非线性市场中博弈期权的无套利定价

如果套期保值者的g-评估的比较属性成立，则过程-Xu+A是左上半连续的，然后是套期保值者超边际成本的下边界，h（x）=Y- x=infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））- x、 （19）其中（Y、Z、L、U）是套期保值者的DRBSDE的唯一解决方案，参数为（g、Xl、Xu、XmT）-dYt=g（t，Yt，Zt）dt- ZtdSt公司- dAt+dLt- dUt，YT=XmT，Xlt≤ 年初至今≤ Xut，RT（Yt- Xlt）dLct=RT（Xut- Yt）风管=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=Xl码-}, Ud=（Y）- A） 1{Y-=徐-},（20） 其中Xlt：=Vbt（x）- Xct<Xut：=Vbt（x）- XHTF适用于所有t∈ [0，T]和XlT≤ XmT：=VbT（x）- XbT公司≤XuT。16 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiProof。We FIX x公司∈ 我们首先证明了ps，h（x）≤ Y-x、 必须表明，对于初始值p′=Y-x、 如果Yi是从DRBSDE（20）获得的，我们可以找到套期保值者的超额收益策略。因此，我们的目标是表明存在一种策略（Д′，σ′）∈ ψ（x+p′，A）×T，使得三重态（p′，Д′，σ′）完全满足条件（SH）。为此，我们确定了策略（p′，ν′）=（Y-x、 Z）其中（Y、Z、L、U）是DRBSDE（20）的唯一解决方案。对于一个g iven过程Z，财富V=V（x+p′，Д′）满足远期SDE（dVt=-g（t，Vt，Zt）dt+ZtdSt+dAt，V=Y.（21）此外，如果我们设置σh：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xut}，然后利用U的连续性（见Remark3.2），我们得到Uσh=0，因此，在随机区间[0，σh]上，U=0，DRBSDE（20）可以被视为Y的一个ward-SDE，具有给定的过程es Z和LdYt=-g（t，Yt，Zt）dt+ZtdSt+dAt- dLt，Y=Y，Xlt≤ 年初至今≤ Xut，RT（Yt- Xlt）dLct=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=Xl码-}.（22）根据[26]中的引理3.1，我们推断Vt≥ Ytfor所有t∈ [0，σh]因此，自Yt≥ XLT适用于所有∈ [0，T]，我们认为≥ XLT适用于所有t∈ [0，σh]。

此外，Vσh≥ Yσh=Xuσh≥ Xmσh。因此，对于所有t∈ [0，T]，Vσh∧t型≥ Xlt{t<σh}+Xuσh{σh<t}+Xmt{t=σh}=Jh（σh，t），这意味着（p′，ν′，σ′）=（Y- x、 Z，σh）是套期保值r的超边缘策略，定义为2.3。我们得出结论，不等式ps，h（x）≤ Y- xis有效。现在需要说明的是ps，h（x）≥ Y- x、 通过定义上确界，它可以显示- xis是任何p的下界∈ Ks，h（x）。让我们任意取一个p∈ Ks，h（x）。然后存在一对（Д，σ）∈ ψ（x+p，A）×T使得，对于所有τ∈ T，Vσ∧τ（x+p，ν）≥ Xlτ{τ≤σ} +Xuσ{τ>σ}+Xmσ{τ=σ}=Jh（σ，τ）。对于每个τ，套期保值者的g-评估收益率的比较性质∈ T，x+p=Eg，h0，σ∧τVσ∧τ（x+p，ν）≥ 例如，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））。自τ起∈ T是任意的，我们得到x+p≥ supτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））≥ infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））=Y，其中最后一个等式来自假设3.3。我们得出结论，ps，h（x）≥ Y- x、 这就完成了平等的证明（19）。为了验证下一个假设，我们参考备注3.2。假设3。4、流程Xl- A和-Xu+A是左上s E连续的，因此hedger的DRBSDE（20）的溶液（Y，Z，L，U）中的过程L和U是连续的。在下一个结果中，我们确定了Cg的复制策略。回想一下，第2.3节介绍了ahedger的CG复制策略的概念。请注意，在定义停止时间时，我们从此采用以下约定： = T3.2上的提案。

如果假设3.4得到满足，且套期保值者估值的比较属性成立，则以下断言有效：（i）三元组（Y-x、 Z，σh）是套期保值者对Cg的复制策略，其中（Y，Z，L，U）是D RBSDE（20）的博弈期权17解的唯一线性定价，停止时间σh：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xut}，（ii）套期保值者的最小套期保值和复制成本满足pr，h（x）=ps，h（x）=Y- x、 （23）（iii）我们有pr，h（x）=Eg，h0，σh∧τh（Jh（σh，τh））- x、 其中τh：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xlt}。证据我们已经知道Y- x=ps，h（x）≤ pr，h（x），从而证明第（i）部分和第（ii）部分，其结果表明（p′，Д′，σ′）=（Y- x、 Z，σh）是套期保值者对Cg的复制策略。注意，过程Y和Xu的右连续性给出了Yσh=Xuσ，而L和U的连续性确保了Lτh=0和Uσh=0，因此可以在[0，σh]上查看DRBSDE（2 0∧ τh]与DE（22）一样，具有预定过程Z，且过程L满足所有t的Lt=0∈ [0，τh]。因此，从SDE（22）解的唯一性出发，我们得到等式Vt（Y，Z）=Yton[0，σh∧ τh]。特别是，P（τh=σh）=0（因为Xl<Xu）和vσh∧τh（Y，Z）=Yσh∧τh=Xlτh{τh<σh}+Xuσh{τh>σh}=Jh（σh，τh），这意味着（Y- x、 Z，σh）是套期保值者对Cg的复制策略。断言（iii）现在是适用于套期保值者的DRBSDE（20）的假设3.3的中间结果。解决套期保值者估值的最后一步取决于证明套期保值者的最小复制成本也是其最大公平价格，并给出套期保值者可接受价格的替代表示。下一个结果的证明与定理2.1的证明非常相似；尽管如此，为了完整起见，还是给了他re。定理3。1.

如果假设3.4得到满足，且套期保值者sg-evaluation的严格比较属性成立，则套期保值者的可接受价格ph（x）s atis fiesph（x）=pf，r，h（x）=bpf，h（x）=pr，h（x）=Y- x=Vh（Xl、Xu、Xm）- x、 证明。必须证明pr，h（x）属于集合Kf，h（x），或者等价地，不等式pr，h（x）<p对每一个p都成立∈ Ka，h（x）。为此，我们将以矛盾的方式进行辩论。让我们表示p′=pr，h（x）。假设p′∈ Ka，h（x），因此存在一个策略（Д′，σ′）∈ ψ（x+p′，A）×t表示三重态（p′，Д′，σ′）完全满足条件（AO）。然后我们得到了，对于每个τ∈ T，PVσ′∧τ（x+p′，Д′）≥ Jh（σ′，τ）= 1，PVσ′∧τ（x+p′，ν′）>Jh（σ′，τ）> 设置τ=τ手利用套期保值者g-评价的严格比较性质，我们得到x+p′=Eg，h0，σ′∧τhVσ′∧τh（x+p′，Д′）> 例如，h0，σ′∧τh（Jh（σ′，τh））。然而，根据假设3.3和假设3.2（iii），我们得到了例如，h0，σ′∧τh（Jh（σ′，τh））≥ 例如，h0，σh∧τh（Jh（σh，τh））=x+p′，因此我们得到x+p′=Eg，h0，σ′∧τhVσ′∧τh（x+p′，Д′）> 例如，h0，σ′∧τh（Jh（σ′，τh））≥ 例如，h0，σh∧τh（Jh（σh，τh））=x+p′，这是一个明显的矛盾。因此，bpr，h（x）/∈ Ka，h（x），因此bpr，h（x）∈ Kf，h（x），这意味着集合Kf，r，h（x）是非空的。从引理2.3来看，我们得出结论：bpf，h（x）=pr，h（x）=pf，r，h（x）=ps，h（x）。现在的断言来自命题3.1和3.2。18 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski3.5 Hedger的合理取消时间我们的下一个目标是为游戏合同Cg提供一些有用的类别特征，所有可能的Hedger的合理取消时间。定义3.4。

我们说σ′∈ T是套期保值者对CG的合理取消时间，如果合约在时间0时以套期保值者可接受的价格ph（x）进行交易，并且存在交易策略Д∈ ψ（x+ph（x），A），使得Vσ′∧τ（x+ph（x），Д）≥ 每个τ的Jh（σ′，τ）∈ T鉴于财富过程和过程Jh（σ′，·）的规律性，条件a出现在定义3中。4可以重述如下：不等式Vσ′∧t（x+ph（x），Д）≥ Jh（σ′，t）保持所有t∈ [0，T]。假设g ame合约CG在时间0以套期保值者可接受的价格ph（x）进行交易。然后，从定理3.1和命题3。1和3.2，我们知道存在一个三重态（Д′，σ′，τ′）∈ψ（x+ph（x），A）×T×T，一方面，（ph（x），Д′，σ′）∈ （SH）另一方面，（ph（x），Д′，σ′，τ′）∈ （BE）。因此，我们发现所有套期保值者的理性取消和盈亏平衡时间的类别（见定义3.5）均为非空。我们的首要目标是确定所有套期保值者的合理取消时间的类别。为此，我们需要以下版本的BSDE与generator g解决方案的比较属性。假设3.5。BSDE解决方案的以下扩展比较属性适用：如果forj=1，2(-dYjs=gj（s，Yjs，Zjs）ds- ZjsdSs+dHjs，Yjτ=ζj，其中τ∈ T，ζ≥ ζ、 g（s、Ys、Zs）≥ g（s、Ys、Zs）表示所有s∈ [0，τ]和过程H- 他的不减损，然后是Ys≥ Ysfor e甚s∈ [0, τ].引理3.1。假设假设3.5得到满足，套期保值者的sg-evaluation的严格比较属性成立。假设（Y、Z、L、U）是DRBSDE（20）的唯一解决方案。如果σ′∈ 这是套期保值者的合理抵消时间和τ′∈ T是这样的，Lτ′=0，Yτ′=Xlτ′，那么我们有uσ′∧τ′=0和Yσ′∧τ′=Jh（σ′，τ′）。证据假设σ′∈ T是赫德对Cg的合理取消时间。

然后存在ahedger的交易策略∈ ψ（x+ph（x），A），使得Vσ′∧τ（x+ph（x），Д）≥ 每个交易对手的执行时间τ的Jh（σ′，τ）∈ Thedg-er的g-evaluationyieldsx+ph（x）=Eg，h0，σ′的比较性质∧τVσ′∧τ（x+ph（x），Д）≥ 例如，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ）），因此alsox+ph（x）≥ supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））。特别是，如果τ′∈ T等于Yτ′=Xlτ′，然后x+ph（x）≥ supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））≥ 例如，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′，τ′）≥ 例如，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′，（24），其中最后一个不等式成立，因为可以显示Jh（σ′，τ′）≥ Yσ′∧τ′. 事实上，由于四元组（Y，Z，L，U）解出了DRBSDE（20），我们得到了Yσ′∧如果τ′，τ′=Yτ′=Xlτ′≤ σ′，Yσ′∧τ′=Yσ′≤ 如果σ′<τ′，则为Xuσ′≤ T和Yσ′∧τ′=XmTifτ′=σ′=T。因为jh（σ′，τ′）=Xlτ′{τ′<σ′}+Xuσ{σ′<τ′}+Xmσ{τ′=σ′}，Xl<Xuand Xl≤ Xm公司≤ Xu，现在很容易看到Jh（σ′，τ′）≥ Yσ′∧τ′. 回顾thatph（x）=Y- x、 我们从（24）Y获得≥ 例如，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′). （25）博弈期权的非线性定价19通过一个关于τ′的假设，我们还可以使Lτ′=0成立，因此DRBSDE（20）为0≤ r≤t型≤ τ′可以写成(-dYr=g（r，Yr，Zr）dr- ZrdSr公司- dAt公司- dUr，Yt=Yt，Xlr≤ 年≤ Xur，Rt（Xur- Yr）dUcr=0，Ud=（Y）- A） 1{Y-=徐-}.利用假设3.5，我们得到了不等式Eg，hs，t（Yt）≥ Ysfor 0≤ s≤ t型≤ τ′，这意味着过程Y是[0，τ′]上的Eg，h-次鞅。根据（25）和dger g-评估的后严格比较性质，我们现在可以推断出每0≤ s≤ σ′∧ τ′Eg，hs，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Ys。（26）相反，假设等式（26）不是真的。那么套期保值者的g-评价的严格比较性质将是yieldEg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Eg，h0，s（Eg，hs，σ′）∧τ′（Yσ′）∧τ′）>Eg，h0，s（Ys）≥ Y、 这与（25）相矛盾。

从（26）中，我们有Eg，ht，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=yT，因此，对于所有0≤ s≤ t型≤σ′∧ τ′，Eg，hs，t（Yt）=Eg，hs，t（Eg，ht，σ′）∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Eg，hs，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Ys，其中最后一个等式也来自（26）。因此，我们证明了Y是[0，σ′上的Eg，h-鞅∧ τ′，所以Uσ′∧τ′=0和Uσ′∧t=0表示所有t∈ [0, τ′]. 特别地，我们有Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Y.（27）通过将（24）与（27）组合，我们得到Y=x+ph（x）=Eg，h0，σ′∧τ′Vσ′∧τ′（x+p，ν）= supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））=Eg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′，τ′）=Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′).因为我们已经证明了Jh（σ′，τ′）≥ Yσ′∧τ′，利用hedger\'sg-评价的严格比较性质，我们得到了期望的等式Jh（σ′，τ′）=Yσ′∧τ′. 我们将研究交易对手τh：=inf{t的两个可能的行使时间∈ [0，T]| Yt=Xlt}，(R)τh：=inf{T∈ [0，T]| Lt>0}，这对于套期保值者的估值和理性取消问题具有特殊的意义，3.3上的上标h.Propositi强调了这一点。让假设3.4–3.5得到满足，套期保值者的g-评估具有严格的比较性质。那么以下断言是正确的：（i）如果停止时间σ′∈ T是这样的：（a）Uσ′=0，（b）Yσ′=Xuσ′，那么σ′是套期保值者的理性取消时间，（ii）如果σ′是套期保值者的理性取消时间，那么Uσ′∧τh=Uσ′∧\'τh=0，Yσ\'∧τh=Jh（σ′，τh）和Yσ′∧？τh=Jh（σ′，？τh）。证据（i） 如果条件（a）满足，那么，如第3.1项中的证明，我们得出套期保值者交易策略的存在∈ ψ（x+ph（x），A），使财富过程V=V（x+ph（x），Д，A）满足Vt≥ 年初至今≥ XLT适用于所有t∈ [0, σ′]. 此外，由于（b）成立，我们得到vσ′≥ Yσ′=Xuσ′≥ Xmσ′和，对于所有t∈ [0，T]，Vσ′∧t型≥ Xlt{t<σ′}+Xuσ′{σ′<t}+Xmσ′{σ′=t}=Jh（σ′，t）。因此，很明显σ′是套期保值者对Cg的合理取消时间。20 E.Kim、T.Nie和M。

Rutkowski（ii）根据Le mma 3.1，有必要证明Lτh=L'τh=0，Yτh=Xlτhand Y'τh=Xl'τh。质量Yτh=Xlτh取决于τhand的定义过程的正确连续性。因此，根据（20），从L的连续性我们得到Lτh=0。现在，我们将显示l’τh=0和Y’τh=Xl’τh。对于ar位ε>0，存在δ∈ [0，ε]使得L'τh+δ>0，并且，sinceRT（Yt- Xlt）dLt=0，存在δ∈ [0，δ]使得Y′τh+δ=Xl′τh+δ。从Y和xl的右连续性以及ε和0≤ δ≤ δ ≤ εar e任意，我们推导出y′τh=Xl′τh。此外，由于所有t∈ [0，’τh），考虑到L的连续性，我们也得到了L‘τh=0。推论3.1。满足假设3.4–3.5，且套期保值者的g-评估的严格比较属性成立。然后停车时间σhand'σh，由σh给出：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xut}，(R)σh：=inf{T∈ [0，T]| Ut>0}，是hedger的有理抵消时间。证据我们首先考虑停止时间σh。从Y和Xu的正确连续性中，我们得到质量Yσh=Xuσh。此外，从σh的定义中，我们得到Y<xutf∈ [0，σh），所有t的Ut=0∈ [0，σh]观察到U是连续的。利用命题3.3中的（i）部分，我们得出结论，σ是套期保值者的理性取消时间。现在让我们关注停止时间σh。然后，类似于命题3.3的证明，使用Y和Xu的右连续性，我们可以表示所有t∈ [0，(R)σh]。因此，再次使用命题3.3中的第（i）部分，我们得出结论，σhis也是套期保值者的合理取消时间之一。在美式期权和非线性市场的情况下，很容易描述期权持有人的早期和最新持有人的合理行使时间（例如，Kim等人[26]第3.6节）。

相比之下，由于游戏合同在任何情况下都可以被双方中的任何一方终止，因此很难提供套期保值者最早和最晚的取消时间的完整描述，同样，也很难提供交易对手最快和最新的理性执行时间。然而，可以证明套期保值者的理性取消时间σhand‘∑henjoy至少在某些特定情况下，是套期保值者所有理性取消时间中最早和最晚的。推论3.2。满足假设3.4–3.5，且套期保值者的g-评估的严格比较属性成立。那么以下断言是正确的：（i）如果σ′是套期保值者的理性取消时间，那么σ′是≤ 事件的σEh：={σh≤ \'τh}，则σ′=σhon Eh，（ii）如果σ′是套期保值者的合理取消时间，则σ′≥ \'σhon the event\'Eh：={\'σh<\'τh}，然后σ′=\'σhon\'Eh。证据（i） 我们用矛盾来争论。设σ′为停止时间，使得σ′≤ 事件eh和P的σ（{σ′<σh}∩ Eh）>0。考虑到'τh≥ σhon呃，我们有σ′∧ Eh上的τh=σ′。由于停止时间σh的定义，我们在{σ′<σh}上有Yσ′<Xuσ′。ThusYσ′型∧\'\'τh=Yσ′<Xuσ′=Xuσ′\'∧在{σ′<σh}上，\'τh=Jh（σ′，\'τh）∩ EH其中最后一个等式从（18）开始。鉴于第3.3条第（ii）部分，我们得出结论，σ′不能是套期保值者的理性取消时间。（ii）我们再次通过矛盾论证。设σ′为停止时间，使得σ′≥ 事件中的σEhand P（{σ′>\'σh}∩(R)Eh）>0。因为明显的“τh>”σhon“Eh，我们有P（σ′）∧ \'τh>\'σh）>0。由于‘σh’的定义，这意味着P（Uσ′）∧τh>0）>0，因此，从第3.3节第（ii）部分的观点来看，σ′不能是套期保值者的合理取消时间。

从推论3.2可以看出，特别是，如果不等式τh≥ σhholds，那么σhist是所有套期保值者理性取消时间中最早的，也就是说，如果σ′是任何套期保值者的理性取消时间，那么σ′≤ σh，则σ′=σh。类似地，如果τh>σh，则σ是所有套期保值者的最新合理取消次数，也就是说，如果σ′是任何套期保值者的合理取消次数，则σ′≥ \'σh，则等式σ′=\'σhholds。博弈期权的非线性定价213.6套期保值者的盈亏平衡时间在下一步中，我们将检查套期保值者的盈亏平衡时间集，该集在定义3.5中介绍。显然，套期保值者的盈亏平衡时间实际上是交易对手选择的特定行使时间，但其名称旨在强调交易对手选择该时间对套期保值者财务结果的影响非常特殊。换言之，这是一个与套期保值者的单边估值问题相关的特殊的交易时间，但对于交易对手的单边估值和在一般非线性框架下的行使问题来说，这通常是没有意义的。定义3.5。A停车时间τ∈ T被称为三元组的套期保值盈亏平衡时间（p，Д，σ）∈R×ψ（x+p，A）×T，如果条件（BE）由四组（p，Д，σ，τ）满足。备注3.4。利用问题的对称性，我们还将在第3.8节中分析交易对手的合理行使时间（由交易对手选择）和交易对手的中断事件时间（由套期保值者选择），但对交易对手的财务结果有利。在下一个结果中，我们提供了与套期保值者的复制策略（ph（x），Д′，σ′）=（Y）相关的所有hedg-er断裂事件的若干替代特征- x、 Z，σh）。