Wasserstein距离下的模型风险度量

当参考模型下的波动率降至零时，替代指标与参考指标相同。基于f-散度的方法排除了零波动情况下模型风险的存在。然而，这在实践中并不真实，因为名义上的差异过程可能仍然会“政权切换”到一些不连续的过程。事实上，为了量化风险，人们通常会考虑状态变量不连续变化的可能性（即“跳跃”）。使用Wasserstein方法，量化此类跳跃风险成为可能，即使参考模型基于纯粹的差异过程。将公式35代入公式21得到最坏情况下的分布（详见附录C）qW（x）=expV（x）α-c（x，uT）αβROhm经验值V（y）α-c（y，uT）αβdy（37）注意，公式37适用于参考模型由狄拉克度量给出的任何应用。在f-散度下，等效测量的限制保持参考模型不变。另一方面，Wasserstein方法放宽了这种限制，允许使用与Dirac测度不同的最坏情况模型。这使我们能够在参考模型中假设为确定性的变量中测量风险。一个特别有趣的例子是二次变化过程，在BlackScholes模型下被认为是确定性的。我们将在后面的动态对冲模型风险中详细讨论这一点。为了说明公式37，我们考虑了最坏情况下x的预期值。该问题使用等式6表示，线性损失函数V（x）=x。我们进一步假设二次运输成本函数c（x，y）=（x- y） 。最坏情况下的分布由等式给出。

37结果是beqW（x）=√παβe-（十）-uT-β/2）αβ（38）人们可以看到，最坏的情况与平均值的不断变化有关（通过-β/2），即使参考度量是确定性的（即Dirac）。如果α被指定为正值，则平均值的变化也与比例方差（即αβ/2）相关。由此产生的正态分布具有有限的方差，反映了模型的模糊性。这与基于F分歧的方法形成了对比，因为F分歧无法改变参考模型。在这种情况下，asits支持仅包括一个点。4.2波动性风险和方差风险在本节中，我们考虑了给定nominalBlack-Scholes模型的波动性不确定性风险。当期权接近到期时，参考指标（基于其基础资产的价格）将接近狄拉克指标。这可以通过收益率的正态分布来体现√t、 当到期时间t→ 0时，正态分布转变为方差为零的狄拉克分布。在Kullback-Leibler散度（或任何f-散度）下，当参考模型收敛到Dirac测度时，任何模型的风险都会消失。因此，在较短的到期时间内，只有以较大的成本（由θ参数化）才能产生足够数量的方差不确定性。为了说明这一点，请考虑正态分布（在取极限之前，假设公式35）。为了测量方差风险，我们需要采用二次损失函数V（x）=x。在Kullback-Leibler散度下，最坏情况分布的方差由[7]σKLT=σT1给出- 2θσT（39），当到期时间T→ 0，最坏情况下的波动率σKL→ σ与固定θ。这与我们在市场上看到的不一致。事实上，随着成熟时间的缩短，对跳跃的恐惧可能会起到重要作用。

这种对风险的恐惧被称为波动性（或方差）风险溢价的期权和方差掉期定价。图2：（a）瓦瑟斯坦方法，（b）KL发散下最坏情况下的波动率随时间的变化。波动性（或差异）风险溢价可被视为支付给期权卖方的承担波动性风险的补偿【8，9】。实际量化为隐含波动率（或方差）和变现波动率（或方差）之间的差异。由于它是基于波动性风险进行定价的，因此其数量与用于建模基础资产的参考指标相关的风险直接相关。因此，通过分析此类溢价的期限结构，可以了解最坏情况下的波动性风险。在有效价格动态的假设下，Carr和Wu开发了货币隐含方差的公式【10】。如图2所示，对于超过3个月的到期日，公式与经验数据【11】吻合良好。然而，对于短于3个月的到期日，该公式似乎低估了差异风险溢价。其他实证研究也表明，期权购买者持续为期限较短的期权支付较高的风险溢价[9]。对于不同的模型来说，低估短期波动性风险溢价是一个固有的问题。事实上，上述工作揭示了在成熟时间仍然很短的情况下量化跳跃的重要性。其他研究表明，在不同的到期日，由于跳跃而产生的风险溢价是相当恒定的【12】。这意味着时间依赖性与持续价格变动的时间依赖性非常不同（等式39）。事实上，任何基于f-散度的方法都无法在t上产生有效的模型风险→ 0，表明风险溢价的期限结构正在衰退。另一方面，Wasserstein方法并不能解决这个问题。

事实上，它产生了一种最坏情况下的波动率，几乎没有时间依赖性（图2）。因此，Wasserstein方法为管理方差风险和量化短期成熟度风险溢价提供了一个特别有用的工具。对于Wasserstein方法，最坏情况方差的形式为（见附录B）σWT=σT（1- β)+αβ2(1 - β） （40）Wasserstein方法提供了与到期时间无关的最坏情况方差。它通过常数因子（1）缩放名义方差-β)-此外，它引入了一个常数额外方差αβ/（1）- β). 额外的方差项由参数α调制。如果我们将α设置为零，则最坏情况下的波动率σ仅为名义波动率σ的恒定放大。然而，如果名义波动率非常接近于零，则该模型风险度量可能不够有效。额外方差项用于说明名义波动率未捕捉到的额外风险（如跳跃）。4.3投资组合方差中的模型风险假设资产回报遵循多变量非线性分布，则可以应用Wasserstein方法量化与投资组合方差建模相关的风险。假设有n项资产在考虑中，其收益由状态向量x：x反映∈ 其中V是n维向量空间。为了通用性，我们考虑以下目标函数V:V→ R+V（x）=xTAx（41），其中A是一个正定对称矩阵。如果我们用x=x替换x- E（x）和A，则目标函数的预期值反映投资组合的方差：E[V（x）]=E（xTwwTx）=wT∑w（42），其中w是投资组合中的组合向量。

∑是正态分布资产收益的协方差矩阵（参考模型下）。为了使用Wasserstein方法找到最坏情况下的模型，我们需要在向量空间V中重新定义一个度量。假设向量空间由anrom | x | | | |定义，那么该度量自然由c（x，y）=| x定义-y | |。在这里，我们关注的是一种具有内部产品结构的规范：| | x | |=√xTBx，x个∈ V（43），其中B是正有限对称矩阵（常数度量张量）。由此产生的最坏情况分布仍然是多元正态分布，均值和协方差矩阵的向量替换为（推导见附录D）uW=（B- βA）-1Bu（44）∑W=（B- βA）-1B∑B（B- βA）-1+αβ（B- βA）-1（45）除了参数α赋值为零时消失的常数项外，最坏情况分布通过测量保留线性映射从标称分布转换而来（见附录D）。这个结果比使用KL散度得到的结果更直观，由[7]uKL=（I- 2θ∑A）-1u（46）∑KL=（I- 2θ∑A）-1∑（47）图3提供了一个示例，说明最坏情况分布确实是使用Wasserstein方法的度量保持变换。图3：多元名义分布（a）参考模型，（b）KL发散下的最坏情况，（c）瓦瑟斯坦方法下的最坏情况（作为一种衡量保留转换的指标）。当参考模型的方差为零时，常数项反映了剩余不确定性。当某些资产完全相关（1或-1）且向量空间V未完全由参考度量支持时，此术语尤其有用。在这种情况下，Wasserstein方法提供的结果与f-散度方法显著不同。特别是，基于KL发散（或任何f发散）的方法不能改变支持度，它们只能重新查看支持度内的状态。

这如图4所示，其中两个资产完全相关。（a）中所示的参考模型提供了由V的一维向量子空间支持的度量。KL散度下的最坏情况度量由相同的子空间支持，如（b）中所示。这一结论实际上可以从公式47给出的最坏情况度量中得出。图4：多元标称分布（a）参考模型，（b）KL散度下的最坏情况，当支持是低维子空间时。Wasserstein方法下最坏情况下的多变量分布（c）θ=0（d）θ=0.5。（证明见附录E）。另一方面，Wasserstein方法能够检查其他向量子空间支持的度量。我们首先通过将公式45中的α设置为零来忽略常数方差项。Wasserstein方法通过将线性映射应用于参考度量来“旋转”原始支持。在图所示的情况下。4（c），基本上由一维向量子空间支持的所有度量都在该方法的范围内（证明见附录F）。在这些测量中，Wasserstein方法选择了最差的一个，由一个不同于原始向量子空间的向量子空间支持。它本质上是在整个空间上搜索最优变换。在实践中，我们可能需要考虑与完美相关性假设相关的风险。这是通过将正值分配给α来实现的，允许分布“diffuse”进入整个接收器空间，如图4（d）所示。值得注意的是，与基于KL散度的方法相比，Wasserstein方法也具有实际优势。如果我们检查两种方法（公式45和47）产生的最坏情况方差，我们可以发现它们的正不确定性无法得到保证。

这要求从业者谨慎地对任何一种方法进行参数化，以确保积极的不确定性。然而，在KLDifference下，正不确定性取决于原始协方差矩阵。这使得该方法难以参数化和推广。如果资产回报具有时变相关性，则可能需要切换参数（θ），以确保正定义矩阵。另一方面，Wassersteinapproach只需要B-βA为正定义，与协方差矩阵∑无关。因此，参考概率度量不再影响量化最坏情况风险的可行性。4.4稳健投资组合优化和相关风险在现代投资组合理论中，我们考虑n种证券，其对数回报率超过多元正态分布，即X~ N（u，∑）。标准平均方差优化由minaat∑a（48）s.t.uTa=C（49）表示，其中a∈ Rn是投资组合权重的向量。它可以接受任何价值，因为Sumingit总是可以以无风险利率借贷，也可以卖空任何资产。该问题通过引入拉格朗日乘子λ：a来解决*=λΣ-1u（50）最佳投资组合权重a*取决于λ。然而，最优投资组合的夏普比率与λ：a无关*Tu√一*T∑a*=puT∑-1u（51）参考模型假设多变量正态分布N（u，∑）。最坏情况模型是一种依赖于证券头寸a的替代度量。为了描述最坏情况度量问题，我们可以首先用minae表示均值方差优化问题（十）- u）TaaT（x- u) - λxTa（52）在参考措施下采取预期。考虑到模型风险，我们可以制定一个稳健的Eq版本。

52这与文献工作一致【7】：minamaxQ∈墨西哥当量（十）- u）TaaT（X- u) - λXTa（53）其中M是受不同标准约束的替代措施空间。对于基于Kullback-Leibler散度的方法，通过参考模型的最大相对熵w.r.t（即相对熵预算）给出约束。在Wasserstein方法下，约束由eq给出。12和16。为了解决等式53的内部问题，我们可以将问题进一步简化为Maxq∈墨西哥当量（十）- u）TaaT（X- u) - λXTa= 最大质量∈墨西哥当量（十）- u - k） TaaT（X- u - k）- λuTa-λ（54），其中k是满足k=λ/2的向量。值得注意的是，这是一个近似值，因为测量值的改变也会将平均值从u改变为u。方差应通过公式（m）计算（十）- u）TaaT（X- u). 然而，差异与（u）成正比- u），因此在测量值的微小变化（即β）上是次要的 1). 公式53的解在KLDifference（见附录G）和Wasserstein度量（见附录H）下也是多元正态的。这两种方法产生具有不同权重的稳健MVO投资组合（高达一阶w.r.tθ或β）：a*吉隆坡=λ-θλ1+uT∑-1uΣ-1ua*W=λ-βλuT∑-1B级-1Σ-1uΣ-1u -βλ1+uT∑-1uΣ-1B级-1Σ-1u（55）将公式55与公式50给出的标准MVO投资组合进行比较，我们可以看到稳健的MVO投资组合提供了一阶修正，从而导致总体上更加保守的资产配置。尽管更加保守*KLI实际上与标准MVOportfolio a平行*. 因此，稳健的MVO投资组合不会改变组件资产的相对权重。事实上，为了考虑模型风险，所有权重都按相同比例（c<1）减少。然而，这对于相关性风险来说是不适当的。例如，两项高度相关的资产在名义MVO投资组合中的权重极高。

由于存在相关风险，我们预计稳健的MVO投资组合会将其相对于其他资产的权重较低。这就是*W、 事实上*Wn不仅降低了总体投资组合权重，以便更加保守，而且还调整了组成资产的相对权重，以实现不太极端的配置。人们可能会注意到表达式括号内的术语*Wis是一个平方矩阵（见等式55），用于线性变换投资组合权重向量。通过调整它们的相对权重，等式139正确地解释了相关性风险（详见附录H）。由λ表示的稳健最优投资组合参数允许我们绘制稳健资本市场线（CML）。与标准CML不同，它不再是直线，夏普比现在取决于λ。图5：由两种证券组成的投资组合的标准化最优组合，由*除以λ/2。参考模型下的归一化最优合成由常数向量∑给出-1u，而最坏情况下的模型取决于λ。特别是，Kullback-Leibler方法按比例减少了这两种合成，而Wasserstein方法以非线性方式减少了合成。图6：使用（a）Kullback-Leibler散度和（b）Wasserstein方法的稳健资本市场线（CML）。在参考模型下，投资组合的最优组合由λ∑给出-1u/2. 这个解决方案的相称性表明，如果预期超额回报翻倍，我们应该将权重加倍。然而，由于杠杆率的增加，这最终可能导致过度风险。模型风险是这里的主要风险来源，因为我们不确定预期超额回报和协方差矩阵是否正确反映了未来（给定持有期）的回报分布。

由于较高的杠杆率意味着更严重的模型风险，因此在最坏的模型下，按比例增加杠杆率实际上是次优的。另一方面，等式55提供了各自模型风险方法下的最优解。这些解决方案的稳健性允许实践者以更安全的方式分配资产。如图5所示，归一化最佳成分随λ减小。这是因为λ越大表示杠杆率越高，因此最佳成分会进一步减少，远离参考模型。随着λ的增加，归一化最优成分接近于零。在图5中，在KL方法下，两种证券的组成都成比例减少。另一方面，使用Wasserstein方法可以使组件以非平行的方式移动。在本例中，我们有两支高度相关（ρ=0.5）的股票，但预期超额回报率非常不同（股票1 0.65和股票2-0.1). 由于高度相关性，我们可以从利差中获利（多头股票1和空头股票2）。在参考模型下，采用高度相关对的传播不会增加太多风险。然而，由于模型风险的存在，真实风险可能被低估。利差对模型风险比整体多头头寸更敏感，因此在使用模型风险进行优化时需要减少利差。这一点很好地反映在瓦瑟斯坦方法下资本市场线的非线性上，表明随着风险（标准偏差）的增加，超额回报呈次线性增加。我们减少价差头寸的幅度大于股票1的多头头寸（或整体多头头寸）。