在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

此外，如果我们定义νt：=P（^ηt∈ ·, t<τ）=P（Xt∈ ·, t<τB，P），（3.5）那么我们有最小约束Lt=inf{x≥ 0：νt-（[0，αx]）<x}，（3.6）对于所有t≥ 0，确定L的跳跃大小。如第2节所述，可以理解为ν0-= ν和L0-= 我们施加在（3.1）和（rMV）上的结构条件的完整列表收集在下面的假设3.4中。然而，该定理的证明被推迟，因为它需要形成第3.4节和第3.5节主题的几个辅助结果。现在，我们停下来进一步探讨一下这个定理的内容。请特别注意，定义3.1中的右连续性和L=0的要求对应于在时间t=0时没有跳跃，因此最小约束（3.6）表示初始条件ν应满足inf{x≥ 0：ν（[0，αx]）<x}=0。备注3.3（Schauder固定点法）。虽然本文关注的是粒子系统的收敛性，但我们当然也可以将（MV）框定为一个定点问题。Suchan方法现已在[24]的备注2.5中实施，其基础是一个Schauder固定点论点，该论点推广到Skorokhod博士的M1拓扑。这为（MV）而非（rMV）的解的存在性提供了直接证明。然而，文献[24]中的结果并没有解决跳跃大小的条件，例如最小约束（3.6），它是定理3.2的一个组成部分（另见下面的命题3.5）。最后，我们顺便注意到，M1拓扑也是我们在下面的子节中的参数的关键（如[11]中ρ=0）。我们在本文中不讨论唯一性，但我们在这里重申，正如在引言中一样，在这方面已经有了一些重要的新发展（至少在恒定系数的情况下）。

如果xH定律是密度V∈ L∞(0, ∞), 那么ρ的全局唯一性已经显示出来了∈ [0，1）在小条件下kVk<α-1[20]和ρ=0，在一般条件下，Vdoes不经常改变紧集上的单调性[12]。在这些情况下，粒子系统定律完全收敛，ρ>0的松弛极限解（rMV）简化为形式（MV），如[20，Thm.2.3]所述。对于一般的初始条件，当ρ>0时，唯一性仍然是一个开放的问题，我们注意到定理3.2在缺乏这种唯一性的情况下不会产生混沌的完全传播。假设3.4（结构条件）。假设漂移b（t，x）为线性增长界为b（t，x）|的Lipschitzin空间≤ C（1+| x |）。对于某些κ>1/2，满足非简并条件0，将波动率σ（t）和相关性ρ（t）视为Cκ（0，t）中的确定性函数≤ ρ（t）≤ 1.- 和 ≤ σ（t）≤ -1，对于某些人 ∈ (0, 1). 此外，我们假设'xdν<∞, 那ν（[0，x]）≤1.-α-1x对于所有x>0的情况，对于一些 ∈ （0，1），其中ν是初始条件x的分布，其取（0，∞).注意，在标准的Gr"onwall参数之后，初始定律ν上的矩假设保证了E[supt≤T | X1，Nt |]在N中一致有界≥ 1，对于任何给定的T<∞. 在后面的小节中使用此观察结果时，我们将只参考假设3.4，而不写出详细信息。我们的下一个结果涉及定理3.2的一个基本方面，这实际上已经在第2节中得到了预期，当时我们激发了最小约束（2.2）。事实上，我们可以观察到（2.2）正是定理3.2中得到的极限解所具有的性质（3.6）。

正如我们在第2节中所指出的，这一属性意味着要挑选出可能最小的跳跃大小，同时也坚持系统是cádlág。根据对[17，Prop.1.2]中的论点的调整，下一个结果验证了这一说法，该论点为异向模型建立了相应的结果。像往常一样，我们使用约定ν0-= ν和L0-= 命题3.5（最小跳跃）。考虑定义3.1给出的（rMV）的任何解，其中系数函数b（t，x）、σ（t）和ρ（t）如假设3.4所示。按照定义3.1的要求，为了使解决方案为cádlág，损失过程L必须满足书信电报≥ inf{x>0：νt-（[0，αx]）<x}（3.7），概率为1，对于所有t≥ 0.证明。我们将从矛盾的角度出发，所以假设L是一个cádlág解，对于它，不等式（3.7）在某个时间t被违反≥ 通过遵循[17，第1.2项]和[17，备注2.6]证明中的策略，我们始终可以考虑重新启动的系统，因此在L=0和L=0。因此，假设违反（3.7）的矛盾att=0，我们可以发现x>0，从而ν（[0，x]）≥ α-1x对于所有x<αx.（3.8），我们将表明，这会导致在t=0时违反L的右连续性，通过在LH上实现从下到h的界限↓ 0.与[17，第1.2项]相比，我们必须考虑X动力学中的常见噪声和漂移项。为此，我们引入符号Yt：=^tσ（s）ρ（s）dBs，Yt：=^tσ（s）p1- ρ（s）dBs。利用假设3.4中漂移b（t，x）上的线性增长界，我们得到≤ X+Ct+C^TXSD+Yt+Yt- αLt，对于所有t≤ τ.

反过来，应用Gr"onwall引理给出≤ eCtX+CeCtt+\'年初至今+\'年初至今- α′Lt≤ eCtX+CeCtt+\'年初至今+\'年初至今- αlt其中我们使用了简写符号“ft：=^teC（t-s） dfs，我们进一步使用了它，根据这一定义，我们有≥ 五十、 因为eCh=1+O（h）等于h↓ 0，我们可以取h的B-

根据这一观点，我们得到以下结果，其证明推迟到第4节。提案3.6（过滤）。定义ν：=（νt）t∈[0，T]作为随机过程，其符号是随机测度νT：Ohm → 定理3.2中的（3.5）给出了M（R），其中M（R）是R上的测度空间，在全变分范数下，其具有Borelσ-代数。然后是过滤（Ft）t∈[0，T]，形成过滤空间(Ohm, F、 Ft，P），其中（X，B，B，ν）适用，（B，B）是二维布朗运动。在定义3.1和定理3.2的公式中，没有必要提及过滤，但前面的命题强调，人们确实可以在不影响布朗动力学的情况下使用ν和L适应的过滤。这一观察结果自然地将我们引向下一小节，在那里我们推导出了适应随机过程ν流量的随机演化方程。3.3随机演化方程根据上述，我们可以将McKean–Vlasov系统（rMV）视为自适应随机过程ν。然而，我们现在希望考虑仅由公共噪声带产生的次过滤FB，νt，即随机过程ν本身，而不是使用命题3.6中的全过滤ft。第4节给出了这方面的明确说明（以及命题3.6的证明），验证了Bis确实是FB中的标准布朗运动，ν，并且该子滤波独立于B。下一个结果表明，ν满足由公共噪声B驱动的广义随机演化方程。当我们使用松弛公式（rMV）时，我们强调，相同的论点表明（MV）导致了非常相同的进化方程。

唯一的区别在于解决方案是否自动适应行驶噪音B，这为（rMV）和（MV）之间的区别提供了另一种观点。除此之外，我们在这里的主要目的是更清楚本论文的McKean–Vlasov形式主义与相关PDE和数学神经科学文献中对Fokker–Planck方程的关注之间的联系，如下文备注3.8所述。命题3.7（随机演化方程）。对于假设3.4下的给定解决方案（rMV），由（3.5）定义ν。然后，在正半线（0，∞), 对于所有t≥ 0和流量t 7→ νtsatis fies非线性随机演化方程dhνt，φi=νt，σ（t）φ+b（t，x）φdt公司+νt，ρ（t）σ（t）φdBt公司- hνt，αφidLct+^Rhνt-, φ(·- αx）- φiJL（dt，dx），Lct=Lt-X0<s≤t型Lsand JL=X0<s<∞δ（s，Ls），Lt=1- νt（[0，∞)) 和Lt=inf{x≥ 0：νt-（[0，αx]）<x}，（3.10）对于测试函数φ∈ D、 其中D：={f∈ Cb（R）：f|(-∞,0]= 0}.在开始证明之前，我们花点时间来解释方程式（3.10）。最重要的是，我们知道L的变化是有限的，所以很明显，所有的术语SIN（3.10）都是有意义的。现在假设在t>0的某个时间发生爆炸。然后（3.10）中的动力学屈服hνt，φi=hνt-, φ(·- αLt）我- hνt-, φi，适用于所有φ∈ D、 根据引理2.2，我们知道νthas是密度Vt，对于所有t≥ 0，因此我们推断，A燃起来可以描述为系统从移位密度Vt（x）=Vt重新启动-（x+αLt），带Lt=inf{x≥ 0：'αxVt-（y） dy<x}。此外，通过按部分进行形式积分，我们可以看到（3.10）给出了注释1.1中给出的发展方程的广义解概念，该方程是针对密度t 7的流动而表述的→ 及物动词。

最后，我们还记得，图1.1显示了两个热图，说明了这些密度是如何随时间演变的，右侧的图显示了如上所述的密度变化所产生的爆炸。备注3.8（整合和完善模型）。在数学神经科学文献中，类似于（3.10）的随机福克-普朗克方程出现在【2，方程（32）】、【3，方程（3.24）】、【21，方程（2.29）】和【27，方程（4）】中，作为电耦合兴奋性神经元网络的“整合和完善”模型。然而，在这些著作中没有讨论跳跃分量，而定理2.1表明，爆破是从狄拉克质量开始的随机演化的不可回避的一部分。此外，它还假设t 7→ l作为一种衍生工具，被称为“环化率”，并与边界上的流量相一致。自t 7起→ LTI在增加，几乎在任何地方都是可以区分的，方程式（3.10）正式给出了FLUX条件lt=σ（0）xV（0），对于所有t>0，符合[21，等式（2.6）]。然而，对于ρ>0，人们不能再期望L在两次爆炸之间是绝对连续的，也不会xV（0）定义良好（由于t 7的粗糙度→ 英国电信）。在这方面，很明显，McKean-Vlasov公式更适合处理爆破，它完全避免了上述规律性问题。命题3.7的证明。设ν由（3.5）定义，对于定理3.2给出的（rMV）的解，考虑命题3.6中过滤空间上的（X，B，B，ν）。Byconstruction，Lt=1- νt（[0，∞)). 由于L是有限变化，跳跃的总和是收敛的，因此连续部分LCI由定义良好的表达式LCT=Lt给出-X0<s≤t型Ls，所有t≥ 此外，这意味着L和L的积分在Lebesgue–Stieltjes意义上得到了很好的定义。

关于跳跃大小的最终条件五十、 这就是最小约束（3.6），定理3.2满足了这一点。为了推导（3.10），我们让FB，νt为带ν生成的相应过滤，详见第4节。ν对该过滤的适应性意味着ν和L可以写成νt=P（Xt∈ ·, t<τ| FB，νt），且Lt=P（τ≤ t | FB，νt），对于t≥ 0，ν=P（X∈ ·). 如第4节FB所述，ν是过滤F的一个子过滤，来自命题3.6，Bremains是一个关于该过滤的布朗运动，至关重要的是，过滤独立于其他布朗运动B。鉴于νt的上述表达式，我们看到它对测试函数φ的作用∈ Dis由hνt给出，φi：=φ（x）νt（dx）=E[φ（Xt）1t<τ| FB，νt]表示t≥ 将It^o的一般半鞅公式应用于X·∧τ、 Wegetφ（Xt∧τ） =φ（X）+^ts<τφ（Xs）σ（s）ds+^ts<τφ（Xs）b（s，Xs）ds+^ts<τφ（Xs）σ（s）p1- ρ（s）dBs+^ts<τφ（Xs）σ（s）ρ（s）dBs- α^ts<τφ（Xs）dLcs+X0<s≤ts≤τφ（Xs-- αLt）- φ（Xs-), （3.11）对于t≥ 0，所有φ∈ D、 我们使用的L是有限变化的。从这里，我们注意到φ（Xt）1t<τ=φ（Xt∧τ） ，对于所有t≥ 0，通过定义D，因此hνt，φi等于（3.11）右侧给定的条件期望FB，νtof。由于过滤FB，ν独立于B，因此在这种取条件期望的操作下，针对B的积分被消除，而lc和B的offb，νt-适应性意味着这种操作与这些过程中的积分进行交换（参见[16，引理8.9]）。

因此，根据前面的两个观察结果和Fubini定理，我们可以从（3.11）中推导出（3.10）。除了公式（3.10）在广义函数意义上较弱外，我们还强调，由Flow t 7给出的解→ νtfor（rMV）也可能很弱，因为过滤FB，νt允许严格大于行驶噪声巴龙产生的过滤FB，νt。有关类似情况，请参见classicalpaper[9]。换言之，（rMV）中的损失过程L是以（B，P）为条件的，而不仅仅是B，这一事实仅相当于随机演化方程（3.10）的相应解ν，不一定适应驱动噪声B。3.4初步估计在本小节中，我们建立了关于LN，νN和标记粒子Xi，Nas N行为的几个重要估计→ ∞. 然后在下一小节中使用这些估计值来确定适当的紧密性和连续性结果。通过这两个小节，实际上对于本文的其余部分，我们将始终在满足假设3.4的前提下工作。由于我们的特殊设置和下面第3.2节中的拓扑选择，紧密性的关键前提是在初始时间t=0附近对损耗过程进行有效控制。为了实现这一点，我们需要对原点附近的初始条件进行一些控制。假设ν（[0，x]）≤1.-α-1x绝不是最优的，但它已经相当普遍（例如，对于ρ=0，[11，23]假设ν远离边界），它允许一个直观的参数来控制质量损失。常数c的点=1-< 1是我们可以利用c<1-c

此外，我们重申了ρ（t）的界远离1的事实，因为我们需要找出公共噪声的贡献，并利用大数定律中独立布朗运动的平均值。提案3.9（损失的初始控制）。考虑损失过程的顺序ln，对于N≥ 1，由Nunder假设3.4下的粒子系统（3.1）的唯一解给出。那么我们就有了thatlim supN→∞PLNδ≥ α-1log（δ-1)δ= 0.对于所有δ∈ （0，δ），对于一些足够小的δ>0。证据为清楚起见，我们将证明分为三个简明步骤。第1步。鉴于 > 0根据假设3.4，我们确定两个常数λ>0和λ>0，使得1-  < λ< λ < 1. 设置ε=ε（δ）：=δlog（δ-1） ，我们得到p（LNδ≥ α-1ε) ≤ PLNδ≥ α-1ε，νN（[0，ε]）≤λα-1ε+ PνN（[0，ε]）≥λα-1ε,对于每个N≥ 1，其中我们定义了初始经验度量νN：=NNXi=1δXi，N。注意，对于所有ε>0足够小的情况，我们必须有limn→∞PνN（[0，ε]）≥λα-1ε= 1{ν([0,ε])≥λα-1ε}=0，根据大数定律和假设3.4。还要注意，νN（[0，ε]）≤λα-1εi且仅当#{i：Xi，N∈ [0, ε]} ≤ Nλα-1ε. 因此，让我表示随机索引seti={I∈ {1，…，N}：Xi，N≥ ε} ，对于ε=ε（δ）>0，我们得到估计值pLNδ≥ α-1ε，νN（[0，ε]）≤λα-1ε≤X | I|≥N（1-λε2α）P（LNδ≥ α-1ε| I=I）P（I=I）。第2步。接下来，我们定义τ：=inf{t≥ 0：LNt≥λα-1ε}和J：=i：infs<τ∧δ（Xi，Ns- Xi，N）≤ -ε.然后我们声称，对于每一个有“我”的人≥ N（1-λα-1ε），我们有p（LNδ≥ α-1ε| I=I）≤ P|我∩ J |≥ Nλ-λα-1ε| I=I. （3.12）假设对于矛盾，LNδ≥ α-1ε，但| I∩ J |<Nλ-λα-1ε. 那么|我∩ J |+| I{|<Nλ-λα-1ε+Nλα-1ε=Nλα-1ε，所以即使所有这些粒子都在间隔[0，τ]内被杀死∧ δ] ，它们对LNτ的总贡献∧δ小于λα-1ε. 特别是，这意味着，在时间τ∧ δ、 剩余粒子的最大可能向下跳跃（由I索引∩J{）是-λε.