部分非对称三人零和博弈的纳什均衡

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英文标题：
《Nash equilibrium of partially asymmetric three-players zero-sum game
  with two strategic variables》
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作者：
Atsuhiro Satoh and Yasuhito Tanaka
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a partially asymmetric three-players zero-sum game with two strategic variables. Two players (A and B) have the same payoff functions, and Player C does not. Two strategic variables are $t_i$\'s and $s_i$\'s for $i=A, B, C$. Mainly we will show the following results.   1. The equilibrium when all players choose $t_i$\'s is equivalent to the equilibrium when Players A and B choose $t_i$\'s and Player C chooses $s_C$ as their strategic variables. 2. The equilibrium when all players choose $s_i$\'s is equivalent to the equilibrium when Players A and B choose $s_i$\'s and Player C chooses $t_C$ as their strategic variables.   The equilibrium when all players choose $t_i$\'s and the equilibrium when all players choose $s_i$\'s are not equivalent although they are equivalent in a symmetric game in which all players have the same payoff functions.
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中文摘要：
我们考虑一个具有两个战略变量的部分不对称三人零和博弈。两个玩家（A和B）具有相同的支付函数，而玩家C则没有。两个战略变量是$t\\U i$\'s和$s\\U i$\'s，其中$i=A、B、C$。我们将主要显示以下结果。1、当所有参与者选择$t\\i$\'s时的均衡相当于当参与者A和B选择$t\\i$\'s且参与者C选择$s\\U C$作为其战略变量时的均衡。2、当所有参与者选择$s\\i$\'s时的均衡相当于当参与者A和B选择$s\\i$\'s且参与者C选择$t\\U C$作为其战略变量时的均衡。所有参与者选择$t\\U i$\'s时的均衡和所有参与者选择$s\\U i$\'s时的均衡并不等价，尽管它们在所有参与者具有相同支付函数的对称博弈中是等价的。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：零和博弈 纳什均衡 Quantitative Contribution equilibrium

具有两个战略变量的部分不对称三人零和博弈的纳什均衡*北海道札幌市丰平区北开学院经济系，062-8605，日本，田中Yasuhito+京都神州多西夏大学经济系，602-8 5 80，日本。摘要我们考虑了一个具有两个策略变量的部分不对称三人零和对策。两个玩家（A和B）具有相同的支付功能，而玩家C则没有。对于i=A、B、C，两个战略变量是ti和si。我们将主要显示以下结果。1、所有玩家选择ti时的均衡相当于A、B玩家选择ti，C玩家选择SCA作为其战略变量时的均衡。2、所有参与者选择si时的均衡相当于参与者A和B选择si，参与者C选择TCA作为其战略变量时的均衡。所有参与者选择ti时的均衡和所有参与者选择SI时的均衡并不等价，尽管在所有参与者都具有相同支付函数的对称博弈中它们是等价的。关键词：部分不对称三人零和博弈、纳什均衡、两个战略变量*atsatoh@hgu.jp+yasuhito@mail.doshisha.ac.jp1我们考虑一个具有两个策略变量的三人零和博弈。三个参和者是参和者A、B和C。两个战略变量是天和四，i=A、B、C。它们通过可逆函数相互关联。这个游戏对于玩家A和B来说是对称的，因为他们有相同的支付函数。另一方面，玩家C可能有不同的支付函数。因此，博弈是部分不对称的。在第3节中，我们将展示以下主要结果。1.

当所有球员选择ti时的均衡相当于当球员A和B选择ti，球员C选择SCA作为他们的战略变量时的均衡。2、所有参与者选择si时的均衡与参与者A和B选择si，参与者C选择TCA作为其战略变量时的均衡等价。具有两个战略变量的三方零和博弈的一个例子是具有不同商品的三方寡头垄断中的相对利润最大化博弈。见第4节。在这一节中，我们将展示；1、所有p层选择ti时的均衡并不等同于A层和C层选择ti，B层选择SBS作为其战略变量时的均衡。2、当所有p层选择ti时的平衡并不等同于当A层和B层选择si，而玩家C选择TCA作为其战略变量时的平衡。3、所有参与者选择si时的均衡并不等同于A、B参与者选择ti，C参与者选择SCA作为其战略变量时的均衡。4、所有参与者选择si时的均衡并不等同于A和C参与者选择si，B参与者选择TBA作为其战略变量时的均衡。所有p层选择ti时的均衡并不等同于所有参与者si时的均衡。在对称博弈中，所有参与者都具有相同的支付函数，它们是等位相等的1。在下一节中，我们给出了本文的一个模型，并证明了一个初步结果，它是Sion极小极大定理的一个变体。2该模型考虑了一个具有两个战略变量的三人零和博弈。三个玩家是玩家A、B和C。两个战略变量是天和西，i=A、B、C。玩家A和B的博弈是对称的，因为他们有相同的支付函数。

另一方面，参与者C可能具有不同的支付函数。Hattori、Sato h和Tanaka（2018年）。tiis选自Tian，siis选自Si。线性拓扑空间中的凸集和紧集∈ {A，B，C}。战略变量的关系由i=fi（tA，tB，tC），i=A，B，C，ti=gi（sA，sB，sC），i=A，B，C.（fA，fB，fC）和（gA，gB，gC）表示，它们是连续的、可变的、一对一的和ON函数。当玩家A和B选择tA，而玩家C选择sC时，则根据totC=gC（fA（tA，tB，tC），fB（tA，tB，tC），sC）确定tC。我们用tC（tA，tB，sC）表示这个tC。当玩家A和B选择Sa，而玩家C选择tC，则Ta和Tb根据tA=gA（sA，sB，fC（tA，tB，tC））tB=gB（sA，sB，fC（tA，tB，tC））。我们用tA（sA，sB，tC）和tB（sA，sB，tC）来表示这些tA和tB。当所有玩家选择sA、sB和sC、tA时，则根据totA=gA（sA、sB、sC）、tB=gB（sA、sB、sC）、tC=gC（sA、sB、sC）确定tBand T。用tA（sA、sB、sC）、tB（sA、sB、sC）和tC（sA、sB、sC）表示这些tA、tB和tC。玩家i的支付函数是ui，i=A，B，C。它写为asui（tA，tB，tC），i∈ {A，B，C}。我们假设：T×T×T=> 每个i的R∈ {A，B，C}在T×T×T上是连续的。因此，它在S×S×S上是连续的，通过fi，i=A，B，C。对于其他参与者的策略，它在TiandSif上是准凹的，对于每个TiandSi，它在Tj，j，i和Sj，j，if上是准凸的。我们不假设支付函数的可微性。玩家A和B的游戏对称性意味着在每个玩家的支付函数中，玩家A和B可以互换。由于博弈是一个零和博弈，p层的Payoff函数的值之和为零。我们假设所有Ti都是相同的，所有Si都是相同的。

用T和S.Sion的极小极大定理（Sion（1958）、Komiya（1988）、Kindler（2005））表示连续函数，如下所示。引理1。设X和Y是两个线性拓扑空间的非空凸紧子集，设f:X×Y→ R是一个函数，它在一个变量中是连续的、准凹的，在第二个变量中是连续的、准凸的，thenmaxx∈Xminy公司∈Yf（x，y）=miny∈Ymaxx公司∈Xf（x，y）。我们遵循Kindler（2005）对Sion定理的描述。将这个引理应用于本文的情况，我们有以下关系。maxtA公司∈TmintB公司∈TuA（tA、tB、tC）=mintB∈TmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）、maxtB∈TmintA公司∈桶（tA、tB、tC）=分钟∈TmaxtB公司∈浴缸（tA、tB、tC）。maxtA公司∈TmintC公司∈TuA（tA、tB、tC）=m intC∈TmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）、maxtB∈TmintC公司∈桶（tA、tB、tC）=最小值∈TmaxtB公司∈浴缸（tA、tB、tC）。maxtA公司∈TmintB公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最小值B∈TmaxtA公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC）），最大tB∈TmintA公司∈TuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC））=分钟∈TmaxtB公司∈TuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC））。maxtA公司∈TminsC公司∈SuA（tA、tB、tC（tA、tB、sC））=minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC）），最大tB∈TminsC公司∈SuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC））=minsC∈SmaxtB公司∈TuB（tA，tB，tC（tA，tB，sC）），我们进一步显示以下结果。引理2。mintC公司∈TmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）=minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最大值∈TminsC公司∈SuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最大值∈TmintC公司∈TuA（tA、tB、tC）和MINTC∈TmaxtB公司∈TuB（tA、tB、tC）=minsC∈SmaxtB公司∈TuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC））=最大tB∈TminsC公司∈SuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC））=最大tB∈TmintC公司∈浴缸（tA、tB、tC）。证据maxtA公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））是相对于tAgiven tBandsC的最大值。设▄tA（sC）=arg maxtA∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC）），并乘以tCattC=gC（fA（～tA（sC），tB，tC），fB（～tA（sC），tB，tC），sC）的值。

（1） 我们有Maxta∈TuA（tA、tB、tC）≥ uA（▄tA（sC）、tB、tC）=最大tA∈TuA（tA、tB、tC（tA、tB、sC）），其中maxtA∈TuA（tA，tB，tC）是相对于tGat tC值的最大值。我们假设▄tA（sC）=arg maxtA∈TuA（tA、tB、tC（tA、tB、sC））是单值的。根据最大值定理和uA的连续性，tA（sC）是连续的，则可以通过根据（1）适当选择给定的sC来实现TCC的任何值。因此，mintC∈TmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）≥ minsC公司∈SmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC（tA、tB、sC））。（2） 另一方面，maxtA∈TuA（tA、tB、tC）是相对于tAgiven tB和tC的最大值。设▄tA（tC）=arg maxtA∈TuA（tA，tB，tC）和fix sCatsC=fC的值（~tA（tC），tB，tC）。（3） 因此，我们有Maxta∈TuA（tA、tB、tC（tA、tB、sC））≥ uA（▄tA（sC），tB，tC（tA，tB，sC））=最大值∈TuA（tA、tB、tC），其中maxtA∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））是ua相对于Tag的最大值。我们假设▄tA（tC）=arg maxtA∈TuA（tA、tB、tC）是单值的。根据最大定理和uA的连续性，tA（tC）是连续的，则可以通过根据（3）适当选择给定的tC来实现scs的任何值。因此，minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC（tA、tB、sC））≥ mintC公司∈SmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）。（4） 结合（2）和（4），我们得到minsc∈SmaxtA公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最小值∈SmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）。由于SCS的任何价值都可以通过适当地选择给定的TAT和tB来实现，因此我们有MINSC∈SuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最小温度∈SuA（tA、tB、tC）。因此，maxtA∈TminsC公司∈SuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最大值∈TmintC公司∈SuA（tA、tB、tC）。因此，mintC∈TmaxtA公司∈TuA（tA、tB、tC）=minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC）），=最大值∈TminsC公司∈SuA（tA，tB，tC（tA，tB，sC））=最大值∈TmintC公司∈TuA（tA、tB、tC），给定tB。通过类似的过程，我们可以展示MINTC∈TmaxtB公司∈TuB（tA、tB、tC）=minsC∈SmaxtB公司∈TuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC）），=最大tB∈TminsC公司∈SuB（tA、tB、tC（tA、tB、sC））=最大tB∈TmintC公司∈TuB（tA、tB、tC），给定tA。

3主要结果在本节中，我们给出了本文的以下主要结果。定理1。所有玩家选择ti时的均衡与C层选择es sCand玩家A和B选择ti作为其战略变量时的均衡相当。证据1、考虑一个假设（tA，tB，tC）=（t，t，tC）。根据球员A和B的对称性，maxtA∈TuA（tA、t、tC）=最大TB∈TuB（t、tB、tC）、andarg maxtA∈TuA（tA、t、tC）=arg maxtB∈桶（t、tB、tC）∈ T、 给定tC。LettC（t）=arg maxtC∈TuC（t、t、tC）。我们假设它是一个单值连续函数。考虑以下功能。t型→ arg最大值∈TuA（tA，t，tC），给定tC。这个函数是连续的，T是紧的。因此，t在给定tC的情况下存在一个固定点。用t表示*（tC），然后*（tC）=arg maxtA∈TuA（tA，t*（tC），tC）=arg maxtB∈桶（t*（tC），tB，tC），给定tC。现在我们考虑以下函数。t型→ t型*（tC（t））。这也有一个固定点。用t表示*和tC（t*) 作者：t*C、 那么我们没有*= arg最大值∈TuA（tA，t*, t型*C） =参数maxtB∈桶（t*, tB，t*C） ，t*C=arg maxtC∈TuC（t*, t型*, tC）。maxtA公司∈TuA（tA，t*, t型*C） =uA（t*, t型*, t型*C） =最大TB∈桶（t*, tB，t*C） =uB（t*, t型*, t型*C） ，和MaxTC∈TuC（t*, t型*, tC）=uC（t*, t型*, t型*C） 。（tA、tB、tC）=（t*, t型*, t型*C） 当所有球员都选择ti\'s2时，这是一个纳什均衡。因为游戏是零和游戏，uA（t*, t型*, tC）+uB（t*, t型*, tC）+uC（t*, t型*, tC）=0。按对称uA（t*, t型*, tC）=uB（t*, t型*, tC）。

因此，2uA（t*, t型*, tC）+uC（t*, t型*, tC）=0。这意味着2ua（t*, t型*, tC）=-uC（t*, t型*, tC）和2 mintC∈TuA（t*, t型*, tC）=- 最大TC∈TuC（t*, t型*, tC）。根据A和B的对称性，我们得到了∈TuA（t*, t型*, tC）=arg mintC∈桶（t*, t型*, tC）=参数最大tC∈TuC（t*, t型*, tC）=t*C、 我们有Mintc∈TuA（t*, t型*, t型*C） =uA（t*, t型*, t型*C） =最大值∈TuA（tA，t*, t型*C） ，mintC∈桶（t*, t型*, t型*C） =uB（t*, t型*, t型*C） =最大TB∈桶（t*, tB，t*C） 。因此，mintC∈TmaxtA公司∈TuA（tA，t*, tC）≤ maxtA公司∈TuA（tA，t*, t型*C） =mintC∈TuA（t*, t型*, tC）≤ maxtA公司∈TmintC公司∈TuA（tA，t*, tC）。从引理2中我们得到了mintc∈TmaxtA公司∈TuA（tA，t*, tC）=最大值∈TuA（tA，t*, t型*C） =m intC∈TuA（t*, t型*, tC）（5）=最大值∈TmintC公司∈TuA（tA，t*, tC）=minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC））=最大值∈TminsC公司∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC））。3、LetsC（t*) = fC（t*, t型*, t型*C） 。由于可以通过适当选择tC、minsC实现Sc的任何值∈SuA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））=mintC∈TuA（t*, t型*, tC）=uA（t*, t型*, t型*C） 。（6） 因此，arg minsC∈SuA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））=sC（t*).（5） 和（6）meanminsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC））=分钟∈SuA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））。（7） 我们有Maxta∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC））≥ uA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））。因此，arg minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC））=arg minsC∈SuA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））=sC（t*)因此，由（7）minsC∈SmaxtA公司∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC））=最大值∈TuA（tA，t*, tC（t*, t型*, sC（t*)))= minsC公司∈SuA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））=uA（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC（t*))).因此，arg maxtA∈TuA（tA，t*, tC（tA，t*, sC（t*))) = t型*. （8） 根据玩家A和B的对称性，arg maxtB∈桶（t*, tB，tC（t*, tB，sC（t*))) = t型*. （9） 另一方面，由于SCI的任何值都是通过适当选择tC、maxsC实现的∈SuC（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））=最大值∈TuC（t*, t型*, tC）=uC（t*, t型*, t型*C） 。因此，arg maxsC∈SuC（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC））=sC（t*) = fC（t*, t型*, t型*C） 。

（10） 从（8）、（9）和（10），（t*, t型*, tC（t*, t型*, sC（t*))) 这是一个纳什均衡，等价于（t*, t型*, t型*C） 。对于每个玩家，我们可以展示定理2。当所有参与者选择si时的均衡m相当于当层C选择es T且参与者A和B选择si作为其战略变量时的均衡m。4不同的例子考虑了一个在寡头垄断下的相对利益最大化博弈，包括三家拥有不同商品的公司2。这是一个有两个战略变量的三人零和博弈。企业分别为A、B和C。战略变量是产出和商品价格。我们考虑以下六种竞争模式。关于寡头垄断中的相对利润最大化，请参见Matsumura、Matsushima和Cato（2013）、Satoh和Tanaka（2013）、Satoh和Tanaka（2014a）、Satoh和Tanaka（2014 b）、Tanaka（2013a）、Tanaka（2013b）和Vega Redondo（1997）1。模式1：所有公司都决定其产出。这是一个古诺案例。反向需求函数arepA=a- xA公司- bxB公司- bxC，pB=a- xB公司- bxA公司- bxC和Pc=a- xC公司- bxA公司- bxB，其中0<b<1。pA、PB和PC是公司A、B和C的商品价格，XA、XB和X是它们的产出。模式2：公司A和B决定其产量，公司C决定其产品的价格。根据反向需求函数，pA=（1- b） a+bxB- bxB+bxA- xA+bpC，pB=（1- b） a+bxB- xB+bxA- bxA+bpC，XC=a- bxB公司- bxA公司- pCare派生。模式3：A和C公司决定其产量，B公司决定其产品的价格。根据反向需求函数，pA=（1- b） a+bxC- bxC+bxA- xA+bpB，pC=（1- b） a+bxC- xC+bxA- bxA+bpB，Xb=a- bxC公司- bxA公司- pBare派生。4.

模式4：A公司和B公司决定其商品的价格，C公司决定其产量。根据上述逆需求函数，我们得出npC=（1- b） a+2bxC- bxC公司- xC+bpA+bpB1+b，xB=（1- b） a+bxC- bxC+bpA- pB（1- b） （1+b），andxA=（1- b） a+bxC- bxC公司- pA+bpB（1- b） （1+b.5。模式5：A和C公司决定其商品的价格，b公司决定其产量。根据上述反向需求函数，我们得出npB=（1- b） a+2bxB- bxB公司- xB+bpC+bpA1+b，xA=（1- b） a+bxB- bxB+bpC- pA（1- b） （1+b），和xC=（1- b） a+bxB- bxB公司- pC+bpA（1- b） （1+b.6。模式6：所有企业都决定其商品的价格。这是Bertrand案例。从反向需求函数中，直接需求函数导出如下；xA=（1- b） a- （1+b）pA+b（pA+pC）（1- b） （1+2b），xB=（1- b） a- （1+b）pB+b（pB+pC）（1- b） （1+2b），xc=（1- b） a- （1+b）pC+b（pA+pB）（1- b） （1+2b）。公司的绝对利润为πA=pAxA- cAxA，πB=pBxB- cBxB，πC=pCxC- cCxC。cA、Cb和Cc是公司A、B和C的恒定边际成本。公司的相对利润为ψA=πA-πB+πC，ψB=πB-πA+πC，ψC=πC-πA+πB。企业确定其战略变量的值，以最大化相对利润。我们看到ψA+ψB+ψC=0，因此博弈是零和博弈。我们假设cA=cB，即，对于公司A和公司B，博弈是同步的。然而，cCis不等于cA。因此，博弈是部分不对称的。我们计算了上述六种模式下企业的均衡产出。1、模式1xA=bcC- 4cA- ab+4a（4- b） （b+2），xB=bcC- 4cA- ab+4a（4- b） （b+2），xC=bcC+4cC- 2bcA+ab- 4a（4- b） （b+2）。2、模式2xA=密件抄送- 4cA- ab+4a（4- b） （b+2），xB=密件抄送- 4cA- ab+4a（4- b） （b+2），xC=bcC+4cC- 2bcA+ab- 4a（b- 4） （b+2）。3.