非线性市场中博弈期权的无套利定价

请注意，停止时间σ′=σhis是套期保值者的选择性取消时间，而四元组（Y，Z，L，U）是DRBSDE（20）的唯一解决方案。Rec所有由τh给出的停止时间τhis：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xlt}。3.4的提案。让第3.5条得到满足，并且（Y、Z、L、U）是套期保值者DRBSDE（20）的唯一解决方案，其中-假设Xu+A是左上半连续的。对于（ph（x），Д′，σ′）=（Y- x、 Z，σh），以下断言是等效的：（i）停止时间τ′∈ T是三重态的套期保值者盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）∈ R×ψ（x+ph（x），A）×T，（ii）四联体（ph（x），Д′，σ′，τ′）∈ R×ψ（x+ph（x），A）×T×T满足条件（NA），（iii）等式Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）=Jh（σ′，τ′）保持，（iv）等式Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′）和Lτ′∧σ′=Uσ′=0保持不变，因此过程Y是[0，σ′上的anEg，h鞅∧ τ′，（v）停止时间τ′∈ T是以下非线性最优停止问题的解：findτ′∈ T使得eg，h0，σ′∧τ′Jh（σ′，τ′）= supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））。此外，如果流程Xl- A是左上半连续的，然后τhis是三元组的套期保值者盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。此外，如果不等式σ′≥ τhholds，然后τhis是三重态的早期thedger盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。证据根据第2.3节中确定的结果，我们注意到，由于（ph（x），Д′，σ′）是套期保值者的复制策略（见命题3.2），它也是套期保值者的超边缘策略，因此很明显，断言（i），（ii）和（iii）确实是等价的。（三）=> （四）。根据命题3.1的证明，我们知道Vt（x+ph（x），ν′）≥ 年初至今≥ XLT全部t∈ [0，σ′，尤其是Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）≥ Yσ′∧τ′. 此外，由于（Y，Z，L，U）解出了DRBSDE（20），所以我们得到了Xl≤ Y≤ Xuand Yσ′=Xuσ′≥ Xmσ′。

因此，Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）≥ Yσ′∧τ′≥ Xlτ′{τ′<σ′}+Xuσ′{σ′<τ′}+Xmσ′{σ′=τ′}=Jh（σ′，τ′）。（28）来自（iii），Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）=Yσ′∧τ′=Jh（σ′，τ′），即Vσ′∧τ′（Y，Д′）=Yσ′∧通过回忆ph（x）=Y，τ′=Jh（σ′，τ′）- x、 此外，由于过程V=V（Y，Д′）满足SDE（21），很容易看出过程V（Y，Д′）是一个Eg，h-鞅。因此我们有Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Eg，h0，σ′∧τ′Vσ′∧τ′（Y，Д′）= Y、 （29）22 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski进程Y求解DRBSDE（20），该DRBSDE可以写在0上≤ r≤ t型≤ σ′如下（回想一下，Uσ′=0）dYr=-g（r，Yr，Zr）dr+ZrdSr+dAt- dLr，Yt=Yt，Xlr≤ 年≤ Xur，Rt（年- Xlr）dLcr=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=Xl码-}.使用假设3.5，我们得到Eg，hs∧σ′，t∧σ′（Yt∧σ′) ≤ Ys公司∧σ′对于所有0≤ s≤ t型≤ 所以Y是随机区间[0，σ′]上的anEg，h-上鞅。我们现在声称，对于所有0≤ s≤ τ′，Eg，hs∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Ys∧σ′. （30）相反，假设等式（30）不能成立。在这种情况下，dger的g-评估的严格比较性质将为yieldEg，h0，τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Eg，h0，s∧σ′（例如，hs∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）<例如，h0，s∧σ′（Ys∧σ′) ≤ Y、 这显然与（29）相矛盾。接下来，我们声明Eg，hs∧σ′，t∧σ′（Yt∧σ′）=Ys∧σ′表示0≤ s≤ t型≤ 这意味着Y是[0，τ′上的Eg，h-鞅∧ σ′）和Lτ′∧σ′= 0. 为了确定这一性质，我们注意到（30）给出了Eg，ht∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Yt∧σ′，因此，对于所有0≤ s≤ t型≤ T，Eg，hs∧σ′，t∧σ′（Yt∧σ′）=例如，hs∧σ′，t∧σ′（例如，ht∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=例如，hs∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Ys∧σ′，最后一个等式来自（30）。（四）=> （iii）。

我们观察到Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′），Lτ′∧σ′=Uσ′=0和（Y，Z，L，U）解出了drebsde（20），从而在随机区间[0，σ′上简化为以下BSDE∧ τ′](-dYr=g（r，Yr，Zr）dr- ZrdSr公司- dAt，Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′).给定流程Z，上述BSDE可以正式重写为（对于ward）SDE，对于allr∈ [0，τ′，（dYr=-g（r，Yr，Zr）dr+ZrdSr+dAt，Y=Y。回想一下，对于所有∈ [0，T]，（dVr=-g（r，Vr，Zr）dr+ZrdSr+dAt，V=Y。从SDE解的唯一性出发，我们推导出t V（Y，Z）和Y在[0，σ′上重合∧τ′].特别是Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）=Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′).（四）<=> （v） 。首先，从（iv）我们知道Eg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′）∧ τ′）=Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Y。观察假设3.3得出Y=supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′）∧ τ） ）和thusEg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′）∧ τ′）=s上τ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′）∧ τ)).相反，如果（v）不存在，则假设3。3 givesY=Eg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′）∧ τ′)) ≤ 例如，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′），其中最后一个不等式是（28）的结果。因此，与含义（iii）类似=>（iv），可以显示（iv）保持。这就完成了等价性的证明（iv）<=> （v） 。博弈期权的非线性定价23让我们证明s顶部时间τhis是套期保值者的盈亏平衡时间。从Y和X的右连续性，我们推断Yτh=Xlτh。此外，从τh的定义，我们得到Yt>Xltfort∈ [0，τh），因此对于所有t∈ [0，τh]。因此，我们有Yτh=Xlτ手Lτh=0，也就是说，（iv）与τ′=τh保持一致。因此，从上述等价物（特别是，（iv）<=> （i） ，我们推断τhis a hedge r的三重态盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）∈ R×ψ（x+ph（x），A）×T。

我们还可以提供另一个简单的论点：根据假设3.3，我们得到了以下非线性最优停止问题的一个解：findτ′∈ T使得eg，h0，σ′∧τ′Jh（σ′，τh）= supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））和，从等效nc e（v）<=> （i） ，我们推断τhis a对冲r的三重态盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。为了完成命题的证明，还需要证明，如果，另外，不等式σ′≥ τhholds，然后τhis是三元组最早的套期保值者盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。因矛盾而厌倦。设τ′为三重态（ph（x），Д′，σ′）的任何套期保值者盈亏平衡时间，如τ′≤ τ手P（{τ′<τh}）>0。然后，从（iv）和σ′开始≥ τh≥ τ′，它认为{τ′<τh}上的Yτ′=Xlτ′，这显然与τh的定义相矛盾。3.7通过DRB SDE计算一方的可接受价格在第3.7节和第3.8节中，假设未进一步提及假设3.1–3.3由交易对手与该过程相关的财富过程满足-A和交易对手的DRBSDE（31）。请注意，交易对手的DRBSDE在套期保值者方程式（20）的手册和交易对手的g-评估（例如，cis）中有明确规定，定义方式与套期保值者的g-评估（例如，hbut）相同，但过程A由过程A代替-BSDE（15）中的A。特别是，交易对手的DRBSDE中较低和较高的障碍是c\'adl\'ag过程xl和xu，由xlt给出：=Xht+Vbt（x）<xut：=Xct+Vbt（x）∈ [0，T]和终端值xmTis使得xlT≤ xmT：=XbT+VbT（x）≤ xuT。

将假设3.2应用于缔约方的DRBSDE可确保存在唯一解（y，z，l, u） 带参数（g、xl、xu、xmT）的DRBSDE（3 1）-dyt=g（t，yt，zt）dt- ztdSt+dAt+dlt型- dut，yT=xmT，xlt≤ 年初至今≤ xut，RT（yt- xlt）dlct=RT（xut- yt）风管=0，ld=-（y+A）1{y-=ζl-}, ud=（y+A）1{y-=ζu-},（31）其中，l a和u是G-pr e dic表、c\'adl\'ag、非减损流程，以便l= u=0。此外l = lc+ldand u=uc+u将其独特的分解为连续和跳跃组件。还记得对方的相对报酬Jc（σ，τ）=eJ（x，xl，xu，xm，σ，τ）由等式（9）给出，即Jc（σ，τ）=I（σ，τ）+Vbσ∧τ（x）=xlσ{σ<τ}+xuτ{τ<σ}+xmσ{τ=σ}。在第3.4节和第3.5节中，我们建立了套期保值的几个结果。由于这两个单边估价和套期保值问题在某种意义上是对称的，很明显，交易对手的类似结果也应该是有效的，因此有必要在没有证据的情况下给出他们的陈述。我们首先陈述了交易对手的提案3.1版本，该版本提供了交易对手的辅助成本与唯一解决方案之间的联系（y、z、，l, u） 至交易对手的DRBSDE（3 1）。24 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiPropositi于3.5。让流程-徐-A左上半连续。如果计数方的g-评估的比较属性成立，则交易对手的超额成本上限满足，c（x）=x- y=x- infτ∈Tsupσ∈三甘醇，c0，σ∧τ（Jc（σ，τ））。在下一个结果中，我们将需要以下假设3.4的类似物，该结果与第3.2条的建议一致，并给出了交易对手的Cg复制策略。假设3.6。

流程xl+A和-徐- A是左上半连续的，因此l 和溶液中的u（y，z，l, u） 到交易对手的DRBSDE（31）是连续的。我们通过设置τc：=inf{t来定义账簿的取消时间σc和交易对手的行权时间τc∈ [0，T]| yt=xut}，σc：=inf{T∈ [0，T]| yt=xlt}。3号提案。6、假设3.6得到满足。如果交易对手sg-evaluation的比较属性成立，则以下断言有效：（I）（x）- y、 z，τc）是交易对手的Cg复制策略，（ii）交易对手的最大超边际和复制成本满足BPR，c（x）=bps，c（x）=x- y=x- 例如，c0，σc∧τc（Jc（σc，τc））。LetVc（xl，xu，xm）代表交易对手的非线性Dynkin博弈的上限值，即Vc（xl，xu，xm）：=infτ∈Tsupσ∈三甘醇，c0，σ∧τ（Jc（σ，τ））。以下结果是定理3.1的直接结果，表明对方的最大复制成本与其最低公平价格一致，并提供了对方可接受价格pc（x）的替代性陈述。定理3.2。让假设3.6得到满足。如果缔约方g-评估的严格比较属性成立，则唯一交易对手的可接受价格pc（x）s atis fiespc（x）=bpf，r，c（x）=bpr，c（x）=pf，c（x）=x- y=x-Vc（xl、xu、xm）。3.8计算双方的履约和盈亏平衡时间让我们陈述对方定义3.4和提案3.3的版本。定义3.6。

A停车时间τ′∈ 如果合同在时间0时按照对方可接受的价格pc（x）进行交易，且存在交易策略ψ，则T是对方对CG的合理行使时间∈ ψ（x- pc（x），-A） 使得Vτ′（x- pc（x），ψ）≥ 每个σ的Jc（σ，τ′）∈ T下列套期保值者的取消时间σc：=inf{t∈ [0，T]| yt=xlt}，(R)σc：=inf{T∈ [0，T]|lt> 0}，在交易对手的估价问题中起着重要作用，因此它们由3.7上的Sup erscript c.Propositi指定。满足假设3.5–3.6。如果缔约方g评估的严格比较性质成立，则以下断言是正确的：（i）如果停止时间τ′∈ T是这样的：（a）uτ′=0和（b）yτ′=xuτ′，那么τ′是交易对手的合理行使时间，（ii）如果τ′∈ T是交易对手的合理行使时间，然后是uσc∧τ′=u′σc∧τ′=0，Yσc∧τ′=Jc（σc，τ′）和Y′σc∧τ′=Jc（(R)σc，τ′）。博弈期权的非线性定价25以下结果分别对应于推论3.1和3.2。推论3.3。假设满足假设3.5–3.6。如果交易对手的g-评估的严格比较属性成立，则由τc得出的停止时间τc和τc：=inf{t∈ [0，T]| yt=xut}，(R)τc：=inf{T∈ [0，T]| ut>0}，是交易对手的合理行使时间。推论3.4。假设3.5–3.6得到满足，且缔约方g评估的严格比较性质成立。那么以下断言是正确的：（i）如果τ′是交易对手的合理行使时间，那么τ′≤ τcon事件Ec：={τc≤ \'σc}，则τ′=τcon Ec，（ii）如果τ′是交易对手的合理行使时间，则τ′≥ “τcon事件”Ec：={”τc<“σc}，然后τ′=”τcon“Ec。特别是，如果σc≥ τc，则τcis是所有交易对手合理行权时间中最早的，即如果τ′是任何交易对手的合理行权时间，则τ′≤ τc，然后τ′=τc。

此外，如果“σc>τc”，则“τ”是所有交易对手合理行使时间中的最新时间，也就是说，如果τ′是任何交易对手的合理行使时间，则τ′≥ \'τc，然后τ′=\'τc。正如预期的那样，交易对手盈亏平衡时间的定义与套期保值者的定义相似。请注意，对手的盈亏平衡时间与对手的双边估值问题的解决方案有关（但当然，一般而言，与赫德的估值问题无关，除非我们采用线性市场模式处理）。定义3.7。如果条件（BE′）由四元组（p，ψ，σ，τ）满足，则σ∈ T称为三重态（p，ψ，τ）的反方盈亏平衡时间∈ R×ψ（x- p-A） ×T。我们通过将交易对手的复制策略（pc（x），ψ′，τ′）=（x- y、 z，τc），其中四组（y，z，l, u） 是DRBSDE（31）的解决方案，停止时间τ′=τ表示交易对手的合理执行时间。命题3.8的证明，该命题提供了与三元组（x- y、 z，τc），与命题3.4的证明完全相同，因此省略。3.8的提案。让（y，z，l, u） 是交易对手DRBSDE（31）的唯一解决方案-徐-假设A是左上半连续的。

对于（pc（x），ψ′，τ′）=（x-y、 z，τc），以下断言是等效的：（i）停止时间σ′∈ T是交易对手的三重态盈亏平衡时间（pc（x），ψ′，τ′）∈R×ψ（x- pc（x），-A） ×T，即Vσ′∧τ′（x- pc（x），Д′）=Jc（σ′，τ′，（ii）四元（pc（x），ψ′，σ′，τ′）∈ R×ψ（x- pc（x），-A） ×T×T完整条件（NA′），（iii）等式yσ′∧τ′=Jc（σ′）∧ τ′）保持，（iv）等式yσ′∧τ′=Jc（σ′）∧ τ′）和lσ′∧τ′=uτ′=0保持，因此过程y是[0，σ′上的Eg，cmartingale∧ τ′，（v）停止时间σ′∈ T是以下非线性最优停止问题的解：findσ′∈ T使得eg，c0，σ′∧τ′Jc（σ′，τ′）= supσ∈三甘醇，c0，σ∧τ′Jc（σ，τ′）.此外，如果过程xl+A左上半连续，则σcis A对应方三重态的盈亏平衡时间（pc（x），ψ′，τ′）。此外，如果不等式τ′≥ σcholds，然后σcis是三元组（pc（x），ψ′，τ′）的最早对手方盈亏平衡时间。确认T的研究。Nie和M.Rutkowski得到了DVC Research Bridging SupportGrant在存在摩擦的市场中对美式期权和博弈期权定价的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号11601285）和山东省自然科学基金（编号ZR2016-AQ13）的资助。26 E.Kim，T.Nie和M.RutkowskiReferences【1】Ayache，E.，Forsyth，P.和Vetzal，K.：具有cr编辑风险的可转换债券估值。《衍生品杂志》11（200 3），9–29。[2] Bayraktar，E.和Yao，S.：具有可积参数和相关Dynkin游戏的双重反射BSDE。随机过程及其应用125（2015），4489–4542。[3] Bielecki，T.R.，Cialenco，I.，和Rutkowski，M.：非线性市场模型中衍生品的无套利定价。概率、不确定性和定量风险3/2（2018），DOI10.1186/s41546-018-0027-x【4】Bielecki，T.R.，Cr'ep ey，S.，Jeanblanc，M。

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