Wasserstein距离下的模型风险度量

事实上，对于资产回报的任何向量v，线性映射g给出sg（v）=（B- βA）-1Bv=（I- βB-1A）-1v（94）我们记下了参考度量byf（v）的概率密度函数∝ 经验值-（五）- u）T∑-1（v- u)（95）由保测度映射g给出的测度具有与f（g）成比例的概率密度函数-1（v）），f（g-1（v））∝经验值-（一）- βB-1A）v- uT∑-1.（一）- βB-1A）v- u= 经验值-v- （一）- βB-1A）-1uT（I- βB-1A）∑-1（一）- βB-1A）（一）- βB-1A）v- u= 经验值-（五）- u）T ∑-1（v- ~u)（96）式中￠u：=我- βB-1A级-1u (97)~Σ :=我- βB-1A级-1Σ我- βB-1A级-1（98），精确地表示等式92中给出的平均值和协方差矩阵（α=0）。因此，我们通过应用度量preservingmap g.6.5 E生成最坏情况度量。多元正态分布的支持在本节中，我们讨论了参考度量P的支持，假设资产回报遵循多元正态分布。此外，我们想看看不同的模型风险度量方法是如何改变它的。显然，基于f-分歧的方法不能改变支持度，因为它们只考虑与标称值相等的度量值。但这个结论并没有明确告诉我们支持什么。在以下工作中，我们旨在找到支持度量的线性子空间。从形式上讲，n个资产的回报形成了一个存在于n维拓扑向量空间V中的n维向量。如果资产回报遵循具有非奇异协方差矩阵的多变量正态分布，则支持是整个空间V。然而，如果协方差矩阵是奇异的，该支持只能是V的一部分。我们将找到该支持并证明它是am维线性子空间，其中m是协方差矩阵的秩。资产收益参考模型定义了一个概率空间（V，F，P），其中F是V上的Borelσ-代数。

由于V是一个向量空间，我们可以考虑它的对偶空间V*, i、 e.线性映射的空间a:V→ R、 对偶空间的任何元素都被视为投资组合权重的向量。要看到这一点，假设资产回报率为v=（v，v，····，vn）∈ 五、 投资组合权重为a=（a，a，···，an）∈ 五、*.a和v的配对会产生一个实数，这正是portfolioreturn：a（v）=nXj=1ajvj（99）。如果我们将资产收益视为随机变量，我们可以在给定的权重向量a上计算PortfolioInvenue∈ V乘以Var（a（V））=等于∑a，其中∑是资产回报的方差矩阵。为方便起见，我们对随机变量向量（随机向量）及其实现（即V中的特定元素）使用相同的符号V。现在将正半有限矩阵∑作为线性映射∑：V*→ 五： ∑（a）=∑a∈ 五、一∈ 五、*（100）投资组合方差是通过应用线性映射a：V形成的→ R至∑（a）∈ 五： Var（a（V））=a（∑（a））。如果平方矩阵∑是奇异的，则其核ker∑不是平凡的（即包含零向量以外的元素）。五、*因此可以分解为两个子空间：V*= ker∑⊕ ker∑⊥（101）假设ker∑⊥具有维数n。ker∑具有维数m- n对于子空间的维数，求和为V的维数*. 我们可以切换到一个新的正交基{e*, e*, ··· , e*m、 k级*, k*, ··· , k*m级-n} 与分解方程一致。101，在这个意义上，e*, e*, ··· , e*mspan ker∑⊥和k*, k*, ··· , k*m级-nspanker∑。现在回到资产收益的原始空间V，我们可以选择一个新的基础{e，e，···，em，k，k，··，km-n} ，双到{e*, e*, ··· , e*m、 k级*, k*, ··· , k*m级-n} ，即*i（ej）=δi-jk公司*i（kj）=δi-日本脑炎*i（kj）=0k*i（ej）=0任何v∈ V可以用V=mXi=1iei+m表示-nXi=1wiki（102）假设U表示e，e，·····，em所跨越的线性子空间。U实际上是ker∑的二次空间⊥.

我们将证明，参考测度P的支持度是指线性子空间U被平均资产收益向量u移动：定理给定一个有限维拓扑向量空间V及其Borelα代数F，测度P对（V，F）的支持度是{V∈ 五：五- u ∈ U} 如果P提供多变量分布N（u，∑）。每v的证明∈ ker∑，考虑a（v）的方差（v是一个随机向量）：Var（a（v））=aT∑a=0（103）。零方差意味着a将v上的度量P带到狄拉克度量Paon RPa（a）=P（a-1（A）），A.∈ {A R：a-1（A）∈ F} （104）假设supp（Pa）={sa}，其中sa∈ R、 我们可以证明supp（P）应该只包括V中投影到sa的元素。更正式地说，使用projectionmap P:V→ ker∑，我们有{v∈ 五：一∈ ker∑，a（v）6=sa}∩ supp（P）= （105）事实上，对于给定的v∈ 五、 假设存在∈ ker∑使得a（v）6=s.a（v）不在supp（≈P）中，表明存在开放邻域Na（v） r使Pa（Na（v））=0。由于线性映射a是连续的，因此-1（Na（v））是v和p（a）的一个开放邻域-1（Na（v））=Pa（Na（v））=0（106），因此，v 6∈ supp（P），证明等式105。现在我们考虑集合S：={v∈ V:a（V）=sa，一∈ ker∑}。对于给定的NVS∈ S、 每v∈ S满意度（v- vs）=a（v）- a（vs）=0，一∈ ker∑（107）表明v- vs公司∈ U、 因此S={v∈ 五：五- vs公司∈ U} 。将U看作V的具有相对拓扑的原子线性子空间。~F是U上的Borelσ-代数。我们可以通过~P（a）定义一个新的概率空间（U，~F，~P∩ U） =P（A），A.∈ F（108）可以验证这个概率空间是定义得很好的。现在我们想展示supp（≈P）=U。事实上，假设这是真的，那么对于任意v∈ 严重开放性邻近区N（v）具有正向测量值：P（N（v））=~P（N（v）∩ U） >0（109）这立即导致结果supp（P）=S。

特别是，根据多元正态分布的性质，supp（P）包括平均资产回报的向量u。这意味着u∈ S、 因此，P的支持可以写为supp（P）=S={v∈ 五：五- u ∈ U} 。现在我们只需要显示supp（≈P）=U。考虑投影贴图P:V→ 发送v=（U，U，···，um，w，w，··，wm-n） 到u=（u，u，····，um）。投影结果是边际分布w.r.t u，u，····，um。这个边际分布表征了子空间U上的一个测度：P（a）=P（P-1（A）），A.∈ {A U：P-1（A）∈ F} （110）对于任何A∈ F、 P（A∩ U） =P（P-1（A∩ U） ）=▄P（P-1（A∩ U）∩ U） =▄P（A∩ U） （111）因此，这两个度量值P和Pcoincide，我们只需要证明supp（P）=U。投影P的边际分布显然是多元正态分布（U中元素的每个线性组合也是v中元素的线性组合∈ P-1（u）正态分布）。截断随机向量u的协方差矩阵∧∑是可逆的。实际上，因为∑（a）不是每个非零a的零向量∈ ker∑⊥, 两个m维向量空间∑| ker∑之间的线性映射⊥: ker∑⊥→ ∑（ker∑）⊥) 是可逆的。由m×m矩阵表示，∑| ker∑⊥只有非零特征值。因为它也是正的半定义（对于Var（a（v））=a（∑（a））≥ 0, 一∈ ker∑⊥ 五、*),它必须是正定义。我们得出结论，对于每个非零∈ ker∑⊥,Var（a（v））=a（∑| ker∑）⊥（a） ）>0。如果我们根据Q展开（v）分量。102，a（v）=mXi=1uia（ei）+m-nXi=1wia（ki）=amXi=1iei！=因此，对于每一个非零a，a（u）（112）在∧∑a=Var（a（u））=Var（a（v））>0处∈ ker∑⊥. 因此，∑a是正定义，因此是可逆的。在测度P下，随机向量u服从多元正态分布，协方差矩阵非奇异。它由整个子空间U支持，即supp（P）=U。

对于多元分布N（u，∑），支持度supp（P）={v∈ 五：五-u ∈U} 仅取决于向量u和∑的核。很明显，在库尔贝克-莱布勒分歧下，最坏情况下的衡量标准得到了同样的支持。事实上，最坏情况下的分布是N（uKL，∑KL），其中uKLand∑KLare给定inEq。46、假设θ足够小- 2θ∑A是可逆的，∑KLa=0if且仅当∑KL=0对于每个A∈ 五、*. 因此，∑KLand∑共享samekernel，因此共享相同的子空间U 五、 此外，uKL- u ∈ U因为每个a∈ ker∑我们有（uKL- u）=a2θ∑A（I- 2θ∑A）-1u=2θ（a）TA（I- 2θ∑A）-1u=0（113）因此，最坏情况度量的支持度为{v∈ 五：五-uKL∈ U} ={v∈五：五- u ∈ U} ，与参考度量的支持相同。另一方面，瓦瑟斯坦方法得出的最坏情况可能有不同的支持。根据公式44，最坏情况下的协方差矩阵∑通常是一个不同的核。此外，uW-u=βA（B-βA）-1u不依赖于∑，因此不与子空间U相关联。等式44中的设置α=0提供了一个特别有趣的情况，其中最坏情况的度量由保留度量的线性映射g：V给出→ V由等式94给出。因此，可以使用相同的映射获得最坏情况度量的支持，即。v∈ V：g-1（v）- u ∈ U=v∈ 五：（一）- βB-1A）v- u ∈ U=v∈ 五：五- （一）- βB-1A）-1u ∈ {（一）- βB-1A）-1u：u∈ U}= {v∈ 五：五- uW∈ UW}（114）UW：={（I）- βB-1A）-1u：u∈ U} V是线性子空间（垂直于ker∑W），对应于Wasserstein方法下的最坏情况。6.6 F.瓦瑟斯坦方法的验证。6.5表明，在Wasserstein方法下，最坏情况下的措施没有获得支持。现在的问题是，该方法是否会搜索所有替代措施。

与仅能测量等效度量之间距离的f-散度不同，瓦瑟斯坦度量也提供了非等效度量之间的有限距离。因此，Wasserstein方法应该能够从所有等效和非等效度量中找出最坏情况的度量。在本节中，我们将以投资组合方差为例进行验证。特别是，我们将找出最坏情况下的线性映射g*: 五、→ 通过搜索线性映射的整个空间。我们将验证等式46（α=0）可以由最坏情况下的线性映射得到。定理给定一个概率空间（V，F，P），其中V是一个有限维向量空间，P提供一个多元分布N（u，∑），存在一个最坏情况下的线性映射g*: 五、→ 式15中的V，即*（x） =arg最大值∈五、Y日期-（十）- y） TB（x- y） β（115）对于每个非零x∈ 五、 只要B- βA为正定义。给出非零x的证明∈ 五、 每个非零y∈ V可以用y=g（x）表示，其中g是一些线性映射（不是唯一的）g:V→ 五、 因此，等式115的问题等价于*（x） =arg最大值∈L（V，V）“g（x）标签（x）-（十）- g（x））TB（x- g（x））β#（x）（116），其中L（V，V）是从V到V的所有线性映射的空间。选择V的正交基允许我们用平方矩阵表示g，用矩阵乘法gx表示线性映射g（x）。然后将等式116中方括号内的表达式转换为（gx）TAgx-（十）- gx）TB（x- gx）β=-βxT燃气轮机- B（B- βA）-1.（B）- βA）g级- （B）- βA）-1B级x（117）-βxTB- B（B- βA）-1B级X自B起-βA为正定义，式117中的第一项为零或负。当且仅当g级- （B）- βA）-1B级x=0（118）或等效yg（x）=（B- βA）-1Bx（119）这允许通过g重写等式116*（x） =（B- βA）-1Bx（120）线性映射g*由平方矩阵（B）给出- βA）-1B满足等式。

120和120求出每个非零x的等式116∈ 五、值得注意的是，在投资组合方差风险问题中，平方矩阵A和B都是对称的正定义。因此，如果正乘数β足够小，B-βA也是满足上述定理假设条件的正定义。现在最坏情况下的线性映射g*将资产回报向量从u转换为（B- βA）-1Bu，协方差矩阵从∑到（B-βA）-1B∑B（B-βA）-1，与等式46中给出的表达式相同（α=0）。这验证了Wasserstein方法确实搜索线性映射的整个空间L（V，V）。它产生了一个对应于最坏情况线性映射g的度量值*.6.7 G.稳健MVO投资组合（Kullback-Leibler散度）根据等式54，我们考虑问题Maxq∈墨西哥当量（十）- u - k） TaaT（X- u - k）（121）自X起-u -k~ N个(-k、 ∑），在Kullback-Leibler散度下，协方差矩阵和最坏情况度量的平均值根据等式46给出（记住aTk=λ/2）∑KL=（I- 2θ∑A）-1∑（122）uKL=（u+k）- （一）- 2θ∑A）-1k=u- λθ（I- 2θ∑A）-1∑然而，使用Wassertein方法，最坏情况下的度量具有不同的协方差矩阵和平均值（等式44）∑W=（I- βB-1A）-1∑（I- βAB-1)-1（123）uW=（u+k）- （一）- βB-1A）-1k=u-λβ（I-βB-1A）-1B级-1然后，我们可以制定最佳资产配置a*在最坏的情况下。根据公式52，在库尔贝克-莱布勒散度下，问题以以下形式表示。minaaT∑KLa- λaTuKL=aT（I- 2θ∑A）-1∑a- λaT（u- λθ（I- 2θ∑A）-1∑a）=aT∑a- λaTu+θaT∑aλ+2aT∑a+ O（θ）（124）注意，在最后一个等式中，我们应用泰勒展开式（I- 2θ∑A）-1=I+2θ∑A+4θ∑A∑A+····=I+2θ∑A+O（θ）。为了找到闭式解，我们需要忽略高阶项O（θ）。

然后，由一个非线性方程2∑a给出了最小化问题的平稳条件- λu + 2θλ+4aT∑a∑a=0（125）注意*:=λΣ-1u（126）是参考度量下的MVO投资组合权重。对于稳健的MVOportfolio，我们可以考虑其与*. 为此，我们将a=a替换为*+ θb转化为等式125，允许我们取消λu项。2θ∑b+θλλ+λuT∑-1uu+O（θ）=0（127）通过匹配一阶项w.r.tθ，我们找到了b的表达式：b=-λ1+uT∑-1uΣ-1u（128）因此，最坏情况下的最佳MVO组合是isa*吉隆坡=λ-θλ1+uT∑-1uΣ-1u=ca*（129）其中系数c由c定义：=1- θλ1+uT∑-1u（130）稳健的MVO投资组合，作为向量a*KL，与正常的MVOportfolio a平行*. 因此，稳健的MVO投资组合不会改变组件资产的相对权重。事实上，为了考虑模型风险，所有权重都按相同比例（c<1）减少。然而，这对于相关性风险来说是不适当的。例如，两项高度相关的资产在名义MVO投资组合中的权重极高。由于存在相关风险，我们预计稳健的MVO投资组合会将其相对于其他资产的权重较低。稳健MVO投资组合的夏普比率明显等于参考度量值的夏普比率，用S表示（S=puT∑）-1u). 有时我们可能对最坏情况下的夏普比率感兴趣。这要求我们检查等式129给出的稳健MVO投资组合的均值和方差。假设我们处于以下等式给出的最坏情况下。

122，可以通过替换*KL=cλ∑-1u/2：uTKLa*吉隆坡=u - λθ我- 2θ∑a*KLa公司*TKL公司-1∑a*吉隆坡助教*KL（131）=λcuT∑-1u - θλcuT∑-1u+O（θ）（132）a*TKL∑KLa*KL=a*TKL公司我- 2θ∑a*KLa公司*TKL公司-1∑a*KL（133）=λcuT∑-1u+θλc（uT∑）-1u）+O（θ）（134）通过使用等式131中给出的投资组合均值和方差，我们可以计算稳健MVO投资组合的比率（在最坏情况下）：SKL=uTKLa*KLqa公司*TKL∑KLa*KL=2- θλc+O（θ）2+θλcuT∑-1u+O（θ）puT∑-1u=1.-θλccS+2+ O（θ）S（135）我们可以看到，稳健夏普比率（定义为最坏情况下稳健MVO投资组合的夏普比率）是名义夏普比率S的函数。MVO投资组合对应于c=1，比最坏情况下稳健MVO投资组合（c<1）的夏普比率减少更多。然而，这种简单的关系不再适用于瓦瑟斯坦方法。6.8 H.稳健的MVO投资组合（Wasserstein方法）在本节中，我们将切换到Wasserstein方法来进行模型风险度量。我们将使用Wasserstein方法得出稳健的MVO投资组合。使用公式123，我们可以用以下形式描述稳健投资组合优化问题：minaaT∑Wa- λaTuW=aT（I- βB-1A）-1∑（I- βAB-1)-1a级- λaTu -λβ（I-βB-1A）-1B级-1a级=在∑a- u+β时的λ2 TB-1aaT∑a+λaTB-1a级+ O（β）（136）忽略高阶项，使用2∑a解决最小化问题- λu + β4aTB-1a∑a+（4aT∑a+λ）B-1a级= 0（137）替换a=a*+ βb转化为等式。

137，我们通过匹配β：b=-λuT∑-1B级-1Σ-1u +1+uT∑-1uΣ-1B级-1.Σ-1u（138）因此，Wasserstein方法产生了一个稳健的MVO投资组合，其权重为*W=λ-βλuT∑-1B级-1Σ-1u -βλ1+uT∑-1uΣ-1B级-1.Σ-1u=ca*- Da公司*（139）其中c是系数，而c是由c定义的方阵：=1-βλuT∑-1B级-1Σ-1uD：=βλ1+uT∑-1uΣ-1B级-1： =d∑-1B级-1（140）c正好是Kullback-Leibler散度下的系数，将投资组合权重减少了相同的分数。D是一个矩阵，用于线性转换正常MVO投资组合权重。等式139正确地解释了相关性风险。当两项资产高度相关时，∑接近单数。这导致在正常MVO投资组合下的权重非常大。另一方面，等式139不仅通过系数c同时缩放权重，还通过线性映射D减少高度相关资产的相对权重。为了了解线性映射D如何改变相对权重，我们可以将等式139重新安排为以下形式：a*W=λ∑（cI- D）-1.-1u（141）因此，稳健的MVO投资组合与具有有效协方差矩阵∑的正常MVO投资组合具有相同的权重*= ∑（cI- d∑-1B级-1)-1（142）我们可以通过归纳法证明，∑v=xv（x和v分别是特征值和特征向量）导致每个整数n的∑nv=xv。也就是说，只有当x是与相同特征向量相关的∑n的特征值时，x才是∑的初始值。