Wasserstein距离下的模型风险度量

然而，在KL方法中，我们在同一时刻减少了价差头寸和整体多头头寸。当参考模型接近低维支撑时，最坏情况模型下的鲁棒最优效果最为显著。低维支持意味着协方差矩阵没有满秩。从实际的角度来看，风险资产中存在一个非零组合的无风险投资组合。在这种情况下，存在风险接近于零但超额回报率较高的套利机会。参考模型下的最优投资组合可能是不切实际的乐观，即套利机会可能会在模型风险面前消失。图5示出了具有高相关性的两种证券的示例。在参考模型下，夏普比率（超额收益与风险线的斜率）随相关系数快速增加，如图6中的虚线所示。这是由于在价差中采取了过多的头寸（做多一个具有较高的夏普比率，做空另一个）。从图6可以清楚地看出，基于Kullback-Leibler散度的方法无法系统地解决这个问题。事实上，当相关性增加时，最坏情况下的资本市场线更接近名义线。另一方面，瓦瑟斯坦方法确实提供了一个更合理的调整。瓦瑟斯坦（Wasserstein）方法给出的稳健资本市场线与名义直线的相关性越来越大。这种差异是其改变参考度量支持度的能力的直接结果。KL方法无法改变支持。因此，参考度量下的虚假套利关系可能在最坏情况度量下持续存在。

另一方面，Wasserstein方法通过将支持转换为不同的向量子空间，打破了表面上的套利机会。4.5动态套期保值中的模型风险套期保值误差通过动态套期保值期权的绝对盈亏（PnL）来衡量，直至其到期。以Black-Scholes模型为参考模型，套期保值风险随着套期保值频率的增加而降低。理想情况下，如果对冲是连续进行的，那么对冲误差几乎肯定为零。即使在替代措施下也是如此，只要它们与参考模型等效。根本原因是，在所有等效度量下，二次变化都不会改变。事实上，如果我们考虑几何布朗运动：dSt=uStdt+σStdWt（56），几乎可以肯定二次变化[lns]t=Rtσsds。因此，该方程在所有等效度量下均成立。考虑到期权t=C（t，St）的Black-Scholes价格，时间0到t之间的连续对冲投资组合的PnL为Ztdct-ZT公司计算机断层扫描StdSt=ZT计算机断层扫描tdt+St计算机断层扫描标准【ln S】t= 0（57），其中最后一个等式来自Black-Scholes偏微分方程。由于任何f-散度都只能搜索等价的替代度量，因此这些方法给出的最坏情况下的套期保值误差在连续套期保值频率上必须为零。可以想象，随着套期保值频率的增加，最坏情况下的套期保值风险降低到零（图7（b））。然而，这与从业者对风险管理的要求不一致。事实上，如果标的资产的波动性与名义波动性不同，则等式57不再存在。这种波动性不确定性是对冲风险的主要来源，因此必须进行适当的测量和管理。

最直接的方法是假设波动率分布，然后运行蒙特卡罗模拟来量化对冲误差（图7（a））。图7：（a）KL分歧下的最坏情况对冲风险，以及（b）通过随机抽样波动率模拟的对冲风险。尽管简单，波动率抽样是一种参数方法，因为它只能生成具有不同参数的替代Black-Scholes模型。这种方法无法考虑局部波动率模型或随机波动率模型等备选方案。这需要一种非参数方法，该方法依赖于等式6中给出的公式。我们已经看到，使用基于f-分歧的方法无法正确量化对冲风险。另一方面，Wasserstein方法没有这个问题，因为它能够搜索非等效度量。使用蒙特卡罗模拟，我们获得了瓦瑟斯坦方法下最坏情况下的对冲风险（见图8）。与基于KullbackLeibler散度的方法（图7（b））相比，Wasserstein方法给出的对冲风险更符合使用波动率抽样的模拟结果（图7（a））。在连续对冲的限制下，Wasserstein方法产生的最坏情况风险略高于波动率抽样，因为它可能涉及无法对冲的跳跃。图8：（a）瓦瑟斯坦方法下的最坏情况对冲风险。实际上，Wasserstein方法需要一些技巧，因为在有限维路径空间内完全采样是不可能的。因此，仅对接近采样路径的路径（在参考度量下）进行采样，因为备选路径的重要性随其到这些采样路径的距离呈指数衰减。该点如图所示。

9（a），其中备选路径由靠近标称采样路径（点）的交叉点表示。通过增加备选路径到标称路径的平均距离，对冲风险会增加直至收敛（图9（b））。图9：（a）瓦瑟斯坦方法生成的样本路径，（b）最坏情况对冲风险的收敛性。这里我们列出了最后一段中描述的蒙特卡罗模拟程序：1。从参考模型2创建N个示例路径。对于每个采样路径，通过使用正态分布随机变量N（0，σ）3偏离XT来创建M个采样路径。收集所有M N条样本路径和原始N条路径，路径空间中有N（M+1）个点。计算N（M+1）条路径中每一条路径的套期保值误差。4、应用公式21计算每条路径的最坏情况概率，其中d（X，Y）=[X- Y）]。为了确定（最坏情况）对冲风险，我们对所有n（M+1）条路径的对冲误差进行平均，并根据其最坏情况概率进行加权。6、用较大的σ重复步骤2-5。继续增加偏差，直到计算出的对冲风险收敛（图9（b））。5结论模型风险度量的非参数方法在理论上是合理的，在实践上是可行的。采用Wasserstein距离可以进一步扩大合法措施的范围，而不仅仅是绝对连续的措施。这一Wasserstein方法植根于最优运输理论，非常适合于模型风险的高级解释。特别是，它规定了具有参数化实际市场结构能力的竞争对手的经济真实性。Wasserstein方法可能会产生更稳健的最坏情况模型，因为它不再受参考度量支持的限制。

当参考度量仅由子空间支持时（例如，差异过程的波动性或完全相关资产的价格），这一点尤其有用。由于这种方法能够保证可集成性，因此它具有额外的实际优势。为了进一步说明Wasserstein方法，我们介绍了四种应用，从单资产差异风险和对冲风险到多资产配置问题。所有应用程序都是连接在一起的，因为它们的引用度量（referencemeasures）仅由一个子空间支持（或接近）。在单资产差异风险的例子中，我们考察了小差异的极限，即当到期时间接近于零（或波动率接近于零）时。Wassersteinapproach能够跳出扩散过程家族，并解释了跳跃的可能性。在投资组合方差风险的应用中，Wasserstein方法为我们提供了由线性映射引起的最坏情况度量，从而改变了支持度。在处理资产配置问题时，它处理多资产问题的优势更加明显，在资产配置问题中，theWasserstein方法考虑了相关风险。这种方法产生了稳健的均值-方差最优投资组合，该投资组合根据资产的相关性调整资产的相对权重。它产生了一条弯曲的资本配置线，夏普比率在较高的标准偏差或较高的资产相关性上减少了较大的金额。最终应用与普通期权的对冲风险相关。f-分歧无法量化与持续对冲头寸相关的风险，因为其损益几乎肯定为零。另一方面，Wasserstein方法会导致正面的对冲错误，因此对模型风险的评估更为现实。

总之，Wasserstein方法为旨在管理风险和优化模型模糊头寸的从业者提供了一个有用的工具。6附录6.1 A.公式15的推导在本部分中，我们推导公式10-12所表示问题的公式15的解。为简单起见，我们用γX（y）表示跃迁密度pY | X（y | X）：=γ（X，y）/p（X）。这将问题转化为上γx∈ΓZOhmp（x）ZOhmγx（y）V（y）dydx（58）s.t.ZOhmp（x）ZOhmγx（y）c（x，y）dydx公司≤ η，其中Γ是概率密度函数的空间。凸优化中的Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件确保了KKT乘数λ的存在，从而等式58的解也可以解出SUPγx∈ΓZOhmp（x）ZOhmγx（y）[V（y）- λc（x，y）]dydx（59）式59的解是δ-函数跃迁密度γ*x（y）=δ（y- y*（x） ），导致运输计划γ*（x，y）=p（x）δ（y- y*（x） ）（60）其中*（x） =arg最大值∈Ohm[V（y）- λc（x，y）]（61）模型风险问题的解决方案由运输计划（等式60）或运输地图（等式61）表示。值得注意的是，λ=0是一个我们将不考虑的普通情况。为了与公式21的主要结果一致，我们将λ替换为其逆β=λ-1： y型*（x） =arg最大值∈OhmV（y）-c（x，y）β（62）6.2 B.公式21和25的推导公式。21是由等式10-12和附加熵约束等式16所形成的问题的解。如附录A所示，我们介绍了KKT乘数λ和α。

这将原始约束上确界问题转换为以下对偶问题（与附录A中相同，我们用γx（y）表示跃迁密度）：infβ，θ∈R+supγZOhm×Ohmγ（x，y）（V（y）- λ[c（x，y）- η] - α[lnγ（x，y）- u]）dxdy（63）=infβ，θ∈R+ZOhmp（x）dxsupγxZOhmγx（y）（V（y）- λc（x，y）- αlnγx（y））dy+λη + αu -ZOhmln p（x）dx与Glasserman和Xu[7]提出的相对熵方法相同，我们推导了问题内部的封闭形式解：supγxZOhmγx（y）（V（y）- λc（x，y）- αlnγx（y））dy（64）值得注意的是，等式64要求agiven x的密度函数px的上确界w.r.t∈ Ohm. 该问题的解决方案如下（为了一致性，我们将λ替换为其逆γ）：γ*x（y）=expV（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（z）α-c（x，z）αβdz（65）最坏情况概率密度函数是由转移密度函数γ诱导的y的边缘分布*x（y）：p*（y） =ZOhmp（x）γ*x（y）dx=ZOhmdxp（x）扩展V（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（z）α-c（x，z）αβdz（66）式25的推导方法类似。由于我们将熵约束方程16提升为相对熵约束方程19，内部问题方程64需要稍加修改：supγxZOhmγx（y）V（y）- λc（x，y）- αlnγx（y）q（y）dy（67）该问题与Glasserman和Xu的工作中给出的上确界问题具有相同的公式，因此具有相同的解γ*x（y）=q（y）expV（y）α-c（x，y）αβROhmq（z）扩展V（z）α-c（x，z）αβdz（68）该方程与公式65的区别仅在于先验分布q。它将公式65作为其特例，其中q为均匀分布。将过渡敏感度（等式68）边缘化，得到了等式25.6.3 C中所示的最坏情况分布。

跳跃风险和方差风险在差异模型下，资产的对数回报遵循正态分布，平均值为uT，方差为σT，其中σ为波动率，T为到期时间，该过程的漂移系数假定为u+σ/2。返回x isp（x）的概率密度函数=√2πσe-（十）-uT）2σT（69）假设线性损失函数V（x）=x和二次运输成本函数c（x，y）=（x），应用等式21，可以获得最坏情况度量的概率密度函数- y） ，q*（y）∝ZOhmp（x）膨胀yα-（十）- y） αβ经验值xαdx=ZOhm经验值y- xα-（十）- y） αβ-（十）- uT）2σTdx公司∝经验值-（y）- uT- β/2）2σT+αβ！（70）与KL散度给出的结果不同，公式70不仅移动了分布的平均值，而且由于额外的不确定性，还扩大了方差。关于σ→ 0时，最坏情况度量不再是Dirac度量，表明考虑了跳跃风险：limσ→0季度*（y）∝ 经验值-（y）- uT- β/2)αβ!（71）这得出等式38。或者，可以首先推导公式37，然后替换v（x）=x，得到公式38。公式37通过替换p（x）=δ（x- uT）等于。21:q*（y） =ZOhmδ（x- uT）膨胀V（y）α-（十）-y） αβROhm经验值V（z）α-（十）-z） αβdzdx（72）=经验V（y）α-（y）-uT）αβROhm经验值V（z）α-（z）-uT）αβdz（73）现在我们采用二次型损失函数，V（x）=（x- uT），遵循类似于公式70的程序，我们得到*（y）∝ 经验值-（y）- uT）2σT（1-β)+αβ(1-β)!（74）最坏情况度量的方差为σWT=σT（1- β)+αβ2(1 - β） （75）如等式40所示。我们可以验证度量值Q*公式74给出的Does提供了所有合法替代措施中最大的方差。

实际上，x在Q下的方差*isEQ公司*x个- 均衡器*（十）= 均衡器*h（x- uT）i（76）根据最坏情况模型的定义，对于所有Q∈ M（法定替代措施的空间）我们有eq*h（x- uT）i≥EQh（x- uT）i（77）=EQhx个- 等式（x）我+等式（x）- uT(78)≥EQhx个- 等式（x）i（79）这证实了公式75确实是最坏情况（最大）方差。6.4 D.最坏情况下的投资组合差异为了确定最坏情况下的投资组合差异，我们需要使用公式6和公式41给出的损失（目标）函数来公式化问题。可通过将损失函数代入等式21来评估最坏情况度量。在本节中，我们将逐步介绍计算。首先，我们需要将运输成本函数c（x，y）指定为等式43中引入的内积：c（x，y）=| | y- x | |=（y- x） TB（y- x） （80）然后我们评估等式21中的以下部分：expV（y）α-c（x，y）αβ= 经验值Y天α-（y）- x） TB（y- x） αβ= 经验值αβxTB（B）- βA）-1.- 我Bx公司-αβy- （B）- βA）-1倍T（B- βA）y- （B）- βA）-1倍（81）请记住，A和B都是对称的正定义矩阵。固定x，公式81与多元正态变量Y的概率密度函数成正比，其均值和协方差矩阵x（Y）=（B- βA）-1Bx（82）∑（Y）=αβ（B- βA）-1（83）这意味着在归一化w.r.t y后，等式81给出了y的概率密度函数。我们可以通过注意到y存在于n维向量空间中来明确地写下这一点，即。Ohm = 五： 经验值V（y）α-c（x，y）αβRVexpV（y）α-c（x，y）αβdy（84）=（2π）-nrαβ| B- βA | exp-y- （B）- βA）-1倍T（B- βA）αβy- （B）- βA）-1倍现在我们需要计算公式84和标称分布p（x）的乘积。标称分布为多变量正态分布，平均u和协方差矩阵∑：p（x）=（2π）-n∑exp-（十）- u）T∑-1（x- u)（85）产品包含x和y的许多术语。

人们可以重新排列这些项来分离x:p（x）exp的二次项和线性项V（y）α-c（x，y）αβRVexpV（y）α-c（x，y）αβdy公司∝经验值-αβy- （B）- βA）-1倍T（B- βA）y- （B）- βA）-1倍-（十）- u）T∑-1（x- u)∝经验值-αβ（十）- Ku- Ly）TM（x- Ku- Ly）- （Ku+Ly）TM（Ku+Ly）-αβyT（B- βA）y（86）其中m：=B（B- βA）-1B+αβ∑-1K：=αβM-1Σ-1L：=米-1B（87）固定y，式86与多变量变量X的概率密度函数成正比，其中e（X）=Ku+Ly（88）∑（X）=αβM-1（89）以下积分zvexp-αβ（x）- Ku- Ly）TM（x- Ku- Ly）dy=αβ（2π）-n | M|-1（90）是常数，与y无关。将等式86与x积分得到最坏情况下的概率密度函数q*（y） ：q*（y） =ZVdxp（x）expV（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（y）α-c（x，y）αβdy公司∝ZVexp公司-αβ（x- Ku- Ly）TM（x- Ku- Ly）dx×expαβ（Ku+Ly）TM（Ku+Ly）-αβyT（B- βA）y∝经验值αβ（Ku+Ly）TM（Ku+Ly）-αβyT（B- βA）y= exp“αβαβΣ-1u+由TM公司-1.αβΣ-1u+由- yT（B- βA）y#∝经验值-y- B（B- βA）-1uT∑*-1.y- B（B- βA）-1u（91）其中∑*-1=αβBTM公司-1B级- （B）- βA）=αβ（B）- βA）-1+αβB-1Σ-1B级-1.-1.- （B）- βA）=αβ（B）- βA）-1+αβB-1Σ-1B级-1.-1.我-I+αβB-1Σ-1B级-1（B）- βA）!=（B）- βA）-1+αβB-1Σ-1B级-1.-1.（B）- βA）-1B∑B-1=（B）- βA）-1B∑B（B- βA）-1+αβ（B- βA）-1.-1Eq。91表明最坏情况分布仍然是多元正态分布。均值向量和协方差矩阵分别由uW=（B）给出- βA）-1Bu（92）∑W=（B- βA）-1B∑B（B- βA）-1+αβ（B- βA）-1（93）关于等式92的一个有趣的观察结果是，最坏情况下的度量可以由保留度量的线性映射生成。