机器人顾问的稳健资产配置

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英文标题：
《Robust Asset Allocation for Robo-Advisors》
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作者：
Thibault Bourgeron, Edmond Lezmi, Thierry Roncalli
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In the last few years, the financial advisory industry has been impacted by the emergence of digitalization and robo-advisors. This phenomenon affects major financial services, including wealth management, employee savings plans, asset managers, etc. Since the robo-advisory model is in its early stages, we estimate that robo-advisors will help to manage around $1 trillion of assets in 2020 (OECD, 2017). And this trend is not going to stop with future generations, who will live in a technology-driven and social media-based world. In the investment industry, robo-advisors face different challenges: client profiling, customization, asset pooling, liability constraints, etc. In its primary sense, robo-advisory is a term for defining automated portfolio management. This includes automated trading and rebalancing, but also automated portfolio allocation. And this last issue is certainly the most important challenge for robo-advisory over the next five years. Today, in many robo-advisors, asset allocation is rather human-based and very far from being computer-based. The reason is that portfolio optimization is a very difficult task, and can lead to optimized mathematical solutions that are not optimal from a financial point of view (Michaud, 1989). The big challenge for robo-advisors is therefore to be able to optimize and rebalance hundreds of optimal portfolios without human intervention. In this paper, we show that the mean-variance optimization approach is mainly driven by arbitrage factors that are related to the concept of hedging portfolios. This is why regularization and sparsity are necessary to define robust asset allocation. However, this mathematical framework is more complex and requires understanding how norm penalties impacts portfolio optimization. From a numerical point of view, it also requires the implementation of non-traditional algorithms based on ADMM methods.
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中文摘要：
在过去几年中，金融咨询行业受到了数字化和机器人顾问的影响。这一现象影响到主要的金融服务，包括财富管理、员工储蓄计划、资产管理等。由于机器人咨询模式尚处于早期阶段，我们估计机器人顾问将在2020年帮助管理约1万亿美元的资产（OECD，2017）。这一趋势不会随着子孙后代而停止，他们将生活在一个技术驱动和社交媒体为基础的世界。在投资行业，robo advisors面临着不同的挑战：客户分析、定制、资产池、负债约束等。从其基本意义上讲，robo advisory是一个定义自动投资组合管理的术语。这包括自动交易和再平衡，但也包括自动投资组合分配。最后一个问题无疑是未来五年机器人咨询业面临的最重要挑战。今天，在许多机器人顾问中，资产配置是基于人的，而不是基于计算机的。原因是投资组合优化是一项非常困难的任务，可能会导致优化的数学解决方案从财务角度来看不是最优的（Michaud，1989）。因此，机器人顾问面临的最大挑战是能够在没有人为干预的情况下优化和重新平衡数百个最佳投资组合。在本文中，我们证明了均值-方差优化方法主要由与对冲投资组合概念相关的套利因素驱动。这就是为什么需要正则化和稀疏性来定义稳健的资产配置。然而，这个数学框架更为复杂，需要了解定额惩罚如何影响投资组合优化。从数值的角度来看，它还需要实现基于ADMM方法的非传统算法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Robust_Asset_Allocation_for_Robo-Advisors.pdf (1.45 MB)

2022-6-14 04:41:02 上传

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关键词：资产配置 机器人 Optimization Mathematical intervention

机器人顾问的稳健资产配置*Thibault BourgeronQuantitative ResearchAmundi Asset Management，巴黎银行（Paristhibault）。bourgeron@amundi.comEdmondLezmiQuantitative ResearchAmundi资产管理公司，Parisedmond。lezmi@amundi.comThierryRoncalliQuantitative ResearchAmundi资产管理，巴黎。roncalli@amundi.comSeptember2018年摘要在过去几年中，金融咨询行业受到数字化和机器人顾问的影响。这一现象影响到主要的金融服务，包括财富管理、员工储蓄计划、资产管理公司、私人银行、养老基金、银行服务等。由于机器人咨询模式处于早期阶段，我们估计机器人顾问将在2020年帮助管理约1万亿美元的资产（经合组织，2017）。这一趋势不会随着子孙后代而停止，他们将生活在一个技术驱动和社交媒体为基础的世界。在投资行业，robo advisors面临着不同的挑战：客户支持、定制、资产池、负债约束等。从其基本意义上讲，RoboAdvisors是一个定义自动化投资组合管理的术语。这包括自动交易和再平衡，但也包括自动投资组合分配。最后一个问题无疑是未来五年机器人咨询面临的最重要挑战。如今，在许多机器人顾问中，资产配置都是以人为基础的，而不是以计算机为基础的。原因是，投资组合优化是一项非常艰巨的任务，可以得到优化的数学解决方案，但从财务角度来看，这些解决方案不是最优的（Michaud，1989）。

因此，机器人顾问面临的最大挑战是能够在没有人为干预的情况下优化和重新平衡数百个最佳投资组合。在本文中，我们表明均值-方差优化方法主要由与套期保值组合概念相关的套利因素驱动。这就是为什么正则化和稀疏性对于确定稳健的资产配置是必要的。然而，这个数学框架更为复杂，需要了解定额惩罚如何影响投资组合优化。从数值的角度来看，它还需要基于ADMM方法和近似算子的非传统算法的实现。关键词：机器人顾问、资产分配、主动管理、投资组合优化、Black Litterman模型、光谱过滤、机器学习、Tikhonov正则化、混合惩罚、岭回归、套索方法、稀疏性、ADMM算法、近端算子。JEL分类：C61、C63、G11。*作者非常感谢Silvia Bocchiotti、Arnaud Gamain、Patrick Herfroy、Matthieu Keip、Didier Maillard、Hassan Malongo、Binh Phung Que、Christophe Romero和Takaya Sekine发表的有益评论。Robo-Advisors1的稳健资产配置简介投资组合优化的概念由来已久，可以追溯到Markowitz（1952）的开创性工作。在本文中，马科维茨精确地定义了投资组合选择的含义：“投资者确实（或应该）认为预期回报是一件可取的事情，而回报差异则是一件不可取的事情”。这是基于定量模型的均值-方差优化和投资组合分配的起点。特别是，直到本世纪末，马科维茨方法才成为战略资产配置的标准模型。自2008年金融危机以来，又出现了另一种模式，现在是资产配置的有力竞争者（Roncalli，2013）。

风险预算方法成功地用于管理多资产组合、股票风险因素或替代风险溢价。均值-方差优化的主要区别在于目标函数。马科维茨方法主要关注预期回报，并利用绩效和波动性之间的权衡。风险预算方法基于投资组合的风险分配，不考虑资产的预期回报。风险预算方法的优势在于，它可以产生稳定而稳健的投资组合。相反，均值-方差优化对输入参数非常敏感。这些稳定性问题使得投资组合优化的实践不如理论更有吸引力（Michaud，1989）。即使对于战略资产配置，也需要引入许多权重约束，以规范数学解并获得可接受的财务解决方案。在战术资产配置的情况下，专业人士通常倾向于执行Black and Litterman（1991、1992）的模型，因为优化的投资组合依赖于当前的配置。因此，Black-Litterman模型似乎比Markowitz模型更稳健，因为有基准或引入跟踪误差约束已经是投资组合正则化的一种形式。然而，由于布莱克·利特曼模型是对马科维茨模型的轻微修改，它克服了同样的缺点。自20世纪90年代以来，学者们一直在探索如何在两个不同方向上稳健性投资组合优化。第一个涉及输入参数的估计。例如，我们可以使用去噪方法（Laloux等人，1999）或收缩方法（Ledoit和Wolf，2004）来减少协方差矩阵的估计误差。第二个涉及目标函数。

正如Roncalli（2013）所解释的那样，由于均值-方差目标函数，Markowitz模型是一种积极的主动管理模型。学者们建议通过添加惩罚函数来规范优化问题。例如，通常包括Lor Lnorm损失函数。这样做的好处是获得“更稀疏”或“更平滑”的解决方案。风险平价、同等风险贡献（ERC）和风险预算组合的成功将这些新发展置于第二位。然而，机器人顾问的兴起改变了当前的趋势，突出了对以预期回报为重点的主动分配模型的需求。事实上，机器人咨询的挑战涉及战术资产配置，而不是战略资产配置的投资组合构建。建立一个防御性的、平衡的或动态的投资组合不是一个问题，因为它们是从事前的角度定义的。定量模型可用于确定这一步骤，但不一定需要。例如，这一步骤也可以使用自由裁量的方法完成，因为对投资组合进行了一次性修订。困难在于投资组合的寿命和动态配置。一个机器人顾问，包括重新平衡一个恒定的混合分配，并不是一个真正的机器人顾问，因为它减少到了客户的配置。robo advisors的主要优势是通过包括投资视图、辅助资产或客户的动态约束，或robo advisors的经理或经销商提供的一些alpha引擎来执行动态分配。机器人顾问的稳健资产分配因此，机器人顾问面临的挑战是在没有人为干预的情况下，以系统的方式执行动态分配或战术资产分配。在这种情况下，必须考虑预期的回报或交易信号。

一个想法是考虑通过使用依赖于预期回报的风险度量来扩展ERC投资组合（Roncalli，2015）。然而，当我们以高跟踪误差为目标时，这种方法并不总是合适的。否则，将均值-方差优化作为机器人顾问的分配引擎是很有意义的。如前所述，挑战在于开发一个稳健的资产配置模型。本研究的目的是提供一种不需要人为干预的实用解决方案。本文的组织结构如下。第二节说明了均值方差优化的实践，并强调了此类模型的局限性。在第三节中，我们将正则化理论应用于资产配置。特别地，我们指出了范数函数拉格朗日系数的标定过程。在第四节中，我们考虑torobo advisory的应用。最后，第五节给出了一些结论。2均值-方差优化的实践和限制2.1均值-方差优化框架我们遵循Roncalli（2013）的介绍。我们考虑一个由n个资产组成的宇宙。Letx=（x，…，xn）是投资组合中的权重向量。我们用u和∑表示预期收益的向量和资产收益的协方差矩阵。因此，投资组合的预期回报率和波动率等于u（x）=x>u和σ（x）=√x> ∑x。马科维茨方法包括在波动率约束（σ-问题）下使投资组合的预期收益最大化：x？=arg最大u（x）s.t.σ（x）6σ？（1） 或者在回报约束下最小化投资组合的波动性（u-问题）：x？=arg最小σ（x）s.t.u（x）>u？（2） 用因子/2标度的方差替换波动率不会改变解决方案。

因此，我们推断与问题（1）和（2）相关的拉格朗日函数为：L（x，λ，σ？）=x> u- λσ（x）-σ?和：L（x，λ，u？）=σ（x）- λ（u（x）- u?)它们满足L（x，λ，0）=-λL（x，θ，0），其中θ=λ-1是二次效用函数的风险规避。由于强对偶性，这两个问题是等价的。此外，我们可以证明它们可以写成标准的二次规划问题（Markowitz，1956）：x？（γ） =arg minx>∑x- γx>u（3），其中γ是风险/回报权衡参数。既然问题是强凸的，解是x？(γ) = γΣ-1u，我们推断u-问题的解为：γ=u？u>Σ-1uRobo Advisors的稳健资产配置，而σ-问题的解决方案是针对以下γ值获得的：γ=σ？pu>∑-1u通过考虑无风险资产和组合约束，可以扩展之前的框架：x？（γ） =arg minx>∑x- γx>（u- r1）（4）s.t.x∈ Ohm式中，r是无风险利率Ohm 是一组限制。Letu-6u（x）6u+和σ-6σ（x）6σ+是预期收益和波动率的界限，因此x∈ Ohm.因此，如果σ？>σ-然后呢？6 u+.备注1夏普比率是金融中使用的标准风险/回报指标，对应于零同质量：SR（x | r）=u（x）- rσ（x）=x>u- r√x> ∑x资本资产定价模型（CAPM）将相切投资组合定义为具有最大夏普比率的优化投资组合。当达到资本预算时（即Pni=1xi=1），问题（4）的解等于x？=γΣ-1(u - r1）γ在哪里=>Σ-1(u - r1）-1.

由于矩阵∑具有唯一的对称正有限平方根，表示为∑1/2，因此Cauchy-Schwarz不等式产生：x> （u- r1）=x> ∑1/2∑-1/2(u - r1）x> ∑x(u - r1）>∑-1(u - r1）当且仅当存在标量γ时，等式成立∈ R使得∑1/2x=γ∑-1/2(u - r1）。因此：x个∈ RnSR（x | r）6q（u- r1）>∑-1(u - r1）（5）我们推断，最大化夏普比率的投资组合集是由x定义的一维向量空间∈ Σ-1(u - r1）。这意味着，当我们只施加一个简单的约束（如capitalbudget约束）时，无约束和约束投资组合优化是相关的。在更复杂的情况下，约束解不一定与无约束解相关。然而，这个界限仍然有效，因为它只依赖于Cauchy-Schwarz不等式。前面的结果强调了约束在投资组合优化中的重要性。只有当我∈ {1，…，n}xi>0，而如果 （i，j）∈{1，…，n}这样xi>0，xj<0。对于仅长期投资组合，通常假设有资本预算，这意味着该投资组合已全部投资（Pni=1xi=1）。对于长短投资组合，专业人士有时会实施中性或零资本预算，这意味着长敞口由短敞口融资（Pni=1xi=0）。它们还可以引入杠杆约束（Pni=1 | xi | 6 c），而风险预算组合需要增加对数屏障约束（Pni=1ωiln xi>c）。机器人咨询的稳健资产配置在实践中，数量u和∑未知，必须指定。我们可以假设它们是使用历史样本{R，…，RT}估计的，其中RTI是资产在时间t返回的向量。设u和∑为相应的估计器。我们有：^u=TXt=1wtr和：^∑=TXt=1wt（Rt- ^u）（Rt- ^u）>其中wt是加权方案，使得ptt=1wt=1。

在46页的附录A.2中，我们如何将问题（4）写为：x？（γ） =arg minkRxkW- γx>R> w- r1级（6） s.t.x公司∈ Ohm式中，w=（w，…，wT）∈ RT，R=（R，…，RT）∈ RT×nand W=诊断（W）- ww>。在这种情况下，马科维茨解决方案是一种组合，它可以最大化给定可用性的回溯测试。当wt+1>wt时，我们得出结论，问题（4）是一个趋势跟踪优化计划，其移动平均值由加权方案w确定。为了避免趋势跟踪，我们必须使用不满足wt+1>wt或不依赖于资产回报样本的预期回报向量u。2.2稳定性问题根据Hadamard（1902），适定问题必须满足三个性质：1。存在解决方案；2、解决方案独特；3、解的行为随初始条件不断变化。我们记得问题（3）的解决方案是x？(γ) = γΣ-1u. 如果∑没有零特征值，则可以确保存在唯一性，但不一定是稳定性。事实上，第三个性质意味着∑没有“小”特征值。Bruder等人（2013年）和Roncalli（2013年）广泛地说明了这一问题。如果我们考虑IGENDEComposition∑=V∧V>，我们有∑-1=V∧-1V>和x？（γ） =γV∧-1V>u。那么V>x？(γ) = γΛ-1V>u或：￠x？∝ Λ-1？u（7），其中？x？=五> x？（γ） 和￠u=V>u。通过应用基础V的变化-1，我们注意到马科维茨解与返回向量成正比，与特征向量成反比。我们得出结论，均值-方差优化问题主要集中在小特征值上。这就是为什么在最初的portfoliooptimization问题中缺少稳定性。让我们考虑一个例子来说明这个问题。投资领域由4项资产组成。

预期回报率分别为u=7%、u=8%、u=9%，标准KxKai等于x> Ax1/2. 所有符号均在第46页附录A.1中定义。机器人顾问的稳健资产配置u=10%，而波动率等于σ=15%、σ=18%、σ=20%和σ=25%。相关矩阵如下所示：C=1.000.50 1.000.50 0.50 1.000.60 0.50 0.40 1.00投资组合经理的目标是最大化15%波动率目标和全部投资的预期回报。最优投资组合x？是（26.3%，25.5%，32.3%，15.9%）。在表1中，我们指出了当我们稍微改变inputparameters的值时，该解决方案的差异。例如，如果第三项资产的波动率等于19%，则第三项资产的权重将从32.3%变为39.1%。在现实生活中，我们确切地知道真实参数。例如，实现的相关矩阵与上述相关矩阵完全相同的可能性很低。如果我们考虑70%的统一相关矩阵，我们会观察到分配方面的显著差异。表1:MVO投资组合对输入参数σ19%21%21%C C（30%）C（70%）C（70%）u5%7%x26.30 21.48 30.20 7.03 54.59 54.72 70.75x25.52 22.90 27.79 24.23 26.81的敏感性-2.43 13.95x32.28 39.10 26.48 37.53 22.38 35.38 16.57x15.90 16.52 15.53 31.21-3.78 12.34 -1.27我们已经看到，缺乏稳定性是由于协方差矩阵的特征值较小。更具体地说，我们注意到均值-方差优化中的重要数量不是协方差矩阵本身，而是精度矩阵，它是协方差矩阵的逆矩阵。在表2和表3中，我们报告了∑andI=的特征分解-1、我们验证了精度矩阵的特征向量与协方差矩阵的特征向量相同，但精度矩阵的特征值是协方差矩阵的特征值的倒数。