风险度量优化的稳健性

由于两个集合具有相同的概率，集合C：=A\\A必须是α：=uX（C）∈ (0, 1 - p] 。写入a=VaRp（gX（X））和b=VaRp（w（X））。对于每个δ∈ （0，α），设Cδ是C的子集，使得uX（Cδ）=δ，aδ是gX的（p+δ）-尾事件，Bδ：=a \\ aδ。注意，自C以来，Cδ上的w>频带gX6 a A\\A.因此，w- gX>b- Cδ上的a>0。此外，Cδ∩ Bδ=.由于γ>0，uX（γ>ε）→ 1为ε↓ 因此，我们可以自由选择Cδ，使得对于每个δ，γ在Cδ上远离0∈ (0, α). 由于γ是从上面有界的，我们可以让`，ube两个常数，使得Cα/2上的0<`<γ，和γ<u<∞ 关于Bα/2。设gδ=a1Bδ+w1Cδ+gX（1- 1Bδ∪Cδ）。换言之，gδ是通过在概率δ的集合Bδ上减小gXto a的值，并在集合Cδ上增大其值到w也就是在概率δ上获得的。很明显，v 6 gδ6 w。注意交流上的gX6 a，这意味着交流上的gδ6 a\\Cδ。此外，gδ6 a在Bδ上。因此，P（gδ（X）6 a）>uX（Bδ）+uX（Ac\\Cδ）=1- p、 这使得VaRp（gδ（X））为6 a。由于gX（X）的分位数在p处是连续的，因此存在δ∈ （0，α/2）使得| gX- a |<（b- a） `/u在Bδ上。把上述观察结果放在一起，我们得到了[γgδ]- E[γgX]=E[γ（gδ- gX）1Cδ]- E[γ（gX- gδ）1Bδ]>（b- a） E[γ1Cδ]-`u（b- a） E[γ1Bδ]>（b- a） `δ-`u（b- a） uδ>0。VaRp（gδ（X））6 a=VaRp（gX（X））和EX[γgδ]>EX[γgX]=X的事实进一步保证了gδ是（1）的优化器。然而，这与任何优化器（1）都需要满足（A.1）的事实相矛盾。这一矛盾表明了所期望的结论，即gX（X）的量子化函数在p处有一个跳跃。对于ε>0，设aε={X∈ Rn:d（x，A）6ε}，其中d是欧氏距离。为每个人∈~Aε，设fε（y）是一个Borel函数，它将y映射到A中最近的一个点；有关Borel选择器的存在，请参见Jayne和Rogers（1985）。确定随机变量ZεbyZε=fε（X）1{X∈Aε}+X1{X∈Acε}。注意π∞n（Zε，X）6ε。

因此，Zε→ X为ε↓ 0英寸π∞n、 这是我们考虑的最强度量π。此外，通过假设G，X在其支撑上具有正密度，这是一个凸集，这意味着P（Zε∈ A） =P（X∈Aε）>P（X∈ A） =1- p、 还要注意，ifZε∈ A、 然后gX（Z）>limq↓pVaRq（gX（X））。因此，VaRp（gX（Zε））>limq↓pVaRq（gX（X））>VaRp（gX（X）），表明Z 7→ ρ（gX（Z））在X处不是π-连续的。备注3。假设v中的假设ess sup（v）<VaRp（X；G）不是必要的。正如我们从证明中看到的，这个假设被用来表示两个条件。首先，它用于显示（A.1）；i、 例如，预算约束具有约束力。其次，它用于保证v 6 gδ6 wf或δ足够小。这两种情况都是自然的，而且相当脆弱。另一方面，γ在上有界的假设仅用于保证概率为δ的集合Bδ上的某些u＞0的γ＜u↓ 注意，如果gX（X）是连续分布的，那么Bδ的集合是uX-a.s.等于{X∈ Rn:VaRp（gX（X））<gX（X）<VaRp+δ（gX（X））}。因此，在这种情况下，必须假设γ在{x的任何小邻域中从上方有界∈ Rn:gX（x）=VaRp（gX（x））}。这一假设实际上总是令人满意的。需要以下引理来说明命题3。引理A.1。在假设G和V下，问题（9）至少允许一个解。引理A.1的证明。通过dQ/dP=γ确定Q，并让u=Qo 十、-1、集合G是L（u）的一致可积子集。设{gn}n∈Nbe VaRpin G的一个最小化序列。根据Dunford-Pettis和EberleinˇSmulian定理（Dunfordand Schwartz（1958）的定理IV.8.9和V.6.1），存在一个子序列{gnk}k∈n在L（u）中弱收敛于某些函数gX∈ L（u）。由于G在L（u）中是凸的和闭的，我们得到了gX∈ G、 此外，L（u）中的弱收敛清楚地表明gnk（X）定律弱收敛于gX（X）定律。

但VaRpis是一个左手分位数，因此在Towerak收敛方面具有较低的半连续性（例如，参见F¨ollmer and Schied（2016）中的练习a.6.1）。这证明gXis是最优的。命题3的证明。很容易检查VaRp（gX（X））6q。根据引理A.1，问题（9）至少有一个优化器。让g∈ G是（9）的优化器。由于VaRp（g（X））=qand g（X）6 X，我们有，在uX-a.s.的意义上，g（X）6 X1A+（X∧ q） 1Ac，其中A是g（X）的p尾事件。显然，在上述不等式中取一个等式只会增加EX[γg]，同时保持VaRp（g（X））6 q，并且不会影响g的最优性。此外，正如我们在定理1的证明中所看到的，预算约束是有约束力的；这意味着我们不能在保持VaRp（g（X））6 q的同时严格增加EX[γg]。因此，它必须是g（X）=X1A+（X∧ q） 1Ac。注意E[γ（X）g（X）]=E[γ（X）X1A]+E[γ（X）（X∧ q） 1Ac]=E[γ（X）X]- E[γ（X）（X- q） +交流]=E[γ（X）X]- E[Y+Ac]。（A.3）在满足的P（A）=1上最大化上述项- p、 很明显，当Y+在Ac上取其最小值时，e[γ（X）g（X）]达到最大值。换句话说，A是Y+的p-尾事件。此外，通过假设V，我们得到了q<VaRp（X）。因此，A上的Y=Y+>0，并且A也是Y的p尾事件。再次使用预算约束具有约束力这一事实，任何不能在固定VaRp（g（X））=q的情况下最大化EX[γg]的函数g都不能是优化器。由于Y+的p尾事件由p（Y 6 VaRp（Y））=p唯一，我们知道g=gXin（10）是唯一的g，VaRp（g（X））=q，因此EX[γg]=X。因此，g=gXis是（9）的uX-a.s唯一解。最后，我们展示了（11）。由于A是Y+的p尾事件，我们知道Acis A（1- p） -尾部通风口-Y+。此外，我们还有E[-Y+| Ac]=ES1-p(-Wang和Zitikis（2020）的引理A.7中的Y+。

利用预算约束具有约束力的事实和（A.3），我们得到X=E[γ（X）gX（X）]=E[γ（X）X]- E[γ（X）X]+pE[-Y+| Ac]=E[γ（X）X]+pES1-p(-Y+。这给出了所需的等式（11）。A、 3定理2第5节的证明。在第一步中，我们证明了G中存在一个极小值。很明显，G是非空的。设{gn}n∈Nbe G中的一个序列，使得ρ（gn（X））收敛到λ：=infg∈Gρ（G（X））。由于gntakes的值介于v和w之间，标准的Koml'os类型参数（例如，引理1.70 inF¨ollmer和Schied（2016）），允许我们传递到序列{egn}n∈GN的Nof凸组合使得EGnConvergeuX-a.s.到某个函数g。支配收敛产生e[γ（X）g（X）]=limn↑∞E[γ（X）egn（X）]>lim infn↑∞EX[γ（X）gn（X）]>X.（A.4），因此，G延伸到G。ρ的凸性意味着ρ（egn（X））收敛到最小值λ。此外，由于ρ由于（13）而具有Fatou性质，因此我们有ρ（g（X））6lim infnρ（egn（X））。因此gX：=G中的一个极小值。现在我们推导gX的结构。为此，考虑`（x）：=supy>0（xy- ^1（y））。然后`在R上是凸的、非减量的、非恒定的和有限的，因为Д具有超线性增长。此外，Ben-Tal和Teboulle（2007）中的定理4.2（参见Ben-Tal和Teboulle（1987）中的引理1）提供了以下对偶表示，ρ（Y）=infz∈RE[`（Y+z）]- z, Y∈ L∞. （A.5）我们声称实际达到了（A.5）中的上限。要了解原因，请首先注意，我们对Д的假设意味着存在y>1，使得Д（y）<∞, 这意味着对于足够大的x，`的斜率至少为yf。这在所有z的范围内产生了一个上限，该范围对in（A.5）中的最大值有贡献。第二，存在y<1，其中包含Д（y）<∞, 这意味着对于足够大的负x，`的斜率最多为y。这给出了z的下界。

z 7的连续性→ E[`（Y+z）]- z现在同意我们的要求。现在让z*使ρ（gX（X））=E[`（gX（X）+z*)] - z*. 然后，infg∈Gρ（G（X））6 infg∈GE[`（g（X）+z*)] - z*6 E[`（gX（X）+z*)] - z*= infg公司∈Gρ（G（X））。因此，gXminimizes E[`（g（X）+z*)] 超过g∈ G、 因此，我们在定理4（优化预期损失）的背景下，其证明产生了gXas的形式，即E[`（G（X）+z的最小值*)]超过g∈ G、 现在假设Zn∈ Ln是规律收敛于X的随机变量。通过Skorokhod嵌入，我们可以在不损失一般性的情况下假设Zn→ X holdsP-a.s.ρ的稳健性现在与定理4的证明一样，通过使用ρ具有所谓的Lebesgue性质这一事实，这反过来又是F¨ollmer and Schied（2016）练习4.2.3和4.3.4的结果。推论1的证明。首先，通过使用（14）中最右边的表示，当用以下更一般的参数替换（A.4）时，Amimizer GxC的存在可以如定理2的证明所示。我们假设E[γ（X）| w（X）|]是有限产量，且Fatou的柠檬酸盐[γ（X）g（X）]>lim supn↑∞E[γ（X）egn（X）]>lim infn↑∞E[γ（X）gn（X）]>X。接下来，我们将使用identityESp（Y）=minz∈R1.- pE[（Y+z）+]- z, Y∈ 五十、 其中，在z=F时达到最小值-1年（1- p） ；例如，参见F¨ollmer and Schied（2016）中的命题4.51，并注意到其中给出的证明在不修改Y的情况下有效∈ Land不需要假设Y∈ L∞. 因此，我们处于定理2的设置中，本证明的后面部分与该结果完全相同。除此之外，还需要注意的是，在定理3的证明中，ESpis是连续的。让`*（y） ：=supx∈R（xy- `（x） ）是`的芬切尔-勒让德变换。风险度量ρ可以用ρ（Y）=maxQ的形式表示P等式[Y]- infλ>0λx+Eh`*λdQdP我, Y∈ L∞; （A.6）见F¨ollmer and Schied（2016）中的定理4.115。

使用此表示，amimizer gX的存在性∈ G是在定理2的证明中建立的。如F¨ollmer and Schied（2016）中命题4.113的证明开头所示，z*:= ρ（gX（X））是方程E[`（gX（X））的唯一解-z） ]=x。由此可知，gXminimizes E[`（g（x））-z*)] 超过g∈ G、 事实上，假设通过矛盾的方式，有G∈ G，其中E[`（G（X））-z*)] < E[`（gX（X））-z*)]. 那么方程E[`（g（X））的解z=ρ（g（X））- z） ]=X将严格小于z*, 与gX的最佳性相矛盾。定理4的证明由此得出gXas的结构为uX-a.e.连续函数。ρ的稳健性现在与定理4的证明一样，通过使用ρ具有所谓的Lebesgue性质这一事实，这反过来又是F¨ollmer and Schied（2016）中练习4.2.3和命题4.113的结果。推论2的证明。设ρ（Y）表示Y的期望值∈ Land `凸损失函数\'（x）=τx+- (1 - τ） x个-. 我们有`*（y） =0如果1- τ6 y 6τ和`*（y） =+∞ 否则因此，lettingeρ（Y）：=supnEQ[Y]：Q 存在λ>0 s.t.1- τ6λdQdP6τo，Y∈ 五十、 （A.7）恒等式（A.6）得出ρ（Y）=eρ（Y）表示Y∈ L∞. 对于Y∈ 土地n∈ N、 we letYn：=(-n）∨ Y∧ n、 然后我们得到ρ（Yn）=eρ（Yn）。很容易看出ρ（Yn）→ ρ（Y）。此外，这些概率测度Q的密度集 存在λ>0且1- τ6λdQ/dP 6τ在L中有界∞. 因此，Cheridito和Li（2009）中的定理4.2暗示eρ在L上是范数连续的。因此，eρ（Yn）→ eρ（Y），我们得出结论，对于所有Y，eρ（Y）=ρ（Y）∈ 五十、 利用这个恒等式和ρ的范数连续性，ρ的鲁棒性现在如下定理3的证明所示。命题4的证明。结果来自于F¨ollmer和Schied（2016）的定理8.26。

F¨ollmer and Schied（2016）定理8.26的证明中说明了r是gX（X）的p-分位数的事实。A、 第6节定理4的证明中的4个证明。考虑功能`*（z，x）：=supv（x）6y6w（x）yz公司- `（y）, （A.8）y定义∈ R和x∈ 注册护士。让y*（x，z）表示最大最大值。我们一定有*（x，z）=v（x）<==> `-（y） >z代表所有y∈v（x），w（x）,y*（x，z）=w（x）<==> `-（y） 所有y均为6 z∈v（x），w（x）.（A.9）此外`-（y）*（x，z）6 z 6`+（y*（x，z））如果y*（x，z）∈v（x），w（x）（参见F¨ollmer and Schied（2016）中的提案A.9（A））。让I（z）：=inf{y：`-（y） >z}=sup{y：`-（y） 6 z}表示的右连续广义逆函数`-, 因此，我们看到y*（x，z）=后一种情况下的I（z）。总之，我们得到y*（x，z）=v（x）∨ I（z）∧ w（x）。让我们定义（c）（x）：=v（x）∨ I（cγ（x））∧ w（x），x∈ Rn，c∈ R、 （A.10）函数I是非减量的，因此最多有可数目的跳跃，形成uXoγ-1-nullset，由于我们的假设P。由于我们的假设E[γ（X）| w（X）|]<∞, 我们可以应用单调收敛定理，得到函数c 7→ E[γ（X）g（c）（X）]从E[γ（X）w（X）]>xto K连续减小：=E[γ（X）（v（X）∨ I（0）∧ 当CDE从+∞ 到0。让我们首先考虑K<x的情况。在这种情况下，有一些c*> 0，其中E[γ（X）g（c*)（十） ]=X。我们现在显示gX：=g（c*)是最佳的。事实上，从（A.8）和我们对gX的定义来看，很明显，对于任意的g∈ G、 c类*γ（X）gX（X）- `（gX（X））=`*（c）*γ（X），X）>c*γ（X）g（X）- `（g（X））。（A.11）在（A.11）的两边取期望值，并使用E[γ（X）g（X）]>xhence得到E[`（gX（X））]6 E[`（g（X））]，这是期望的最优性。现在让我们来看看K>x的情况。为此，考虑a：=infy`-（y） >0和b：=supy`-（y）∈ [a，∞]. 那么I（z）=-∞ 对于z<a和I（z）=+∞ 对于z>b。

此外，I（a）=limz↓aI（z）是有限的当且仅当`是线性on(-∞, I（a）]，斜率为a。由于K>xcan仅在I（0）为有限时出现，并且我们明显有I（0）6 I（a），因此`在(-∞, I（a）]和I（0）=I（a）。另一方面，On的斜率（I（a），∞) 将大于A。因此，任何函数g∈ G取大于v的值∨具有正uX-概率的I（a）必须是次优的，前提是我们可以解决以下辅助问题：最小化E[`（g（X））]over g∈ GNV 6 g 6 v∨ I（a）∧ 如果A=0，则w和E[γ（X）g（X）]>X.（A.12），因此`为开启状态(-∞, I（a）]，则满足（a.12）中约束的每个g将是最优的。例如，我们可以用gx：=f表示f：=v∨ I（a）∧ w、 （A.13）如果A>0，那么我们让h：=f- v，并将（A.12）中的g替换为f- g、 然后（A.12）等价于辅助问题，最大化g上的E[g（X）]∈ GN0 6 g 6 h和E[γ（X）g（X）]6 K- x、 （A.14）如果K=x，该问题只有平凡解g≡ 0，因此（A.13）显然是uXa。s、 （A.12）的独特解决方案。对于K>x，我们选择c>0，使得E[γ（x）1{γ（x）6c}h（x）]=K- x；这是可能的，因为通过“on”的线性(-∞, I（a）]，我们假设E[`（v（X））]和E[γ（X）| w（X）|]都是有限的，这意味着E[γ（X）1{γ（X）6c}h（X）]是c的有限连续函数∈ R、 现在定义g*:= h1{γ6c}，取任何其他g∈ GN满足（A.14）中的约束条件。那么我们有（γ- c） （g）- g级*) > 0和hence0 6 E[（γ（X））- c） （g（X）- g级*（十） ）]6-cE[克（X）]- E[克]*（十） ].这表明g*求解（A.14）。下面是gx：=f- g级*= （五）∨ I（a）∧ w） 1{γ>c}+v1{γ6c}（A.15）在K>x的情况下解决了我们的原始问题。总之，我们的原始优化问题允许一个具有（A.10）、（A.13）或（A.15）形式之一的解决方案Gx。有了这个最小值，我们现在可以继续验证所断言的健壮性。假设Zk→ Lpq中的X+n。

由于函数v、w和γ是连续的uX-a.e，并且由于I最多有可数的许多不连续，因此我们有`（gX（Zk））→ `（gX（X））在L.此外，|`（gX（Zk））| 6|`-（v（Zk））|+| `+（w（Zk）））| 6 c（1+| Zk | rq-) + c（1+| Zk | pq+）6 c（1+| Zk | pq+）。因此，序列|`（gX（Zk））|是一致可积的，因此E[`（gX（Zk））]→ E[`（gX（X））]。这就是所断言的健壮性。A、 5证明在第9节为了证明命题5，我们需要以下两个引理。在下面的内容中，我们用aε={x表示∈ R：| x- 对于某些y，y | 6ε∈ A} 对于集合A R和ε>0。引理A.2。如果A R要么是紧的，要么是区间，然后是ε∈ B（R）和SUPπ∞（Y，X）6εP（Y∈ A） =P（X∈ Aε）。证据如果A是紧集或区间，那么ε也是紧集或区间，这证明了ε∈ B（R）。接下来，对于任何Y∈ L∞带π∞（Y，X）6ε，条件Y∈ A表示X∈ AεA.s.因此，P（Y∈ A） 6 P（X∈ Aε），导致supπ∞（Y，X）6εP（Y∈ A） 6 P（X∈ Aε）。为了显示不等式的相反方向，必须取Y=fA（X）1{X∈Aε}+X1{X6∈Aε}，其中，对于紧集A，fA（x）是A中x的最近点（精确地说，可以有两个这样的最近点；通过将fA（x）取为两者中的较低者，fAbecomes较低半连续，因此是可测量的）。如果A是非退化区间，我们在区间内部和letfA（x）中确定A点=一∨ （十）- ε） 如果x>sup A，A∧ （x+ε）如果x 6 inf A，则x否则。在这两种情况下，| Y- X | 6ε和P（Y∈ A） =P（X∈ Aε），从而获得所需的结果。引理A.3。设ε>0，p∈ [1/2，1），并假设X满足假设D。如果A R是紧集或满足supπ的区间∞（Y，X）6εP（Y∈ A） 6.1- p、 然后p（X>VaRp（X）+ε）>p（X∈ A） 。证据通过让*= （VaRp（X）+ε，∞), 断言可以重写为P（X∈ A.*) > P（X∈A） 。根据引理A.2，我们有1- p=p（X∈ A.*ε） =supπ∞（Y，X）6εP（Y∈ A.*). （A.16）如果P（X∈ Aε）<1-p、 我们可以放大A得到p（X∈ Aε）=1-p

那么x：=inf（Aε）满足6 VaRp（x），因为P（x 6 x）6 1- P（X∈ Aε）=p。我们分别考虑两种情况。首先，我们假设x>ess infX。根据x的定义，inf（A）=x+ε。因此，（x，x+ε） Aε\\A.还要注意P（X∈ （x，x+ε））>P（x∈（VaRp（X），VaRp（X）+ε），因为X的密度减小，而X的密度为6 VaRp（X）。因此，wehaveP（X∈ A） =P（X∈ Aε）- P（X∈ Aε\\A）6 1- p- P（X∈ （x，x+ε））6 1- p- P（X∈ （VaRp（X），VaRp（X）+ε））=P（X∈ A.*).接下来，我们假设x 6 ess infX。自p起∈ [1/2，1），我们有P（X<VaRp（X）+ε））>P>1- p、 因为p（X∈ Aε）=1- p和x 6 ess infX，存在x∈ （x，VaRp+ε）使得x6∈ Aε。设x=sup{y<x:y∈ Aε}。通过定义Aε和x，我们得到了x- ε>x和（x- ε、 x） Aε\\A.使用与第一种情况类似的参数，我们得到p（X∈ A） =P（X∈ Aε）- P（X∈ Aε\\A）6 1- p- P（X∈ （十）- ε、 x）6 1- p- P（X∈ （VaRp（X），VaRp（X）+ε））=P（X∈ A.*).我们得出结论，在这两种情况下，P（X∈ A.*) > P（X∈ A） 。命题5的证明。回想一下，G由（20）给出，对于任何函数h，EX[h]表示E[h（X）]。取任意g∈ G.用a=supπ表示∞（Y，X）6εVaRp（g（Y）），设h由h（X）=m1{g（X）>a}+a1{g（X）6a}，X给出∈ R、 （A.17）所有Y∈ L∞带π∞（Y，X）6ε，我们有VaRp（g（Y））6 a。因此，P（g（Y）>a）6 1- p、 这意味着VaRp（h（Y））6 a。因此，supπ∞（Y，X）6εVaRp（h（Y））=a。注意h∈ G，因为m>h（x）>G（x）>0，x∈ R、 因此，对于任何g∈ G、 我们可以找到一些∈ G的形式（A.17），即SUPπ∞（Y，X）6εVaRp（h（Y））=supπ∞（Y，X）6εVaRp（g（Y））。因此，需要搜索优化器h∈ 表格G（A.17）。