在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《At the Mercy of the Common Noise: Blow-ups in a Conditional
  McKean--Vlasov Problem》
---
作者：
Sean Ledger and Andreas Sojmark
---
最新提交年份：
2021
---
英文摘要：
  We extend a model of positive feedback and contagion in large mean-field systems, by introducing a common source of noise driven by Brownian motion. Although the driving dynamics are continuous, the positive feedback effect can lead to `blow-up\' phenomena whereby solutions develop jump-discontinuities. Our main results are twofold and concern the conditional McKean--Vlasov formulation of the model. First and foremost, we show that there are global solutions to this McKean--Vlasov problem, which can be realised as limit points of a motivating particle system with common noise. Furthermore, we derive results on the occurrence of blow-ups, thereby showing how these events can be triggered or prevented by the pathwise realisations of the common noise.
---
中文摘要：
通过引入由布朗运动驱动的公共噪声源，我们在大平均场系统中推广了一个正反馈和传染模型。尽管驾驶动力是连续的，但正反馈效应可能会导致“爆炸”现象，从而导致解决方案产生跳跃不连续性。我们的主要结果是双重的，涉及模型的条件McKean-Vlasov公式。首先，我们证明了这个McKean-Vlasov问题有全局解，它可以作为具有共同噪声的激励粒子系统的极限点来实现。此外，我们得出了爆破发生的结果，从而说明了如何通过路径实现公共噪声来触发或防止这些事件。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> At_the_Mercy_of_the_Common_Noise:_Blow-ups_in_a_Conditional_McKean--Vlasov_Problem.pdf (1.05 MB)

2022-6-10 06:52:47 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Mathematical Differential Applications Quantitative Conservation

受共同噪音的摆布：传统麦基恩-弗拉索夫问题中的爆炸肖恩·莱格兰德·安德烈亚斯·瑟马克数学学院，布里斯托尔大学和海尔布朗学院信息科学研究所，BS8 1TW，英国数学系，伦敦帝国理工学院，伦敦，SW72BU，UK1021年2月15日摘要我们在大型平均场系统中扩展了一个正反馈和传染模型，通过引入由布朗运动驱动的公共噪声源。尽管驾驶动力是连续的，但正反馈效应会导致“爆炸”现象，从而导致解决方案产生跳跃不连续性。我们的主要结果是双重的，涉及模型的条件McKean-Vlasov公式。首先，我们证明了这个McKean–Vlasov问题有全局解，它可以作为具有公共噪声的激励粒子系统的极限点来实现。此外，我们得出了爆炸发生的结果，从而说明了如何通过路径实现公共噪声来触发或预防这些事件。1简介本文研究了大型平均场系统中的正反馈和传染模型，重点研究了正反馈回路与行驶动力中常见噪声源之间的相互作用。具体而言，我们考虑了随着粒子数量趋于一致，基础有限维粒子系统的收敛性，并说明了极限McKean-Vlasov问题中出现的“爆破”现象Xt=X+p1- ρBt+ρBt- αLtLt=P（τ≤ t | B）τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}.（MV）这里的随机驱动因子B和独立的布朗运动，以及起始点Xis是一个独立的随机变量，取值于正半直线（0，∞), 而α>0和ρ∈ [0，1）是常量参数。

通过对（MV）的解，我们理解了一个递增过程L，它是cádlág，其值在[0，1]中，且在零处为零，即L=0。正如我们将看到的，公共噪声B起着关键作用：在某些情况下，它具有引发或防止爆炸的能力，其中爆炸被定义为t 7的跳跃不连续性→ （MV）的一个关键特性是，这些爆炸是内生的：所有随机驱动因素都是连续的，但跳跃不连续性可以通过正反馈效应单独发展。本文的主要技术成果有两个方面。首先，我们分析了（MV）的爆破现象，并推导出了发生此类爆破的一些简单条件，目的是突出常见噪声所起的重要作用（见定理2.1）。其次，我们证明了（MV）的解是作为“传染性”粒子系统的大种群极限出现的，这为下文讨论的各种应用提供了理论依据。我们建立了比情况（MV）更一般的漂移和扩散系数的收敛结果，并考虑了一大类自然初始条件（见定理3.2）。为了更好地理解（MV）的工作原理，考虑X的条件定律，在原点吸收，给定公共噪声B。这定义了

先验地，L的关联跳跃并非仅由方程（MV）唯一规定，然而，我们可以根据左极限νt确定一个非常规选择-对于νt，根据第2节中介绍的最小约束（2.2），在任何给定时间t>0。在下面的引理2.2中，我们表明，对于所有的正时间t>0，都有密度Vtofνt，如上所述。图1.1显示了这些密度的流量，对于两种给定的常见噪声B，其中一种会导致爆炸，其时间和大小由上述最小约束规定。备注1.1（随机演化方程）。正如我们在命题3.7中所示，从广义上讲，密度vt的流动由随机演化方程控制dVt公司=xxVtdt- ρxVtdBt+αxVtdLct+^R[Vt-（·+αy）- 及物动词-]JL（dt，dy），Lct=Lt-X0<s≤t型Ls，Lt=1-^∞Vt（x）dx，且JL=X0<s<∞δ（s，Ls），在原点有吸收边界的正半线上（我们记得跳跃的大小如上文（2.2）所述）。注意到非线性“dLt”给出了穿过原点的质量流，该演化方程提供了（MV）与下文讨论的数学神经科学文献之间的联系。我们参考第3.3节了解更多详细信息，但在此我们注意到，该方程与文献中处理的典型随机偏微分方程截然不同，因为它是非局部空间，并且，在时间上，人们不能期望像L的绝对连续性，或者说，对于外生驱动力Y，dLt=`TDYT。图1.1：曲线图显示了ρ=0.5和相同初始条件下（MV）的两种不同实现。每个像素代表该时空点的密度值，空间在垂直方向，时间在水平方向。在右侧，公共噪声B迅速降低，导致爆炸。

数值算法见第4.2节。1.1应用和相关文献我们对（MV）的主要兴趣源于其作为大型金融系统中常见风险和传染之间相互作用的平均场模型的潜力，如【18】所述。在此设置中，Xt∈ [0, ∞) 给出“典型”银行或信贷风险资产的违约距离，ρ表示常见风险敞口的程度，α>0表示违约的传染反馈效应。因此，t 7的跳跃不连续性→ LTC对应的是一个“违约级联”，其中违约传染的反馈会爆炸，金融系统的宏观比例会同时损失。上述无共同噪声（ρ=0）的模型激发了[17]中的分析，该模型的数值格式已在[26]中探讨。类似的财务框架也为[23，24]提供了动力，这是一篇最新的论文，将特殊（ρ=0）模型扩展到更一般的随机驱动因素，并用有限数量组的互动图取代恒定反馈参数。在更具启发性的层面上，基于备注1.1中随机演化方程的PDE（ρ=0）版本，在[15]中提出了宏观经济危机出现的类似模型，尽管没有解决爆发的可能性和hencenot对跳跃分量的解释。关于常见噪音的存在，更普遍地说，我们注意到，这最近已成为平均场游戏seee中非常感兴趣的主题。g、 [4，5]首先。特别是，这也导致了对所谓的条件性麦肯-弗拉索夫型问题的研究，然而，重点却大相径庭。研究（MV）的另一个重要动机来自数学神经科学，其中（MV）对大型平均场网络中典型神经元的电压水平进行建模。

该应用程序（ρ=0）是[6、7、8、10、11]的重点，其中反馈项描述了相邻神经元尖峰（即达到阈值，从而发出动作电位，然后重置）时所经历的电压水平跳跃。添加公共噪声（ρ>0）是一种新颖的方法，可以捕获一些系统性随机刺激同时影响所有神经元的效果，例如由于环境中的一些外部影响。虽然神经科学文献中讨论了这种常见的噪声平均场模型，例如[2、22、27]，但它们尚未得到严格的处理。我们注意到，在数学神经科学文献中，重点不是McKean–Vlasov公式（MV），而是相应的确定性（ρ=0）或随机性（ρ>0）福克-普朗克方程，其中“dLt”给出了“dt”时间单位上尖峰神经元比例的微小变化。由于神经元在尖峰后被重置，我们可以使用注释1.1中的进化方程的保质量版本，通过添加源项来重新引入穿过原点的质量流。忘记了备注1.1中的爆破成分，这种随机福克-普朗克方程的各种公式出现在数学神经科学文献中（参见[2，3，21，27]），但到目前为止，还没有人试图对随机演化方程本身以及它如何从具有共同噪声的有限粒子系统中出现赋予不同的含义。有关更多详细信息，我们参考上述参考文献以及第3.3节中的提案3.7和备注3.8。关于适定性的结果（MV）的存在性和唯一性问题很微妙，尤其是因为爆破的可能性。

虽然这一系列论文[6、7、8]研究了确定性福克-普朗克方程，使用了可能在有限时间内不再存在的解的经典概念，但论文[10、11]是第一个考虑ρ=0的概率公式（MV）。特别是，对于ρ=0，[11]表明，全局解可以作为合适粒子系统的极限点获得，使用的思想启发了我们在第3节中的方法，并将在此基础上进行扩展。本文通过引入ρ>0的（MV）解的“松弛”概念来描述具有常见噪声的“传染”粒子系统的极限点，从而有助于完善性的文献。这为上述应用程序提供了正当性。我们在这里提到，（MV）的“弛豫”涉及L（或ν）相对于普通布朗运动B的可测性，但更多细节留待第3节。在本文第一版之前，（MV）的适定性结果仅适用于问题的特殊（ρ=0）版本【10，11，17，23】，唯一性仅在第一次爆炸之前已知【17，23】。然而，通过排除爆破，如果α>0足够小，则后者成为全局唯一性[10，17]。关于ρ>0，在第二版预印本【24】中已经表明，（MV）的全局解也可以从广义Schauder固定点参数构建，从而补充了本论文第3节中的结果。此外，在唯一性问题上也有一些有趣的新发展。

对于ρ=0的情况，文献[20]表明，在爆破后重新开始求解时，存在局部唯一性，甚至最近，在预印本[12]中发展了ρ=0的（MV）的完整井位理论，给出了初始条件下温和假设下的全局唯一性。最后，[20]还给出了ρ>0在一个小条件下的全局唯一性，反馈参数排除了爆破。1.2本文件概述本文件其余部分分为三节。在下面的第2节中，我们通过得出一些关于（MV）的解决方案的不间断电源的可能性和时间的结果，开始了我们的分析。这方面的主要结果收集在Theorem2.1中，它用于说明特殊（ρ=0）问题和常见噪声（ρ>0）问题之间的关键区别。在第3节中，我们继续公式化“传染性”粒子系统，该系统激励我们分析（MV）并分析其收敛性。主要结果是定理3.2，它表明该粒子系统的经验测度的极限点可以描述为满足最小约束（2.2）的（MV）的“松弛”解。

最后，第4节提供了关于第3节中使用的过滤的一些结果，我们还简要介绍了用于生成图1.1.2中关于发生井喷的模拟的数值方案。正如导言中所强调的，（MV）的解决方案在正半线（即t 7）上带有

因此，我们强制执行以下最小约束，规定跳转大小应满足Lt=inf{x>0：νt-（[0，αx]）<x}，对于所有t≥ 0，（2.2）其中等式几乎肯定成立（回想一下约定ν0-= ν和L0-= 0).正如我们在命题3.5中所证明的那样，这种约束相当于只考虑cádlágsolutions，并且总是选择满足要求的最小跳跃大小（2.1）。在特殊情况ρ=0时，约束（2.1）和（2.2）当然是确定性的，其中νt为无条件形式νt=P（Xt∈ ·, t<τ）对于所有t≥ 0，我们强调，它们正好对应于【10】中提出的“物理解决方案”的概念（参见【17】了解更接近当前的治疗方法，也参见【23】了解略有不同的设置）。[17，图2.1]中给出了这些约束的简单图示，重点是特殊情况ρ=0。重要的是，我们在此提到，在第3节中，作为激发粒子系统极限点产生的解将被证明满足最小约束（2.2）。2.1与常见噪声的特殊性第2节的目的是将（MV）有无常见噪声的爆破现象清晰简单地并列。特别是，我们将说明添加公共噪声如何确定模型是否发生爆炸。我们强调，所采用的方法并不尖锐，因为它们只是为了保证非平凡爆炸概率的存在，而不是确定它们发生的精确条件。