风险度量优化的稳健性

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英文标题：
《Robustness in the Optimization of Risk Measures》
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作者：
Paul Embrechts, Alexander Schied, Ruodu Wang
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We study issues of robustness in the context of Quantitative Risk Management and Optimization. We develop a general methodology for determining whether a given risk measurement related optimization problem is robust, which we call \"robustness against optimization\". The new notion is studied for various classes of risk measures and expected utility and loss functions. Motivated by practical issues from financial regulation, special attention is given to the two most widely used risk measures in the industry, Value-at-Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES). We establish that for a class of general optimization problems, VaR leads to non-robust optimizers whereas convex risk measures generally lead to robust ones. Our results offer extra insight on the ongoing discussion about the comparative advantages of VaR and ES in banking and insurance regulation. Our notion of robustness is conceptually different from the field of robust optimization, to which some interesting links are derived.
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中文摘要：
我们在定量风险管理和优化的背景下研究稳健性问题。我们开发了一种确定给定风险度量相关优化问题是否鲁棒的通用方法，我们称之为“针对优化的鲁棒性”。研究了不同类别的风险度量和预期效用与损失函数的新概念。基于金融监管的实际问题，特别关注行业中使用最广泛的两种风险度量，即风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。我们证明了对于一类一般优化问题，VaR导致非稳健优化器，而凸风险度量通常导致稳健优化器。我们的结果为目前关于VaR和ES在银行和保险监管中的比较优势的讨论提供了额外的见解。我们的稳健性概念在概念上不同于稳健性优化领域，它与稳健性优化有一些有趣的联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-10 19:46:26 上传

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关键词：风险度量 稳健性 风险度 Optimization Quantitative

风险度量优化中的稳健性*Alexander Schied+Ruodu WangAbstractWe在量化风险管理和优化的背景下研究稳健性问题。我们开发了一种确定给定风险度量相关优化问题是否鲁棒的通用方法，我们称之为“针对优化的鲁棒性”。研究了不同类别的风险度量和预期损失函数的新概念。基于金融监管的实际问题，特别关注行业中使用最广泛的两种风险度量，即风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。我们发现，对于一类一般优化问题，VaR导致非稳健优化器，而凸风险度量通常导致稳健优化器。我们的结果为目前关于VaR和ES在银行和保险监管中的比较优势的讨论提供了额外的见解。我们的稳健性概念在概念上不同于稳健性优化领域，与之有一些有趣的联系。关键词：稳健性、风险价值、预期缺口、优化、金融监管*瑞士苏黎世苏黎世ETH数学系RiskLab和ETH风险中心，邮编8092。电子邮件：embrechts@math.ethz.ch+加拿大N2L3G1滑铁卢滑铁卢大学统计和精算科学系。电子邮件：aschied@uwaterloo.ca加拿大滑铁卢N2L3G1滑铁卢滑铁卢大学统计与精算系。电子邮件：wang@uwaterloo.ca.When衡量标准成为目标，就不再是好的衡量标准由Strathern（1997）1引言解释的Goodhart定律本文的主要重点是研究定量风险管理（QRM）中优化过程的鲁棒性。

为此，我们引入了一个新的通用框架，同时在概念上直观，在数学上具有挑战性。正如我们将在本文中强调的那样，一个关键且新颖的问题涉及到基本目标的选择对风险优化中产生的稳健性属性的影响。特别是，我们感兴趣的是两种最流行的监管风险度量，即风险价值（VaR）和预期缺口（ES），以及它们在风险优化背景下的稳健性。在QRM中，风险度量的稳健性概念传统上是在目标函数的层次上研究的，不涉及优化问题；见Cont等人（2010），Kou等人。（2013），Kr¨atschmer et al.（2014，2017），Embrechts et al.（2015），以及其中的参考文献。在稳健优化的文献中（参见Ben Tal et al.（2009）），模型不确定性通常是通过修改目标函数或约束纳入的。Cont等人（2010年）比较了VaR和一致风险度量的定性稳健性；作者得出结论，VaR在他们的背景下更好。后来的一些论文，如Embrechts et al.（2015）和Kr¨atschmer et al.（2014、2017），从不同的角度提出了相应的论点，表明ES也具有某些理想的鲁棒性特性。这两种研究都假设VaR和ES都适用于相同的财务状况。然而，在现实中，对特定风险度量的监管选择会产生一定的激励，就像监管的任何其他方面一样。甚至在风险度量被应用于风险管理环境之前，这些激励措施就变得有效了。例如，一旦选择了特定的风险度量，投资组合将根据该风险度量进行优化。

因此，在现实中，VaR和ES通常不会应用于同一头寸，因此无法将所选风险度量的技术属性与其产生的激励分离。换言之，作为独立函数的风险度量可能是稳健的，但当在优化环境中使用此度量时，无法具有理想的稳健特性。在本文中，我们首次尝试在评估风险度量的稳健性属性时考虑风险度量选择所产生的激励。在这样做的过程中，我们得出了与之前文献相比完全不同的、可能有些令人惊讶的关于鲁棒性的结论。为了简要说明我们的想法，假设风险因素由随机模型产生的随机变量X表示（在本文后面，X将表示随机向量）。投资者必须根据其所掌握的知识优化其头寸，因此我们将X称为最佳知识模型，而由Z表示的真实模型通常是不可知的。理想情况下，一个好的模型X在某种意义上是统计上与Z成环形的，这一点稍后会明确。基于最佳知识模型X和目标函数ρ，选择优化位置作为X的函数g（X）。位置g（X）可能具有理想的目标值ρ（g（X）），但这并不保证如果Z与X“略微”不同，ρ（g（Z））也是理想的。

在缺乏完美模型的情况下（金融应用中几乎总是如此），这个问题变得至关重要。图1非正式地说明了我们的动机，它描述了投资者面临参数θ未知的帕累托分布风险的情况。投资者使用估计参数bθ建立模型X，并在某类函数g上优化ρ（g（X））；图1的标题中解释了详细信息。我们计算了投资者面临的实际风险ρ（gX（Z）），其中ρ被选为0.99级的VaR，ES被选为0.975级的inBCBS（2016），其中gXdenote使用模型X和ρ计算相应的优化函数（VaR情况下唯一）。如图1所示，感知风险值ρ（gX（X））（其解释见第2.3节）与ρ为VaR和ES相似；只要θ>bθ，这也适用于实际风险值ρ（gX（Z）），这意味着X是对真实损失的高估。然而，如果实际损失被略微低估，则gX（Z）的实际VaR实质上高于ρ（gX（X）），而实际ES几乎保持不变。对这种现象的直观解释是，在VaR下，最好将所有尾部风险集中在概率很小的事件上，这样就不会影响测量的风险。

然而，如果模型低估了该事件的真实概率，那么尾部风险就会突然变得显著。仿真结果表明，ifbθ是根据a真参数的IID采样点从最大似然估计量计算出来的，那么由ρ（gX（X））和ρ（gX（Z））之间的差值测量的均方误差对于VaR的情况是大的，而对于ES的情况是小的（见第7节）；从图1可以看出这种强烈的对比。在本文中，我们将上述观察结果纳入了一个针对一般风险度量和优化问题的严格量化框架。本文的贡献和结构概述如下。在第2节中，我们介绍了稳健的理论框架——在优化问题的背景下，风险度量的性质，在本文中被称为“稳健对抗优化”。该框架非常通用，包含了各种应用领域中的许多实际问题，不一定局限于金融和保险。牢记风险度量问题，一类函数优化参数θ>0的帕累托（θ）分布函数F被指定为F（x）=1- x个-θ、 x>1。我们感谢保罗·格拉斯曼提出这个术语。2 3 4 5 6 7246810θ图1：该图显示ρ=VaR0.99（实心）和ρ=ES0.975（虚线）时的ρ（gX（Z）），如果Z是参数θ的帕累托分布。我们假设X具有参数bθ=5的帕累托分布，并且gx在所有可测函数类中使ρ（g（X））最小，满足不等式0 6 g（X）6 X，所有X>0，预算约束E[γ（X）g（X）]>1，如第3节所述，为简单起见，我们取γ（X）=X。对于VaR（命题3），优化器gXis是唯一的。有关更多详细信息和其他数值模拟，请参见第7节。第3节描述了问题。

第4、5和6节分别针对VaR、凸风险度量和预期损失（和效用）函数分析了这些优化问题。稳健性陈述是在一般条件下得到的，在某些特殊情况下可以得到进一步的分析解。作为我们结果的主要信息，我们看到，对于许多人认为是稳健风险度量的VaR情况，其相应的优化是高度非稳健的，较小的模型不确定性会破坏优化位置的最优性。与此形成鲜明对比的是，对于许多凸风险度量，包括ES和预期损失函数，优化位置通常是稳健的。除了下面的图1之外，第7节还提供了一些模拟结果。在第8节中，我们对我们的结果对特定监管风险措施的可取性的影响进行了一些讨论，这是金融行业正在进行的一场辩论（BCBS（2016），IAIS（2014））。我们的结果（进一步）有力地反对将VaR作为银行和保险监管中的风险度量；有关风险分担领域稳健性的相关讨论，请参见Embrechts et al.（2018）。在最后一节，即第9节中，我们讨论了分布式鲁棒优化背景下的鲁棒性概念（例如Natarajan et al.（2008），Goh和Sim（2010））。所有结果的证明都放在附录中。正如古德哈特定律（古德哈特（1984））所暗示的那样，当风险度量成为目标时，它就不再是一个好的风险度量。然而，这项法律在多大程度上适用取决于ThedanElsson（2002）将Goodhart定律应用于风险模型，他说风险模型在用于监管目的时会失效。特定应用程序和每个特定风险度量。

因此，我们在本文中的结果在金融监管和优化的背景下对古德哈特定律进行了定量和比较分析。结合我们对VaR的负面结果（Goodhart\'slaw的一个例子）和我们对凸风险度量的正面结果，我们的主要信息可以总结为：作为监管目标，所有风险度量都不再是好的，但一些风险度量，特别是VaR，比其他风险度量差得多。2理论框架2.1符号我们使用无原子概率空间(Ohm, F、 P）。设Lqq是所有随机变量的集合(Ohm, F、 P）具有有限q阶矩，q∈ (0, ∞), Lbe所有P-a.s.实体变量的空间，以及L∞L的所有本质有界元素的集合。对于正整数，写Lqn=（Lq）n。对于向量x∈ Rn，| x |是它的欧几里德范数。贯穿，对于任何X∈ 五十、 FX表示X的分布函数。分别为一个随机变量的本质上确界和本质上确界在第一个随机变量上的映射ess inf（·）和ess sup（·）。如果随机变量X和Y在P下的分布相同，那么我们写Xd=Y∈ R、 用δx表示x处的点质量概率测度。对于实数或函数x和y，我们写x∧ y=最小值{x，y}，x∨ y=最大{x，y}，x+=x∨ 0和x-= (-x）∨ 0.2.2优化问题的基本设置在本节中，当基本经济模型的相关信息准确已知时，即在没有模型不确定性的情况下，我们首先列出优化问题的基本设置。

设X为n维随机向量，其中n为正整数。随机向量X被称为经济向量，它包括所研究的经济模型中的所有随机源，如潜在损失、交易证券、对冲工具、保险合同、宏观经济因素或定价密度。设Gn为映射Rn到R的可测函数集。随机变量g（X），其中g∈ GN代表投资者的风险头寸，正值代表损失，负值代表收益。在本文的几个应用中，这种符号约定符合下面的规则角度。投资者的问题是在容许集g中的某些函数g的容许位置g（X）中进行选择 Gn。对于集合G Gn，我们制定了最小化问题：ρ（g（X））服从g∈ G、 （1）其中ρ是目标函数映射，包含{G（X）：G∈ G} 至R∪ {+∞}. 在这里，人们更喜欢目标函数的较小值，而不是较大值。考虑的目标功能可能是一般的；示例包括（直至符号变化）均值-方差函数、预期效用、秩相关效用函数、累积前景理论中的函数，以及Artzner等人（1999）和F¨ollmer and Schied（2016）中讨论的各种风险度量。然而，我们的主要兴趣将是风险度量值（VaR）和预期短缺（ES）。优化问题（1）中的元素可以用一个目标函数ρ和一对（X，G）来概括。我们总是假设目标泛函ρ的域包含{g（X）：g∈ G} ，否则（1）无意义。示例1。一个典型的例子是金融市场中的套期保值问题。假设投资者目前面临风险W，并希望对冲W。

她有权使用集合中的对冲工具{g（Y）：g∈ G} 其中Y是an（n- 1） -维数经济向量，例如G Gn公司-1，n>2。通常，集合GINVOLES具有预算约束。等效地，她在集合{W）中选择风险位置- g（Y）：g∈ G} ，表示她可能获得的所有可能的对冲头寸。注意{W- g（Y）：g∈ G} ={f（X）：f∈ G} 其中X=（W，Y）是n维随机向量，G={f∈ Gn：f（w，y）=w- g（y），g∈ G、 w∈ R、 y型∈ 注册护士-1};因此，套期保值问题是我们一般设置（1）的一个特例。这里我们允许W任意依赖于Y。如果W是金融风险，Y是完整金融市场中资产价格的向量，那么W可能是Y的函数。另一方面，如果Wre表示财产和意外伤害保险风险，而Y是金融市场中资产价格的向量，那么可以合理地假设W和Y是独立的。示例2。在马科维茨的投资组合选择中，投资者希望找到一个最优配置向量w∈ RN基于返回向量Y∈ LN代表n股。这个问题可以描述为E[g（Y）]的最小化，其中g∈ Gand g所有职能部门的负责人g∈ 第3节给出了VaR和ES的正式定义。ES也称为CVaR、CTE、AVaR和TVAR，具体取决于上下文（参见P flug和R¨omisch（2007）、McNeil等人（2015）和F¨ollmer和Schied（2016））。我们使用ES一词与巴塞尔银行监管委员会（BCBS（2016））保持一致，因为我们的研究是基于VaR和ES在监管方面的相对优势；见第8节讨论。形式g（y）=λ（w>y）- w> y代表w∈ RnsatisfyingPni=1wi=x。这里，λ>0是一个风险规避参数，x代表投资者的预算约束。在本节中，我们尽可能多地选择（X，G）。