在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

还有待观察的是，F（M（un，Zn））是可统一积分的，因为| F（M（un，Zn）|≤ |Mt（un，Zn）+Ms（un，Zn）|，E[| Mt（un，Zn）| p]等于hun，| Mt（un，·）| pi，根据假设，对于某些p>1，其一致有界。因此，ψ（un）到ψ（un）的收敛遵循Vitali的收敛定理。该证明类似于Υ和Θ，使用p>2的有界性假设。定义新的背景空间“Ohm := Ohm*×DR=P（DR）×CR×DR与其Borel-sigma代数B（“”Ohm) 概率测度P由P（A）给出：=^P（DR）×CRu（{η：（u，w，η）∈ A} ）dP*（u，w），A.∈ B（“”Ohm). （3.26）为了表述的简单性，我们不应显著区分上定义的随机变量Ohm*及其对‘’的规范扩展Ohm.提案3.15。设M由（3.23）给出。那么M·，M·-'·∑（s）ds和M·×B·-\'·σ（s）ρ（s）ds都是（\'）上的连续鞅Ohm,“”P，B（“”Ohm)) 根据假设3.4。证据回想一下，PN=> P*, 其中PN是（PN，B）定律。利用Skorokhod的表示定理，我们可以找到一个几乎肯定收敛的序列（QN，BN）→（Q）*, B*) in（P（DR），TwkM1）×（CR，k·k∞) Pn=定律（QN，BN）和P*= 法律（Q*, B*).注意，我们只得到了hpn，| Mt（PN，·）| pi=NNXi=1^tσ（s）ρ（s）dBs+^tσ（s）p1- ρ（s）dBisp、 对于任何给定的功率p>0。这以概率1收敛到给定B的函数G，其中G（·）根据其参数有界，例如通过Birkhoff–Khinchinergodic定理。由于（PN，B）和（QN，BN）的定律一致，对于每个N≥ 1，我们得出hQN，| Mt（QN，·）| pi- G（BN）在概率上收敛到零，并且使用该BN→ B*几乎可以肯定的是，当G（BN）以BN为界时，我们可以找到hQN，| Mt（QN，·）| pi以N为界的子序列≥ 概率为1（界为随机）。

在传递到此子序列之后，（QN，BN）以概率1满足引理3.14的假设，因此引理3.14中的函数连续性给出了ψ（PN）在法律上收敛于ψ（P*) 沿子序列（仍按N索引）。类似的参数适用于Υ（PN）和Θ（PN，B）。接下来，我们可以观察到≥ 1，Eψ（PN）= 流行性出血热^·σ（s）ρ（s）dBs+^·σ（s）p1- ρ（s）dBsi=0。此外，E[|ψ（PN）| p]在N中明显一致有界≥ 对于任何给定的p＞1，我们都有一致可积性。由于ψ（PN）弱收敛于ψ（P*), 正如我们所论证的那样，一致可积性给出了均值[1，Thm.3.5]的收敛性，因此它通过构造“P”来表示“E[F（M）]=E*[ψ（P*)] = 画→∞Eψ（PN）= 通过F的定义，我们可以推断M确实是P下的鞅。对于t 7的路径连续性→ Mt，请注意“E[| Mt- Ms |]≤ lim支持→∞E【hPN，| Mt- Ms | i]=Eh^tsσ（r）dWri=O（| t- s |），其中W是标准布朗运动，最后一个等式来自伯克霍尔德-戴维斯-甘迪。根据Kolmogorov的连续性准则[13，Chp.3，Thm.8.8]，我们得出M具有连续版本的结论。对于其他两个过程，证明类似，使用Υ（PN）到Υ（P）的收敛定律（沿子序列）*) Θ（PN，B）至Θ（P*, B） ，分别为。基于前面的命题，我们现在可以完成定理3.2的证明。定理3.2的证明。修复概率空间（“”Ohm,“”P，B（“”Ohm)) 如（3.26）所述，这包括确定一个极限点（P*, B） of（PN，B）。现在确定“上的acádlág流程X”Ohm X（u，w，η）：=η。然后通过构造“P”来保持十、∈ A、 （P*, （B）∈ S=^Su（A）dP*（u，w），其中我们回顾了P*是（P）的联合定律*, B） 。因此，我们有'P（X∈ A | P*, B） =P*（A） ，则，A.∈ B（DR），根据需要。

接下来，命题3.15给出了mt=Xt- 十、-^tb（s，Xs）ds- αP*(^τ ≤ t） 是一个连续鞅，具有hM，Mit=^tσ（s）ds和hM，Bit=^tσ（s）ρ（s）ds。根据Lévy的特征化定理，我们推导出存在一个布朗运动B，它与带无关，带的t=^tσ（s）ρ（s）dBs+^tσ（s）p1- ρ（s）dBs。根据大数定律和投影η7的连续性→ η、 我们很容易验证Xis是根据P下的ν分布的。然而，我们需要下面的引理3.16来确保（B，B，P）⊥ B和X⊥ （B，B，P）。通过这个引理，我们得出（X，P*, B、 B）是（rMV）的解决方案。最后，通过传递到一个极限N→ ∞ 在引理3.10中，然后发送δ↓ 0，我们获得（(R)P-a.s.）^Lt≤ inf{x>0：ν*t型-（[0，αx]）<x}。（3.27）由于通过构造，^L是c^dlág，命题3.5确保我们在（3.27）中具有等式，因此存在性证明是完整的。仍需验证极限点P*在大种群极限下，pn的真值与特殊布朗运动无关。引理3.16。在定理3.2的证明中，X，B和（B，P）相互独立*) 在“P.Proof”下。根据假设3.4，t 7→ σ（t）ρ（t）在Cκ（0，t）中，对于某些κ>1/2。因此，MAPW 7→^·σ（s）ρ（s）dwsmakes是任意布朗路径w的一个年轻积分[14，Thm.6.8]，它与对应的针对Bunder P的it^o积分非常一致*. 此外，如果序列（wn）在∩κ<1/2Cκ（0，T）一致收敛于w∈ ∩κ<1/2Cκ（0，T），则路径积分也会收敛[14，Prop。

6.11-6.12].给定任意有界连续函数g∈ Cb（R），let▄F（ζ，η）：=F（ζ）g（η），对于所有（ζ，η）∈ CR×DR，其中F的定义如（3.24）所示。利用上述对杨积分的观察，类比引理3.14，我们得到∧（un，wn）→ ∧（u，w），其中∧（u，w）：=Du，~FM（u，·）-^·σ（s）ρ（s）dws）·E、 无论何时（un，wn）→ （u，w），对于P*-几乎每一个（u，w），提供unsatis fis fis fis fis fis the integrability succession of Lemma 3.14，并提供wnis a sequence of Brownian path。通过与命题3.15证明中相同的推理，Skorokhod表示论证给出了沿着此类序列只有∧的连续性，以便我们得出∧（PN，B）在法律上收敛于∧（P*, B） 。接下来，我们定义流程t：=Mt-^tσ（s）ρ（s）dBs=^tσ（s）p1- ρ（s）dBs。根据定义，我们有Ohm*P*（ω） ，▄FY（ω，·）·数据处理*（ω） =E*[λ（P*, B） 】。立即∧（PN，B）是一致可积的，因此∧（PN，B）定律收敛到∧（P*, B） 如上所述，产生平均值的收敛。Hencewe get^Ohm*P*（ω） ，FY（ω，·）·数据处理*（ω） =limN→∞E∧（PN，B）= 0，（3.28），其中我们使用了thatE[λ（PN，B）]≤CNNXi=1E^tsσ（s）p1- ρ（s）dBis→ 0，作为N→ 0，根据Bi的性质和∧的定义。事实上，由于theBi是独立的布朗运动，并且它们独立于初始条件，因此▄F的定义和塔式定律F^·σ（s）p1- ρ（s）dBis，XiF^·σ（s）p1- ρ（s）dBjs，Xj= 0，对于所有i 6=j，当写出E[λ（PN，B）]的表达式时，它会消除交叉项。从（3.28）和F的定义中，我们可以得出结论，对于P*-a、 e.ω∈ Ohm*, 工艺η7→ Y（ω，η）是P下的鞅*（ω） 以随机变量η7为条件→ η.类似的参数，这一次为Γ（u，w）：=Du，~FM（u，·）-^·σ（s）ρ（s）dws-^·σ（s）（1- ρ（s））ds·E、 表明η7的二次变化→ Y（ω，η）是'·σ（s）（1-ρ（s））ds conditionallyonη7→ η.

因此，在定理3.2的证明中，Levy的特征化理论允许我们推断，对于P*-a、 e.ω∈ Ohm*, 工艺η7→ Y（ω，η）是P下的时变布朗运动*（ω） 以η7为条件→ η. 此外，根据强大数定律，我们很容易看到η7→ η根据P下的ν分布*（ω） ，Xunder'P也是。特别是，我们可以由此推断出'P十、∈ 一、 Y型∈ A、 （P*, （B）∈ S=^S（P*（ω） ）（{η：Y（ω，η）∈ A、 η∈ 一} ）dP*（ω） =^S？P（Y∈ A） (R)P（X∈ 一） dP*（ω） =(R)P（X∈ 一） “”P（Y∈ A） \'\'P（P*, （B）∈ S.最后，我们可以观察到B=（Bt）t∈[0，T]表示'·（σ（s）p1的黎曼和的概率一致极限（在'P下- ρ（s））-1天。根据上述结果，我们得到X，（P*, B） ，并且这些有限和中的任何一个在“P”下都是相互独立的，因此在极限中B也是如此。这就完成了证明。4过滤和数字备注本节主要涉及第3节开头讨论的过滤构造。首先，我们证明关于整体过滤的命题3.6，然后推导并验证上文第3.3节所述的子过滤FB，νtus的性质。接下来，我们将在第4.2节中简要介绍用于生成引言中图1.1所示模拟的数值格式。4.1过滤及其性质的构造在上述定理3.2的证明中，我们继续使用背景空间（“”Ohm, F、 P）从（3.26）开始，以及从（3.22）开始的共可数时间T集合，对于固定极限点（P*, B） 。与此极限点相关，我们有吸收边缘流7→ ν*t： =P*（^ηt∈·, t<^τ），其中，与前面的小节一样，^η表示DRand上的正则过程，且^τ是其第一次命中时间为零。回想一下‘Ohm = P（DR）×CR×DR及其乘积Borelσ-代数F。

回忆一下Xt（u，w，ζ）=ζ和Bt（u，w，ζ）=wt，并注意ν*t（u，w，ζ）=u（^ηt∈·, t<τ）。最后，我们可以观察到，由于这些过程令人满意（rMV），Bt将适应任何使Xt、Bt和hν*t、 1我已调整。让我们首先为带ν构建所需的过滤*= (ν*t） t型≥如命题3.6所述，我们希望每个边际ν*t可测量为anM（R）值随机变量，其中M（R）的Borel-sigma代数来自于均匀拓扑中有界连续函数Cb（R）的对偶（闭子空间）。因此，我们将使用在时间t由预测B7生成的过滤→ Bsandν*7.→ hν*s、 φi适用于所有s≤ t和所有φ∈ Cb（R）。也就是说，我们定义fb，ν*t： =σ（u，w）7→hu，φ（ηs）1s<τi，ws: φ ∈ Cb（R），s≤ t型现在的关键是要确保酿造过程中的布朗运动。下一个引理将允许我们推导。命题4.1（吸收边际流的收敛）。假设3.4下，（3.3）给出νNbe。对于任何有界连续函数族φ，φk∈Cb（R）我们有hνNt，φi，hνNtk，φki=>hν*t、 φi，hν*tk，φki,作为N→ ∞, 对于任意一组时间t，tk公司∈ T、 证明。修复任意t∈ T和任意φ∈ C（R）。然后我们可以观察到hνNt，φi=hνNt，φi，其中φ（x）：=（φ（x）x≥ 0φ（0）x<0，同样适用于ν*t、 注意φ（^ηt∧^τ）=φ（^ηt）1t<^τ+φ（^ητ）1t≥φ（ηητ）=φ（0），因此我们有分解hνNt，φi=hPN，φ（ηt∧^τ）i- φ（0）PN（t≥ ^τ），同样，对于极限ν也是如此*t、 因此，如果我们可以证明，在给定任何∈ T、 对于P*-几乎每u，hun，φ（^ηt∧^τ）i→ hu，φ（^ηt∧^τ）i和un（t≥ ^τ) → u（t≥ ^τ）（4.1）每当un→ uin（P（DR），TwkM1）。

自t起∈ T、 我们有u（T≥ ^τ）=u（t- ≥ ^τ）forP*-几乎每个u，因此引理3.13对（4.1）的第二部分的说法是正确的。注意到t∈ T还表示u（^ηT=^ηT-) 对于P*-几乎每个u，Skorokhod的表示定理都允许我们将（4.1）的第一部分重写为E[φ（Znt∧τn）]→E[φ（Zt∧τ） ]无论何时Zn→ Z a.s.in（DR，M1）和P（Zt=Zt-) = 1、由于t几乎肯定是Z的连续点，因此存在一个事件Ohmtof概率1，其中Znt→ Ztand infs≤坦桑尼亚先令→ infs公司≤tZs，依据【28，第12.4.1和13.4.1条】。关于这件事Ohmt型∩ {infs≤tZs>0}，我们最终得到φ（Znt∧τn）=φ（Znt），收敛到φ（Zt）=φ（Zt∧τ). 同样，在事件上Ohmt型∩ {infs≤tZs<0}，我们实际上有φ（Znt∧τn）=φ（0），与φ（Zt）一致∧τ) = φ(0). 对于剩余事件Ohmt型∩ {infs≤tZs=0}，在定理3.13的证明中，得出如下结论：直到anull集，Zt=0，因此φ（Zt∧τ） =φ（Zt）=φ（0）。原则上，φ（Znt∧τn）mayoscillate介于φ（0）和φ（Znt）之间，但后者收敛到φ（Zt）=φ（0）。综合以上，我们得到φ（Znt∧τn）→ φ（Zt∧τ） 几乎可以肯定，所以E[φ（Zt∧τ） ]表示E的极限[φ（Znt∧τn）]，由支配收敛。设G为任意有界连续函数G:CR→ R、 修复任何，田纳西州∈ T∩ [0，t]和f，fn公司∈ Cb（R），前面的命题给出了“EhG（Bt+·- Bt）nYi=1fi（hν*ti，φii）i=limN→∞EhG（英国电信+·- Bt）nYi=1fi（hνNti，φii）i=(R)EhG（Bt+·- Bt）i’EhnYi=1fi（hν*ti，φii）i.（4.2）这里的第二个等式来自（νNs）s≤独立于（Bs+t- Bt）s≥0，因为有限粒子系统具有唯一的强解，其中（B，…，BN）独立于B。

我们从（4.2）中推断，未来的增量与FB，ν无关*在这个过滤过程中，布雷梅斯是一个布朗运动。此外，过滤与B无关，因为两个带ν*独立于B，如引理3.16所保证。最后，我们需要一个更大的过滤Ft，其完整的解决方案（X，B，B，ν*) 我适应了。这是通过还包括投影X 7的预图像来实现的→ 因此，我们定义：=σ（u，w，ζ）7→hu，φ（ηs）1s<τi，ws，ζs: φ ∈ C（R），s≤ t型.根据我们对解（X，B，B，ν）的构造*) 打开（“”Ohm,P，F），我们注意到我们可以用ζs，ws来写Bt（u，w，ζ），用φ来写hu，φ（ηs）1s<τi≡ 1，用于s≤ t、 所以B是可测量的。类比（4.2），在任何时间t≥ 0，带隙的未来增量与Ft无关。因此，它们都是关于过滤的布朗运动。这就完成了命题3.6.4.2数值模式概述的证明。图1.1所示的密度近似值是根据以下基于求积的算法生成的。从初始概率密度函数V和fix开始，步长δt和δx用于在时空网格上创建网格【0，t】×【0，u】。这里，值u是一个选择足够大的上限，因此在空间分量中截断级别u以上的解是可以接受的近似于正半直线上的过程。在时间δt网格空间切片上的每个点上，通过根据热方程（由公共噪声增量Bδt给出漂移项）演化解来近似该点的密度- B（也就是说，在空间网格的这个切片上的所有点上，数值计算对应于此变换的积分）。

该过程给出了候选密度Uδt。现在估计候选密度lossL（0）δt=1-^∞然后迭代过程L（n+1）δt=L（0）δt+αL（n）δtUδt（x）dx，直到达到某种停止规则。这里使用的规则是当L（n+1）δt时停止迭代- L（n）δt首次<ε，对于某些阈值ε>0。序列n 7中的最终值→ L（n）δ是我们对第一时间步损失的近似值，^Lδt。然后，我们将解转换为边界方向的α^Lδtin（通过将UδTon重新插值到移位网格），以在第一个时间步后给出真实密度Vδt的近似值。然后按顺序在所有时间步重复此过程。我们推测，当网格大小消失时，该算法在极限范围内给出了正确的近似值。事实上，尝试一个严格的证明是很有意思的，通过假设可以执行求积和插值步骤以达到有限的精度来修改问题（即证明通过热方程和传染近似进行近似的重复离散步骤可以产生正确的限制行为）。值得强调的是，传染损失的顺序近似值与[17，方程式（2.1）]中的构造完全对应。最后，我们注意到，上述过程中的操作数按时间步长×质点×（Nspace步长+Ncontagion步长）进行缩放。所提出的数值格式的精确性质有待于进一步研究。确认。该项目是在A.Sojmark在牛津大学期间发起的，得到了EPSRC奖EP/L015811/1的支持。我们感谢Ben Hambly当时的初步讨论和建议。

此外，我们感谢两位匿名评委和副主编鼓励我们对第2和第3部分的某些结果进行扩展，并感谢他们对改进整体演示的建议。参考文献[1]P.Billingsley。概率测度的收敛性。概率与统计学中的威利级数：概率与统计学。约翰·威利父子公司，纽约，第二版，1999年。威利的跨学科出版物。[2] 布鲁内尔。兴奋性和抑制性棘突神经元稀疏连接网络的动力学。计算神经科学杂志8（3）：183–208，2000年。[3] 布鲁内尔和哈基姆。低放电率神经元网络中的快速全局振荡。神经计算11（7）：1621–16711999【4】R.Carmona和F.Delarue。平均场对策的概率理论及其应用2。具有共同噪声和主方程的平均场对策。概率论与随机建模84，Springer，2018年。[5] R.Carmona、F.Delarue和D.Lacker。具有常见噪声的平均场对策。《概率年鉴》44（6）：3740–380320016。[6] M.J.Cáceres、J.A.Carrillo和B.Perthame。非线性噪声积分神经元模型分析：爆破和稳态。《数学神经科学杂志》1（7），2011年。[7] J.A.Carrillo、M.D.M.González、M.P.Gualdani和M.E.Schonbek。计算神经科学中非线性福克-普朗克方程的经典解。Comm.偏微分方程38:385–4092013。[8] J.A.Carrillo、B.Perthame、D.Salort和D.Smets。计算神经科学中带噪积分和fire模型解的定性性质。非线性28:3365–33882015。[9] D.Dawson和J.Vaillancourt。随机McKean–Vlasov方程。NoDEA 2:199–2291995【10】F.Delarue、J.Inglis、S.Rubenthaler和E.Tanré。