Wasserstein距离下的模型风险度量

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Model Risk Measurement under Wasserstein Distance》
---
作者：
Yu Feng and Erik Schl\\\"ogl
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  The paper proposes a new approach to model risk measurement based on the Wasserstein distance between two probability measures. It formulates the theoretical motivation resulting from the interpretation of fictitious adversary of robust risk management. The proposed approach accounts for equivalent and non-equivalent probability measures and incorporates the economic reality of the fictitious adversary. It provides practically feasible results that overcome the restriction of considering only models implying probability measures equivalent to the reference model. The Wasserstein approach suits for various types of model risk problems, ranging from the single-asset hedging risk problem to the multi-asset allocation problem. The robust capital market line, accounting for the correlation risk, is not achievable with other non-parametric approaches.
---
中文摘要：
本文提出了一种基于两个概率测度之间的Wasserstein距离的风险度量模型。它阐述了解释稳健风险管理的虚拟对手所产生的理论动机。该方法考虑了等效和非等效概率测度，并结合了虚拟对手的经济现实。它提供了实际可行的结果，克服了仅考虑隐含与参考模型等效的概率度量的模型的限制。Wasserstein方法适用于各种类型的模型风险问题，从单一资产对冲风险问题到多资产配置问题。考虑相关风险的稳健资本市场线，无法通过其他非参数方法实现。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Stein 风险度量 WAS ERS 风险度

Wasserstein距离下的模型风险度量Yu Feng+和Erik Schl+++悉尼理工大学定量金融研究中心，2019年3月5日摘要本文提出了一种基于两个概率度量之间的Wasserstein距离的模型风险度量新方法。它阐述了稳健风险管理的竞争对手的解释所产生的理论动机。所提议的方法考虑了等效和非等效可能性度量，并结合了对手的经济现实。它提供了实际可行的结果，克服了仅考虑意味着与参考模型等效的概率度量的模型的限制。Wasserstein方法适用于各种类型的模型风险问题，从单资产对冲风险问题到多资产配置问题。考虑相关风险的稳健资本市场线，无法通过其他非参数方法实现。1简介目前关于稳健风险管理的大多数工作要么侧重于参数不确定性，要么依赖于模型之间的比较。除此之外，Glassermand Xu最近提出了一种非参数方法[7]。在此框架下，在参考模型的邻域中的所有备选模型中找到最坏情况模型。Glasserman和Xu采用Kullback-Leibler散度（即相对熵）来衡量替代模型和参考模型之间的距离。他们还建议使用α-散度来避免在Kullback-Leibler散度下引起可积性问题的重尾。Kullback-Leibler散度和α散度都是f散度的特例[1，2，3]。

使用f-散度的一个大问题是，只有当替代度量相对于参考度量绝对连续时，才能很好地定义f-散度。这限制了备选模型的范围。在某些情况下，我们可能希望搜索所有可能的概率度量，无论它们是否绝对连续。当我们将这种方法应用于波动率时，情况尤其如此，波动率对应于过程的二次变化。如果这个过程是由布朗运动驱动的，那么在绝对连续测度上搜索就排除了与波动性相关的任何模型风险。在图1（a）中，参考模型下的波动率分布为Dirac-δ函数。解释波动性风险的最坏情况是波动性分布广泛。然而，在这种情况下，f-分歧没有得到很好的定义，因此最坏的情况只是被忽略了。图1：（a）狄拉克测度支持单点。具有广泛分布的替代模型不能与使用f-散度的参考模型相关联。（b） 度量空间中的状态转移。f-分歧不涉及度量，因此从状态1到状态2的转换与从状态1到状态3的转换所需的成本相同。此外，金融从业者所考虑的状态空间通常配有一个自然指标。例如，证券的价格从正实数集合中取值，因此自然继承了欧几里德度量。假设有一个分化过程，证券的价格会沿着一条连续的路径移动。这意味着价格大幅变动的可能性小于价格小幅变动的可能性，这意味着与参考模型的偏差更大。然而，在使用f-散度时，没有明确考虑由自然度量度量度量的移动距离。无花果

1（b）显示了与证券价格的三种分布相对应的三种模型。假设采用模型1作为参考模型，则模型2作为替代模型的可能性明显高于模型3。然而，我们无法使用任何类型的偏离来区分差异，因为模型具有不相交的支持。为了解决这些问题，我们建议采用Wasserstein度量来度量概率度量之间的距离。依赖于状态空间中设置的度量，Wasserstein度量适用于任何两种度量，即使它们的支持是互斥的。因此，拟议的Wasserteinapproach考虑了所有替代措施，而不仅仅是绝对连续的措施。这些特性使我们能够解决上述f-CEA的两个问题。对于金融从业者来说，当处理具有子空间支持的参考度量（如aDirac度量）时，所提出的方法特别有用。本文的组织方式如下。第。2.1提供概念介绍，包括直观的动机和有关Wassersteinmetric及其相关运输理论的基础知识。第。3.1是提供问题公式和主要结果的理论部分。它还包括实践考虑和不同方法之间的比较。第。4给出了数学金融中的一些测试应用，从波动性风险操作定价和对冲到稳健的投资组合优化。2基本概念2.1动机和对手解释为了直观地说明模型风险的概念，我们从一个简单的混凝土状态空间开始。例如，信用评级为顺序，例如A+、A、A-、BBB+，等等。假设我们有一个参考模型，说明在一个月内，机构的信用评级可以是A+、A-或BBB+。

参考模型为这三种状态分配了25%、50%和25%的概率。由于我们没有完整的信息，模型风险的存在要么是因为三个州的实际概率不同，要么是因为其他评级仍然可行。格拉斯曼（Glasserman）和徐（Xu）提出了所谓的“对手”解释，这意味着一个敌对的对手会干扰我们的概率[7]。通过干扰概率，对手本质上增加了新的信息，受到其信息熵预算的限制。例如，如果对手希望将5%的几率从A+移动到BBB+，则其相对熵消耗为0.2 ln0.20.25+ 0.3英寸0.30.25= 0.01（1）现在假设对手希望将5%的概率移动到BBB，在参考度量下，BBB是一种概率为0的状态。相对密度0.2 ln的消耗0.20.25+ 0.05磅0.05（2） 变得不确定。这仅仅意味着，无论对手有多大的控制权，这种干扰都是不可能的。在概率论的语言中，只有当新度量相对于标称度量是绝对连续的时，相对性才得到很好的定义。为了对模型风险进行更一般的量化，我们可以重新定义所需的扰动成本。我们没有使用相对熵，而是考虑状态转换的成本（称为运输成本）。这种运输成本通常由状态空间的某些度量给出。为简单起见，我们假设两个信用评级之间的距离由两者之间的评级数给出，例如d（A+，A-）=2和d（A+，BBB+）=3。我们计算最后一段中讨论的两种扰动的加权平均运输成本：1。将5%的机会从A+转移到BBB+：运输成本=5%×3=0.152。

将5%的机会从A+转移到BBB：运输成本=5%×4=0.2第二类扰动只涉及比第一类稍大的成本，而不是有限的成本。使用上述运输成本，可以衡量对手所有替代措施的成本，而不仅仅是绝对连续的措施。它可以提供高度集中的状态转换。为了说明这一点，请考虑从状态A+的转换。好斗的对手只会在一个方向上推高评级。这意味着活动代理执行的传输可以用状态空间T上的（确定性）地图表示：Ohm → Ohm. T被称为交通图【4】。事实上，假设活动代理（因此是最坏的情况）将状态a+转换为状态，例如BBB+是最理想的。agent没有动机将任何概率质量从A+传输到其他状态。这是运输成本线性的结果，将在下一节中进一步说明。格拉斯曼（Glasserman）和徐（Xu）对模型风险的解释涉及到一个竞争对手，但没有明确考虑其经济性质。他们认为，广告人的表现是一致的，目的是使我们的预期损失最大化。事实上，这样一个对手只能由一个代理人或机构来实现。然而，实际市场结构通常更具竞争力。从经济角度来看，竞争对手可能由独立行动的异质代理人组成。这就需要基于实际市场结构来量化模型风险的方法。现在回到信用评级示例。事实上，可能有多个代理能够影响评级，其中一些代理更倾向于提升评级，而其他代理则倾向于降低评级。

这需要不同的状态转换公式，因为从给定初始状态转换的最终状态成为随机变量。我们所知道的只是给定初始状态（或跃迁密度）的概率测度条件。总的来说，运输由联合概率密度γ描述：Ohm ×Ohm → R+而不是确定性映射。接缝密度（或Ohm × Ohm) 被称为运输计划【5】。这使我们能够制定优化问题。r、 t运输计划，而不是运输地图。这样的公式导致了更一般的结果，能够解释不同类型的市场结构。从实用的角度来看，使用Wasserstein度量的主要优点是处理由严格子空间支持的参考度量。仍以信用评级为例，参考指标由{A+，A-, BBB+}，这是整个状态空间（评级）的严格子空间。基于F分歧的方法只能将具有相同支持的替代措施结合起来。另一方面，使用Wasserstein方法确实允许我们改变支持。特别是，如果我们使用运输映射来描述问题，那么新的支持是{T（a+），T（a-), T（BBB+）}，仍然是一个严格子空间。因此，尽管不同的交通地图为我们提供了不同的支持，但它们都无法扩展到整个状态空间。另一方面，通过制定运输计划来解决问题，我们确实考虑了整个空间支持的替代措施。

现在，将竞争对手视为一类异质代理人，我们有理由相信，在对手的干扰下，分布广泛。因此，我们对基于运输计划制定运输成本的模型风险度量方法感兴趣。我们将看到，这种方法能够通过参数化熵约束来解释实际的市场结构（第3.2节）。在本节的剩余部分，我们将回顾Wasserstein度量及其相关的运输理论。2.2运输理论和Wasserstein度量从这一点开始，除非另有说明，否则我们将始终假设连续状态空间。离散状态空间的方法遵循相同的路线，因此省略。现在让状态空间(Ohm, d） 如果是波兰公制空间，我们可以确定运输成本c：Ohm × Ohm → R+乘以themetric的n次方，即c（x，y）=d（x，y）n，其中n∈ [1, ∞). 给定两个概率测度(Ohm, d） ，我们可以使用运输地图或运输计划来制定最优运输问题。对于前一种方法，我们需要找到交通地图T：Ohm → Ohm 这实现了Ohmp（x）c（x，T（x））dx（3）s.T.| JT（x）| q（T（x））=p（x），x个∈ Ohm其中，p（x）和q（x）分别是两个测度和q的概率密度函数。jt是映射T的雅可比矩阵。它是强制映射T保持度量的约束的一部分。公式3被称为最优运输问题的Monge公式。Monge公式的问题是不能保证测度preservingmap T的存在。最后一节中的示例提供了该问题的离散状态说明：supp（Q）={T（a+），T（a-), T（BBB+）}最多有三个元素。

因此，如果| supp（Q）|>| supp（P）|，则不存在保留度量的映射。在连续状态空间中，一个保持测度的映射将一个狄拉克测度发送给另一个狄拉克测度。因此，如果P是aDirac测度，而Q不是，则不存在测度保持映射。通过采用运输计划γ，可以改进不适定Monge公式：Ohm × Ohm → R+：infγZOhm×Ohmγ（x，y）c（x，y）dxdy（4）s.t.ZOhmγ（x，y）dy=p（x）ZOhmγ（x，y）dx=q（y）式4被称为Kantorovich的最优运输问题公式。很明显，每个运输图T都可以由运输计划γ（x，y）=| JT（x）| q（y）δ（y）给出- T（x））（5），其中δ（·）是狄拉克-δ函数。此外，可以保证运输计划的存在，因为γ（x，y）=p（x）q（y）始终满足等式4中的约束条件。根据这些观察，Kantorovich公式优于theMonge公式。记住，运输成本c（x，y）是度量c（x，y）的n次方。第n个Wasserstein矩阵（用Wn表示）在公式4中定义为整数，并提升为1/n的幂。在下一节中，将借助Kantorovich公式介绍本文的理论公式和主要结果。运输成本函数c（x，y）将被视为一个通用的非负函数，而不参考其具体形式或幂n.3理论3.1模型风险问题的Wasserstein公式模型风险度量的核心部分是确定最坏情况下的备选模型。在概率论的语言中，我们需要确定使我们的预期损失最大化的替代概率度量。我们可以用下面的方法来描述这个问题。

给定状态空间上的标称概率测度POhm, 我们希望找到最坏情况下的衡量标准Q*这实现了以下上限：supQEQ[V（X）]（6）s.t.D（P | | Q）≤ η在损失函数V下，在替代措施Q下取期望值：Ohm → R、 只有与参考测量值足够接近的替代测量值才被视为合法。该限制通过将统计距离D（P | | Q）限制为等于或小于常数η来表示。Glasserman和Xu建议对D（P，Q）使用相对熵（或Kullback-Leibler散度）。像任何f散度一样，相对熵的可行性有限，因为只有等价的度量才是合法的。根据上一节的讨论，我们建议改用Wasserstein度量。另一方面，模型风险问题的实际公式与EQ的形式略有不同。6、具体而言，不是优化期望值w.r.t，而是替代测量值Q（或其密度函数Q：Ohm → R+，我们优化了预期w.R.t运输计划γ：Ohm ×Ohm → R+直接。将q上的单个约束替换为应用于γ的两个约束，包括在q中给出的边缘化条件。这一提法基于国家过渡的思想，如下所示。根据上一节的讨论，对于任意一对状态x，y∈ Ohm 我们需要找到的是从x到y的转变密度，pY | x（y | x）。给定从x到y的运输成本函数c（x，y），初始状态x的预期运输成本条件为w（x）=ZOhmpY | X（y | X）c（X，y）dy（7）初始状态X遵循参考模型给出的分布pX（X）。在参考测度下取期望，我们得到无条件运输成本w=ZOhmpX（x）W（x）dx=ZOhm×OhmpX，Y（x，Y）c（x，Y）dxdy（8），其中联合分布pX，Y（x，Y）=pX（x）pY | x（Y | x）。