赛马和随机断棒的顺序统计

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Order statistics of horse racing and the randomly broken stick》
---
作者：
Peter A. Bebbington and Julius Bonart
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We find a remarkable agreement between the statistics of a randomly divided interval and the observed statistical patterns and distributions found in horse racing betting markets. We compare the distribution of implied winning odds, the average true winning probabilities, the implied odds conditional on a win, and the average implied odds of the winning horse with the corresponding quantities from the \"randomly broken stick problem\". We observe that the market is at least to some degree informationally efficient. From the mapping between exponential random variables and the statistics of the random division we conclude that horses\' true winning abilities are exponentially distributed.
---
中文摘要：
我们发现随机划分区间的统计数据与赛马博彩市场中观察到的统计模式和分布之间存在显著的一致性。我们将隐含获胜几率、平均真实获胜概率、获胜条件下的隐含几率以及获胜马的平均隐含几率的分布与“随机断棒问题”中相应的数量进行了比较。我们观察到，市场至少在某种程度上具有信息效率。从指数随机变量和随机划分统计数据之间的映射，我们得出结论，马的真正获胜能力是指数分布的。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> Order_statistics_of_horse_racing_and_the_randomly_broken_stick.pdf (135.05 KB)

2022-5-31 18:16:23 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：distribution R statistics Econophysics Quantitative Applications

赛马和随机断裂粘度计A.Bebbington1,2和Julius Bonart3,4的顺序统计，20161年12月9日：伦敦大学学院物理和天文系，伦敦WC1E 6BT；2： Trium CapitalLLP，60 Gresham St，伦敦EC2V 7BB；3： 伦敦大学学院计算机科学系金融计算与分析，伦敦WC1E 6BT；4： CFM–伦敦帝国学院数学系质量金融IMPERIAL Institute of Quantitative Finance，SW7 2Azabstract7我们发现随机划分区间的统计数据与赛马博彩市场中观察到的统计模式和分布之间存在显著的一致性。我们将隐含获胜几率的分布、平均真实获胜概率、获胜条件下的隐含几率以及获胜马的平均隐含几率与“随机断棒问题”中相应的数量进行了比较。我们发现，市场至少在某种程度上具有信息效率。从随机变量之间的映射和随机划分的统计数据中，我们可以得出结论，马的真正获胜能力是呈指数分布的。1简介自然人有时喜欢简单。然后，可以使用与给定问题的约束、对称性或边界条件兼容的统计信息，以随机方式处理未知变量，但在其他方面尽可能简单。重核就是这样一个系统的例子；它们看起来非常复杂，但它们的能量级之间的间隔遵循了众所周知的随机矩阵特征值统计数字[1，2]。最近，尽管在财务时间序列中观察到强烈的非高斯依赖性，但在财务协方差矩阵的波动中发现了一种统计数据，即马尔琴科Pastur分布[3]。

后一个例子强调了经济物理学的成功：人类社会经济系统是高度非线性的[5、6、7、8]和混沌的[9]，但借鉴统计物理学的方法仍然可以成功地描述这些系统的大量统计数据。传统上，经济物理学在某种程度上忽视了某种类型的金融市场：博彩市场。这可能令人惊讶，因为经济学家们恰恰相反，他们对博彩市场进行了广泛的研究，认为博彩市场是市场效率的受控经验[10、11、12]，这是金融经济学中的一个关键概念。由于一段时间后，人们对b et的结果（赢或输）知之甚少，因此从隐含的市场异常和真正的获胜概率之间的差异中得出结论是很有挑战性的。如果差异很大，则认为市场是一个有效的市场，因为其参与者无法正确“定价”赌注。如果差异很小，市场就会被视为是有效的。如何计算隐含的市场赔率？例如，考虑一场n=3 hors e s的赛马。假设在第一匹马上下注X美元后，如果这匹马赢了，你将得到3美元。因此，押注于期货的“价格”为3。如果下注第二匹马的价格是2，下注第三匹马的价格是6，我们在这里使用“隐含概率”意义上的“隐含赔率”。第二匹马是最受欢迎的，因为如果这匹马赢了，市场将支付收益（包括原始赌注）与赌注本身的最小比例：其隐含获胜几率为1/2，因此赌徒的储蓄金为零。所有隐含赔率的总和必须大致为1。我们知道这并不总是完全正确的，例如，因为收受赌注者向赌徒收取少量费用，但就本研究而言，这些微小的偏差并不重要。

因此，每匹马的隐含赔率代表了单位间隔的一段。我们对ab out马知之甚少，但我们猜不出这些细分市场最简单的统计数据：Draw n- 1从均匀分布中提取数字，并在每个数字处切割单位间隔。因此，我们将单位长度r andomly的马分成n块，每一块代表一匹马的获胜几率，参加一场有n匹马的比赛。宠儿的赔率对应于最大的部分，第二宠儿的赔率对应于第二大部分，依此类推。这封信报告了在赛马博彩市场中观察到的隐含赔率的经验分布与单位区间随机划分的顺序统计之间惊人的相似性。此外，我们发现，对真正获胜概率的条件预期也与“断棒问题”中相应的值密切相关。因此，我们得出结论，马匹的真正获胜概率表现为单位区间的随机划分，而市场遵循这些统计数据的隐含概率。最后，根据众所周知的指数随机变量和随机除法统计之间的映射，我们做出了一个有点模糊的陈述，即马的真正“能力”是指数分布的：一个有能力的人战胜n的概率- 1其他horsesis thenPi=XiPnj=1Xj，（1）其中，当且仅当Xiare呈指数分布时，pi遵循断棒问题的统计信息。考虑区间[0，1]，并将其随机划分为n个子区间。第k个最大子区间的长度，我们在这里用z（k）表示，其分布为[13]P[z（k）>x | n]=k-1Xj=1新泽西州n-jX公司l=0个(-1)l-1.n- jl[1 - （j+l)x] n个-1++nXl=1个(-1)l-1.nl[1 - lx] n个-1+，（2）a+=最大值[a，0]。

我们想将P[z（k）>x]与赛马博彩市场的隐含获胜ODD的经验分布进行比较。我们使用通过Betfair收集的2011年12月31日至2012年12月15日期间不列颠群岛12736场比赛的数据。每场比赛的平均马数为8.95匹。我们只考虑至少有5匹马的赛马，这使我们的数据集中的赛马总数减少到11925。赌徒在限额订单中交换赌注。卖出订单匹配买入按数量指定的限额订单，并按十进制赔率下注。按交易量和后小数点赔率指定的买入或卖出限额订单。十进制o dds引用支付金额（包括原始股份）与股份本身的比率。最高回报价大于最低回报价。隐含获胜几率定义为比赛开始前最后一次匹配报价的倒数。现在考虑第k个最受欢迎家庭的隐含几率，我们用Q（k）表示。图1将ECCDF P[Q（k）>x]与最受欢迎、第二受欢迎、第三受欢迎、第四受欢迎以及隐含获胜几率最小的马（即“LONGSHOT”）的理论预测值P[z（k）>x]进行了比较，平均值超过了每场比赛的马数。协议令人震惊，需要进一步调查。为了将真正的获胜概率与断杆问题m的顺序统计进行比较，我们需要计算平均数量。

表1显示了第k个最大段的预期长度、第k个最受欢迎段的平均经验隐含概率以及第k个最受欢迎段的平均观察到的真实获胜概率，用P（k）表示，对于我们数据集中的所有比赛和三个包含大致相等路线的分组，我们无法观察到真实获胜概率的经验分布，而只能观察到聚合统计数据，例如，最喜欢的马的平均获胜概率。请注意，这里的买入订单的报价低于卖出订单。图1：（虚线）四匹最受欢迎的马和长跑马的隐含赔率的ECCDF（红色：最受欢迎的马，蓝色：第二受欢迎的马，绿色：第三受欢迎的马，紫色：第四受欢迎的马，橙色：长跑马）和（实线）单位区间分段的相应分段的累积分布，以（主）线性和（插入）双对数标度显示。请注意，没有自由设置参数。马匹数量：5匹≤ n≤ 7匹马，8匹赛马≤ n≤ 10匹马，与n≥ 11匹马。分段长度的理论期望值通过采用初始力矩ofEq计算得出。2（在下面的等式4中分析给出）并对n的经验分布进行平均。经验隐含几率不仅对应于预期的分段长度，而且平均观察到的获胜概率也精确地遵循所有马匹的随机分组顺序统计，长杆除外。请注意，我们基于预期分段长度对获胜几率的理论估计是无参数的。我们观察到长线的差距很大，但其隐含赔率、获胜概率和赛段长度之间的差异对于5≤ n≤ 7个水平线和较大的r，用于有更多水平线的比赛。

这表明，当马的数量很大时，赌徒们无法准确地把马弄到手。请记住，我们根据观察到的隐含赔率来确定等级。因此，最小的细分市场可以描述市场尚未确认为最弱的马。在这种情况下，市场的多头实际上是一匹稍强一些的马。这与fa ct一致，即长线的隐含赔率和获胜概率均大于公式2所示。考虑到这匹马获胜，我们还计算了第k个最受欢迎的马的隐含几率。这个数量自然大于第k个热门的无条件隐含几率。为了找到相应的理论预测，考虑指标函数I（k）=1，如果区间[0，1]中的随机点位于第k大段，则为1，否则为0。然后：P[z（k）=x | I（k）=1]=P[I（k）=1 | z（k）=x]P[z（k）=x]P[I（k）=1]=xP[z（k）=x]-z（k），andE[z（k）| I（k）=1]=z（k）-z（k）。（3） 公式3是第k个最受欢迎的人获胜几率的理论预测。

通过使用广为人知的favourite第二宠儿第三宠儿第四宠儿longshotk=1 k=2 k=3 k=4 k=nE[Q（k）| n≥ 5] 0.3208 0.2001 0.1420 0.1037 0.0210E[P（k）| n≥ 5] 0.3358 0.1976 0.1345 0.0998 0.0253E[z（k）| n≥ 5] 0.3237 0.2046 0.1451 0.1054 0.0157宠儿第二宠儿第三宠儿第四宠儿longshotk=1 k=2 k=3 k=4 k=nE[Q（k）| 5≤ n≤ 7] 0.3996 0.2399 0.1578 0.1024 0.0336E[P（k）| 5≤ n≤ 7] 0.4165 0.2276 0.1503 0.0981 0.0339E[z（k）| 5≤ n≤ 7] 0.4081 0.2407 0.1570 0.1012 0.0285收藏夹第二收藏夹第三收藏夹第四收藏夹longshotk=1 k=2 k=3 k=4 k=nE[Q（k）| 8≤ n≤ 10] 0.3184 0.1985 0.1438 0.1078 0.0182E[P（k）| 8≤ n≤ 10] 0.3327 0.2081 0.1362 0.1031 0.0233E[z（k）| 8≤ n≤ 10] 0.3166 0.2041 0.1478 0.1103 0.0128最喜爱的第二最喜爱的第三最喜爱的第四最喜爱的longshotk=1 k=2 k=3 k=4 k=nE[Q（k）| n≥ 11] 0.2470 0.1631 0.1247 0.1004 0.0119E[P（k）| n≥ 11] 0.2614 0.1564 0.1172 0.0977 0.0193E[z（k）| n≥ 11] 0.2500 0.1703 0.1305 0.1039 0.0065表1：我们数据集中所有种族的平均隐含赔率和w局概率，以及预期的分段长度，所有种族的n≤ 7，带8≤ n≤ 10，带n≥ 11、分段长度的理论期望值是通过在n.Favorite第二个Favorite第三个Favorite第四个Favorite longshotk=1 k=2 k=3 k=4 k=nE[Q（k）| win]0.3735 0.2148 0.1542 0.1139 0.0886E[z（k）| I（k）=1]0.3622 0.2196 0.1549 0.1145 0.0383表2：马匹获胜和预期获胜的平均隐含赔率给定的段长度包含OUR数据集中所有种族的一个随机点（n≥ 5). 分段长度的理论预期值是通过对公式3中的n个二项恒等式的经验分布进行平均计算得出的。

2经过一段时间的计算，z（k）=nnXj=kj=nHn，k，（4）具有部分谐波数Hn，k≡Pnj=千焦-1和z（k）=n（n+1）nXj=kHn，jj=n+1nXj=k'z（j）j.（5）表2比较了第k个最受欢迎者获胜的隐含几率与第k个最大段的平均长度，前提是它包含一个随机点，se e等式3。我们再次观察到经验概率和理论预测之间的良好一致性（除了长线之外，请参见上文的讨论）。最后，我们计算出获胜马的平均初始赔率为0.2148。其理论预测遵循公式3，包含随机点的段的平均长度=nXk=1E[z（k）| I（k）=1]P[I（k）=1]=nXk=1z（k）=n+1，（6），在对n进行平均后，得出0.2107，再次非常接近经验值。综上所述，我们发现随机brokenstick的订单统计与赛马博彩市场的统计特性之间存在显著的一致性。我们还观察到，隐含赔率和真正获胜概率的经验值为clos e，因此得出结论，这种博彩市场至少在某种程度上是信息有效的。对于长毛马，我们发现了一些差异，因为当马的数量很大时，训练者可能无法准确地对马进行排名。假设隐含的数据在很大程度上反映了真正的获胜概率，我们得出结论，如果“能力”呈指数分布，那么马的“能力”可以这样定义，即其获胜概率是其“能力”与所有竞争对手能力之和的比率。致谢：J尤利乌斯·博纳特感谢让·菲利普·布沙德、乔纳森·多尼尔和托马索·阿斯特索进行了有趣的讨论。我们还要向Peter A.Bebbington的博士生导师表示热烈的感谢。J、 福特和F.M.C。

资助机构EPSRC和金融计算与分析博士培训中心。参考文献【1】E.P.Wigner。有限维borde-red矩阵的特征向量。《数学年鉴》，62:548–5641955。文献[14]第153页报道了“z（k）”的同一性，但作者不知道之前出现过EQ。T.A.Brody、J.Flores、J.B.French、P.A.Mello、A.Pandey和S.S.M.Wong。随机矩阵物理：频谱和强度波动。《现代物理学评论》，53:385–480，1981年。[3] L.Laloux、P.Cizeau、J.-P.Bouchaud和M.Potters。财务相关矩阵的噪声修正。《物理评论快报》，83:146 7–14701999。[4] J-P Bouchaud和M Potters。金融风险和衍生品定价理论。2009年，剑桥。[5] B.T'oth、Y.Lemp'eri'ere、C.Deremble、J.De Lataillade、J.Kockelkoren和J.P.Bo uchaud。异常价格影响和金融市场流动性的关键性质。物理评论X，1（2）：0210062011。[6] J.Donier、J.Bonart、I.Mastromatteo和J.-P.Bouchaud。非线性市场影响的完全一致的最小模型。《定量金融》，2015年15:1109–11:21。[7] J.Donier和J.Bonart。对比特币市场影响的百万元订单分析。http://papers.ssrn.com/sol3/Papers.cfm?abstract_id=2536001，2014年。[8] Tiziana di Matteo。多规模融资。《定量金融》，7:21–36，2005年。[9] F.Patzelt和K.Pawelzik。有效市场固有的不稳定性。《科学报告》，3:27842013年。[10] L.V.Williams。博彩市场的信息效率：一项调查。《经济研究公报》，51:1–391999年。[11] S.Figlewski。博彩市场中的主观信息和市场效率。《政治经济杂志》，87:75–881979年。[12] P.Divos、S.sel Bano Rollin、Z.Bihar y和T.Aste。风险中性的足球比赛定价和对冲。