在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

但是，请注意，这些剩余粒子都满足Xj，N≥ εandifs<τ∧δ（Xj，Ns- Xj，N）>-ε、 所以我们必须有infs<τ∧δXj，Ns>ε。因此-λε不能导致它们中的任何一个下降到原点以下，因此LNτ∧δ<λα-1ε，soδ<τ，这必然意味着LNδ<α-1ε. 这就产生了想要的矛盾。第3步。注意，对于s<τ，αLNs<λε∧ δ. 因此，利用漂移的线性增长假设，我们推断infs<τ∧δ（Xi，Ns- Xi，N）≤ -ε意味着- δC（1+sups<δ| Xi，Ns |）+infs<δ{Yis+Ys}-λε ≤ -ε、 （3.13）式中：=^sσ（r）ρ（r）dBrand Yis：=^sσ（r）p1- ρ（r）dBir。在此基础上，我们将事件交叉点分析拆分为<δ| Ys |≤ δlog log（δ-1） oandnsups<δ| Xi，Ns |≤ δ-对数对数（δ-1） o及其补充。很容易验证，两个补码都以概率o（1）作为δ出现↓ 0，N均匀≥ 1、在两个事件的交汇处，根据之前的观察结果（3.13），INFS<δYis≤ -ε+λε+δC+2δlog log（δ-1） 就我而言∈ J、 因此，我们可以从步骤1中的最终估计和步骤2中的权利要求（3.12）得出以下结论：p（LNδ≥ α-1ε) ≤ PNNXi=1infs<δYis≤-1.-λε+δC+2δlog log（δ-1)≥λ-λα-1ε+ o（1）为N↑ ∞ 和δ↓ 0，其中δ中的o（1）项在N中是一致的≥ 1、回想一下ε=δlog（δ-1). 由于ρ的界远离1（根据假设3.4），我们可以在每个Yi中执行时间变化，然后再执行大数定律yieldslim supN→∞P（LNδ≥ α-1ε) ≤ 1.Φ-c[1-λlog（δ-1)-δC-2对数对数（δ-1)]≥λ-λα-1log（δ-1)δ+ o（1）asδ↓ 0，对于某些c>0，其中Φ是标准正常cdf。注意，给定点处计算的Φ的阶数为O（exp{-常数。×（对数δ-1） }），指示器最终会变为零，为δ↓ 0，因此证明是完整的。最小约束（2.2）将从以下引理以及命题3.5中恢复。

该证明遵循与[11]的命题5.3基本相同的推理，但我们提供了完整性的全部细节。主要的一点是，与之前的引理不同，没有必要隔离常见噪声和特殊噪声的影响。引理3.10。固定任何t<t。存在一个常数C>0，因此，对于每一个δ>0非常小的值，我们有νNt-（[0，αx+Cδ]）≥ x个x个≤ LNt+δ- LNt公司-- Cδ≥ 1.- Cδ，当N≥ δ-.证据固定δ>0和N≥ δ-, 我们注意到N（LNt+δ- LNt公司-) 等于区间内吸收的粒子数【t，t+δ】。LetYit，s：=^stσ（r）ρ（r）dBr+^stσ（r）p1- ρ（r）dBir，对于i=1，N、 并确定事件Sei，k：=nXi，Nt-- αkN- Cδ（1+sups≤t+δ| Xis |）- sups公司∈[t，t+δ]| Yit，s |≤ 0，t≤ τio，对于给定的k，那么必须是nnxi=1Ei，k的情况≥k=0，1，N（LNt+δ- LNt公司-). （3.14）现在fix任意λ≤ LNt+δ- LNt公司-- 2δ和setk：=N（λ+2δ）≤ N（LNt+δ- LNt公司-).这样，（3.14）适用于kand，我们有λ≥千牛-2δ以及kN≥ λ+ 2δ-N、 介绍其他活动SEI：=Cδ（1+sups≤t+δ| Xi，Ns |）+sups∈[t，t+δ]| Yit，s |≥ δ,对于i=1，N、 因此，在每个事件上，Ei，k∩ （Ei）{，我们有Xit-- αkN≤ δ、 和henceXit-- αλ≤ 退出-- α千牛- 2δ≤ (1 + 2α)δ.因此，νNt-（[0，αλ+（1+2α）δ]）=NNXi=1{Xit-≤αλ+（1+2α）δ，t≤τi}≥NNXi=1Ei，k（Ei）{。定义事件E：{NPNi=1Ei≤ δ} ，我们推断，在E，νNt上-([0, αλ+ (1 + 2α)δ]) ≥NNXi=1Ei，k-NNXi=1Ei≥千牛- δ≥λ+ 2δ-N- δ= λ+ δ-N、 因为我们正在与N合作≥ δ-, 我们有δ-N-1.≥ 0，因此我们最终可以得出以下结论-([0, αλ+ (1 + 2α)δ]) ≥ λ在E上，（3.15），用于任意选择λ≤ LNt+δ- LNt公司-- 2δ. 因此，只需观察到存在一个常数C>0，与δ无关，因此P（E{）≤ Cδ。

要了解这一点，我们可以两次应用马尔可夫不等式、Cauchy–Schwarz不等式和Burkholder–Davis–Gundy不等式（To Yi），以发现P（E{）=PNNXi=1Ei>δ≤ δ-NNXi=1P（Ei）≤ cδEh1个以上sups≤T | X1，Ns|i+cδ-3Ehsups∈[t，t+δ]| Yt，s | i≤ cδ+cδ。回顾（3.15）并取C：=max{2c，1+2α}完成证明。最后，出于连续性的原因，我们需要下面的引理，它可以方便地在标记粒子的层次上进行表述。它抓住了一个简单但重要的事实，即布朗驱动力使每个粒子在撞击后立即下降到任何水平以下。引理3.11。设X1，Nbe由（3.1）给出。对于任何t≤ T和δ>0，我们有limε→0lim支持→∞Pinfs公司≤δ∧（T-t）X1，Nt+s- X1，Nt> -ε= 0.证明。由于ln只能导致粒子跳下，我们可以在动力学中忽略它。同时使用假设3.4漂移的线性增长界，我们可以推断出所讨论的概率由p控制infs公司≤δ∧（T-t）sCλ+Ys+t- 年初至今> -ε+ Psups公司≤T | X1，Ns |>λ, （3.16）对于任何给定的λ>0，其中我们有setYs：=^sσ（r）p1- ρ（r）dBr+^sσ（r）ρ（r）dBr。由于y是时变布朗运动定律，所以（3.16）中的第一项的顺序为o（1），即ε→ 0，N均匀≥ 1，对于任何固定λ>0。此外，发送λ→ ∞, （3.16）中的第二项在N中均匀消失≥ 1，因此结果如下。3.5紧性、连续性和收敛性为了建立有限粒子系统的收敛性，我们遵循了[11]的思想。特别是，我们通过在（T，’T）上添加纯布朗噪声，将粒子从（3.1）扩展到[0，’T]，对于固定的‘T＞T。

这相当于将经验测量值PN替换为▄PN：=NNXi=1δ▄Xi，N·其中▄Xi，Nt：=（Xi，Nt，t∈ [0，T]Xi，NT+位- 钻头，t∈ （T，\'T]。（3.17）为了便于记法，我们将删除\'~’ 简单地写下Xi，nt和PN，理解Xi，nti是由Xi，nt给出的，当我们在全区间[0，T]上工作时。请注意，这种构造自动扩展了命题3.9，使其保持在端点“T”，并且选择布朗噪声（T，\'T）确保了以“T”代替“T”的形式出现的表3.11的有效性（当然，我们实际上只对时间T之前的系统动力学感兴趣）。正如在[11，Sec.4.1]中所述，我们将Skorokhod的M1拓扑赋予DR=DR[0，\'T]，因为它允许我们通过其单调性绕过损失LN中的不规则性。对于这种拓扑的性质，我们将参考[19，28]（在[28]中，它被称为强M1拓扑，并表示为SM）。重要的是，这些属性依赖于dr的成员在最终时间保持连续，这就是粒子系统持续延伸到'T的原因。此外，我们强调（DR，M1）是一个波兰空间[28，Thm.12.8.1]，其Borel-sigma代数由边缘投影生成[28，Thm.11.5.2]。与[11，引理5.4和5.5]中的分析类似，一旦我们在两个端点t=0和t=(R)t得到命题3.9的结果，经验度量的紧密性就很容易成为M1拓扑特性的结果（见第3.12节）。根据普罗霍罗夫定理[1，Thm.5.1]，我们由此获得该对的弱收敛子序列（PN，B），目标是将结果极限点与（rMV）的解联系起来。在试图描述极限点之前（P*, B） ，我们的首要任务是确保LN=PN（t≥ ^τ）收敛于P*（t≥ ^τ）当pn收敛于P时*.

这是通过一个连续性结果（即引理3.13）实现的，该结果类似于[11，引理5.6，Prop.5.8，引理5.9]，并且在观察到它需要依赖引理3.11之后，它的证明遵循类似的论点。最后，我们需要描述P*作为过程X的条件定律，满足所需的条件McKean–Vlasov方程，使得（P*, B） 独立于特殊布朗运动B（作为解的一部分构造）。就这一部分而言，我们依赖于一个鞅论证（引理3.11和命题3.12），它虽然在精神上很接近，但与[11]中的方法不同，并且对于处理常见噪声很有用。与[11]相比，该论点的另一个优点是，它对波动率σ的特定形式不敏感，而[11]中的方法倾向于恒定波动率。除了我们对独立结果的态度外*在引理3.13中，我们所有的引理都推广到有界的非退化Lipschitz连续x 7→ σ（t，x），因此在没有公共噪声的情况下，我们很容易得到[11]中结果的推广，但我们忽略了这方面的细节。相反，我们推进并实施上述计划，首先从M1拓扑中的经验措施的严密性开始。命题3.12（经验度量的严密性）。让twkm1指定由DR上的M1拓扑诱导的P（DR）上弱收敛的拓扑。然后，经验测度（PN）N≥1在假设3.4下，拧紧（P（DR），TwkM1）。证据因为（DR，M1）是波兰空间，所以（P（DR，TwkM1）也是波兰空间。因此，根据classicalresult【25，Ch.I，Prop.2.2】，有必要验证（X1，N）N≥1紧固（DR，M1）。LetHR（x，x，x）：=infλ∈[0,1]| x- (1 - λ） x+λx |。以下[第19节。

4] ，我们可以推导出（X1，N）N的紧度≥1通过展示PHR（X1，Nt，X1，Nt，X1，Nt）≥ δ≤ Cδ-4吨- t |（3.18）适用于所有N≥ 1，δ>0和0≤ t<t<t≤\'T，以及Limδ↓0limN→∞P支持∈(0,δ)X1，Nt- X1，N+ 支持∈（(R)T-δ、 (R)T）X1，不适用- X1，Nt≥ ε= 每ε>0，则为0（3.19）。对于第一种情况，观察HR（X1，Nt，X1，Nt，X1，Nt）≤ |Zt公司- Zt |+| Zt- Zt |+infλ∈[0,1]| LNt- (1 - λ） LNt公司- λLNt |，其中Z由dzt=b（t，X1，Nt）dt+σ（t）p1给出- ρ（t）dBt+σ（t）ρ（t）dBt。由于Ln在增加，右侧的最终项为零，因此（3.18）通过控制Z的增量，很容易遵循马尔可夫不等式。最后，（3.19）根据命题3.9成立，并且如上所述，它也适用于艺术终点。回想一下，每个PN都是（DR，B（DR））上的随机概率度量，并且lnt=PN（t≥ ^τ），其中^τ是标准过程onDR的第一次命中时间为零。也就是说，作为DR上的随机变量，我们有^τ（ζ）=inf{t>0：ζt≤ 0}，对于每ζ∈ DR.下一个引理提供了Ln关于PN极限点的连续性结果。它将在我们进一步的弱收敛分析中发挥核心作用。引理3.13（损失的连续性结果）。假设pn弱收敛于P*on（P（DR），TwkM1）和let Q*:= 法律（P*). 在Q*-a、 e.P（DR）中的u，映射u7→ u（t≥对于所有t，^τ）相对于TwkM1是连续的∈ Tu∩ [0，\'T），其中Tu是T 7的连续点集→ u（t≥ ^τ).证据首先，我们声称，对于任何δ>0，我们有eh^P（DR）^′Tinfs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}=0dtP公司*（dη）i=Eh^′TP*infs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}=0dti=0。（3.20）要看到这一点，请考虑一组时间t：={t∈ [0，\'T]：EP*（ηt=ηt-)] = 1} ，它在[0，\'T]中是可共数的，因为P的每次实现*是一个概率度量onDR。

每t∈ T、 我们可以推断出P*infs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}=0≤ limε→0lim信息→∞EPN编号infs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}>-ε= limε→0lim信息→∞Pinfs公司≤δ∧（(R)T-t）X1，Nt+s- X1，Nt> -ε. （3.21）注意，如有必要，我们始终可以用较小的值替换δ>0，以便δ+t∈ T、 因此，对于P*（参见[28，第12.4.1条]和[28，第13.4.1条]，如下所示）。根据引理3.11，（3.21）的右边在极限处消失，因此根据（3.21）和托内利定理，这个定理（3.20）确实成立。因此，几乎所有P*在路径ζ的子集上受支持∈ dr，ζ>0满足该条件，几乎每t∈ [0，\'T]，我们有INF≤任何δ的δζt+s<ζt∈ （0，(R)T- t] 。现在考虑概率测度（uN）的收敛序列，其中uN→ u*in（P（DR），TwkM1）为N→ ∞, 其中极限u*在上述路径集上受支持，注意这些概率度量的集合u*∈ P（DR）在Q下有fullmeasure*= 法律（P*).应用斯科罗霍德表示定理（见例[1，Thm.6.7]），存在Cádlág过程zn和Z（定义在相同的背景空间中），因此zn几乎肯定会收敛到Z in（DR，M1）和uN（t≥ ^τ）=E(-∞,0]（infs≤tZNs）和u*（t≥ ^τ）=E(-∞,0]（infs≤坦桑尼亚先令）.根据[28，Thm.12.4.1]，我们得到了ZN→ Z> 0几乎可以肯定，因为N→ ∞, 因此，我们立即从支配收敛推导出uN（0≥ ^τ) → u*(0 ≥ ^τ) = 0.对于t>0，需要进行更多的工作。允许Ohm是ZN→ Zin M1拓扑。然后，根据[28，Thm.13.4.1]，它适用于每个ω∈ Ohm在[0，\'T]中有一组全勒贝格测度的时间Tω，使得≤tZNs（ω）→ infs公司≤tZs（ω）为N→ ∞ 对于每Tω。

此外，根据我们对u的支持假设*, 我们可以假设Ohm每一组相关的时间Tω都是这样的，对于所有ω∈ Ohm, 我们有INF≤δZt+s（ω）<Zt（ω），对于任何δ∈ （0，(R)T- t] ，对于所有t∈ Tω。自infs起≤tZNs（ω）→ infs公司≤t的tZs（ω）∈ Tω和ω∈ Ohm, 它是立即的，foreachω∈ Ohm, 我们有(-∞,0]（infs≤tZNs（ω））→ 1(-∞,0]（infs≤tZs（ω））为N→ ∞,对于所有t∈ Tω，可能除了时间T的集合∈ Tω，其中infs≤tZs（ω）=0。然而，从上面回顾Tω的性质（由于u的支持*), 后一组最多只能是一个单件。实际上，如果Zt（ω）=0在某个时间t∈ Tω，然后是路径s 7→ Zs（ω）将在时间t后立即下降到原点以下。根据最后的观察，我们可以得出结论，对于每个ω∈ Ohm, 我们一定有(-∞,0]（infs≤tZNs（ω））→ 1(-∞,0]（infs≤tZs（ω））为N→ ∞.几乎每t∈ [0，\'T]。因此，支配收敛产生几乎确定的收敛^I(-∞,0]（infs≤tZNs）dt→^I(-∞,0]（infs≤tZs）dt我∈ B（0，T）。反过来，在接受期望并使用Tonelli后，另一个支配收敛的应用给出了^IuN（t≥ ^τ）dt→^Iu*（t≥ ^τ）dt我∈ B（0，(R)T），如N→ ∞. 现在让\'Nt:=uN（t≥ ^τ），并考虑t 7的截断→ `Nt由\'N，εt：=\'N（t∨ε)∧（(R)T-ε)t型∈ [0，\'T]，对于N≥ 1和ε>0。则\'N，εt=uN（t≥ t的^τ）∈ [ε，\'T- ε] 和（`N，ε）N≥1在M1拓扑中自动相对紧凑[28，Thm.12.12.2]，因此我们可以传递到收敛的子序列\'Nk，ε→ `ε. 根据[28，Thm.12.4.1]，`Nk，ε以点方式收敛到`ε，作为Nk→ ∞, 关于t 7连续点的共可数集→ `εt。特别是，主导收敛产生^IuNk（t≥ ^τ）dt=^I ` Nk，εtdt→^I`εtdt我∈ B（ε，’T- ε） ，作为Nk→ ∞ 使用正确的连续性，我们由此推断`εt=u*（t≥ ^τ）到处（ε，’T-ε） ，因此，我们必须有uNk（t≥ ^τ) → u*（t≥ ^τ）作为Nk→ ∞ forevery t公司∈ Tu*∩ （ε，’T- ε).

发送ε→ 0，注意到我们将对任何子序列得出相同的结论，我们最终可以得出以下结论：uN（t≥ ^τ) → u*（t≥ ^τ）asN→ ∞ 对于所有t∈ Tu*∩ [0，\'T）。这就完成了证明。利用命题3.12中Pn的紧密性，我们可以确定一个极限点P*ofPN：=P（DR）×CR上的定律（PN，B）。从现在起，我们将处理这个特定的极限点（记住，这些参数适用于任何极限点），并且，尽管传递到了子序列，我们将只写PN=> P*. 对于具体性，我们定义Ohm*:= P（DR）×CRand引入随机变量P*背景空间上的（u，w）：=u和B（u，w）：=w(Ohm*, P*, B类(Ohm*)). 注意，（P）的联合定律*, B） 是P*带B(Ohm*) = σ（P*, B） 。鉴于此，我们定义*:= P*( · ≥ ^τ）与共可数时间集T：=t型∈ [0，\'T]：P*（L）*t=L*t型-) = 1，E*[P*（ηt=ηt-)] = 1.. （3.22）通过命题3.9和命题3.12的证明，我们从一开始就知道，Ln在DRon[0，\'T]中是紧的。通过引理3.13和连续映射定理[1，Thm.2.7]，我们可以推断其极限的有限维分布（沿固定子序列）与L*, 因此我们确定L*作为限制。当然，我们实际上对[0，T]上的动力学感兴趣，所以我们注意到，对于任何T∈ [0，T]∩T、 既然限制是连续的，只要是P*-几乎可以肯定是L的连续点*.现在我们继续推导极限定律P的一些进一步性质*, 这将最终使我们能够构建一个概率空间，支持（rMV）的解决方案。首先，我们定义了地图M:P（DR）×DR→ DRbyM（u，η）：=η- η-^·b（s，ηs）ds- αu( · ≥ ^τ). （3.23）确定任意选择的时间s，t∈ T∩[0，T）s<tand s。

，sk∈ [0，s]∩T、 对于（3.22）中定义的T，设F:DR→ R由f（ζ）给出：=（ζt- ζs）kYi=1fi（ζsi）（3.24），对于任意f，fk公司∈ Cb（R）。基于此，我们定义了泛函Ψ(u) :=u，F（M（u，·））,Υ(u) :=u，FM（u，·）-'·σ（s）ds, 和Θ（u，w）：=u，FM（u，·）×w-'·σ（s）ρ（s）ds.作为引理3.13的应用，我们得到以下连续性结果。引理3.14（功能连续性）。对于P*-几乎每个u，我们都有ψ（un）、Υ（un）和Θ（un，wn）在任何时候（un，wn）收敛到ψ（u）、Υ（u）和Θ（u，w）→ （u，w）in（P（DR），TwkM1）×（CR，k·k∞) 沿着hun，| Mt（un，·）| pi在n中均匀结合的序列≥ 1，对于某些p>2，在任何t≥ 0.证明。根据T的定义，它适用于P*-几乎每u，即u（t≥ ^τ）=u（t- ≥ ^τ）和u（ηt=ηt-) = 所有t均为1∈ T、 借助引理3.13，我们可以在P下以概率1限制到u的aset*使un（t≥ ^τ）收敛到u（t≥ ^τ）fort=tand t=s，sk公司。固定这些u中的任何一个，并假设（un，wn）→ （u，w）in（P（DR），TwkM1）×（CR，k·k∞) un满足上述可积性假设。Westart表示ψ（un）→ Ψ(u). 调用斯科罗霍德的表示定理[1，Thm.6.7]，我们可以写出ψ（un）=E[F（M（un，Zn））]和ψ（u）=E[F（M（u，Z）），其中Zn→ Z几乎肯定在（DR，M1）中，定律（Zn）=un，定律（Z）=u，和p（Zt=Zt-) 对于t=t，s，sk公司。根据M1收敛的标准性质[28，Thm.12.4.1]，我们在Z的连续点，特别是Zns的连续点上有逐点收敛→ zs几乎每s∈ [0，T]。由于zn是一个收敛且hencebounded的序列，我们从b（s，·）的连续性及其线性增长边界推断，几乎可以肯定，Znt- 锌-^tb（s，Zns）ds→ Zt公司- Z-^tb（s，Zs）ds，对于t=t，s，sk，（3.25）以优势收敛为主。反过来，我们得出结论，在R中，F（M（un，Zn））几乎肯定收敛于F（M（u，Z））。