在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

为了控制质量损失，我们在L超过Sx之前停止L？α-1，相当于查看stoppingtimeτ：=inf{t≥ 0：Lt>x？α-1/4}.通过L=0时L的右连续性，我们得到了τ>0，我们还强调τ当然继承了L的B-可测性。因为ν在（x？）上受支持？，∞), 我们可以推断，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈在，m，δ时，束缚（2.6）产生νt∧τ-（[0，αx]）≤^∞αxp2π（1- ρ） （t∧ τ） expn公司-（十）- 3倍/4)2(1 - ρ） （t）∧ τ） odzdν（x）≤αp2π（1- ρ） （t∧ τ） expn公司-x？32(1 - ρ） （t∧ τ） o·x，对于每x<x？α-1、如有必要，通过降低t>0，可以得出恒定值？<1使得νt∧τ-（[0，αx]）≤ Cx、 对于所有t≤ t、 （2.7）基于以上，我们现在认为，当限制到事件（ρBt）t时，L不能在整个间隔[0，t]上有爆破∈[0，t]∈ At，m，δ。首先，限制到此事件，界（2.7）和最小约束（2.2）已经确保了L在[0，τ]上是连续的∧t] 带τ∧t> 0。现在，如果L在[0，t]上有一个爆破，那么必须实现（ρBt）t∈[0，t]∈ At，m，δ和一些时间s∈ （0，t）使得L在[0，s]上连续，而在任何右邻域[s，s）上不连续，且s>s。注意ρBt≥ mt公司- δ > -δ、 对于所有t∈ （0，t），在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ At，m，δ，因此满足无交叉引理的条件。因此，L在[0，s]上的连续性 [0，t）给定-≤\'\'Lt≤x？α-1（2.8）精确地通过无交叉引理（引理2.8），因此界（2.7）现在读数为νs-（[0，αx]）≤ Cx表示所有x，非常接近于零。这反过来意味着Ls=0，通过最小约束（2.2），特别是，我们得到Ls=Ls-≤x？α-1从（2.8）开始。根据右连续性，由此得出，对于任何ε>0，我们有Ls≤x？α-1+ε表示s>s足够接近s。

因此，我们可以得出结论，存在形式νs的界-（[0，αx]）≤ C<1的Cx，在足够小的右邻域上继续保持（x非常接近零），只有我们可能需要取C>C？（当然，严格来说还不到一个）。这意味着，当s>s足够接近s时，L必须在[s，s]上保持连续，因此，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ 在，m，δ时，损失L在[0，t]上没有爆炸。鉴于上述情况，我们通过设置t来确定稍后的时间t>t：=α/2π（1- ρ） +t.由于t>0，从引理2.2证明中的界可以看出，νt（[0，αx]）≤ α(2π(1 - ρ） t）-1/2x<x，适用于所有t≥ t、 对于每x>0。因此，最小约束（2.2）告诉我们，在时间t？之后，L不能出现？。仍然需要确保中间时间间隔（t，t？）上没有爆炸。为此，我们可以考虑常见布朗运动的实现属于形式bt，t？的路径族的事件？，:= {f:[t，t？]→ R s.t.| f（t）- f（t）|≤  对于所有t∈ [t，t？]}。到目前为止，功与m>0无关，因此我们可以肯定地认为它是由m=t给出的-1K，我们可以自由选择常数K>0。m的选择给出ρBt≥ K- x？- δ - α、 对于所有t∈ [t，t]，关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，α。还坚持K+x？>2（α+δ），因此我们可以从（2.6）推断出-（[0，αx]）≤αp2π（1- ρ） texpn公司-（K+x？- 2α - 2δ)2(1 - ρ） 到·x，每x∈ （0，δ），对于所有t∈ [t，t]，关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，α。如果K>0足够大，我们可以反过来确保νt-（[0，αx]）<x，对于原点附近的任何x>0，对于所有t∈ [t，t]。通过最小跳跃约束（2.2），这意味着L在[t，t]上不能有爆破，因此我们得出结论0<P（ρBs）s∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt、t、α≤ P（L没有爆炸），根据需要。

这就完成了证明。2.3.2引发爆炸下一个结果确定了定理2.1第（ii）部分最有趣的方向。也就是说，如果（MV）从固定的起点X=X>0开始，则所有α>0的爆炸概率都是严格正的。虽然前者涉及直接初始条件，但以下陈述的措辞更为笼统，以便还包括上文示例2.6和2.7中考虑的初始条件。命题2.10（非平凡爆破）。假设初始条件ν在（x？）上得到支持？，∞), 对于某些x？>0，假设我们有'∞x？（十）- x？）ν（dx）<α。在这种情况下，对于给定的反馈参数α>0，具有公共噪声（ρ>0）的条件McKean–Vlasov问题（MV）满足0<P（L具有爆破）<1。证据第一种说法，即爆炸概率严格小于1，是命题2.9的一个序列，因此我们只需要考虑第二种说法。为了构建一个L有爆炸的事件，我们fix x？>0，然后我们将一个小的εx>0，这样'∞x？（十）- x？）ν（dx）≤α - ε. 在证明命题2.9中，我们写下，δ，m=f：[0，t]→ R s.t.| f（t）- mt |≤ 所有t的δ∈ [0，t],但这次我们要-x？- ε/2t和δ<ε，其中t>0和δ>0有待确定。此外，我们让“L”成为特殊问题的解决方案(R)Xt=（X+3ε/8- x？）+p1级- ρBt- α′Lt′τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t） 其中，Xis根据ν分布，我们回忆起来，这在（x？）中得到了支持？，∞) 根据假设。

注意，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ At，m，δ，我们有ρBt≥ mt公司- δ> 3ε/8 - x？，对于所有t∈ [0，t）。因此，从引理2.8的无交叉结果可以看出，要么L在[0，t]上有一条曲线，要么L在这个区间上是连续的，然后L≤\'L开[0，t]。在前一种情况下，索赔是即时的，因此对于其余的证据，我们仅限于后一种情况，在这种情况下，我们将哈维尔≤\'L开[0，t]。请注意，我们可以自由调整以上内容。因为L是右连续的，且L=0，所以我们有→ 0作为t↓ 0，这样我们就可以把它缩小到≤ (1 ∧ α-1)δ.关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m，因此≤ (1 ∧ α-1） 所有t的δ∈ [0，t]，（2.9）通过上述与“L”的比较。此外，随着“L”的增加，我们总是可以减少>0，因此坚持t≤ δ表示证明的其余部分。在证明的剩余部分，我们修改了[17，Thm1.1]中的矩参数，以表明爆破必须在时间t之后发生，前提是公共布朗运动保持在其在t的值附近。首先，我们可以观察到，如果L在某个时间t>0之前是连续的，并且包括该时间t>0，那么X在那里也是连续的，因此停止Xat其原点的第一次击中时间，即τ，我们得到0≤ Xt公司∧τ=Xt∧τ+p1- ρt、 tB·∧τ+ ρt、 tB·∧τ- αt、 tL公司·∧τ、 （2.10）对于t∈ [0，t]，其中我们使用了符号u、 vf：=f（v）- f（u）表示增量。注意到L是有限变化的，并且它正是命中时间τ在B条件下的分布函数，我们得到了显式表达式[t、 tL公司·∧τ| B]=^∞t（Lt∧s- Lt）dLs=（Lt- Lt）+（Lt- Lt）（1- Lt）=（Lt- Lt）（2- 书信电报- Lt），前提是L在[0，t]上是连续的，这里我们也使用了Ls→ 1作为s→ ∞, 与布朗运动相比。

关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，mwe肯定有Lt≤ δ乘以（2.9），当然还有L≤ 1，所以在（2.10）中取条件期望并重新排列得到不等式α（Lt- δ)(1 - δ) ≤ E[文本∧τ| B]+ρE[t、 tB·∧τ| B]，（2.11）对于t>t，在上述事件中，前提是L在那里是连续的。现在确定时间t>t，待确定，并考虑事件（ρBt）t∈[0，t]∈At，δ，m∩ Bt，t，δ，其中我们回顾了定义Bt，t，δ={f:[0，t]→ R s.t.| f（t）- f（t）|≤ 所有t的δ∈ [t，t]}。我们将证明，对于Bon theevent（ρBt）t的任何实现，L在[0，t]上都是不连续的∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，δ，因为这将导致基于（2.11）的矛盾。要估计（2.11）右侧的第一项，请注意X的连续性意味着xt∧τ≤ |Xt |≤ |X+ρBt |+p1- ρ| Bt |+αLt。此外，我们还有αLt≤ 事件δ（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，mby（2.9）和a简单计算得出E[| Bt | B]=p2t/π，因为B独立于B。因此，E[Xt∧τ| B]≤ E[| X+ρBt | B]+2δ，因为我们固定了≤ δ. 接下来，我们可以观察到，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ 在，δ，m，我们有X+ρBt>0和ρBt≤ -x？+ε/2+δ，所以我们得到[| X+ρBt | B]≤^∞x？（十）- x？）ν（dx）+ε/2+δ≤α - ε/2 + δ.和henceE[Xt∧τ| B]≤α - ε/2 + 3δ.关于（2.11）右边的第二项，我们当然有ρE[t、 tB·∧τ| B]≤ 事件δ（ρBt）t∈[t，t]∈ Bt，t，δ，因此L在[0，t]上的连续性意味着不等式（2.11）变成α（Lt- δ)(1 - δ) ≤α - ε/2+4δ，（2.12）对于t∈ [0，t]，关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，δ。我们可以自由调整变量δ，这有待利用∈ (0, ε/8). 根据表2.8，我们可以在给定事件的[0，t]上，通过一个特殊问题，从下到下，将L限定在[0，t]上，该问题的质量损失随着时间的推移变为1，因为布朗运动几乎肯定会达到每一个水平。

因此，我们当然可以取δ>0足够小，t>t足够大，以便得到（2.12）中的矛盾，只要对于事件（ρBt）t中包含的公共噪声的任何给定实现，Lis在[0，t]上连续∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，δ。换句话说，我们有0<P（（ρB）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt、t、δ）≤ P（L有一个爆炸），根据需要，因此证明是完整的。我们在本节结束时总结定理2.1的证明。首先，我们可以回忆起定理的第（i）部分是前一小节命题2.4的直接结果。接下来，我们可以注意到，对于任何给定的α>0，x>0的每个狄拉克初始条件ν=δx都满足上述命题2.10的条件。实际上，我们可以简单地取x？：=x个- ε、 对于一个小ε>0，那么我们有'∞x？（十）- x？）ν（dx）=ε<α，因此定理2.1的第（ii）部分遵循命题2.10.3，从粒子到平均场。接下来，我们将展示（MV）的“松弛”版本的解如何作为具有正反馈的有限维粒子系统的极限点出现。正是这种粒子系统激发了导言中所述的应用，因此，（MV）的“松弛”解确实描述了大种群平均场极限，这是一个突出的点。3.1有限粒子系统在第3节的其余部分，我们将有兴趣描述粒子系统的大人口极限dXi，Nt=b（t，Xi，Nt）dt+σ（t）p1级- ρ（t）dBit+ρ（t）dBt- αdLNtLNt=NNXi=1t≥τi，nw，其中τi，N=inf{t>0：Xi，Nt≤ 0}，（3.1）对于i=1，N、 其中B，BN是一个独立布朗运动族，andX，给定初始条件X的i.i.d.拷贝（与布朗运动无关）。

这里，由确定性函数（t，x）7给出了差异动力学的漂移、波动性和相关性系数→ b（t，x），t 7→ σ（t）和t 7→ ρ（t），基本公式（MV）分别对应于常数系数sb=0、σ=1和ρ∈ [0，1）。有效地，人们应该认为（3.1）中的粒子在第一次到达（或跳到）原点以下时被吸收，在这一点上，它们对损失过程LN的当前值有贡献。然而，为了避免不必要地混淆符号，我们在所有时间都通过（3.1）中的动力学对粒子进行全局定义≥ 0.在指定LNin（3.1）的含义时必须谨慎。很明显，只有当Xj，Nt-= 0表示之前尚未穿过原点的某些粒子j（换句话说，粒子j之前未被吸收）。但是，如果LNt=1/N表示Xi，Nt-- αLNt公司≤ 0对于更多以前未被吸收的粒子i 6=j，则这些粒子也会在时间t跳到原点或原点以下，进而进一步贡献到LN，依此类推。

也就是说，启动级联，通过要求LNtequals最小的k/N，使得粒子向下移动αk/N导致不超过k个之前未被吸收的粒子在时间t到达（或穿过）原点，基于时间t的粒子位置-’.以上可以更简洁地表述为，我们要求LNto是唯一的分段常数cádlág过程，满足LNt=inf千牛≥ 0：νNt-[0，αkN]≤千牛, 对于所有t≥ 0，（3.2）其中，我们引入了子概率测度νNt的有限维流：=NNXi=1t<τi，NδXi，Nt，（3.3）对于每个N≥ 1，具有左极限νNt-:=NNXi=1t≤τi，NδXi，Nt-.当然，条件（3.2）只是（2.2）中物理跳跃条件的离散模拟。从这里开始，在假设3.4下，有限粒子系统（3.1）的存在性和唯一性成为中介，因为可以在Ln（3.2）-（3.3）的恒常区间上构造一个唯一的强解，其中（3.2）-（3.3）规定了它的跳跃时间和跳跃程度。我们注意到，我们已经包括了空间漂移（t，x）7→ b（t，x）具有高达线性增长空间，例如，考虑到Ornstein–Uhlenbeck型动力学，因为这对于推动金融[18]和神经科学[2]应用很有意义。我们对这种漂流的论点立即延伸到漂流，这也取决于李普希兹的经验平均值，但为了表述简单，我们省略了这一点。在下文中，我们将dr设为实值cádlág路径的空间，并将^η表示dr上的正则过程，其中^τ表示其第一次命中时间为零，即^τ=inf{t≥ 0：^ηt≤ 0}. 特别是，我们可以写下Nt=PN（^τ≤ t） 和νNt=PN（^η∈·, t<τ），其中pn：=NNXi=1δXi，N·，对于N≥ 1，（3.4）注意到经验测量PN应理解为DR的随机概率测量。

在符号方面，我们将始终使用粗体字体（例如，Pandν）进行随机测量，而黑板字体（例如，P及其期望运算符e）则保留用于固定的背景空间。3.2粒子系统的极限点启发式地，我们可以希望，沿着子序列，在适当的拓扑中，空气（PN，B）将在法律上收敛到某个极限（P*, B） ，其中Bis又是布朗运动，P*= 定律（X | B）是给定B的X的条件定律，对于满足（MV）且Lt=P的cádlág过程X*(^τ ≤ t） 。然而，P*, 因此，L也应该自动变成B-可测量的，因为它要求太多的弱点（P*, B） 。无论如何，这个属性可以相对于（MV）的原始公式放松，而不改变问题的本质特征。接下来，我们定义了这种放松，并指出这是我们努力恢复（MV）作为有限系统（3.1）的一个较大人口限制的重要部分。定义3.1（宽松解决方案）。将系数函数b（t，x）、σ（t）和ρ（t）与初始条件x一起给出~ ν和反馈参数α>0。然后，我们将（MV）定义为概率空间上的一个族（X，B，B，P）的放松解(Ohm, P、 F）选择如下：dXt=b（t，Xt）dt+σ（t）p1级- ρ（t）dBt+ρ（t）dBt- αdLtLt=P（τ≤ t | B，P）和P=定律（X | B，P），τ=inf{t>0:Xt≤ 0}和（B，P）⊥ B、 （rMV），L=0，X~ ν和X⊥ （B，B，P），其中（B，B）是二维布朗运动，X是cádlág过程，P是cádlágpaths DR空间上的随机概率测度。

通过符号法则（X | B，P），我们指的是给定的X的条件法则（B，P），它确实定义了DR上的随机（B，P）可测量概率度量。我们强调，固定点类型约束P=法则（X | B，P）是我们宽松解概念的一个关键部分，它描述了条件中的额外信息，并编码了Lt=P（τ）的事实≤ t） ，对于PN的极限点P，LN=PN（^τ≤ t） 。还应注意，如果随机测量值为B-可测量，则上述简化为（MV）的精确形式。然而，在缺乏B-可测性的情况下，（P，B）和B的独立性构成了最重要的点，这允许（rMV）保留（MV）的所有基本方面。特别是，这种独立性确保了第2节的结果对于（rMV）同样有效，只要我们以B为条件，就对（P，B）进行条件化。第3.3节将进一步探讨松弛解的性质及其与（MV）的一致性。我们现在给出本节的主要结果，表明（rMV）的解作为有限粒子系统的极限点出现（3.1）。定理3.2（存在性和收敛性）。假设满足下面的假设3.4，并将Pn作为有限粒子系统（3.1）的经验度量（3.4）。然后，该对（PN，B）的任何子序列都有另一个子序列，该子序列在法律上收敛于某些（P，B），其中Bis是布朗运动，P是随机概率测度P：Ohm → P（DR）。给定此限制（P，B），有一个背景空间(Ohm, F、 P），它携带另一个布朗运动B和随机过程X，使得（X，B，B，P）是（rMV）的解，根据定义3.1。