风险度量优化的稳健性

我们注意到，VaR和ES的优化头寸可能具有类似的形式（命题3和命题4）。然而，根据定义，ES并没有忽略最优配置尾部的值（与VaR相比），这解释了为什么风险度量的相应值不会被低估。关于VaR和ES的稳健性有着广泛的讨论（虽然不在本文的优化内容中），保持一个平衡的观点可能是公平的。ES稳健性的一个重要方面是扰动引起的困难，扰动产生概率50 100 150 2002.02.12.22.32.42.650 100 150 2000.20.40.650 100 150 2001.51.61.71.81.950 100 150 200-15-10-5图4：ρ（gX（Z））和ρ（gX（X））10000个独立样本点的均方误差，每个都有一个最大似然估计量bθ，该估计量是根据Exp（1）分布风险因子Z的n个iid实现计算得出的。横轴显示数字n。ρ=VaR0.99的情况可以在左侧找到，ρ=ES0.975的情况在右侧找到。顶部的两个面板绘制均方误差（原始值），底部的面板对应于可能具有有限第一时刻的对数变换分布；这就是为什么在推论1中，ES相对于πqn的稳健性需要一个v和w增长率的条件。因此，在从历史数据中最小化ES时，需要始终做出适当的可积性假设，否则最小化ES可能会像VaR一样成问题。基本模型在风险管理中不是纯粹的学术性质；例如，参见《运营风险》中的Neˇslehov\'aet al.（2006）和《气候变化经济学》中的Weitzman（2009）。有关VaR和ES在银行和保险监管中可取性相关的各种问题的最新学术讨论，我们参考了Kou和Peng（2016）、Fissler和Ziegel（2016）、Embrechts等人。

（2018），Armstrong和Brigo（2018）以及其中的参考文献。8.2关于稳健公式的备注在本节中，我们进一步说明了稳健定义与优化和模型不确定性文献中相关概念之间的关系。我们首先考虑巴塞尔协议III/IV和偿付能力协议II中规定的企业偿付能力资本计算问题。假设Z是真实（但未知）模型，gZ是∈ GZ（ρ）；见（2）X=Z。在偿付能力资本计算中，以下数量具有不同的物理含义：（a）ρ（gX（X））：公司为X优化的感知风险值（偿付能力资本要求）；（b） ρ（gZ（Z））：为Z优化的理想风险值，就好像Z是已知的一样；（c） ρ（gX（Z））：模型Z的实际风险值，但对X进行了优化。在上述数量中，理想风险值ρ（gZ（Z））表示如果已知真实模型，最好的情况。由于真实模型未知，该值不可用，因此与偿付能力资本计算无关。因此，出于偿付能力风险管理的目的，我们对偿付能力缺口ρ（gX（Z））|{Z}实际风险感兴趣- ρ（gX（X））{z}感知风险，（16）非最优缺口ρ（gZ（z））{z}理想最优- ρ（gX（Z））{Z}实际风险，（17）或最优性转移ρ（gZ（Z））{Z}理想最优- ρ（gX（X））。|{z}感知最优（18）注意，（17）和（18）都涉及ρ（gZ（z）），这与偿付能力考虑无关。在优化文献中，集合映射的连续性Z 7→ GZ（ρ），以及函数Z 7的→ ρ（gZ（Z）），被称为稳定性问题，即。

当基础模型从X变为Z时，最优性解和最优性转移（18）如何变化；例如，见Bonnans和Shapiro（2000）及其参考文献。让我们通过以下两个例子进一步说明我们的稳健性概念。示例6。假设模型X导致唯一的最优决策gX（X）=X∈ R、 这意味着完全清算该资产或进行完美的对冲。在这种情况下，gXis是一个恒常函数，因此Z为7→ ρ（gX（Z））是一个常数映射，因此根据我们的定义，它总是稳健的。换言之，无论真正风险Z的优化器是什么，偿付能力缺口（16）都将为零。因此，模型不确定性与solvencycapital的计算无关。另一方面，如果真实模型Z不等于X，并且资产清算对于Z不是最优的，那么我们有ρ（gZ（Z））<ρ（X）；因此，最优性转移（18）将是严格负的。因此，在这种情况下，（16）中的偿付能力缺口是正确的概念，而不是最优性转移。示例7。假设X和Z在gX（X）和gZ（Z）的分布相同的意义上相似，但gX（Z）和gX（X）的分布不相同。在这种情况下，对于任何法律不变的风险度量ρ，例如VaRpor ESp，我们都有ρ（gX（X））=ρ（gZ（Z）），但ρ（gX（Z））>ρ（gZ（Z））=ρ（gX（X）），因为gXis通常对Z不是最优的。很明显，solvencygap（16）是严格正的，最优性转移（18）消失。在这种情况下，监管机构担心模型不确定性的破产问题。实际上，真实风险值ρ（gX（Z））大于感知风险值ρ（gX（X）），这意味着偿付能力资本不足。然而，请注意，ρ（gZ（Z））和ρ（gX（X））之间没有间隙。因此，同样在这里，偿付能力缺口是研究的正确概念，而不是最优性转移。备注2。

在下面的几句话中，我们提供了关于我们针对优化的鲁棒性公式的各种其他有趣的评论。1、三角不等式。注意三角不等式|ρ（gX（Z））- ρ（gX（X））| 6 |ρ（gX（Z））- ρ（gZ（Z））|+|ρ（gZ（Z））- ρ（gX（X））|。这个不等式表明，如果（18）中的最优性转移和（17）中的最优性差距都收敛到0，则为Z→ π中的X，那么我们的偿付能力差距收敛到0，从而对优化具有鲁棒性。然而，相反的情况并不成立，如例6所示，在例6中，稳健性总是有保证的，因为Xis的优化器可以完全清算资产，尽管最优性转移不是零。因此，针对优化的鲁棒性研究并不等同于对最优换档和稳定性的综合研究。换言之，最优性缺口和最优性转移的连续性是有效的，但对于对优化的鲁棒性来说并不是必要的。2、制定稳健性的替代方法。有一些替代方法可以在定义2中表述稳健性的概念。我们讨论了它们，并解释了我们公式的优点。（a） 人们可以在概率分布集上使用不确定性，而不是在随机向量集上使用不确定性。考虑随机向量的误判而非其分布有一些优点。首先，我们的框架是通用的，即对法律不变的风险度量或效用函数没有限制。对于本文研究的稳健性概念，无需指定概率度量（非法律不变风险度量包括芝加哥商品交易所使用的保证金要求风险度量；参见McNeil等人（2015年，第2.3节））。

其次，我们的框架是灵活的，因为我们可以很容易地纳入我们感谢一位匿名仲裁人对这些问题的讨论，特别是通过三角不等式指出我们的概念与经典概念的关系。使用分布集上的度量（这是随机变量集上的伪度量）来错误指定分布。第三，在证明第4节和第5节中关于风险度量的稳健性和非稳健性的论文中的几个结果时，我们需要获得几乎确定意义上的等式（ω-态等式），以定位g的唯一形式。（b）定义2的另一种替代方法是要求所有而不是一个优化函数gXto满足Z 7的π-连续性→ ρ（gX（Z））在Z=X时。这一要求将比当前定义2更强。对于我们的主要结果，定理1，说明VaR通常不稳健，定义2中的当前公式给出了astronger结果。此外，要求所有优化函数的连续性可能导致病理陈述。例如，假设gX∈ G是ES（或任何其他风险度量）和X的连续优化函数∈ 五十、 如果将gXon修改为一组uX-measure零（如一组有理数），则得到的函数仍然是最优的，但稳健性失败，这是正确的。3、限制。本文研究的抗优化鲁棒性是一个理想的鲁棒性概念，但它应该被视为是在优化环境中使用的一个良好风险度量的必要条件，但通常不是有效条件。例如，即使gX（Z）在Z=X时是连续的，模型中的小规模扰动可能会导致实际例子中风险评估的巨大变化，因为我们的概念没有量化风险值的敏感性，这将是未来的研究方向。4、随机过程优化。

可以考虑连续时间模型，其中优化器是在一组随机过程中选择的（例如，可接受的交易策略）。我们的框架和讨论可以扩展到这些问题，只要优化器是随机源X的函数，无论是有限维的还是有限维的。事实上，在许多经典金融模型中，连续时间优化问题（如上面的对冲示例）可以通过鞅方法转化为单周期优化问题，因为我们可以看到示例4.9与分布式鲁棒优化的联系我们在分布式鲁棒优化的背景下讨论了我们的鲁棒性概念，从而得出本文的结论。我们在第4节中的结果表明，VaR通常不适用于（8）。在分布稳健优化的经典设置中（例如Quaranta和Zaffaroni（2008）、Zhu和Fukushima（2009）、Blanchet和Murthy（2019）），目标函数本身在一组表示不确定性的可能模型的最坏情况下进行评估。通过取目标的最坏情况值，将模型不确定性纳入优化问题。Hu和Hong（2013年）以及Zymler等人（2013年）也给出了最坏情况下VaR和ES的其他相关结果。我们想知道，采取这种方法是否会提高针对风险措施优化的稳健性。为了从数学上表述这种考虑，设ρ为不确定性三元组（G，Z，π）和X的相容目标泛函∈ Z、 我们研究以下优化问题，这是（1）的稳健版本，以最小化：supπ（Y，X）6ερ（g（Y）），受g∈ G、 （19）其中ε>0。用GX（ρ，ε）表示函数集g∈ G最小化（19）。显然，如果weallowε=0 in（19），那么GX（ρ，0）=GX（ρ），我们回到了第2节的设置。

在问题（19）中，投资者对风险头寸g（Z）的风险度量值ρ（g（Z））感兴趣，其中Z是不可知的真实模型。因此，与定义2类似，我们认为，如果存在sGx，目标函数ρ对设置（19）的优化具有鲁棒性∈ GX（ρ，ε），使得函数Z 7→ ρ（gX（Z））在Z=X时是π-连续的。不幸的是，即使对于第3节中的代表性设置以及VaR和凸风险度量的情况，极大极小问题（19）也不容易解析求解。通常，必须对此类问题应用线性规划方法。由于凸风险度量在第5节中已经被证明是一般稳健的，其分布稳健版本也是一般稳健的；因此，我们将重点放在VaR在这种情况下是否变得更加稳健的问题上。我们在本节中的结果应该被理解为探索性的，而不是决定性的。为了获得分析结果，我们研究了（8）的一个简单的一维情况，通过lettingG={g∈ G： 0 6 G 6 m，E[γ（X）G（X）]>X}，（20），其中X和m是满足0 6 X<mE[γ（X）]的两个常数。我们选择（Z，π）=（L∞, π∞)并将优化问题转化为最小化：supπ∞g上的（Y，X）6εVaRp（g（Y））∈ G、 （21）与第4节类似，用q表示（21）的最小值，即q=inf（supπ∞（Y，X）6εVaRp（g（Y））：0 6 g 6 m，E[γ（X）g（X）]>X）。我们作出以下更有力的假设。假设D。q>0，1/2 6 p<1，X在其支撑上的密度递减，γ是X的递增函数。幸运的是，通过假设D，我们能够获得问题（21）的解的显式形式，使我们能够将相应的鲁棒性属性与我们在第4节中获得的结果进行比较。提案5。对于（20）中的G，在假设D下，问题（21）允许一个解，即mgx（x）=m1{x>c+ε}+q1{x6c+ε}，x∈ R、 其中c=VaRp（X）。

（22）对于解决方案gXin命题5，第3节中提到的VaR的连续性意味着映射Z 7→ VaRp（gX（Z））为π∞-在Z=X时连续。因此，VARPI对设置的优化具有鲁棒性（19）。这一观察结果与定理1形成鲜明对比，在定理1中，我们看到VaRpis对（G，L）不鲁棒∞, π∞) 在一些非常弱的假设下（这不符合假设D）。因此，至少对于特殊设置（19），修改后的优化问题（21）提高了VaR的稳健性。目前尚不清楚如何将此结果推广到其他优化问题，因为（19）的分析结果很少可用。虽然VaRpbecomes在设置（21）中很稳健，但它的优化函数采用了与命题3相似的形式，即一个跳跃分布和一个小概率的大损失分布。由于（22）中gX（X）的分布在其（p+ε）-分位数处有跳跃，这种类型的优化函数非常不可取，如果ε很小，则会受到相当大的模型不确定性的影响；参见第8节中的讨论。确认。作者感谢拉玛·康特、邓晓雪、保罗·格拉斯曼、李元林、马塞尔·纳茨和菲利普·普洛特对该论文早期版本的深刻评论。特别是，PaulGlasserman提出了术语“针对优化的鲁棒性”。RWA感谢加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC，RGPIN-2018-03823，RGPAS-2018-522590）和精算师学会精算卓越中心研究基金的财政支持。γ作为X函数的单调性具有简单的经济意义。回想一下，X表示资产的损失。因此，假设D要求当资产损失较大时，定价密度较大。

Arrow-Debreu（Arrow and Debreu（1954））概念中的经典平衡模型满足了这一要求。定理和命题的证明。1第2节命题1的证明。它需要显示函数Z 7→ ρ（g（Z））是π-连续的。Bydefinition，对于任何X、Y∈ Z、 πg（Z）（g（X），g（Y））=π（X，Y）。因此ρ的πg（Z）-连续性与函数Z 7的π-连续性等价→ ρ（g（Z））。命题2的证明。（i） 这需要证明，作为k→ ∞, Xk公司→ X英寸π∞nimplies thatg（Xk）→ g（X）inπ∞. 这是海涅-康托定理的直接结果（见Rudin（1976）的定理4.19）。（二）Xk→ X w.r.t.πqn乘以{| Xk | q}k∈Nis一致可积且Xk→ Xin概率。根据连续映射定理，g（Xk）→ g（X）不可能性。此外，对于非常大的c，Eh | g（Xk）| q{| g（Xk）|>c}i6 CqEh | Xk | q{| Xk |>c/c}i。因此，（| g（Xk）| q）是一致可积的，反过来，g（Xk）→ g（X）w.r.t.πq.（iii）可以证明，作为k→ ∞, Xk公司→ πwn中的X表示g（Xk）→ 这是连续映射定理的直接结果。A、 第4节中的2个证明由于γ的重新缩放不会改变优化问题（8），我们将在第4-6节中所有结果的证明中安全地假设[γ（X）]=1。定理1的证明。在下面的内容中，RNA上函数的等式和不等式几乎可以肯定地理解为关于uX的等式和不等式，而这些函数的基本上界和期望值则取在uX下（我们使用EXPRE强调关于uX的期望值）。如果极小化子集GX（ρ）为空，则没有任何显示。假设gX∈ G是问题（1）的极小值。我们将显示Z 7→ ρ（gX（Z））在X处不能连续，这在定理中给出了陈述。我们首先表明预算约束总是有约束力的，即对于任何优化器gXto（1），EX[γgX]=xf。

（A.1）假设EX[γgX]>xf为矛盾。用ε=EX[γgX]表示- x、 v=ess sup（v），并设gX=（gX- ε) ∨ v、 由于v 6 gX6 w和EX[γgX]>EX[γgX]- ε=x，我们有gX∈ G、 此外，由于v<VaRp（gX（X）），根据假设v，我们得到VaRp（gX（X））6 VaRp（（gX（X）- ε) ∨ v） =VaRp（gX（X）- ε) ∨ v=（VaRp（gX（X））- ε) ∨ v<VaRp（gX（X））。这与gX的最优性相矛盾。因此，（A.1）成立。考虑概率空间（Rn，B（Rn），uX），其中B（Rn）是Borelσ场。继Wang和Zitikis（2020）之后∈ B（Rn）被称为可测量函数的p尾事件h:Rn→ R和p∈ （0，1），如果uX（A）=1-对于ux-a.e.x，p和h（x）>h（x）∈ A和x∈ Ac.Wang和Zitikis（2020）的引理A.3暗示了尾事件在任何无原子概率空间中的存在，并指出假设G保证（Rn，B（Rn），uX）是无原子概率空间。设A是gXso的p尾事件，p（X∈ A） =uX（A）=1- p、 根据VARP的定义，我们有VARP（gX（X））=ess sup（gX | Ac），（A.2），其中ess sup（gX | Ac）是Ac上gXconditional的基本上确界（相对于uX）。定义函数^g=gXAc+w1A。很明显，^g>gX。此外，由于^g和Gxonlydifer对尾部事件A的影响，（A.2）意味着VaRp（^g（X））=VaRp（gX（X））。因此，^g也是（1）的胺化剂。注意，如果^g 6=gX，那么我们有EX[γ^g]>EX[γgX]=x。通过（A.1），预算约束总是有约束力的，我们得出结论，^g=gX。因此，gXA=w1A。接下来，通过矛盾的方式假设gX（X）的分位数函数是连续的atp。如果w的p尾事件Aof是uX-a.s.等于a，那么我们有，使用gXA=w1A=w1A，VaRp（w（X））6 limq↓pVaRq（w（X））=limq↓pVaRq（gX（X））=VaRp（gX（X）），与假设V中的VaRp（gX（X））<VaRp（w（X））相矛盾。因此，任何p尾事件Aofw都满足A6=a。