非线性市场中博弈期权的无套利定价

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英文标题：
《Arbitrage-Free Pricing of Game Options in Nonlinear Markets》
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作者：
Tianyang Nie and Edward Kim and Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The goal is to re-examine and extend the findings from the recent paper by Dumitrescu, Quenez and Sulem (2017) who studied game options within the nonlinear arbitrage-free pricing approach developed in El Karoui and Quenez (1997). We consider the setup introduced in Kim, Nie and Rutkowski (2018) where contracts of an American style were examined. We give a detailed study of unilateral pricing, hedging and exercising problems for the counterparties within a general nonlinear setup. We also present a BSDE approach, which is used to obtain more explicit results under suitable assumptions about solutions to doubly reflected BSDEs.
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中文摘要：
目的是重新审查和扩展Dumitrescu、Quenez和Sulem（2017）最近的论文中的发现，他们在El Karoui和Quenez（1997）开发的非线性无套利定价方法中研究了博弈期权。我们考虑了Kim、Nie和Rutkowski（2018）中引入的设置，其中审查了美国风格的合同。我们详细研究了一般非线性系统中交易对手的单边定价、套期保值和行权问题。我们还提出了一种BSDE方法，该方法用于在对双反射BSDE解的适当假设下获得更明确的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Arbitrage-Free_Pricing_of_Game_Options_in_Nonlinear_Markets.pdf (337.91 KB)

2022-6-10 06:59:26 上传

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关键词：套利定价 无套利 非线性 Game Options Mathematical

非线性市场中博弈期权的无套利定价*Marek Rutkowskib，山东大学数学学院，济南，山东250100，新南威尔士州悉尼大学中国数学与统计学院，2006，华沙理工大学澳大利亚数学与信息科学学院，波兰华沙00-661，11月6日，2018年摘要目标是重新审查和扩展Dumitrescu等人最近论文中的发现。[11] 他在El Karoui和Quenez[16]提出的非线性无套利定价方法中研究了博弈期权。我们考虑了Kim等人[26]中引入的设置，其中审查了美国风格的合同。我们详细研究了一般非线性setu p中交易对手的单边定价、套期保值和行权问题。我们还提出了一种BSDE方法，用于获得更多明确的结果和关于双重反射BSDE解决方案的更合适假设。关键词：非线性市场、博弈期权、双重反射BSD数学学科分类（2010）：91G40、60J28*T.Nie和M.Rutkowski的研究得到了DVC research Bridgeting Support Grant Pricingof American and game options in Market with Fricts的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号11601285）和山东省自然科学基金（编号ZR2016AQ13）的资助。2 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski1简介与美式合同不同，所谓的博弈期权在两个交易对手（以下简称套期保值者和交易对手）之间是对称的，从某种意义上讲，双方都有权在合同的名义到期日（以下简称T）之前终止合同。

在此，我们采用约定，根据该约定，当游戏合同被套期保值人终止时的一个随机时刻称为取消时间，而对于交易对手的相应动作，则称为n行使时间。在经典Black-Scholes期权定价模型的框架内，Kifer【24】首次引入并研究了抽象博弈期权的概念，他创造了以色列期权这一术语。随后，Kallse n a和K¨uhn将他的结果推广到了一个一般的l（pos sibly incomplete）半鞅模型[22]。几位作者在线性市场模型的框架内研究了无套利定价和合理取消/行使美国期权（尤其是可转换债券），其中包括：Ayache等人【1】、Bielecki等人【4】、Do linsky和Kifer【9】、Hamad'ene【20】、Kallse n和K¨uhn【22、23】、Matoussi e t等人【33】、K¨uhn等人【29】和Kypriano u【30】。众所周知，至少在线性市场模型的框架内，博弈期权的估值与零和双人Dynkin停止博弈的概念密切相关，Dynkin[13]提出了零和双人Dynkin停止博弈的概念，Neveu后来对其进行了修改。从ma主题的角度来看，还应该提到关于Dynkin游戏和支持游戏合同估值的双重反射ba-ckward随机微分方程（DRBSDE）的论文，特别是Bayraktar和Yao[2]、Cr'epey和Matouss i[7]、Cvitani\'c和Karatzas[8]、Dumitrescu等人[10]、Essaky和Hassani[17]、Grigorova等人[18]、Grigorova和Q ue ne z[19]，Hamad\'ene和Oukine【21】，andLepeltier和San Mart\'n【31】。感兴趣的读者可以参考Kifer【25】，了解Dynkin游戏及其在游戏选项中的应用的最新调查结果。最近，一些作者研究了Dynkin博弈的非线性变量及其在博弈期权中的应用。

这项工作的目的是重新审查和扩展Dumitrescu等人[11]的发现（美式期权的情况也见[12]），他们使用El Karoui和Q ue ne z[16]中开发的非线性无风险定价方法，研究了特定不完美违约市场模型框架内的博弈期权。与【11】相反，我们将自己置于一个广义非线性无套利市场的框架内，正如Bielecki等人所介绍的那样。[3，5]，我们研究了两个交易对手的单边公平价格的一般性质。让我们介绍一个一般非线性市场模型的符号。我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, G、 G，P）满足右连续性和完整性的通常条件，其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]为所有交易者可用的信息流建模。为了方便起见，正在考虑的合同的起始日期被设置为0，并且假设初始σ-Field Gis时间为。此外，下面的w中引入的所有过程都被隐式地假定为G-适应的，并且像往常一样，任何半鞅都被假定为c\'adl\'ag。为了便于注释，我们自始至终都假设两个交易对手的交易条件是相同的，尽管可以通过修改注释来放松这一假设，而不会有任何困难。按照惯例，合同的所有现金流都是从套期保值者的角度描述的。因此，当现金流对套期保值者为正时，则现金金额由缔约方支付，套期保值者收到。显然，如果套期保值者的现金流为负值，那么现金金额将从套期保值者转移到交易对手。让我们为游戏合同的错误定义陈述一个理由。定义1.1。

与G-adapted、c\'A dl\'ag处理A、Xh、Xc、xb的博弈合同是双方之间的合同，称为套期保值者和对方y，其中：（i）σ∈ T由套期保值者选择，称为取消时间，（ii）τ∈ T由交易对手选择，称为行使时间。A=0的过程A给出了截至有效到期日σ的合同累计现金流∧ τ ∧ T合同在时间σ到期∧ τ ∧ T及其在时间σ的终端支付∧ τ ∧ 从套期保值者的角度来看，T由以下表达式给出，对于每个σ，τ∈ T，I（Xh，Xc，Xb；σ，τ）：=Xhσ{σ<τ}+Xcτ{τ<σ}+Xbσ{τ=σ}。（1） 游戏期权的非线性定价3为简洁起见，游戏合约可以表示为GCC（a、Xh、Xc、Xb、T）或简称为Cg。在现有文献中，通常假设不等式Xht<xct和Xht≤ Xbt公司≤ Xctaresatives for every t∈ [0，T]。在这种情况下，支付过程实际上只起到了很小的作用，因为可以证明套期保值者和缔约方的套期保值和估值问题的解决方案将只取决于最终价值xbt，因此t的价值xbt∈ [0，T）是无关紧要的。我们在分析BSDE方法时，将在第3节中做出这些假设，因为它们在处理DRBSDE的解决方案时很方便。这应该与第2节中研究的情况相对比，在第2节中，我们不需要对支付Xh、XC和Xb的顺序做出任何假设。这是无风险定价的一个重要元素，在无在线市场是基准财富Vb（x）的概念，即对特定交易对手的套利机会进行量化和评估的过程。正如Bielecki和Rutkowski【5】所述，B ielecki等人【3】和Kim等人。

[26]基准财富可由等式Vb（x）=V（x）给出，其中，对于任何初始捐赠x∈ 对于变换R，我们设置V（x）：=xB0，l{x≥0}+xB0，b{x<0}其中无风险贷款（分别为借款）现金账户B0，l（分别为B0，b）用于无担保贷款（分别为借款）现金。请注意，V（x）表示交易者在时间0时决定将其初始现金捐赠x保留在贷款中的财富过程（当x≥ 0）或借款（当x<0）现金账户，且在0和T之间未参与任何其他交易活动。更一般地说，如果交易者被赋予初始资产组合（也包括储蓄账户B0、土地B0、b，这意味着他也可以是现金的借款人或借贷者），在时间0时的当前市场价值为x（igno-ring买卖价差和交易成本），那么，Vb（x）代表交易者静态投资组合的财富过程，假设它在T日之前保持不变。按照惯例，数量x和x分别代表套期保值者和交易对手的初始捐赠，因此程序V（x）和V（x）是他们各自的基准财富。从经济学角度来看，基准财富的概念可以被视为是众所周知的机会主义成本概念的合理形式化，这有助于财务决策。还要注意，即使我们为所有t设置x=x=0和Vbt（0）=0∈ [0，T]，那么，由于财富过程的非线性动力学，单边价格将仍然是不对称的。

基准过程ss Vb（x）的一个特殊选择在实际应用中很重要，但它对本工作中给出的所有结果都无关紧要。在第2节中，我们在一个抽象的非线性设置中工作，这意味着我们只对自我融资策略财富过程的非线性动力学进行非常一般的概括。这类主要假设是财富过程的前向单调性和严格前向单调性（分别参见假设2.1和2.2），交易策略的比较和严格比较假设（分别为假设2.3和2.6），以及对冲r和交易对手的可复制性假设（分别为假设2.4和2.7）。第2节的主要结果是定理2.1，其中我们说明了在基础非线性市场模型的温和和自然假设下，单边套期保值者对博弈合约的可接受价格是唯一的，并且对应于通过重复计算获得的公平价格。为此，需要正确定义公平价格的概念，并在非线性设置中重新应用游戏合同。利用ga me合约的对称特征，我们在定理2.2中证明，对于交易对手，定价的相同属性也是正确的。在第3节中，我们将介绍一种BSDE方法，用于在相当一般的设置中进行游戏选项。我们使用BSDE方法获得了有关定价、对冲和合理取消/行使时间的更明确的结果，该方法没有具体说明基础资产的动态，但通过关注DRBSDE解决方案的理想特性。在第3.4节中，我们表明套期保值者的可接受价格可以由套期保值者的DRBSDE的统一解决方案来表征。

接下来，在第3.5节中，我们分析了套期保值者的合理取消时间集和盈亏平衡时间集，前提是合同在时间0以套期保值者可接受的价格进行交易。交易对手的相应结果在第3.4节和第3.5节中无需证明。应该注意的是，套期保值者和交易对手的DRBSDE不同，因此，通常情况下，两个交易对手计算的单边可接受价格不会一致。4 E.Kim，T.Nie和M.Rutkowski2单边公平定价模型M=（B，S，ψ）是一个市场模型，在Bielecki等人的意义上，该模型对于欧洲合约而言是无套利的。这里，ψ表示所有可容许交易策略的类别，ψ（y，D）表示从ψ到初始财富y的所有可容许交易策略的类别∈ 任何交易策略的外部现金流均为兰特∈ ψ（y，D），我们用V（y，Д，D）表示Д的财富过程。显然，等式V（y，ν，D）=y对所有y都成立∈ R和任何策略。我们认为，过程D、Xh、xc和财富过程V（y、ν、D）是c ` adl\'agagand G-适应的。我们将逐步对财富过程的动态做出更多假设。2.1套期保值者的公平价格首先从套期保值者的角度对单边公平估值进行初步分析。与Kim等人[26]研究的美式期权不同，博弈合同的对称性简化了分析，因为它有助于解决套期保值者的估值和套期保值问题，并随后应用类似的论据确定交易对手的结果。我们考虑了一个扩展的市场模型，表示为Mp（Cg），其中游戏合约Cg=GCC（a，Xh，Xc，Xb，T）在时间0以某个初始价格p进行交易，其中p可以是任意的重新数。

我们首先对套期保值者对博弈合约的单边公平估值进行了初步分析。此后，我们假设套期保值者（分别为交易对手）被赋予初始交易财富x∈ R（分别为x∈ R） 现金单位。请注意，为了简洁起见，在没有混淆危险的情况下，变量（A、Xh、Xc、Xb）经常被省略；特别是，付款I（Xh，Xc，Xb；σ，τ）通常表示为I（σ，τ）。同样，由于过程A贯穿始终，在处理套期保值时，我们将经常写入V（x+p，Д），而不是V（x+p，Д，A）。出于同样的原因，我们稍后将编写v（x- p、 ψ）代替V（x- p、 ψ，-A） 检查交易对手的交易策略时。我们介绍了以下条件，即相对于其预定的b e nchmark Vb（x），单边套期保值者收益的存在（或abse nc e）。定义2.1。四组（p，Д，σ，τ）∈ R×ψ（x+p，A）×T×T满足：（AO）<==> Vσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x）和PVσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）>Vbσ∧τ（x）> 0，（SH）<==> Vσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x），（BE）<==> Vσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x），（NA）<==> Vσ之一∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x）或PVσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）<Vbσ∧τ（x）> 让我们解释定义2.1中出现的首字母缩略词的含义：（AO）表示套利机会，（SH）表示超边缘，（BE）表示盈亏平衡，（NA）表示无套利。有关各物业的详细信息，请参见定义2.2–2.5。定义2.2。如果条件（BE）由四组（p，Д，σ，τ）满足，则停止时间τ∈ T是套期保值者的盈亏平衡时间（p，Д，σ）∈ R×ψ（x+p，A）×T。（p，Д，σ，τ）的性质（SH）称为套期保值者在时间τ的超边缘。

根据可选截面定理，很容易看出性质（SH）适用于给定的三重态（p，ν，σ）∈R×ψ（x+p，A）×T和所有τ∈ T当且仅当Vσ∧t（x+p，ν）+I（σ，t）≥ Vbσ∧t（x）表示所有t∈ [0，T]。这一观察结果证明了三重态（p，Д，σ）的以下性质定义（SH）。定义2.3。我们说一个三重态（p，ν，σ）∈ R×ψ（x+p，A）×T满足条件（SH），如果其质量为Vσ∧t（x+p，ν）+I（σ，t）≥ Vbσ∧t（x）适用于所有t∈ [0，T]。在这种情况下，在扩展市场Mp（Cg）中，三元组（p，Д，σ）被称为套期保值者的超边缘策略。博弈期权的非线性定价5Property（AO）被称为套期保值者在时间τ时（p，ν，σ）的严格超边际条件（或套期保值者的套利机会）。注意，如果三重态（p，Д，σ）是这样的，则不等式vσ∧t（x+p，ν）+I（σ，t）>Vbσ∧t（x）每t保持一次∈ [0，T]，则对于每个τ，条件（AO）由（p，Д，σ）满足∈ 但相反的含义并不成立。定义2。我们说一个三重态（p，ν，σ）∈ R×ψ（x+p，A）×T满足条件（AO）如果四重态（p，Д，σ，τ）符合所有τ的（AO）∈ T在这种情况下，我们还认为（p，Д，σ）在扩展市场Mp（Cg）中创造了套期保值者的套利机会。我们说，如果存在τ，则（p，Д，σ）不会产生套期保值风险∈ T以使四组（p，Д，σ，τ）满足（NA）。定义2.5。我们认为pf，h（x）=pf，h（x，Xh，Xc，Xb）是套期保值者的公平价格，当p=pf，h（x）时，无套期保值者的套利机会（p，ν，σ）可能出现在扩展市场Mp（Cg）中。套期保值者的公平价格集合等于kf，h（x）：=p∈ R | (φ, σ) ∈ ψ（x+p，A）×T τ ∈ T：（p，Д，σ，τ）∈ （不适用）套期保值者公平价格的上界等于pf，h（x）：=sup Kf，h（x）。