非线性市场中博弈期权的无套利定价

假设2.2–2.3和2.7–2.8得到满足。如果p∈ Ka，c（x），然后不等式p<vc（x）成立，因此pf，c（x）=vc（x）。此外，Kf，r，c（x）6= andvc（x）=pf，c（x）=bpf，r，c（x）=bps，c（x）。（12） 博弈期权的非线性定价11停止时间σ*,cis a交易对手的三重盈亏平衡时间（bpf，r，c（x），ψf，r，c，τ*,c） 式中，交易策略ψ=ψf，r，cis由等式（10）隐式给出，其中（p，σ，τ）=（bpf，r，c（x），σ*,c、 τ*,c） 。更明确地说，交易策略ψf，r，cbelongs toψ（x- bpf、r、c（x），-A） 这就是t hatVσ*,c∧τ*,cx个- bpf，r，c（x），ψf，r，c= Jh公司σ*,c、 τ*,c.对于套期保值者，我们现在可以确定交易对手对Cg的可接受价格。定义2.16。如果集合Kf、r、c（x）是一个单件，则其唯一元素表示为pc（x），并称为交易对手的Cg可接受价格。备注2.3。与备注2.2类似，在假设2.2–2.3和2.7–2.8下，可以表明交易对手对ga me合同CG的可接受价格已经确定。观察套期保值者和交易对手计算的Cg单边可接受价格通常不会一致。3博弈操作的BSDE方法在本节中，我们研究并扩展了由Dumitrescu等人提出的非线性市场博弈期权估值的BSDE方法。我们的主要目标是证明博弈合约的单边可接受价格可以用多维连续半鞅S驱动的RBSDE的解来描述。在这一部分中，我们假设财富过程V=V（y，ν，a）满足SDEVt=y-Ztg（u，Vu，ξu）du+ZtξudSu+At，（13）其中y∈ 给出了R和过程ξ（还记得a=0）。

通过应用[26]中的引理3.1，其中y=x+p<x+p′=y，f=f=g，z=ξ，可以检查财富过程的动力学由（13）决定时，是否满足财富的s三角单调性条件（见假设2.2），例如，映射g=g（t，v，z）与财富过程的v.3.1动力学是Lipschitz连续的。我们将简要描述非线性交易机制的主要特征，该机制产生了（13）中给出的财富动力学。我们首先在市场模型中引入交易资产的符号，即：现金账户、风险资产和与风险资产相关的融资账户。应该强调的是，本节中的结果并不取决于初级资产和交易安排的特定模型的选择。设S=（S，…，Sd）表示一组d风险资产的价格集合，其中S，Sdare连续半马丁啤酒。有限变化的连续过程，表示为B0、土地B0、b，分别代表借贷未担保现金账户。每个j=1，2，d、 我们用Bj、l（分别为Bj、b）表示与第i项风险资产相关的贷款（分别为借款）资金账户，并假设为连续的有限变动过程。这些账户的财务解释因情况而异（有关mo再详细信息，请参见[3，5]）。让我们用B表示交易者可用的所有现金和资金账户的集合。为简单起见，我们坚持我们的假设，即套期保值者和缔约方具有相同的市场条件，但很明显，这一假设与我们的进一步发展无关，因此可以轻松放宽。交易策略是一个R3d+2值的G适应过程Д=（ξ，…，ξd；ψ0，l，ψ0，b。

，ψd，l，ψd，b），其中组件代表风险资产Sj中的所有未偿头寸，j=1，2，d、 现金账户B0、l、B0、b和资金账户Bj、l、Bj、b、j=1、2、，d风险y资产。12 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义3.1。我们说，交易策略（y，Д）是CG的自我融资，我们写道∈ ψ（y，A）如果财富过程V（y，Д，A），由vt（y，Д，A）给出）=dXj=1ξjtSjt+dXj=0ψj，ltBj，lt+dXj=0ψj，btBj，bt，saties，对于每t∈ [0，T]，Vt（y，ν，A）=y+dXj=1ZtξjudSju+dXj=0Ztψj，ludBj，lu+dXj=0Ztψj，budBj，bu+at，受施加在Д组件上的附加约束。特别地，我们假设ψj，lt≥ 0，ψj，bt≤ 0和ψj，ltψj，bt=0，对于所有j=0，1，d和t∈ [0，T]。由于额外的交易约束取决于特定的交易机制，已知初始值y和过程ξ的选择唯一地指定了自融资策略的财富过程∈ ψ（y，A）。此外，还需要引入某种形式的交易策略的可接受性，并假设市场模式l M=（B，S，ψ（A）），其中clas Sψ（A）=∪y∈在适当的意义上，可接受交易策略的Rψ（y，A）是无套利的，例如，市场模型M可以假设为规则的，在Bielecki等人的意义上。重要的是要注意，由于交易限制、不同的融资成本以及一些额外的调整过程（定义3.1中未明确说明），财富过程的动态通常是非线性的。我们将读者引向Bielecki等人。

[3，5]了解非线性交易策略的自我融资特性的更多详情，以及Nie和Rutkowski[35，36，37]了解非线性市场的具体示例。3.2非线性评估的比较性质本节的目标是研究财富动态由（13）驱动的特殊情况下博弈合同的评估和对冲。因此，我们自此假设财富过程V=V（y，Д，A）受SDE（13）的控制，当eξ=（ξ，…，ξd）被给出时，映射g满足一些额外的假设。为了保持表述简洁并涵盖几种替代非线性市场模型，我们将直接假设相关（可能双重反映）BSDEs具有可取的性质，例如：BSDEs解决方案的存在性、唯一性和严格比较性质，已知这些性质在各种情况下都成立。如前所述，Dumitrescu等人对（1 3）给出的市场模型的一个特定实例进行了详细研究。我们将使用与解决方案toBSDEs生成的非线性评估相关的标准术语（例如，见Peng[38]第3章或Peng[39]第4节）。考虑以下BSDEon[0，s]Yt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du-ZstZudMu- （Hs- Ht），（14）式中ζs∈ L（Gs），M是d维鞅，过程H是实值d和G自适应的，生成器G：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R是P B（R） B（Rd）/B（R）-可测量，其中可预测的σ-字段设置为Ohm ×[0，T]。假设BSDE（14）在适当的随机过程空间中具有唯一解（Y，Z）（参见，例如，[6，35]）。对于每0≤ t型≤ s≤ T和ζs∈ L（Gs），我们表示Eg，Ht，s（ζs）=YT，其中（Y，Z）用Ys=ζs求解BSDE（14）。当操作系统Eg，Ht，s:L（Gs）→ L（Gt）称为Eg，H-评估。

值得一提的是，一个确定的日期≤ BSDE（14）中出现的s可替换为任意G-停止时间τ≤ σ来自T，因此Eg，H-评估的注释可以扩展到停止时间Eg，Hτ，σ：L（Gσ）→ L（Gτ）。（s trict）比较性质的概念在BSDE理论和非线性评价中具有重要意义。博弈期权的非线性定价13定义3.2。我们说，对于每个停止时间τ，Eg，Hholds if的比较性质∈ T和随机变量ζτ，ζτ∈ L（Gτ），以下性质有效：如果ζτ≥ ζτthenEg，H0，τ（ζτ）≥ Eg，H0，τ（ζτ）。我们说，对于每个τ，Eg，Hholds-if的严格比较性质∈ Tandζτ，ζτ∈ L（Gτ）ifζτ≥ ζτ和ζτ6=ζτ，然后Eg，H0，τ（ζτ）>Eg，H0，τ（ζτ）。由M=S和H=A的BSDE解给出的非线性评估被解释为套期保值者的非线性评估。注意，这里S是资产价格（可能折现）的过程，因此假设它是概率测度改变后的d维连续鞅。定义3.3。与BSDEYt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du相关的非线性评估Eg，aa-ZstZudSu- （作为- At）（15）用Eg表示，称为A的套期保值者g评估。在第3.4节和第3.5节中，我们解决了套期保值者的定价问题，并在以下假设下工作。假设3.1。

我们假设：（i）财富过程V=纽约交易策略的V（y，ν，A）∈ ψ（y，A）满足（1 3），（ii）任何固定y∈ R和任何过程ξ使得（13）中的随机积分得到很好的定义，SDE（13）具有唯一的强解，（iii）财富V（y，ν，a）的严格单调性（见假设2.2），（iv）对于e very（s，ζs）∈ [0，T]×L（Gs）BSDE（15）在[0，s]上有唯一解（Y，Z），（v）不等式Xht<xct和Xht≤ Xbt公司≤ 所有t的X方法∈ [0，T]。在第3.7节和第3.8节中，在研究对手方的单方面估值和行权问题时，我们将对假设3.1进行轻微修改，将过程a替换为-A并适当修改了关于BSDE和交易对手g评估的假设，如c.备注3.1。鉴于K im et al.[26]中的引理3.1和假设3.1中的条件（ii），假设3.1中的条件（iii）不具有限制性，因为它对每个生成器g都有效。对于明确的假设，确保BSDE（15）是一个多维、连续、平方可积鞅，具有可预测的表示属性，具有唯一解和he-dger g-求值的严格比较性质，例如hholds，读者参考Nie和Rutkowski[35]中的定理3.2和3.3。3.3双反射BSDE我们首先介绍双反射BSDE（DRBSDE）的一般符号。让ζ着陆ζU两个G适应的c\'adl\'ag过程，以使ζlt<ζUT∈ [0，T]。同样，让ζmT∈ L（GT）是一个随机变量，使得ζlT≤ ζmT≤ ζuT。我们在假设3.1下研究财富过程的动力学和BSDE（g，ζmT）解的性质。此外，我们还将对套期保值者和合作伙伴的DRBSDE解决方案的存在性和唯一性进行其他假设。

它们可以通过许多论文中的结果来证明；例如，见Bayraktar和Yao【2】、Cvitani\'c和Karatzas【8】、Cr\'epey和Matoussi【7】、Essaky和Hassani【17】、Dumitrescu等人【10】、Grigorova等人【18】、Hamad\'ene和Oukinine【21】、Klimsiak【27、28】或Lepeltier和Xu【32】及其参考文献。特别是，假设3.2被一些随机市场模型所满足，这些模型在所谓的估值调整的论文中进行了研究。假设3.2中所述的具有障碍物ζ和ζu的DRBSDE解决方案的定义是对Dumitrescu等人[10]中定义2.4的一个小修改。对于在定义DRBSDE的渐进式解决方案14 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowskowskreasuable（或G-可选）障碍中的最低限度条件的替代版本，我们参考Klimsiak【27、28】和Grigorova等人【18】。注意，由于我们的进一步结果不依赖于这些空间的选择，因此我们故意不指定其中分量Y和Z为拱形的随机过程的特定空间。仅hedger的DRBSDE（20）的唯一解（Y，Z，L，U）中过程L和U的性质（以及类似的过程l 和唯一解中的u（y，z，l, u） 对于交易对手的BSDE（31））而言，w将起到至关重要的作用，因此将对其进行明确说明和详细分析。假设3.2。带参数（g、ζl、ζu、ζmT）的DRBSDE-dYt=g（t，Yt，Zt）dt- ZtdSt公司- dAt+dLt- dUt，YT=ζmT，ζlt≤ 年初至今≤ ζut，RT（Yt- ζlt）dLct=RT（ζut- Yt）风管=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=ζl-}, Ud=（Y）- A） 1{Y-=ζu-},（16） 有一个唯一的解决方案（Y，Z，L，U），其中进程s L，U是G-可预测的，c\'adl\'ag，非减量的，并且L=U=0。此外，等式L=Lc+Ld和U=Uc+Ud将它们的奇异分解为连续和跳跃分量。Dumitrescu等人。

[10] 彻底检查由布朗运动和补偿随机测度驱动的DRBSD的特定实例。他们使用当前的设置和符号，假设条件Ldτ=-（Yτ）- Aτ）1{Yτ-=ζlτ-}和Udτ=（Yτ）- Aτ）1{Yτ-=ζuτ-}满足每个G-可预测停车时间τ。由于L和U是可预测的非减量过程，这些条件等价于Ld=-（Y）-A） 1{Y-=ζl-}和Ud=（Y）- A） 1{Y-=ζu-}其中，相等意味着右侧和左侧的过程无法区分。备注3.2。利用Dumitrescu等人[10]定理3.7证明中的论点，很容易证明如果过程ζl- A（特别是，-ζu+A）左上半连续，则过程L（分别为u）是连续的。这一重要观察结果激发了套期保值者的假设3.4，以及交易对手的类似假设3.6。设ζmbe为G适应的c\'adl\'ag过程，使ζlt≤ ζmt≤ ζUT适用于所有t∈ [0，T]并让随机停止博弈的支付J（ζl，ζu，ζm，σ，τ）由J（ζl，ζu，ζm，σ，τ）给出：=ζlτ{τ<σ}+ζuσ{σ<τ}+ζmτ{τ=σ}。（17） 然后，与套期保值者估值相关的非线性Dynkin ga me的上下值，例如，与收益J（ζl，ζu，ζm，σ，τ）相关的上下值由以下表达式vh（ζl，ζu，ζm）确定：=infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τJ（ζl，ζu，ζm，σ，τ）,Vh（ζl，ζu，ζm）：=supτ∈Tinfσ∈三甘醇，h0，σ∧τJ（ζl，ζu，ζm，σ，τ）,因此，很明显，不等式vh（ζl，ζu，ζm）≥ Vh（ζl，ζu，ζm）始终为真。鉴于线性和非线性Dynkin对策的现有结果（尤其是Dumitrescu等人的理论3.5、3.7、4.8和4.10）。

[10] ）），很容易假设上述非线性Dynkin博弈具有价值，即等式Vh（ζl，ζu，ζm）=Vh（ζl，ζu，ζm），并且博弈的价值与DRBSDE（16）的初始值Yofa解一致，即，等式Y=Vh（ζl，ζu，ζm），其中Vh（ζl，ζu，ζm）：=Vh（ζl，ζu，ζm）=Vh（ζl，ζu，ζm）。已知在某些设置中，非线性Dynkin博弈与（17）中给出的支付和DRBSDE（16）的解决方案之间的这种关系是令人满意的，因此它也可能是有利的。博弈期权的非线性定价15然而，正如我们将在下文中讨论的那样，事实上，在目前的情况下，假设非线性Dynkin博弈有价值是不自然的，因为它的存在对于单边估价、对冲和行使结果而言完全不具实质性。事实上，对于所研究的非线性市场模型的每个特定实例，必须假设或证明等式y=infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（J（ζl，ζu，ζm，σ，τ））对套期保值者和交易对手的非线性丁金博弈有效。换句话说，没有必要假设与游戏合约相关的非线性Dynkin游戏具有价值，因为只有上va lueVh（Xl，Xu，Xm）对套期保值者重要。同样，c counterpar ty的价格将以上限值VC（xl、xu、xm）表示，其中，通常过程xl、Xuan和xmdo分别与xl、Xuan和xm无关。我们得出的结论是，为了涵盖套期保值者和交易对手的情况，引入以下假设很方便，这得到了Dumitrescu等人的结果的支持。[10] 和Grigorova等人【18】。假设3.3。

设ζmbe为G适应的c\'adl\'ag过程，使ζlt≤ ζmt≤ ζUT适用于所有t∈ [0，T]。我们假设以下等式holdY=Vh（ζl，ζu，ζm）：=infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τJ（ζl，ζu，ζm，σ，τ）= 例如，h0，σ*∧τ*J（ζl，ζu，ζm，σ*, τ*)其中σ*:= inf{t∈ [0，T]| Yt=ζut}和τ*:= inf{t∈ [0，T]| Yt=ζlt}。备注3。3、在S=W是布朗运动的特殊情况下，我们也可以参考Bayraktarand Yao[2]（参见[2]中的sumptions（H.1）–（H.5）和定理2.1），以获得确保粒子r非线性Dynkin对策具有值的假设，即在随机过程的可测空间中存在唯一解（Y，Z，L，U），等式Y=Vh（ζl，ζu，ζm）成立（事实上，它们表明Y=Vh（ζl，ζu，ζm））。3.4套期保值者的可接受价格通过DRBSDE在第3.4节和第3.5节中，假设3.1–3.3的假设是套期保值者的财富和套期保值者的DRBSDE以及参数（g、Xl、Xu、XmT）满足的，其中过程Xl、xuan和随机m变量xmtar在命题3.1的声明中给出（另见第2.4节）。请注意，障碍xl和xu是c\'adl\'ag过程，s inc e过程Xh、XcandVb（x）被假定为c\'adl\'ag。最后，回想套期保值者的相对回报Jh（σ，τ）=J（x，Xl，Xu，Xm，σ，τ）由（见等式（4））Jh（σ，τ）：=Vbσ给出∧τ（x）- I（σ，τ）=Xlτ{τ<σ}+Xuσ{σ<τ}+Xmσ{τ=σ}。（18） 我们首先分析套期保值r的超边际成本的下界。以下结果与Dumitrescu等人[11]中的命题3.4相一致，然而，与特定游戏选项相关的非线性Dynkin游戏也显示了其价值。3.1上的提案。