风险度量优化的稳健性

此外，对于这种h，我们有EX[γh]=mQ（g（X）>a）+aQ（g（X）6 a，其中Q由dQ/dP=γ给出。由于Q定律的内在规律性o 十、-1，对于任何a>a，我们都可以找到一个紧凑的setK {g（X）>a}使得h（X）=m1{X∈K} +a{x∈Kc}满足EX[γh]>EX[γh]>x。自P（Y）以来∈ K） 6 P（g（Y）>a）6 1- p代表所有Y∈ L∞带π∞（Y，X）6ε，我们有supπ∞（Y，X）6εVaRp（h（Y））=a。让我们用K表示所有紧集K的类 R满足P（Y∈ K） 6.1- p代表盟友∈ L∞带π∞（Y，X）6ε。上面的参数表明K不是空的。定义函数hk（x）=m1{x∈K} +aK{x∈Kc}，x∈ R、 （A.18）其中aK∈ R是这样的，EX[γhK]=x。P（x）保证了aKis的存在∈ Kc）>p>0。注意，0<aK<m，因为x<m，q>0。前面的参数表明，构造函数h是有效的*这样e[γh*（十） ]=xandsupπ∞（Y，X）6εVaRp（h*（Y））6 supπ∞（Y，X）6εVaRp（hK（Y））=所有K的aK，（A.19）∈ K我们定义h*byh公司*（x） =m1{x>c+ε}+a*{x6c+ε}，x∈ R、 其中a*6 m表示EX[γh*] = x、 现在让K∈ K，并填写表格（A.18）。我们拿k∈ R使得P（X>k）=P（X∈ K） 。引理A.3给定sp（X>c+ε）>P（X∈ K） =P（X>K），因此K>c+ε。此外，由于γ是X的增函数，因此上哈代-利特尔伍德不等式的形式为F¨ollmer和Schied（2016，定理A.28），yieldsx6 EX[γhK]6 E[γ（X）（m1{X>k}+aK{X6k}）]6 E[γ（X）（m1{X>c+ε}+aK{X6c+ε}）]。我们的条件EX[γh*] = X因此产生aK>a*. 此外，通过构造，supπ∞（Y，X）6εVaRp（h*（Y））=a*和supπ∞（Y，X）6εVaRp（hK（Y））=aK，我们得出结论，（A.19）成立，h*因此是问题（21）的解决方案。A、 6无界条件下VaR和ES的稳健性对于ρ=VaRporρ=ESp，我们考虑最小化无界优化问题：ρ（g（X））服从g∈ Gn，E[γ（X）g（X）]>X，（A.20），其中γ：Rn→ (0, ∞) 和x∈ R、 问题（A.20）对应于w=∞ andv=-∞.提案A.1。

假设X是连续分布的，E[γ（X）]<∞, 和p∈ (0, 1).（i） 对于ρ=VaRp，问题（A.20）没有解。（ii）对于ρ=ESp，当且仅当ESS supγ（X）61时，问题（A.20）允许解- p、 （A.21）此外，如果（A.21）成立，则（A.20）的解由常数函数gX（·）=x给出。用GUB={g表示∈ Gn:E[γ（X）g（X）]>X}。（i） 设A是一个集，使得P（X∈ A） =1- p、 写入λ=E[γ（X）1{X∈A} ]>0。对于d<x，定义函数gd（x）=d+x- dλ{x∈A} ，x∈ 注册护士。很明显，gd（X）∈ Gubbecause E[γ（X）gd（X）]=d+X-dλE[γ（X）1{X∈A} ]=x.另一方面，VaRp（gd（x））=d.让d→ -∞,VaRp（X；Gub）=inf{ρ（VaRp（g（X））：g∈ Gub}=-∞,因此（A.20）没有优化器。（ii）通过ESpin（14）的双重表示，我们得到esp（Y）=supB∈BpE[依据]适用于所有Y∈ 五十、 其中，Bp={B∈ L∞: E[B]=1，0 6 B 61-p} 。如果ess supγ（X）61-p、 然后γ（X）∈ Bp，因此对于任何g∈ Gub，ESp（g（X））>E[γ（X）g（X）]>X。显然，取恒常函数gX（·）=X，我们有gX∈ Guband ESp（gX（X））=X。因此，gXis是问题（a.20）的解决方案。接下来，假设ess supγ（X）>1-p、 用y=E[γ（X）1{γ（X）>1表示-p} ]>0且k=ESp（1{γ（X）>1-p} ）。请注意，k 6 y是因为{γ（X）>1-p}= supB公司∈BpE[B1{γ（X）>1-p} ]1- pE[1{γ（X）>1-p} ]<E[γ（X）1{γ（X）>1-p} 】。对于λ>0，取gλ（x）=λ1{γ（x）>1-p}- λy+x，x∈ 注册护士。很明显，E[γ（X）gλ（X）]=λy- λy+x=x，因此gλ∈ 古布。我们可以计算esp（gλ（X））- E[γ（X）gλ（X）]=λESp{γ（X）>1-p}- y= λ（k- y） 。出租λ→ ∞, we getinf{ESp（g（X））：g∈ Gub}=-∞,因此，问题没有解决方案（A.20）。作为命题a.1的直接结果，对于（Z，π）的任何选择，VaRpis对（Gub，Z，π）的优化都不具有鲁棒性，如果（a.21）成立，则ESpis对（Gub，Z，π）的优化具有鲁棒性。

从证明中可以清楚地看出，X具有连续分布的假设仅用于第（i）部分，并且可以放宽到要求P（X∈ （A）∈ (0, 1 - p） 对于某些事件，A.ReferencesAcharya，V.V.，Cooley，T.和Richardson，M.（2010）。制造业尾部风险：2007-2009年金融危机透视。现出版公司股份有限公司Armstrong，J.和Brigo，D.（2018）。流氓交易者与风险价值和预期缺口的对比。RiskMagazine，2018年4月。Arrow，K.J.（1963年）。不确定性与医疗福利经济学。《美国经济评论》，53（5），941-973。Arrow，K.J.和Debreu，G.（1954年）。竞争经济中均衡的存在。《计量经济学》，22（3），265–290。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。MathematicalFinance，9（3），203–228。BCBS（2016）。标准。市场风险的最低资本要求。2016年1月。巴塞尔银行监管委员会。巴塞尔：国际清算银行。Cheridito，P.和Li，T.（2009）。Orlicz心脏的风险措施。《数学金融》，19（2），189-214。Ben Tal，A.、El Ghaoui，L.和Nemirovski，A.（2009）。稳健优化。普林斯顿大学出版社，新泽西州。Ben Tal，A.和Teboulle，M.（1987年）。基于φ-散度泛函的随机规划中的罚函数与对偶。运筹学数学，12224–240。Ben Tal，A.和Teboulle，M.（2007年）。凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。《数学金融》，17（3），449–476。Bernard，C.、He，X.、Yan，J.A.和Zhou，X.Y.（2015）。秩相关期望效用下的最优保险设计。数学金融，25154–186。Blanchet，J.和Murthy，K.（2019年）。通过最优运输量化分布模型风险。运筹学数学，44（2），565–600。Bonnans，J.F.和Shapiro，A.（2000年）。

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