARS和调用价格预测（37）。结果记录在表7中，如果我们将这些结果与显式递归MARS方案4的结果进行比较，我们观察到所有这些方案的精度相似。

然而，由于隐式方案6和7都为每个隐式迭代的计算成本添加了N个回归和N个驱动因素评估，因此我们选择方案4或5。通话定价公式的计算依赖于数值积分，我们需要对N=25个时间步长中的每一个进行N=100000次这样的评估，这使得该方案非常计算机密集。因此，我们计算了500个看涨期权价格的子集，并使用多项式回归来预测剩余的看涨期权价格。由于定价公式是S和V的“很好”函数，这种近似值的影响有限。最后，我们考虑了基于MARS导数的两种方案：（9）带Z函数的显式递归MARS（36），（10）带Z函数的显式递归MARS和三次隐式迭代。这两种修改的精度都很低，见表7。A、 4欧式看涨期权的最优控制价值过程在这里，我们根据表5中的参数模拟等式（12）的后向分量，该后向分量控制具有行权到期结构的欧式看涨期权的最优控制定价上限/下限，如表3所示。因此，我们用初始（终端）条件Yπtn=（Sπtn）模拟Y- K） +和优化驱动因素H（Xt，Yt，Zt），根据表5中的协方差矩阵，参数不确定性区域的置信水平为95%。与之前一样，我们使用Euler-Maruyamaimplicit-Milstein格式模拟正向分量Xπ=（Sπ，Vπ），首先，我们使用N=25个点的等距时间网格上的N=100000条路径。注意，对于每个向后的时间步，我们执行3×N回归，以获得（19）中矩阵乘法的Z1π、Z2π、Yπ和N值的一步递归，以获得最佳驱动程序。

对于该模式的隐式版本，我们迭代两（或三）次，将2×N回归和2×N矩阵乘法添加到每个时间步。作为一个演示示例，我们再次考虑为期一年的at the money calloption，并对以下模拟方案进行100次重复：1。22阶显式递归MARS。具有方差缩减3的2阶显式递归MARS。2阶显式递归MARS，Z由MARS导数4计算得出。向方案编号15添加了两个隐式定点迭代。向方案编号26添加了两个隐式定点迭代。2阶显式递归MARS，具有调用价格预测和方差减少。结果定价界限如图9所示，为清楚起见，我们仅绘制了方案1、2和3的结果。从图9中，我们可以看到，如果我们将方差缩减添加到显式递归MARSW中，我们将获得略高（较低）的下（上）边界价格和略低的方差。此外，如果我们考虑这些方案的两步隐式版本，那么对于上界和下界，1和4几乎完全重合，2和5也几乎完全重合（仅为清楚起见，图9中排除了这些方案）。如果我们添加看涨期权价格预测值，那么相同的情况是：2和6对于上下两个基金都是一致的。与公式优化价格的情况一样，Z函数方案产生了一个高下界（类似于公式最小价格）和一个类似于其他方案的上界。

这两个边界也有很高的方差，因此，我们从此省略Z函数方案。基于一年期ATM呼叫的先前结果，我们选择使用方差减少的明确递归MARS作为定价边界的工作方案图9：在n=25个时间点上，n=100000条路径的货币呼叫一年期定价边界的数值计算。左图：从100次重复模拟中计算出的买入价格下限的N样本平均Yπ（按递增顺序）。右图：相应的上限。虚线表示根据优化的赫斯顿公式计算的赎回价格。具有方差缩减的递归MARS阶2，n=25罢工/到期75 100 1254m【25.7771，26.2877】【4.5005,5.1597】【0.0016,0.0175】（0.0585,0.3714）（0.1942,0.2277）（0.1335,0.1672）1年【28.5910,30.5482】【9.7418,12.1603】【1.2374,2.6306】（0.0329,0.3138）（0.1811,0.2454）（0.1600,0.2101）10年【52.7314,64.9297】【40.529】99,54.2037][30.7684,45.1219]（0.0319,0.3645）（0.1176,0.3214）（0.1448,0.2970）表8：欧洲看涨期权和相应的Black-Scholes暗示了灵活性。根据N=10万的反向过程数值模拟方案计算，在N=25个点的等距时间网格上，按照赫斯顿模型，正向过程的模拟路径为N=10万。计算。表3所考虑的看涨期权的模拟结果如表8所示，如果我们将其与表4的公式最优价格进行比较，我们通常会看到最优控制价值过程的定价区间更宽。这就是我们应该期待的：公式最优价格对应于一个受控的价值过程，在期权的整个生命周期中，参数保持不变，而在前一种情况下，参数允许以最优的方式变化。

图10给出了这一点的说明，其中显示了货币看涨期权的最优控制一年的参数是如何变化的。之前的定价界限是在N=25个点的常规时间网格上，从N=100000路径的模拟中获得的。当N被选为基于模拟的回归估计器的低误差增益的高数值时，离散化图10：最优控制u*t=（r*t、 κ*t、 β*t） 从优化驱动器H输出-一年期ATM看涨期权。绘制N=100000条模拟路径的中值和分位数。虚线显示了从优化的赫斯顿公式中选择的相应常数参数。时间步长 = T/n相对较大（对于一年期期权，n=25对应于两周大小的时间步，而对于实际蒙特卡罗定价，通常使用每日或甚至更晚的时间步）。因此，我们重复表8的计算，最后的时间步长为n=100。与表8相比，表9中给出的结果显示了所有罢工/到期的较宽定价界限，并且两个步长之间的差异随着到期而增大。对此的一个自然解释是，n的数量越大，我们优化驱动器H±的时间步也越多，这应该会导致值过程Yπ优化到更高的程度。

这种影响对于长期期权来说是显而易见的，而对于四个月期期权来说则不太明显（隐含波动率下降到10-2） 这也表明，模拟误差不受后期离散化的特别影响。具有方差缩减的递归MARS阶2，n=100罢工/到期75 100 1254m[25.7349，26.3130][4.4748，5.1885][0.0005054，0.02127]（0.05824，0.3767）（0.1929，0.2292）（0.1225，0.1710）1年[28.3640，30.6353][9.6158，12.2530][1.1033，2.6726]（0.0330，0.3184）（0.1777，0.2478）（0.1543，0.2115）10年[48.5895，67.3999][36.9068，57.1310][27.4504，48.1860]（0.0217，0.4076）（0.0199，0.3598）（0.1053，0.3298）表9：欧洲看涨期权和相应的Black-Scholes隐含了期权价值。根据N=100个点的等距时间网格上Heston模型后向过程N=100000条模拟路径的反向过程数值模拟方案计算。参考Sahalia，Y.和Kimmel，R.（2007）。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83（2）：413–452。Alanko，S.和Avellanda，M.（2013年）。减少SDES数值解的方差。Comptes Rendus Mathematique，351（3）：135–138。Alfonsi，A.（2016）。差异和相关过程：模拟、理论和应用。斯普林格。Andersen，L.B.、Jckel，P.和Kahl，C.（2010）。平方根过程的模拟。John Wiley and Sons，Ltd.Andersen，T.和Benzoni，L.（2009）。已实现的波动性。《金融时报系列手册》，第555-575页。Avellaneda，M.、Levy，A.和Par\'as，A.（1995年）。在波动不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。应用数学金融，2（2）：73–88。Avellaneda，M.和Paras，A.（1996年）。衍生证券投资组合的波动风险管理：拉格朗日不确定波动模型。

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