在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

即使在特殊（ρ=0）设置中，也不应期望在选择初始定律和反馈参数时以确定是否发生爆炸以及何时发生爆炸的方式找到一个整洁的封闭形式条件，因此我们在此不进行讨论。然而，我们注意到，证明依赖于建设性论点（第2.2节和第2.3节），从而概述了某些初始条件下是否发生爆炸的特定事件。在构造排除爆炸的事件时，关键因素将是上面介绍的最小约束（2.2）。相反，在关于实施爆破的争论中，我们的主要工具之一将是[17，Thm.1.1]中的矩量法的先锋。下一个定理是本节的主要结果，它用来说明常见噪声在爆破中所起的决定性作用。正如在ρ=0的特殊问题（MV）的原始贡献[10]中一样，我们关注的是一个执行起点X=X。也就是说，系统是从Dirac质量ν=δxatsome X>0开始的。在此设置中，从[10，Thm.2.3&2.4]可以看出，如果α>0作为x的函数足够小，那么ρ=0的（MV）允许唯一（连续可微）解L，在任何给定的时间间隔上都没有爆破。然而，对于commonnoise，情况明显不同。定理2.1（爆破）。考虑McKean–Vlasov问题（MV），执行起点X=X。

根据公共噪声的存在（ρ>0）或不存在（ρ=0），我们对爆破现象有以下二分法。（i） 特殊模型：给定任意α>0，L对起点x有一个爆破∈(0, ∞) 距离原点足够近，但起点X没有爆炸∈ (0, ∞) 离原点足够远了。（ii）公共噪声模型：给定任何α>0，对于任何起点x，爆破是0<P（L有爆破）<1的随机事件∈ (0, ∞).这个定理的证明是接下来两小节的主题，我们将进一步阐明（MV）的特殊（ρ=0）和公共噪声（ρ>0）版本的爆破行为。定理2.1的第一部分源自第2.2节的命题2.4，而结果的第二部分也是主要部分是第2.3节的命题2.10的结果。第2.3节中的图2.1和2.2说明了定理2.1指出的二分法。这些图给出了一个简单的图形说明，与特殊系统的演变相比，常见噪音如何引发和/或防止爆炸。在继续分析爆破之前，我们进行了以下一般性观察，这在引言中已经提到：对于所有严格正时间t>0，流量t 7→ νt由有界密度t 7的流量给出→ Vt，关于初始条件ν的性质。这类似于ρ=0的情况【17，第2.1条】，当然除了ρ>0设置中的水流随机性。引理2.2（密度的存在）。假设（MV）有一个解。对于everyt>0，相关的

忽略原点处的吸收，利用托内利定理改变积分阶，我们得到了νt（A）≤ PX+p1- ρBt+ρB- αLt∈ A | B=^A^∞p（1-ρ） t（x- x个- ρB+αLt）ν（dx）dx，对于任何Borel集A∈ B（0，∞), 其中，我们使用了X、B和B的独立性，以及L的B-可测性。因此，νt（A）≤ (2π(1 - ρ） t）-1/2Leb（A），适用于所有Borel组A∈ B（0，∞), 所以结果来自Radon-Nikodym定理。如上所述，我们将始终使用ν表示初始随机变量xFor（MV）的规律，其中可以理解，ν是B（0，∞).此外，在本文的其余部分，我们将说ν在agiven Borel集A上受支持∈ B（0，∞) 如果ν将零质量分配给ρ=0且无共同噪声的特殊模型A.2.2的补码，则流量t 7→ νtand损失t 7→ LTA是确定性的。因此，ρ=0时（MV）的爆破是完全确定的事件。由于我们从上面知道，每个νtha都是一个密度，关于爆破的简单观察如下。如果，对于给定的t>0，我们有Vt-（x） <α-1在正确的原产地附近Lt=0由（2.2）固定，因此此时不会发生爆炸。相反的方向，我们可以同样地观察到，如果相反，我们有vt-（十）≥ α-在原点的一个正确邻域中，则在t时必须发生爆炸。此外，从上面引理2.2的证明中，我们可以看到thatkVtk∞≤ 最小值{kVk∞, （2πt）-1/2}，每t≥ 0，（2.3）带kVk∞解释为+∞ 如果ν没有密度。因此，再次参考（2.2），作为引理2.2先前证明的直接结果，我们得到以下结果。推论2.3（爆破的初始限制）。对于任何初始条件，ν，在时间α/2π之后，在（MV）中不会出现爆破。

此外，如果ν的密度为V，则满足kVk∞< α-1，则不会发生爆炸。通过更努力的工作，我们可以扩展这种方法，以表明如果初始密度离边界足够远，那么在（2.3）中的时间衰减阻止爆炸之前，质量到达边界的时间不足。通过利用这一点，下一个结果给出了α的线性范围，这显然不是很明显，但它仍然是说明性的，对下面的内容很有用。命题2.4（爆破的线性空间界限）。如果初始条件ν在（0，α）上被支持，则必须在（MV）中发生爆破。如果ν在（α+∞)那么爆炸永远不会发生。证据如果ν在（0，α）上得到支持，那么我们的EX<α，因此第一部分是从[17，Thm.1.1]开始的。对于第二部分，请注意，通过忽略原点处的吸收，我们得到了上限νt（[0，αx]）≤ P（X+Bt- αLt∈ [0，αx]）=^∞^αx√2πtexpn-（z）- x+αLt）2todzν（dx）。假设ν支撑在（αb+∞) 对于某些b>1。自Lt以来≤ 1，上一个边界给出了νt（[0，αx]）≤^∞^αx√2πtexpn-（z）- α（b- 1） ）2todzν（dx）≤αx√2πtexpn-α（b- 1.-x） 2to，每x<b- 1、还注意到t 7→ （2πt）-1/2e-c/2为最大值（2πec）-1/2，我们可以推断出νt（[0，αx]）≤αxp2πeα（b- 1.-x） <x对于所有x<b-1.- （2πe）-1/2，前提是b>1+（2πe）-1/2. 由于2πe>16，取b=是有效的，因此证明是完整的。2.2.1转换损失过程一个自然的问题，例如从[23]中产生的问题是，当我们用损失过程的一般函数替换（MV，ρ=0）中的线性损失项时，会发生什么。这导致了类似的问题Xt=X+Bt- αf（Lt）Lt=P（τ≤ t） τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}，（2.4）对于给定函数f：[0，1）→ R、 具体示例f（x）=-日志（1- x） 是【23】的重点。为了避免质量逃逸到单位，我们可以限制为f boundedbelow，然后我们知道→ 1作为t→ ∞.

特别是，我们注意到，这导致了下文命题2.5中右手侧的有效简化。当我们在本文中关注f（x）=x时，正如在激励性论文[10,11,17,18]中一样，我们注意到对于任何Lipschitz连续f，我们的结果立即扩展到（2.4）。此外，只需稍作调整（参见[23，Sec.7]了解所需的更改类型），即可允许函数的Lipschitz常数在x↑ 1如f（x）=-日志（1- x） 前面提到的或例如f（x）=（1- x）-对于不连续f，必须更加小心。特别是，第一个简单的观察是，如果f在x<1时有一个正跳跃，那么L将有一个爆破att=L-1（x），但是，如果f有负跳跃，那么L可能仍然是连续的。在任何情况下，假设对给定函数f有（2.4）的解，以下结果给出了[17，Thm.1.1]对该问题的自然扩展。提案2.5（转化损失的爆破）。假设L给出了某个函数f的（2.4）的解：[0，1）→ R、 如果m<α^Ltf（x）dx+（1- Lt）f（Lt）,在某个时间t>0，其中m：=EX，则必须在t之前或此时发生爆破。证据对于矛盾，假设X在时间t之前（包括时间t）是连续的。然后，通过在X第一次达到零时停止X，我们得到0≤ Xt公司∧τ=X+Bt∧τ- αf（Lt∧τ） ，因为根据我们的假设，到目前为止，L必须是连续的。接受期望，并遵守第7节→ Ls给出了停止时间τ的定律，因此我们有0≤ m级- α^∞f（Lt∧s） dLs=m- α^tf（Ls）dLs+（1- Lt）f（Lt）.证明现在已经完成，注意到L是有限变化，因为根据假设，它是递增的，并且在时间t之前（包括时间t）是连续的，因此右侧的积分可以重新写入结果声明中。通过取f（x）=x并发送t→ ∞ 在命题2.5中，我们恢复了[17，Thm。

1.1].注意，只要f在（0，1）上的积分为正，那么对于任何初始条件，我们都可以取α>0大到足以引起爆破。此外，如果f为chosenso，则其（0，1）上的积分为正整数（例如，f（x）=（1-x）-1） ，则对于任何初始条件和任何反馈参数α>0，都保证爆破。然而，请注意，情况f（x）=-日志（1- x） 从[23]中得到了有限积分，因此，在这种情况下，命题2.5并不能确定反馈参数（严格正）的任何值是否必须发生爆破。2.3ρ>0的常见噪声模型对于特殊（ρ=0）模型，控制爆破的唯一参数是背向强度α和初始条件ν。在这方面，公共噪声模型（ρ>0）的一个重要创新之处在于，可以选择初始条件，公共噪声的实现可以确定是否发生爆破。此外，由于解L不再是确定性的，爆破的发生现在是一个随机事件。在Dirac初始条件ν=δx的情况下，定理2.1指出，如果支持x>0距离原点足够远，那么我们在特殊模型中没有爆破，而在公共噪声下爆破的概率总是非零（ρ>0）。这方面的证明使用了一个明确的构造来表明，如果采样路径为Bis，则会强制爆破，以便在不损失太多质量的情况下，将初始质量快速传输到边界。在同样工作量的情况下，这些论点可以用稍微更一般的方式表达，这也适用于从原点到X点附近的均匀分布。后一种情况非常适合用于说明目的，因此我们将其用于下面的示例2.6和2.7。

这两个例子分别在图2.1和2.2中附有一个简单的图解说明。除了说明常见噪声和爆破之间的相互作用外，这些图还直观地给出了命题2.9和命题2.10证明背后的机制。然而，我们强调，这些图形只是简单的“卡通”（特别是，这些图形的比例不同，密度的形状和大小也不精确）。示例2.6（强制爆破）。设初始条件ν为均匀分布，密度V：=δ-1（c，c+δ）表示常数c≥α和0<δ<α，如图2.1中最左边的图片所示。对于这种初始条件，命题2.4保证了特质模型中不存在爆破。另一方面，命题2.10表明在公共噪声模型中存在非零的爆破概率。当普通布朗运动将质量快速输送到原点时，就会发生这种情况，从而在零附近产生足够强的质量浓度，从而迫使发生爆破，这基本上是通过与[17，Thm 1.1]的特质模型进行比较得出的。图2.1：该图显示了爆炸的出现。在中间的图片中，常见噪声的总体影响是质量迅速向原点传输，将系统从Vto移动到Vs。由于Vs集中在原点附近，对[17，Thm.1.1]的调整表明，如果太多质量不会开始向另一个方向逃逸，则一定会发生爆炸。

在这方面，最右边的图片说明了非线性反馈变得如此强大，以至于在采取限制措施后↑ t、 产生的左极限密度Vt-位于α以上-1接近零，因此Lt6=0符合（2.2）。上一个示例讨论了常见噪音如何引发爆炸。在下一个示例中，我们将考虑相反的情况，说明commonnoise如何防止爆炸，同时从异向模型爆炸的初始条件开始。示例2.7（避免爆炸）。这一次，我们将初始条件ν设为密度V=δ的均匀分布-1（c-δ、 c）对于正常数c<α和δ<c，例如c<（α+δ），如图2.2最左边的图片所示。自'xdν（x）=c-δ<α，根据[17，Thm.1.1]，对于此类初始条件，特殊模型必须具有爆破。相比之下，从下面的命题2.9可以看出，公共噪声模型具有绝对正的永不爆炸概率。简言之，常见的噪音可以使系统的质量充分远离原点，因此，由于质量已经变得过于分散，分散的影响可以发挥作用，并最终排除爆发的可能性。如图2.2所示。在下面的论证中，我们感兴趣的是质量损失的界限，它在给定的公共噪声实现族上是一致的。这从一个简单的比较参数开始。引理2.8（无交叉引理）。设ν是[x？]上支持的概率测度？，∞),对于某些x？>0，设▄f，▄f:[0，∞) → R是两个连续的确定性函数图2.2：该图显示了一个避免爆炸的事件，因为公共噪声使质量在足够长的时间内远离原点。

具体而言，右侧的图片说明了常见噪声如何为扩散效应提供足够的空间，从而使密度V最终严格低于α-1、从这里开始，在以后的任何时候都不会发生爆炸，因为我们无法再进入如图2.1最右边图片所示的情况。满足▄f（0），▄f（0）>-x？。让L和L成为解决方案Xt=Z+p1- ρBt+~f（t）- αОLtτ=inf{t≥ 0：▄Xt≤ 0}Lt=P（▄τ≤ t） ，则，(R)Xt=Z+p1- ρBt+(R)f（t）- α′Lt′τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t） ，其中Zis根据ν分布。如果所有t的▄f（t）>▄f（t）∈ [0，t）和▄L在[0，t]上连续，然后▄Lt≤\'\'Ltfor all t∈ [0，t）。如果▄L在t处也是连续的，则▄Lt≤\'\'Ltfor all t∈ [0，t]。证据正如在声明中所述，我们对所有t都有▄f（t）>▄f（t）∈ [0，t），其中时间t>0是给定的，我们假设▄L在[0，t]上是连续的。观察如果▄L在[0，t]上是连续的，对于一些t>0和▄Xs≥对于所有<t的s，则为▄Lt=▄Lt-= P（infs<tXs<0）≤ P（infs<t'Xs<0）=Lt-≤\'Lt.（2.5）特别是，如果我们能证明Xt，引理的主张如下≥\'\'XT用于所有∈ [0，t）。为此，我们让t？成为第一个t，以便Xt≤\'\'Xt。通过对解的定义，我们得到了▄L=▄L=0，因此假设▄f（0）>▄f（0）给出了▄X>▄X。将此与解的正确连续性相结合，可以得出t？>现在假设，对于一个矛盾，我们有t？<t、 那么，L在[0，t？]上是连续的，假设它在[0，t]上是连续的，那么我们在[0，t？]上也有X的连续性。注意到“X”只有向下跳转（“L”只有向上跳转），因此我们必须有“Xt”=“”“Xt”“？，这个力是α（\'Lt？-Lt？）=\'f（t？）-f（t？）<但这是一个矛盾，因为左边是非负的（2.5），sinceL在[0，t？]上是连续的对于t<t？，则为▄Xt>▄Xt？，通过构造。

这就完成了预防。2.3.1避免爆发牢记Dirac质量的情况和图2.2中的示例，我们现在转向一个事件的精确构造，当从原点以一般初始条件νsupportedway启动系统时，所有反馈参数α>0均排除爆发。提案2.9（不确定爆破）。假设初始条件ν在（x？）上得到支持？，∞), 对于某些x？>然后，对于所有反馈参数α>0，具有公共噪声（ρ>0）的条件McKean–Vlasov问题（MV）满足esP（L有爆破）<1。证据让x？>0与命题陈述相同，且fix aδ>0使得δ≤ x/4、然后确定为特殊问题的解决方案(R)Xt=（X- δ） +p1- ρBt- α′Lt′τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t） ，注意到X- δ ≥ x？- δ > 0. 根据L的右连续性以及L=0，根据解的概念，我们得到了→ 0作为t↓ 0。特别是，我们可以将t>0取得足够小，以便≤x？α-1、因为L在增加，所以我们有x？- α′Lt≥x？要塞∈ [0，t]，因此，对命题2.4中论点的改编表明，我们可以将大于0的值取得足够小，以使L在[0，t]上是连续的。实际上，对于ρ=0，这精确到下面的界限（2.7）。对于一般ρ∈ （0，1），我们可以利用B独立于带L，lbe是B-可测的，这样我们就得到了界νt-（[0，αx]）≤ P（Xt-∈ [0，αx]| B）=P（x+p1- ρBt+ρBt- αLt-∈ [0，αx]| B）=^∞αxp2π（1- ρ） texpn公司-（z）- x个- ρBt+αLt-)2(1 - ρ） todzdν（x），（2.6）对于任何t>0，我们只是忽略了原点处的吸收。对于其余的证明，我们将注意力限制在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ At，δ，m，其中后者是由At，δ，m定义的路径族：=f：[0，t]→ R s.t.| f（t）- mt |≤ 所有t的δ∈ [0，t],对于稍后确定的正常数m>0。在此事件中，对于任何给定nm>0，我们有-ρBt≤ δ ≤x？对于所有t∈ [0，t]。