风险度量优化的稳健性

我们强调，在这种情况下，VaR的优化仍然存在问题：需要在Gw中搜索与不连续函数gX非常接近的函数，因此其稳定性仍然很弱。接下来，我们考虑一维设置（9），它对应于v（x）=0和w（x）=x。用q表示：=VaRp（x；G）ρ=VaRp的（9）的最小值，并且我们通过假设v得到q>0。下一个命题给出了（9）的显式解，在进一步的小条件下，即（x- q） γ（X）具有唯一的p-分位数。提案3。让p∈ （0，1），ρ=VaRpand Y=（X- q） γ（X）。假设假设Gand V成立，E[γ（X）X]<∞, P（Y 6 VaRp（Y））=P。问题（9）允许uX-a.s.唯一解，其形式为gx（X）=x1{（X-q） γ（x）>c}+（x∧ q） 1{（x-q） γ（x）6c}，（10），其中c=VaRp（Y）。此外，pES1-p(-Y+=x- E[γ（X）X]。（11） 因为Y+=γ（X）（X- q） +，则（11）的左侧是q的增函数，因此可以通过求解（11）来数值计算q值。第7节包含命题3.5中问题设置的模拟研究两类凸风险度量的稳健性在本节中，我们获得了两类重要凸风险度量的正稳健性结果，即分歧风险度量和基于效用的短缺风险度量。第一类风险度量（有时也称为优化确定性等价物）将预期短缺作为一个重要的特例。第二类包括预期目标。两个类别在熵风险度量上相交，这也可以在我们随后的第6节的设置中处理，我们将分析预期效用/预期损失的稳健性。我们继续研究优化问题（8）。为了建立本节中的结果，对γ、v和w进行了以下简单的正则性条件。假设P。

价格密度γ：Rn→ (0, ∞) 为uX-a.e.连续，γ（X）具有连续密度。假设R。函数v和w是uX-a.e.连续的。此外-∞ 6 E[γ（X）v（X）]6x6 E[γ（X）w（X）]6 E[|γ（X）w（X）|]<∞.我们考虑一个凸风险测度，即函数ρ：L→ R∪ {+∞} 满足单调性、现金不变性和凸性（参见F¨ollmer and Schied（2016）第4章）。Let^1：R→ [0, +∞] 是一个适当的闭凸函数，其有效域是端点a<b的区间。此外，我们假设a<1<b，并且0=Д（1）=minxД（x）。那么φ-概率测度Q相对于P isIφ（Q | P）的散度：=Z^1dQdPdP if Q P+∞ 否则（12） 相应的分歧风险度量定义为ρ（Y）：=supQP等式[Y]- IИ（Q | P）, Y∈ L∞. （13） 如果Д（x）=x log x-x+1，则IИ（Q | P）是Q相对于P的相对熵，或Kullback–Leibler散度，ρ是熵风险度量。如果Д=∞·1[1/(1-p） ，则，∞)对于一些p∈ [0，1），则ρ是预期短缺，尤其是定理2。除了假设G、P和R之外，我们假设v和w有界。然后，分歧风险度量ρ对X的优化具有鲁棒性∈ Lnfor（G，Ln，πWn）。定理2的证明依赖于Ben Tal和Teboulle（19872007）的对偶公式，对于一般的散度风险度量，该公式仅建立在L上∞. 这就是在定理2中假设v和w有界的原因之一。然而，通过施加适当的增长条件来放松它们的有界性是可能的，前提是前面的任意性公式扩展到Lp（或者更一般地，扩展到某个Orlicz空间）。一个可能出现这种情况的重要特殊情况是预期短缺，特别是回想一下，预期短缺有以下表示（例如，McNeil et al。

（2015，定理8.14）），对于Y∈ 五十、 ESp（Y）=1- pZpF-1Y（s）ds=supnEQ[Y]：Q P和DQDP1- 采购订单。（14） 请注意，如果Y，则右侧表示与（13）一致∈ L∞和Д=∞ · 1[1/(1-p） ，则，∞).我们会说函数f:Rk→ R具有增长指数q∈ [0, ∞], 如果f在q=∞ 如果是q<∞ 存在一个常数c，使得x的| f（x）| 6 c（1+| x | q）∈ Rk。推论1。除了假设G、P和R之外，我们还假设v和w都有增长指数q∈ [1, ∞]. 然后，预计短缺，ESp，p∈ （0，1），对优化atX具有鲁棒性∈ LqnN（G，Lqn，πqn）。比较定理1和推论1，我们发现ES在对优化的鲁棒性方面明显优于VaR。请注意，第4节中的假设G和V以及本节中的假设P和R都是简单的正则性条件，它们对于实际模型是现实的。因此，我们可以有把握地说，对于问题（8），VaR通常对优化不具有鲁棒性，而ES通常对优化具有鲁棒性。在定理1-2和推论1中，我们假设w是有限的，因此优化问题（8）中的容许位置有一个上界。对于无界问题（w=∞ 和v=-∞), 其在附录A.6中给出。现在，我们来分析F¨ollmer和Schied（2002）引入的基于效用的短缺风险度量的稳健性。为此，让“：R”→ R是一个非常数的、递增的、凸的损失函数，xbe是`范围内的一个内点。相应的基于效用的短缺风险度量由ρ（Y）=inf给出m级∈ R:E[`（Y- m） ]6 x, Y∈ L∞.定理3。

除了假设G、P和R之外，我们还假设v和w是有界的。然后，基于效用的短缺风险度量ρ对X处的优化具有鲁棒性∈ Lnfor（G，Ln，πWn）。基于效用的短缺风险度量的一个显著特例是Y的期望值∈ Latlevelτ∈ [0，1]，定义为方程τE[（Y）]的唯一解- z） +]=（1- τ） E[（Y- z）-].期望值由Newey和Powell（1987）提出，最近在关于回溯测试风险估计的讨论中得到了关注。如练习4.9.2所述。（b） ofF–ollmer和Schied（2016），代表Y∈ L∞和τ∈ （1/2，1），预期值等于损失函数`（x）=τx的基于效用的短缺风险+- (1 - τ） x个-. 对于F¨ollmer and Schied（2016）中注释不同符号约定的特殊情况。expectile，下面的推论通过更一般的growthcondition放松了有界条件，就像我们对推论1中的预期短缺所做的那样。推论2。除了假设G、P和R之外，我们还假设v和w都有增长指数q∈ [1, ∞]. 然后是τ级的期望值∈ （1/2，1）对优化atX具有鲁棒性∈ LqnN（G，Lqn，πqn）。备注1。本节给出的结果依赖于获得g上ρ（g（X））最小化问题的具体解决方案∈ G、 对于常数约束函数v和w以及一致风险测度ρ，该问题可以表述为一个复合假设检验问题，并且存在大量相应的文献；例如，参见第3.5节、第8.3节以及F¨ollmer和Schied（2016）中相应的书目注释，以获取摘要。对于非恒定约束函数的情况，得到的结果要少得多，可用的结果往往缺乏一些具体性。一个值得注意的例外是Sekine（2004）在一维环境中求解（9）；见下文提议4。

因此，值得指出的是，我们的证明也为优化问题的解决提供了结构结果。具体而言，在推论1的背景下，我们的证明得出存在一个具有以下两种形式之一的极小值GxThat，其中z*∈ R和c>0是合适的常数：gX（x）=（v（x）∨ z*∧ w（x））1{0<cγ（x）<1}或（v（x）∨ z*∧ w（x））1{cγ（x）>1}+v（x）1{cγ（x）61}此外，在定理2和定理3的设置中，存在一个常数z*使得最小gXis也是预期损失E[`（g（X））的最小值- z*)] 超过g∈ G、 其中`（x）：=supy>0（xy- 定理2的ν（y））。在接下来的第6节中，将讨论最小化该预期损失及其鲁棒性的问题。最后，我们考虑特殊设置（9），它对应于v（x）=0和w（x）=x，对于ρ=ESp，p∈ (0, 1). 该问题有一个基于F¨ollmerand Schied（2016）定理8.26的显式解，这是Sekine（2004）结果的一个轻微推广。提案4。让p∈ （0，1）和ρ=特别是假设P成立，且0 6 x<E[γ（x）x]。存在常数d>0和r>0，使得函数gx（x）=x1{γ（x）>d}+（x∧ r） 1{γ（x）6d}，x∈ R、 （15）解决问题（9）。此外，r是gX（X）的p-分位数。对于给定的X、γ和r，可以通过数值求解方程E[γ（X）gX（X）]=X来计算d作为r的函数。随后，可以通过数值最小化表达式ESp（gX（X）），找到最佳r；关于其在模拟研究中的实现，请参见第7节。6预期效用和损失函数的稳健性预期损失ρ`是一个映射7→ ρ`（Y）=E[`（Y）]，其中`:R→ R是一个非常数、非减量、凸函数。

对于符号变化和常数偏移，通过关系`（x）=，最小化预期损失等同于最大化预期效用-u（b- x） ，其中u是凹效用函数，b是决策者的恒定水平。如第5节所述，我们考虑（7）中的集合G。在预算约束下，最小化预期损失或等效地最大化预期效用的问题由来已久；例如，参见Ekeland和Temam（1976年），或在财务背景下，参见F¨ollmer和Schied（2016年）第3.3节。在现有结果中，损失函数通常被认为是连续可微的，并且通常要求严格凸，以满足INDA条件（例如，F¨ollmer和Schied（2016，p.160））。让我们指出，这里没有强加任何这些假设。这种普遍性水平对我们来说至关重要，因为接下来的定理4构成了第5节结果证明的基础。例如，在推论1中，它将应用于损失函数`（x）=x+=0∨ x、 这显然不满足任何经典要求。在下面的内容中，`+和`-分别是“”的正部分和负部分。定理4。假设假设G、P和R成立。让“+具有增长指数q+∈ [1, ∞]假设w有增长指数p∈ [1, ∞]. 此外，如果`不是从下面起界的，则让`-有增长指数q-∈ [0，1]并假设v的增长指数r满足r<∞ 国际单项体育联合会-= 0和r 6 pq+/q-否则然后，预期损失ρ`对优化atX具有鲁棒性∈ Lpq+n（G，Lpq+n，πpq+n）。如果`从下面有界，我们的假设允许我们取v≡ -∞, 在这种情况下，下限无关紧要。

另一方面，如果v和w都有界，那么期望损失ρ`在X处是稳健的∈ Lnfor（G，Ln，πWn）。定理4表明，在温和的正则性条件下，预期损失或预期效用的优化通常也是破产的。这类似于凸风险度量的优化（定理2和3），与VaR的优化（定理1）形成鲜明对比。7模拟结果在本节中，我们根据问题（9）的命题3和4中得到的公式，通过数值模拟，说明了ES和VaR对优化的鲁棒性和非鲁棒性。在我们的设置中，真实风险因子Z要么是指数分布，要么是带有未知参数θ的帕累托分布。投资者获得θ的估计值bθ，并考虑相应的模型X。然后，投资者在满足不等式0 6 g（X）6 X和预算约束[γ（X）]>X的所有可测函数g类中最小化ρ（g（X））。我们同时考虑ρ=VaR0.99和ρ=ES0.975，其中根据巴塞尔协议III的规定（BCBS（2016））分别选择0.99和0.975级。为了简单起见，我们让γ（x）=x；这种选择允许我们以闭合形式计算多个辅助量，从而减少数值误差的可能影响。在图1中，我们已经看到，在帕累托分布风险的情况下，只要模型分布低估了Z的尾部风险概率，真实风险VaR0.99（gX（Z））就远远大于建模风险VaR0.99（gX（X））。图2建立了指数分布风险的相同影响，从而表明轻尾风险的问题仍然存在。取bθ=1，我们特别观察到VaR0.99（gX（X））=0.7720，但如果Z~ Exp（0.999）。请注意，参数Bθ中0.1%的估计误差会导致评估风险几乎增加500%。

事实上，图2还表明，当θ<bθ时，优化VaR的任何好处都会消失，因为此时VaR0.99（gX（Z））与未优化头寸的风险VaR0.99（Z）相似。与此形成鲜明对比的是，对于θ，ES0.975（gX（Z））范围在窄区间[1.14619，1.15216]内∈ [0.1, 1.5]. 也就是说，只要真实值θ在估计值bθ的±50%范围内，真实风险ES0.975（gX（Z））与模型值ES0.975（gX（X））的偏差仅为0.5%。在整个θ-值区间内，与非优化头寸的ES相比，优化头寸gX（Z）可大幅降低风险，ES0.975（X）=4.6889。当风险度量与统计估计相结合时，风险度量的稳健性变得非常重要。这一观察结果是对各种风险措施的可靠性进行比较讨论的核心；例如，见Cont等人（2010年）。在下面的数值实验中，我们将说明优化对鲁棒性的影响。为此，我们通过允许对参数θ进行统计估计来完善上述设置。也就是说，我们生成Z的n个iid实现，并根据这些实现计算最大似然估计bθ。根据Bθ的估计值，我们计算优化函数Gx，参数θ>0的指数（θ）分布函数F指定为F（x）=1- e-θx，x>0。自ES0.975（Z）起≈ VaR0.99（Z）对于Li和Wang（2019）研究的所有θ>0，我们没有在图2.0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.42468101214θ中包括ES0.975（Z）的曲线图。图2：如果Z与参数θ呈指数分布，则该曲线图显示ρ=VaR0.99（实心）和ρ=ES0.975（虚线）的ρ（gX（Z））。我们假设X具有参数bθ=1的指数分布。

灰色虚线对应于未优化位置的VaR，VaR0.99（Z），与θ<bθ的VaR0.99（gX（Z））一致。然后将真实风险值ρ（gX（Z））与感知风险值ρ（gX（X））进行比较。对于每个n，我们重复此过程10000次，并计算均方误差，即|ρ（gX（Z））的平均值- ρ（gX（X））|，所有10000个采样点。随着z的iid实现数n的增加，估计值bθ变得越来越精确，我们可以预期风险差异的均方误差会减少；这确实适用于ES，但不适用于VaR，因为VaR对优化不具有鲁棒性。图3显示了在帕累托分布风险的情况下，作为n函数的相应均方误差。图4显示了指数分布风险的类似计算。这两个数据都表明，ES的表现大大优于VaR.8的讨论和Remarks 8.1我们的结果对监管风险度量的影响在银行业和保险业，VaR和ES是偿付能力资本计算的竞争监管风险度量；例如，参见巴塞尔银行监管委员会的BCBS（2016）和国际保险监管协会的IAIS（2014）。在本文中，使用鲁棒性的新概念，我们看到对于优化问题（8），VaR通常不鲁棒，而ES是。这为ES在优化问题中的应用提供了强有力的支持，此外，ES的凸性在文献中得到了很好的认可。

这些结果从新的理论角度进一步支持BCBS（2016）从VaR到ES的转变。50 100 150 2001.01.11.21.31.41.51.650 100 150 2000.10.20.30.4图3：ρ（gX（Z））和ρ（gX（X））的10000个独立样本点的均方误差，每个点都有一个最大似然估计量Bθ，该估计量是根据帕累托（5）分布风险因子Z的n iid实现计算得出的。横轴显示了数字n。ρ=VaR0.99的情况可以在左侧找到，ρ=ES0.975的情况在右侧找到。顶部的两个面板绘制均方误差（原始值），底部的面板对应于它们的对数变换。我们对VaR vs.ES问题的观察结果可以直观地解释。从定理1的证明来看，VaR优化头寸总是在p-分位数水平上跳跃，优化头寸可以粗略地解释为一个投资组合，表现出极低的概率的巨大损失（例如，出售大量的无本金看涨期权）。这反映了许多学者和监管者已经指出的“VaR不能捕捉尾部风险”的事实（参见Dan elsson et al.（2001）、Embrechts et al.（2014）、Emmer et al.（2015）和BCBS（2016））。如果在这个p分位数水平周围存在模型不确定性，即使很小，也完全会影响位置的最优性。这可以解释许多大型银行在2008年金融危机之前投资策略（基于对小违约概率的信念）失败的原因；例如，见Acharya等人（2010年）关于这一问题的报告。