风险度量优化的稳健性

第3-6.2.3节研究了特殊情况和示例不确定性和对优化的鲁棒性。我们继续将不确定性纳入上述优化问题（1）。福尔克斯∈ Ln，G G和目标函数ρ，用ρ（X；G）表示ρ的最小可能值，即ρ（X；G）=inf{ρ（G（X））：G∈ G} ，通过GX（ρ）优化函数集，即GX（ρ）={G∈ G：ρ（G（X））=ρ（X；G）}。（2） 注意，GX（ρ）可能是一个空集。在本文中，符号gX将指代代理元素gX∈ GX（ρ）和GX（X）将被称为优化位置。我们将使用X来表示我们的（感知的）基本经济矢量模型。在实践中，模型X是基于随机假设和统计推断得出的，它可能并不代表潜在经济矢量的真实模型。换言之，优化问题（1）通常具有严重的模型不确定性。为了反映这个问题，让Z Lnbe是一组可能的经济矢量，包括X；Z可解释为一组备选模型。假设实际经济向量Z∈ Z与感知到的经济向量X不同。我们手头的信息是关于X而不是Z的，我们将X称为最佳知识模型，Z称为真实模型，这是不可知的。我们必须根据我们的知识做出决定，也就是说，如（2）所示，选择Gx∈ GX（ρ）优化我们的目标ρ。真实但未知的位置gX（Z）可能与感知的最佳位置gX（X）不同。如果Z和X根据一些（伪）度量π（例如L）彼此接近∞-在有界随机向量空间上的度量，我们希望ρ（gX（Z））接近ρ（gX（X）），以便理解位置gX（Z），它可能不再是最优的。

换句话说，我们自然希望mappingY 7具有某种连续性→ ρ（gX（Y））在Y=X时。例如，Z可以是风险模型的参数族，因此对应于基础风险模型的参数不确定性。向量X的每个组成部分可能具有不同的经济意义。其中一些可能受到更严重的模型不确定性的影响，而另一些可能没有模型不确定性。这可以反映在Z的选择上，Z可能包含在n-随机向量集的低维子集中。注意，在我们的情况下，没有必要分析优化g（Z）over g的问题∈ G、 因为Z是未知的。这使得我们的框架在概念上不同于模型不确定性下优化器集稳定性的研究流程。在第8.2节中，我们以金融监管为例，明确了本文与文献中其他方法之间的这一重要区别。将其置于示例1的对冲上下文中，假设实际经济向量∈ Z与X不同，投资者有实际风险W=h（Z）进行对冲。她掌握的信息是关于X的，她通过从一组可用工具G中选择gx来对冲W。在这种情况下，h（Z）- gX（Z）是她在对冲后实际面临的剩余风险。在此设置下，假设模型X的质量良好，Z在某种意义上应该接近X，她自然希望函数Y 7具有某种连续性→ ρ（h（Y）- gX（Y））在Y=X时。容许集G不受模型不确定性的影响，因为投资者知道她可以在优化问题中选择哪些位置。

例如，在上述对冲示例中，确定G的预算约束不受X的模型假设的影响；这只是套期保值工具的观察价格。鉴于上述考虑，我们赋予所有可能的经济向量集Z一个伪度量π。π的常见选择是L∞, Lq、Wasserstein和弱（伪）度量；参见下面的示例3。考虑伪度量而非无度量的原因是能够基于风险分布纳入目标函数，例如，法律不变的风险度量和预期效用函数。定义1。我们称（G，Z，π）为不确定三元组，如果G Gnand（Z，π）是n个随机向量的伪度量空间。对于给定的不确定性三重态（G，Z，π），如果ρ映射为G（Z）={G（Z）：Z，则称目标泛函ρ是相容的∈ Z、 g级∈ G} 至R∪ {+∞}, ρ（g（Y））=ρ（g（Z）），对于所有g∈ G和Y，Z∈ π（Y，Z）=0的Z，即Y和Z在伪度量π下不可区分。定义2。设（G，Z，π）为不确定三元组。一个相容的目标函数ρ在X上反对优化∈ Z表示（G，Z，π），如果存在gX∈ GX（ρ）使得函数Y 7→ ρ（gX（Y））在Y=X时是π-连续的。在本文中，我们主要关注定义2意义上的稳健性，不应将其与所研究的风险度量的经典定性稳健性混淆。g、 Cont et al.（2010）、Kou et al.（2013）、Kr¨atschmer et al.（2014）和Embrechts et al.（2015）。由于广泛使用模拟和估计方法进行风险评估，分布水平上的不确定性是风险管理实践中最常见的；另一方面，在优化问题中，具有相同分布的风险是不等价的（参见第3节中的函数优化问题）。

因此，我们不使用伪度量所诱导的等价类。另一方面，与稳健优化文献（例如Goh和Sim（2010），Wiesemann et al.（2014））相比，我们的重点是优化中目标函数的稳健，而不是如何解决特定优化问题。因此，我们的设置和方法也不同于优化文献中的经典设置和方法。第8.2节进一步讨论了定义2的制定，包括一些可能的替代方案。下面我们给出了π的三个突出例子，它们将出现在整篇文章中。示例3。（i） 对于L的子集Z∞n、 L∞-公制π∞定义为π∞n（X，Y）=| | X- Y型||∞= ess sup（| X- Y |），X，Y∈ Z、 （3）（ii）对于q∈ [1, ∞) 和Lqn的子集Z，Lq度量πqn定义为πqn（X，Y）=| | X- Y | | q=（E[| X- Y | q]）q，X，Y∈ Z、 （4）（iii）对于Ln的子集Z，伪度量πWn定义为πWn（X，Y）=πP（FX，FY），X，Y∈ Z、 （5）其中πPis是概率分布测度集上的Prokhorov度量。在这种情况下，πwn中的收敛等价于分布中的收敛（或弱收敛）。还可以用概率测度上的Wasserstein度量替换πPin（5），并在Ln的适当子空间上获得Wasserstein伪度量。2.4鲁棒性和连续性的基本属性我们首先解释定义2的一些基本属性。对优化的鲁棒性是（ρ，X，G，Z，π）的共同特性，在定义中，只有X在Z中的π邻域才起作用。如果ρ对于（G，Z，π）在X处的优化是鲁棒的，那么ρ对于（G，Z，π）在X处的优化也是鲁棒的，如果X∈ Z Z、 （G，Z，π）也是如此，如果π是比π更大的天文伪度量。

另一方面，如果优化问题不引入解，即GX（ρ）=, 那么ρ对X处的优化不具有鲁棒性。ρ的鲁棒性依赖于ρ在G（Z）上的某些连续性和函数在GX（ρ）上的某些连续性。在下文中，我们给出了GX（ρ）包含连续函数的一些一般结果。尽管这些结果相当简单，但它们在精确的情况下仍然有用，πP（u，ν）=inf{ε>0：u（A）6ν（Aε）+ε和ν（A）6u（Aε）+ε∈ B（Rn）}，其中Aε={x∈ 注册护士：| | x- y | |<ε对于某些y∈ A} 而| |·| |是欧几里德标准。其中G足够好。然而，稍后我们将看到，在许多有代表性的问题中，GX（ρ）不一定具有任何常用风险度量的连续元素，例如变凸风险度量；第4节和第5节将研究它们的稳健性特性。对于双射g∈ g和一个n维随机向量的伪度量空间（Z，π），设（g（Z），πg）为另一个伪度量空间，定义为πg（g（X），g（Y））=π（X，Y）表示X，Y∈ Z、 提案1。假设对于不确定性三重态（G，Z，π），X∈ Z和相容的目标泛函ρ，GX（ρ）包含一个双射g，ρ在g（Z）上是πg-连续的。然后ρ反对（G，Z，π）在X处的优化。接下来，我们来看看Z=L的基本设置∞n、 Z=Lqn，Z=Ln，配备THL∞公制π∞nin（3）、Lqmetricπqnin（4）和伪metricπWnin（5）。提案2。设ρ为不确定度三元组（G，Z，π）和X的相容目标泛函∈ Z、 （i）假设（Z，π）=（L）∞n、 π∞n） 。如果GX（ρ）包含连续函数g:Rn→ R和ρ为π∞-连续，则ρ对（G，Z，π）X处的优化具有鲁棒性。（ii）假设（Z，π）=（Lqn，πqn），q∈ [1, ∞).

如果GX（ρ）包含连续线性增长函数g:Rn→ R和ρ是πq-连续的，那么ρ对（G，Z，π）的优化atX是鲁棒的。（iii）假设（Z，π）=（Ln，πWn）。如果GX（ρ）包含连续函数g:Rn→ R和ρ是πW-连续的，那么ρ对于（G，Z，π）在X处的优化是鲁棒的。命题2基于GX（ρ）中优化函数的连续性，提供了验证某些目标函数鲁棒性的简单准则。正如我们将在第4-5节中看到的，对于流行的风险度量VaR和ES，这些标准可能不是很有用，因为优化功能通常缺乏相应的连续性。需要进行更详细的分析，为这些目标得出有意义的结论，这将是接下来几节的重点。3一类函数优化问题主要关注优化中风险度量的稳健性，尤其是风险价值（VaR）和预期短缺（ES）。这里，Y的正值表示lossA函数g:Rn→ 如果对于某些C>0，| g（y）| 6 C | y |对于所有y，R呈线性增长∈ RN的| y |>1。例如，Lipschitz连续函数可以满足此特性。负值表示增益。p级信用风险值∈ （0，1）定义为VARP（Y）=inf{x∈ R:P（Y 6 x）>P}=F-1年（p），年∈ 五十、 以及置信水平为p的ES∈ （0，1）定义为SP（Y）=1- pZpVaRs（Y）ds，Y∈ 五十、 （6）请注意，ESp（Y）可能会取该值∞ 如果Y不可积。

此外，我们编写了（Y）=VaR（Y）=ess sup（Y）=sup{x∈ R:P（y6x）<1}。我们总结了VaRpand-espforp的一些众所周知的鲁棒性性质∈ （0，1）以下。1）VaRpis在分布收敛方面是连续的，因此q的（Wasserstein）Lq收敛∈ [1, ∞], 在X处，当且仅当X的逆cdf在p处是连续的；例如，参见Shorack（2000）中的第7.3.1条提案。2.）它紧跟在1之后。）（6）Esp对于L的每个一致可积子集上的收敛分布是连续的。特别是，Esp对于q的Lq收敛是连续的∈ [1, ∞]. 另一方面，在任何包含L的集合上，ESP对于分布的收敛性是不连续的∞+.除了VaR和ES之外，我们还将考虑两类一般的凸风险度量，以及预期效用和损失函数，这将在第5节和第6节中介绍。接下来，我们描述一类一般的函数优化问题。对于n维随机向量X，两个可测函数v:Rn→ R∪ {-∞} 和w:Rn→ R、 可测价格密度γ：Rn→ (0, ∞), 和一个常数x∈ R、 我们考虑以下setG=ng∈ Gn:v6g6w和E[g（X）γ（X）]>xo。（7） 相应的优化问题是最小化：ρ（g（X））服从v 6 g 6 w，E[γ（X）g（X）]>X。（8）优化问题（8）被称为“泛函”，因为目标是在一组大的n变量函数上优化的。直观地，函数v和w描述了容许函数G的上下界∈ G、 而条件E[G（X）γ（X）]>xd描述了预算约束。因此，问题（8）代表给定预算的投资组合优化，这是定量金融中的经典问题，包括许多有趣的特殊情况。

下面我们给出两个简单的例子，一个是在完整金融市场的背景下，另一个是在保险设计的背景下。由于这个问题本身就引起了人们的极大兴趣，我们将顺便为相应的文献做出贡献；见备注1。例4（最佳投资）。优化问题（8）与具有任意数量主要资产的完整市场中的连续时间最优套期保值问题联系如下。假设S=（St）t∈[0，T]是一个d维半鞅，它允许一个唯一的局部鞅测度Q，且F=FST上的价格密度γ=dQ/dP。我们可以解释为d风险证券的贴现价格过程。Q是唯一的这一事实等价于模型的完整性。设X为σ（X）=FST的随机向量，表示市场随机性（此类随机向量存在于温和条件下，如s的连续性）。在这种情况下，对于需要在时间T支付随机财富f（X）的投资者来说，将ρ（f（X）等最小化是一项自然任务- VT），其中VT：=VT（X）是自我融资交易策略的贴现时间tv值，该策略满足初始投资的成本约束和某些其他约束，如某些函数v和w的v（X）6 VT6 w（X）。通过鞅参数，初始投资满足v=E[γ（X）VT]。另一方面，市场完备性意味着S具有鞅表示性质，因此每个可行泛函g（X）都可以用f（X）的形式表示- VT，其中V是某种自我融资交易策略的价值过程。所以，让g（x）：=f（x）- VT（x），我们得到（7）的特殊情况。示例5（保险设计）。阿罗（1963）首创的保险设计问题也可以用（8）来描述。

设X>0表示被保险人的随机未来损失，如果已实现损失X等于X，则f（X）表示保险人支付的金额；f称为保险赔偿功能。假设γ>1是一个常数，γE[f（X）]用于支付f（基于预期支付的保费称为精算保费）的保险合同定价。让我们来支付被保险人的预算吧。具有风险测度ρ的被保险人的标准最优保险问题是最小化的：ρ（X- f（X））服从0 6 f（X）6 X，γE[f（X）]6 y，通过选择g（X）=X属于（8）- f（x），w（x）=x，v（x）=0，x=γE[x]- y、 使用我们的符号约定，通过持有风险头寸g（X），我们可以获得货币金额E[γ（X）g（X）]。同等地，一个人支付-E[γ（X）g（X）]6-x、 因此，通常的预算限制。可能会进一步对付款f提出一些其他要求；参见例如Bernard等人（2015）及其参考文献。为了研究这个问题的风险度量的稳健性，下面给出了关于（G，Z，π）和X的主要假设，这将在接下来的三节中进行假设。onX假设是标准的，几乎所有的金融模型都满足该假设，其中资产价格具有密度。假设G.G由（7）给出，其中E[γ（X）]<∞ 和G 6=; 分布测度uXof X在其支撑上具有正密度，这是Rn的凸集，（Z，π）是（Ln，πWn）或（Lqn，πqn），q∈ [1, ∞].一般来说，很难获得（8）的解析解；相反，我们将在后续章节中获得关于各种风险度量的稳健性声明。可以针对（8）的特定情况获得显式优化器，使得X是一维的，v（X）=0且w（X）=X（参见示例5）；也就是说，将ρ（g（X））最小化为0 6 g（X）6 X，E[γ（X）g（X）]>X。

（9） 4风险价值的稳健性本节的主要任务是为第3节中的优化问题（8）建立VaR的（非）稳健性。我们将对γ、v和w以及p的风险度量ρ=varpf的最小值做出以下假设∈ (0, 1). 回想一下ρ（X；G）=inf{ρ（G（X））：G∈ G} 。假设V.ess sup（V）<ρ（X；G）<ρ（w（X）），γ从上方有界。假设V是相当普遍和薄弱的。条件ess sup（v）<ρ（X；G），意味着下限v不太大，主要用于保证预算约束具有约束力。条件ρ（X；G）<ρ（w（X））简单地说，优化问题不是通过简单地选择最大可能位置G=w来解决的。γ上的有界条件可能会明显放宽，因为我们只需要一个特定点附近的有界性。附录a.2备注3中对这些条件进行了解释和技术讨论。定理1。对于p∈ （0，1），在假设G和V下，ρ=VaRpis对（G，Z，π）X处的优化不具有鲁棒性。定理1意味着，对于优化问题（8）和所有常用（伪）度量的选择，VaRpis对优化不具有鲁棒性，并且该结果适用于一般连续分布的随机向量X。因此，Varpha是我们设置中最差的可能破产。这种现象背后的主要原因非常直观：作为定理1证明的关键点，任何优化函数gX总是在gX（X）的p-量纲处跳跃，使其最容易受到模型不确定性的影响。在实践中，可以考虑只包含连续函数的子集Gof G，因此命题2具有稳健性。