粗糙赫斯顿下的尊巴赫效应

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《The Zumbach effect under rough Heston》
---
作者：
Omar El Euch, Jim Gatheral, Rado\\v{s} Radoi\\v{c}i\\\'c, Mathieu
  Rosenbaum
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  Previous literature has identified an effect, dubbed the Zumbach effect, that is nonzero empirically but conjectured to be zero in any conventional stochastic volatility model. Essentially this effect corresponds to the property that past squared returns forecast future volatilities better than past volatilities forecast future squared returns. We provide explicit computations of the Zumbach effect under rough Heston and show that they are consistent with empirical estimates. In agreement with previous conjectures however, the Zumbach effect is found to be negligible in the classical Heston model.
---
中文摘要：
以前的文献已经确定了一种称为祖巴赫效应的效应，这种效应在经验上是非零的，但在任何传统的随机波动率模型中都被推测为零。从本质上说，这种效应对应于过去平方收益预测未来波动的特性，而不是过去波动预测未来平方收益的特性。我们提供了在粗糙Heston条件下Zumbach效应的显式计算，并表明它们与经验估计一致。然而，与先前的猜测一致，在经典的赫斯顿模型中，发现祖姆巴赫效应可以忽略不计。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：volatilities Applications Econophysics Quantitative Conventional

奥马尔理工学院（Ecole Polytechnique，omar）rough HestonOmar El Euch领导下的祖巴赫效应。埃尔-euch@polytechnique.eduJimGatheral，巴鲁克学院，纽约市立大学，吉姆。gatheral@baruch.cuny.eduRado拉多斯城市大学巴鲁克学院拉多伊奇分校。radoicic@baruch.cuny.eduMathieu罗森鲍姆，马修理工学院。rosenbaum@polytechnique.eduSeptember7，2018年摘要之前的文献已经确定了一种效应，称为祖巴赫效应，它在经验上不是零，但在任何传统的随机波动率模型中都被推测为零。从本质上说，这种影响对应于过去平方收益预测未来波动的能力优于过去波动预测未来平方收益的能力。我们提供了祖巴赫·埃弗坎德·罗伊斯顿的显式计算，并表明它们与经验估计一致。然而，与之前的猜测一致，祖姆巴赫效应在经典赫斯顿模型中可以忽略不计。关键词：Zumbach效应，粗糙Heston模型。1简介在一系列论文【BBMZ05、LZ03、ZL01、Zum04、Zum09】中，Gilles Zumbach和合著者确定了传统随机波动率模型无法很好复制的金融时间序列的若干经验特征。在本文中，我们将重点放在一种特殊的效应上，这种效应在【BDB17】中被称为“尊巴赫效应”。用σt表示从t日开盘到收盘的真实综合方差，用rt表示从开盘到收盘的回报，并用h·i表示样本平均值。然后，对于τ∈ R、 [CB14]~C（2）（τ）=h的统计量（6b）σt- hσtirt公司-τiqanti fies（在平稳性假设下）综合方差与过去平方收益的协方差。在[CB14]中经验发现为正的时间反转不对称性（TRA）的具体度量由z（τ）：=~C（2）（τ）给出-C（2）(-τ), τ > 0.

（1.1）换句话说，历史平方收益与未来综合方差之间的协方差大于历史综合方差与未来平方收益之间的协方差。[BDB17]中的以下引用引用了TRA的这一度量（τ）：有趣的是，所有连续时间随机波动率模型，从著名的CIR-Heston模型（Cox et al.1985，Heston 1993）到上述多重分形随机游走模型，都服从TRSby构造，因此无法解释金融时间序列的经验TRA。在本文中，我们首先确认Z（τ）在经验上是非零的。然后，我们在粗糙Heston下显式计算Z（τ）。我们表明，当波动过程的赫斯特参数H很小时（H的阶数为0.1），如[GJR18]中的经验所确定，并在[BLP16]中得到证实，则在粗略赫斯顿下获得的祖巴赫效应与经验估计非常一致。然而，当H=1/2时，对应于传统的赫斯顿模型，我们得到Z（τ）确实在数值上是绝对不可忽略的。我们的论文进行如下。在第2节中，我们确认祖巴赫效应在经验上是非零的。在第3节中，我们计算了拉夫赫斯顿下的祖巴赫效应。最后，在第4节中，我们证明了粗糙的赫斯顿模型在定性和定量上与经验估计一致。一些额外的详细计算归入附录。2祖姆巴赫效应的实证估计在我们的实证研究中，我们使用了2000年1月3日至2018年7月25日牛津ManTime Reversion symmetryInstitute of Quantitative Finance Realized Library的开盘价和收盘价以及日内（开盘至收盘）综合方差的预计算实核估计。。牛津数据集中有31个指数，见附录A。

我们通过计算▄C（2）（τ）和▄C（2）进行处理(-τ） 并通过除以相关样本方差将其转换为相关性。也就是说，对于每个指标，我们计算出|ρ（τ）=C（2）（τ）ph（σt- hσti）ih（rt-τ- hrt公司-τi）i。然后，我们对数据集中指数j的▄ρj进行平均，以获得▄ρ（τ）=Xj=1▄ρj（τ）。最后，对应于【CB14】的方程式（25），我们进一步定义了积分差异（τ） =τXi=1（(R)ρ（i）- ρ(-i） ）。在图2.1中，我们分别给出了ρ（τ），ρ(-τ） 以及（τ） ，再现了[CB14]的图10，并从经验上证实了祖巴赫效应非零。图2.1：在左侧面板中，ρ（τ）为红色(-τ） 蓝色。在右图中，我们绘制了综合差异(τ).http://realized.oxford-man.ox.ac.uk/data/download牛津曼恩定量金融研究所的已实现库包含金融资产波动性的日常非参数估计，包括已实现方差和已实现核心估计。例如，在[GO10]中描述了这样一种选择，并比较了它们的性能。备注2.1。将图2.1与[CB14]的图10进行比较，我们注意到我们的相关性通常显著更高。我们将这种差异归因于我们在这里使用的牛津人实现的积分方差核估计相对于[CB14]中计算的罗杰斯-萨切尔估计的更高精度。3粗略赫斯顿模型3.1模型描述我们考虑[EER18a]中引入的粗略赫斯顿模型，用于时间t时的价格Stof Anaset:dSt=StpVtdWt，Vt=g（t）-Γ（H+1/2）Zt（t-s） H类-1/2λVsds+Γ（H+1/2）Zt（t-s） H类-1/2νpVsdBs。（3.1）此处H∈ （0，1/2）是波动率的赫斯特指数，λ>0是平均反转参数，ν>0是波动率参数的波动率，（W，B）是与ρ相关的布朗运动∈ [-1, 1].

假定函数gis是连续的，并与正向方差曲线ξ（t）=E[Vt]相连，如下所示：g（t）=ξ（t）+Γ（H+1/2）Zt（t- s） H类-1/2λξ（s）ds。（3.2）请注意，【JE18】中给出了gis的一般条件，以保证定义粗糙Heston模型的方程解的弱存在性和唯一性。在[EER18a，EER18b]中，与经典的Heston情形一样，证明了特征函数存在半封闭形式的表达式，并且可以导出显式化策略。快速准确的期权定价也是可能的，参见[GR18]。此外，粗糙的赫斯顿模型显示了[GJR18]中经验观察到的波动率的粗糙行为。更准确地说，方差过程V允许H–older连续路径的正则性严格小于H。除了历史数据的fit外，在[EEGR18]中显示，使用适当校准的参数（H、ν、ρ和λ），粗糙的Heston模型通常能很好地拟合SPX波动率曲面。3.2 rough Heston下的Zumbach效应：显式计算我们在本节中提供了Rougheston模型中Zumbach效应的显式公式（定理3.1）。我们首先讨论了在粗糙赫斯顿条件下计算祖巴赫效应时相关器协方差的使用。3.2.1相关性与协方差从理论角度来看，只有在基础动力学可以被视为平稳的情况下，通过样本值来近似协方差和相关性等理论量才有意义。在粗略的赫斯顿模型（3.1）中，这意味着相对于观测时间尺度，参数λ应足够大。然而，无论粗略波动率模型是在P或Q下估计的，λ相对于该观察时间尺度通常较小，见【EEGR18】。

在这种情况下，在粗糙的赫斯顿（rough Heston）领导下，祖姆巴切效应（Zumbache effect）的概念可能会显得有些模糊。结果表明，如第3.2.2节所示，在粗糙Heston下，表示为协方差差异（1.1）的Zumbache效应Z（τ）并不渐近依赖于λ。这与命题C.1中用关系表示的效应ZCorrel（·）形成对比。因此，我们选择关注协方差，并用协方差C（2）而不是相关性ρ来表达祖巴赫效应。为完整起见，附录C.3.2.2中给出了基于平稳状态下相关性的计算祖巴赫效应的计算，用δ表示交易日的长度。在粗糙的Heston模型下，opento-close（log-）返回值为byrt=Ztt-δpVsdWs，以及σt=Ztt的每日综合方差-δVSD。我们的目的是证明在粗糙的Heston模型中，Z（τ）=~C（2）（τ）的对应物-C（2）(-τ） τ=kδ和k为正∈ N> 0。因此，我们将t（k）=Cov[rt，σt+kδ]- Cov【rt+kδ，σt】，k∈ N> 0，t≥ δ.根据It^o等距，E[rt]=E[σt]，对于任何时间t，soZt（k）=E[rtσt+kδ]- E[rt+kδσt]。应用It^o公式，我们得到RT=2Ztt-δpVsZst公司-δpVudWu为简单起见，我们只取对数返回的鞅部分。再加上Ert+kδσt= EErt+kδ英尺σt= E[σt+kδσt]铅（k）=2 Eσt+kδZtt-δpVsZst公司-δpVudWudWs公司. （3.3）将（3.2）替换为（3.1），α=H+给定值t=ξ（t）-Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（Vs- ξ（s））ds+Γ（α）Zt（t- s） α-1νpVsdBs。根据引理B.1，解由vt=ξ（t）+Ztfα，λ（t）给出- s） νλpVsdBs（3.4），其中fα，λ（x）=λxα-1件≥0(-λxα）kΓ（α（k+1））是Mittag-Le-fluer密度函数。因此，未来的综合方差满足σt+kδ=Zt+kδt+（k-1） δVsds=Zt+kδt+（k-1） Δξ（s）ds+Zt+kδFα，λ（t+kδ- s） νλpVsdBs-Zt+（k-1） δFα，λ（t+（k- 1) δ - s） νλpVsdBs，其中Fα，λ（x）=Rxfα，λ（s）ds。

因此（3.3）可以重写为zt（k）=2ρνλZtt-δFα，λ（t+kδ-s）- Fα，λ（t+（k- 1)δ - s）EVsZst公司-δpVudWuds。再次使用（3.4），我们得到了s≥ t型- δ、 E类VsZst公司-δpVudWu=ρνλZst-δfα，λ（s- u） ξ（u）du。因此，Zt（k）=2（ρν）λZδFα，λ（s+kδ）- Fα，λ（s+（k- 1)δ)Zδ-sfα，λ（u）ξ（t- s- u） du ds，（3.5），如果ρ与零不同，则为正。使用fα，λ（x）的事实~x个→0λxαΓ（α+1），结合支配收敛定理，我们得到以下结果。定理3.1。假设ρ非零，且前向方差曲线连续。然后Zt（k）>0，当δ变为零时，Zt（k）~δ→02（ρν）δ2α+1gα（k）ξ（t），k∈ N> 0，t>0，gα（k）=Γ（α+1）R（（k+s）α- （k+s- 1)α) (1 - s） αds。我们看到，这种祖巴赫效应的度量确实与λ无关。在远期方差曲线的情况下，它也依赖于t。4数值结果为了将模型计算与经验估计进行比较，我们对SPX隐含波动率面采用了以下典型标定模型参数：ρ=-0.7，ν=0.45，H=0.05，λ=0.3。我们假设正向方差曲线设置ξ（t）=0.025，σt的近似样本平均值。图4.1：当τ=kδ时，绿点是Z（τ）的经验估计，实心红线是Zt（k）的模型计算（3.5），蓝色虚线是从定理3.1到Zt（k）的小δ近似值。在图4.1中，我们叠加了SPX的经验估计Z（τ）=Z（kδ）和模型计算Zt（k）（此处不依赖于t）。虽然模型计算值略高于经验估计值，但我们认为这代表了模型和数据之间的良好一致性。

毫无疑问，导致差异的一个因素是，根据图4.2，我们预计Q下的波动率和相关性的波动率比P.4.1下的波动率和相关性更极端：实心红线是用H=0.05计算的Zt（k），蓝色虚线是定理3.1的近似值，靠近x轴的绿线是用H=1/2计算的Zt（k）。我们发现，当H=1/2时，影响可以忽略不计。现在，我们研究了Zt（k）对赫斯特指数H的依赖性。我们已经表明，在具有合理参数的粗略赫斯顿下，祖巴赫效应与经验估计是一致的。相反，当H=1/2时，我们从图4.2中可以看出，祖巴赫效应可以忽略不计。实际上，根据定理3.1，对于小δ，Zt（k）的阶数为δ2α+1=δ2hf。

当H=1/2时，Zt（k）~ δ变得非常小，而灰分→ 0，也就是说，当波动剧烈时，祖巴赫效应仍然显著。致谢我们感谢Jean-Philippe Bouchaud提请我们注意祖巴赫效应，并感谢随后进行的许多生动而精彩的讨论。牛津曼定量金融研究所实现的图书馆中的索引列表下表列出了牛津曼定量金融研究所实现的图书馆中包含的所有索引代码以及索引说明。索引代码索引描述。AEX阿姆斯特丹交易所指数。AORD所有普通指数。BFX BEL 20指数。BSESN标准普尔孟买证券交易所SENSEX指数。BVLG泛欧交易所PSI综合指数。BVSP BOVESPA指数。道琼斯工业平均指数。FCHI CAC 40。FTMIB FTSE MIB索引。富时100指数。GDAXI DAX指数。GSPTSE标准普尔/多伦多证券交易所综合指数。恒生指数。IBEX IBEX 35指数。IXIC纳斯达克综合指数。KS11 KOSDAQ综合指数。KSE卡拉奇证券交易所100指数。墨西哥Bolsa IPC指数。N225日经225指数。NSEI NIFTY 50指数。OMXC20 OMX哥本哈根20指数。OMXHPI OMX赫尔辛基所有股票指数。OMXSPI OMX斯德哥尔摩所有股票指数。OSEAX Oslo Bors全股指数。RUT Russell 2000指数。SMSI马德里综合指数。标准普尔500指数。上证综合指数。SSMI瑞士市场指数。STI海峡时报指数。STOXX50E Euro STOXX 50 IndexB证明（3.4）以下技术引理略微扩展了【EEFR18】中的命题4.10。引理B.1。过程V是以下粗糙随机微分方程的解vt=ξ（t）-Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（Vs- ξ（s））ds+Γ（α）Zt（t- s） α-1νpVsdBsif且仅当它是vt=ξ（t）+Ztfα，λ（t）的解- s） νλpVsdBs。证据

假设vt=ξ（t）+Ztfα，λ（t- s） νλpVsdBs。然后使用1阶分数积分-α（用I1表示-α） ，Mittag-Le-fluer密度的性质和随机Fubini定理，这等价于1-αVt=I1-αξ（t）+νλZtI1-αfα，λ（t- s） pVsdBs=I1-αξ（t）+νλZtλ1.- Fα，λ（t- s）pVsdBs=I1-αξ（t）+νZtpVsdBs- νZtdBsZtsfα，λ（u- s） pVsdu=I1-αξ（t）+νZtpVsdBs- νZtduZufα，λ（u- s） pVsdBs=I1-αξ（t）+νZtpVsdBs- λZt（Vu- ξ（u））du。最后，应用1阶分数微分-α结合随机fubini定理，我们推导出结果。C在平稳区域的相关性方面的祖巴赫效应我们现在讨论在平稳区域的相关性方面的祖巴赫效应，即当t达到完整性时。特别地，我们假设ξ（t）满足ξ（t）-→ ξ(∞), （C.1）关于分数积分和微分以及米塔格松露密度fα、λ的定义和性质，参见【EEFR18】附录A3和A4。当t为某些ξ时(∞) > 根据定理3.1，对于小δ，Zt（k）等价于2（ρν）δ2α+1gα（k）ξ(∞).此外，从附录D中可以看出，随着t的增加，E【rt】的极限为ξ(∞)12ρνλZδFα，λ（s）Fα，λ（δ- u） du+3ξ(∞)δ+3νλξ(∞)ZδFα，λ（u）du+6νλξ(∞)Z∞ZδFα，λ（s+u）- Fα，λ（u）fα，λ（s+u）ds杜。该极限相当于小δ至3ξ(∞)δ+3νλξ(∞)δZ∞fα，λ（s）ds。同样，从附录D中，Var[σt]的极限值为νλξ(∞)Z∞Fα，λ（s+δ）- Fα，λ（s）ds+νλξ(∞)ZδFα，λ（s）ds，相当于νλξ(∞)δZ∞fα，λ（s）ds。现在让我们定义基于相关性的Zumbach效应ZCorrel（k）byZCorrel（k）=limt→∞Zt（k）qlimt→∞Var[σt]Var[rt]。根据前面的计算，我们推断出以下命题。提案C.1。我们有科雷尔（k）~δ→02（ρν）pξ(∞)qνλR∞fα，λ（s）dsq2ξ(∞) +3νλR∞fα，λ（s）dsδ2α-1gα（k）。D方差计算我们在本节中计算Var[σt]和Var[rt]。