连续金融市场中的无套利

然后，下列条件是等效的：（a）MLMM存在的充要条件是（3.13）成立。（b） 当且仅当（3.13）和（3.14）保持时，MMM存在。（c） Z是SMD当且仅当（3.14）成立时。当N=1时，我们恢复[42，推论3.4，定理3.6和3.11]。推论3.6表示M（L）MM存在的条件是且仅当M（L）MM存在于所有具有固定制度的市场。我们将在下一节中看到，如果其中一个冻结的市场允许套利，就不可能找到一个商业周期具有马尔可夫动态的风险中性市场。3.2.2. 不存在结构保持的ELMM和EMM。设lsp所有ELMMsQ的集合，使得ξ是不可约的递归Feller–Markov链(Ohm, F、 F，Q），并让Mspbe作为Lsp中所有EMM的集合。本节的主要结果如下：定理3.7。（i） 假设存在一个j∈ J使得（3.15）保持且σ满足J的条件。然后，Lsp=.（ii）假设存在j∈ J使得（3.16）保持且σ满足J的es条件。那么，Msp=.证明：结果来自定理2.3证明中使用的矛盾论证，其中必须使用定理6.1而不是定理5.3。在第4节中，我们表明MLMM的等效变化不会影响马尔可夫链ξ。因此，定理3.7概括了定理3.5.3.2.3。示例：马尔可夫切换CEV模型。我们考虑一种带有马尔可夫切换的CEV模型（见[10]）。取β：J→ (0, ∞) 假设σ（x，j）=xβ（j），（x，j）∈ (0, ∞) ×J.此外，假设b：（0，∞) ×J→ R是局部有界的，因此z∞Zyexp公司(-Rys2b（z，j）z2β（j）dz）s2β（j）dsdy=ZZyexp(-Rys2b（z，j）z2β（j）dz）s2β（j）dsdy=∞对于所有j∈ J、 然后，根据下面的定理6.1，贴现资产价格过程P存在。设Zbe如（3.3）所示，θt=b（St，ξt）σ（St，ξt）。

如果N<∞, 推论3.6显示如下：（a）MLMM存在当且仅当β（j）≥ 1代表所有j∈ J、 （b）当且仅当所有J的β（J）=1时，MMM存在∈ J、 （c）Z是SMD当且仅当β（J）≤ 1代表所有j∈ J、 连续金融市场无套利133.3。相关文献评论。对于连续半鞅市场，SMD、ELMMs和EMM的存在性和不存在性已在[11、17、40、43]中进行了研究。我们对这些作品进行了更详细的评论。在[17，43]中，考虑了一维差异框架。我们讨论了【43】中的结果，并参考【43，备注3.2】对【17】和【43】之间关系的评论。在【43】中，假设价格过程P=（Pt）t∈[0，T]是一个[0，∞)-数值微分Such thattdpt=b（Pt）dt+σ（Pt）dWt，P∈ (0, ∞),式中b：（0，∞) → R和σ：（0，∞) → R{0}是满足1+| b |σ的Borel函数∈ Lloc（（0，∞)),另见【36，定义5.5.20】。在下面，我们假设P不能爆炸为零。在【43】中，还研究了P可以爆炸到零的情况下的概念（NFLVR）和（NFFLVR），并进一步研究了有限时间范围内的d（NFLVR），（NFFLVR）和（NRA）。对于非爆炸性情况，【43】的结果如下：（a）（NFLVR）<=>bσ∈ Lloc（（0，∞)) andRxσ（x）dx=∞, 参见【43，推论3.4】。（b） （NFFLVR）<=>bσ∈ Lloc（（0，∞)) andRxσ（x）dx=R∞xσ（x）dx=∞, 参见【43，定理3.6】。（c） Ifbσ∈ Lloc（（0，∞)), 然后（NRA）<=>R∞xσ（x）dx=∞, 参见【43，定理3.11】。在N=1的情况下应用推论3.14显示了（a）–（c）在对b和σ的更严格的规则性假设下的版本。推论3.14或更一般的定理3.4和3.5的新颖之处在于其适用范围。【11】研究了多维扩散环境。

我们解释了一维变化：假设价格过程P=（Pt）t∈[0，T]是dst=b（St）dt+σ（St）dWt的随机指数，其中b，σ：R→ R是局部有界的Borel函数，因此σ从零开始是局部有界的。在此设置中，[11，命题5.1]表明（NFLVR）始终成立，[11，命题5.2]暗示（NFFLVR）<=> （NRA）<=>R∞dxσ（x）=∞. 在b和σ的规则性假设略有不同的情况下，定理3.1和3.3得出了相同的观察结果。定理3.1和3.3的新颖之处在于不需要微分结构。特别是，系数b和σ可以取决于S或多个风险源的路径。在【11】中，主要兴趣在于多维环境。我们强调有可能将我们的结果扩展到多维框架。条件类型与[11]中的类似。在[40]中，价格p过程p=（Pt）t∈假设[0，T]是St=-α（t，S，X）θtdt+α（t，S，X）dWt，其中X=（Xt）t∈[0，T]是一个连续过程，α和θ是合适的过程，因此积分定义良好，λ\\ P-a.e.α6=0。流程X称为信息流程。该设置与第3.1节中的设置密切相关。设W为维纳测度，νbethe定律-R·θsds+W。文献[40]的主要结果如下：I f a.s.RTθsds<∞, 然后（NFLVR）<=> W~ ν、 见【40，提案2.3】。这一结果与我们的结果非常不同，我们的结果旨在为一大类模型提供易于验证的条件。4、修改最小局部鞅测度在第3.2.1节中，我们在马尔可夫切换框架中证明了最小（局部）鞅测度存在的条件。我们提出以下连续问题：1。MLMM是否会改变马尔可夫链的动力学？2.

是否有可能修改MLMM，使马尔可夫链的动力学以可处理的方式发生变化？在本节中，我们将在独立性假设下，从一般的角度回答这些问题，这一假设在我们的马尔可夫切换框架中是成立的。14 D.CRIENS4.1。鞅问题。为了描述金融市场中的其他风险来源，我们引入了鞅问题。设J为波兰空间，定义D（R+，J）为所有c\'adl\'ag函数R的空间+→ Jand D是坐标过程X=（Xt）t生成的σ-场≥0，即Xt（ω）=ω的ω（t）∈ D（R+，J）和t∈ R+。我们为D（R+，J）配备了S korokhod拓扑，这使得它成为一个抛光空间。众所周知，D是D（R+，J）上的Borelσ场。有关更多详细信息，请参阅[20，30]。让我们做，（点）t≥0be由X引起的过滤，即Dot，σ（Xs，s∈ [0，t]），并设D，（Dt）t≥0为其正确的连续版本，即所有t的Dt、Ts>TDOSF∈ R+。Let（Bn）n∈非空开集在J su ch thatSn中的递增序列∈NBn=Jand定义ρn（ω），inft型∈ R+：ω（t）6∈ Bnorω（t-) 6.∈ Bn公司, ω ∈ D（R+，J），n∈ N.（4.1）由于[20，命题2.1.5]，ρnis a Do停止时间，由于[20，问题4.27]，ρN∞作为n→ ∞. 我们将使用序列（ρn）n∈Nas是我们鞅问题的测试鞅的一个局部化序列。我们确定这个序列，因为对于一些参数，我们需要一个由Do停止时间组成的通用本地化序列。我们的鞅问题的输入数据如下：（i）A集合A C（J，R），其中C（J，R）表示连续函数的空间J→ R、 （ii）地图L:A→ PM，以便所有f∈ A、 t型∈ R+和ω∈ D（R+，J）ZtLf（ω，s）ds<∞,其中PM表示所有D-逐步可测过程的空间。（iii）初始值j∈ J、 （iv）时间范围0<T≤ ∞.我们使用在T=∞ 区间[0，T]用R+表示。定义4.1。

（i） 让(Ohmo、 Fo，Fo，Po）是右连续过滤Fo=（Fot）t的过滤概率空间∈[0，T]，支持c\'adl\'ag，适应的J值过程ξ=（ξT）T∈[0，T]。我们说ξ是鞅问题（a，L，j，T）的一个解过程，如果对于allf∈ A和n∈ N过程mf，N，f（ξ·∧ρn（ξ））- f（ξ）-Z·∧ρn（ξ）Lf（ξ，s）ds（4.2）是鞅，Po（ξ=j）=1，对于所有t∈ [0，T]存在一个常数C=C（f，n，T）>0，因此a.s.sups∈[0，t]| Mf，ns |≤ C、 （ii）如果存在支持解过程的过滤概率空间，我们说鞅问题有解。（iii）如果任意两个解过程（可能定义在不同的过滤概率空间上）的定律（被视为D（R+，J）上的Borel概率测度）重合，我们说鞅问题满足唯一性。（iv）如果所有j∈ 鞅问题（A，L，J，T）有解且满足唯一性，我们称之为鞅问题（A，L，T）适定。鞅问题是由Stroock和Varadhan在一个不同的背景下引入的。文[27]研究了半鞅的鞅问题，文[20]研究了具有波兰状态空间的马尔可夫鞅问题。我们的定义是统一的，因为它处理非马尔可夫过程和波兰状态空间。[20，27，54]中给出的大多数存在和唯一性条件也适用于我们的设置。示例4.2（马尔可夫链的鞅问题）。假设J={1，…，N}与1≤N≤ ∞. 我们为J配备了离散拓扑。设ξ=（ξt）t≥0be a Feller–初始值为j的马尔可夫链∈ J和Q-矩阵Q。根据[46，定理5]，ξ的生成元（L，D（L））由L=Q和D（L）={f给出∈ C（J）：Qf∈ C（J）}，其中C（J）表示所有连续函数J的空间→ 这些都在消失。

根据Dynkin公式（见[47，命题VII.1.6]），过程ξ解决了鞅问题（D（L），L，j，∞) 而且，由于[38，定理3.33]，鞅问题满足唯一性。相反，如果ξ是鞅问题的解过程（L，D（L），j，∞), 其中，如上所述（L，D（L））是费勒过程的生成元，ξ是具有Q矩阵Q的费勒-马尔可夫链，参见【20，定理3.4.2】和【38，定理3.33】。连续金融市场无套利154.2。如何修改MLMM。固定有限时间范围0<T<∞ 然后让(Ohm, F、 F，P）具有右连续和完全过滤的完全过滤概率空间F=（Ft）t∈[0，T]，支持求解过程ξ=（ξT）T∈[0，T]到鞅问题（A，L，j，T）。此外，假设鞅问题（A，L，j，T）满足唯一性。设W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，使得σ（Wt，T∈ [0，T]）和σ（ξT，T∈ [0，T]）是独立的。我们认为W和ξ是影响市场的两个独立风险源。当ξ为Feller–Markov链时，满足独立性假设，见附录引理a.1。在下面的定理中，我们发现了MLMM的一个新特性。也就是说，我们证明了LMM保持了风险源及其法律的独立性。由于M（L）MM等温线用于定价，因此这一观察结果对于分析和数值计算非常重要。我们在第7节中证明了以下定理。定理4.3。设c=（ct）t∈[0，T]是一个实值逐步可测量的过程，因此a.s.ZTCDS<∞和Definez，EZ·csdWs, B、W-Z·csds。进一步假设Z是鞅，鞅问题（a，L，j，T）满足唯一性。通过Radon–Nikodym derivativedQdP，ZT确定Q。

那么，σ（Bt，t∈ [0，T]）和σ（ξT，T∈ [0，T]）是Q-独立的，B是Q-布朗运动，ξ是上鞅问题（a，L，j，T）的解过程(Ohm, F、 F，Q）。让我们概括一下定理4.3的一个重要结果：如果MLMM存在，那么它的密度与定理4.3中的Z类型相同，因此，风险源的联合法则保持不变，因为MLMM的等效变化。特别是，在第2.2节的设置中，这意味着ξ在MLMM更改后保持马尔可夫链。我们进一步询问是否有可能修改MLMM，以使ξ定律能够以可处理的方式受到影响。下一个定理给出了这个问题的答案。Aproof可在第8节中找到。定理4.4。让f∈ A是严格正的，假设过程z，f（ξ）f（j）exp-Z·Lf（ξ，s）f（ξs）ds（4.3）是鞅。刚毛*,g级∈ A：f g∈ A.,安德尔*g、L（fg）- gLff。假设每g∈ A.*和n∈ N存在一个常数C=C（g，N）>0，这样a.s.supt∈[0，T]g（ξt∧ρn（ξ））- g（ξ）-Zt公司∧ρn（ξ）L*g（ξ，s）ds≤ C、 通过Radon–Nikodym derivativedQdP，ZT确定概率度量Q。那么，σ（ξt，t∈[0，T]）和σ（Wt，T∈ [0，T]）是Q-i独立的，W是Q-Brownian运动，ξ是鞅问题（a）的解过程*, L*, j、 T）打开(Ohm, F、 F，Q）。备注4.5。（i） 对于所有ω∈ D（R+，J）和g∈ A.*ZT公司Lf（ω，s）f（ω（s））+L*g（ω，s）ds<∞,因为f和g是连续的，集合{ω（t）：t∈ [0，T]} J相对紧凑，见[20，问题16，第152页]。因此，Z和鞅问题（A*, L*, j、 T）定义明确。（ii）根据[20，推论2.3.3]，过程（4.3）始终是由鞅问题定义的局部鞅。16 D.CRIENSWe解释了定理4.4的一个应用：假设MLMM存在。

然后，利用定理4.4中描述的测度变化，可以进一步改变MLMM，从而使ξ定律受到定理中描述的影响，同时保留价格过程的局部鞅性质。我们强调，通过这种方式，MLMM诱导了一个ELMM家族，该家族通常是有限的。在N<∞ 下面的命题解释了如何改变伐木工人的Q矩阵-马尔可夫链。提案4.6。假设J={1，…，N}，N<∞ andLf（ω，s）=Qf（ω（s）），ω∈ D（R+，J），s∈ R+，对于Q矩阵Q=（qij）i，j∈Jand f公司∈ A，RN。让f∈ (0, ∞)与非A*, L*如定理4.4所示。然后，A*= RNandL公司*f（ω，s）=Q*f（ω（s）），f∈ RN，ω∈ D（R+，J），s∈ R+，表示Q*= （q）*ij）i，j∈Jwithq公司*ij，（qijf（j）f（i），i 6=j，-Pk6=iqikf（k）f（i），i=j。证明：见[45，命题5.1]。下面的定理4.9给出了（4.3）鞅性质的一个有用判据。我们认为这是[5，27，54]结果的延伸。在下面的X=（Xt）t中≥0表示D（R+，J）上的协调过程。定义4.7。刚毛 A称为鞅问题（A，L，∞)如果适用于所有j∈ J D（R+，J）上的Borel概率测度u是马丁格尔问题（a，L，J，∞) 当且仅当对于所有f∈eA和n∈ N过程f（X·∧ρn）- f（X）-Z·∧ρnLf（X，s）ds是一个u-鞅，u（X=j）=1。示例4.8（伐木工人的确定集–马尔可夫链）。设J、A和L如例4.2所示。注意G，（f，Qf）：f∈ A. C（J）×C（J）。由于带有一致度量的C（J）是一个可分度量空间，所以当带有taxicap一致度量时，G是一个可分度量空间。

因此，我们找到了一个可数集a a每个（f，g）的值∈ G存在序列（fn）n∈NeA带KFN- fk公司∞+ kQfn公司- gk公司∞→ 0作为n→ ∞.根据[20，命题4.3.1]，eA是鞅问题（a，L，∞).可在第8节中找到以下定理的证明。定理4.9。设f，A*和L*如定理4.4所示。此外，假设鞅问题（a）存在一个可数判定集*, L*, ∞) 然后呢*g（ξ，t）=Kg（ξt），f∈ A.*, t型∈ R+，其中K映射A*进入Borel函数空间J→ R、 最后，假设鞅问题（A*, L*, ∞) 是适定的，且（ρn（ξ））n∈Nis局部鞅的局部化序列（4.3），见备注4.5。然后，过程（4.3）是鞅。粗略地说，这个定理表明，在马尔可夫条件下，只要鞅问题（A*, L*, ∞) 姿势良好。备注4.10。鞅问题（a）解的存在性*, L*, j、 T）通常是Z的鞅性质所必需的，见定理4.4.5。定理2.1和2.3的证明下一节分为三部分。在第一部分中，我们证明了It^o过程非爆炸的Lyapunov型条件，在第二部分中，我们证明了It^o过程的不存在条件，在第三部分中，我们推导了定理2.1和2.3。连续金融市场无套利175.1。非爆炸标准。在本节中，我们将自己置于第2.1节设置的一个版本中。设I=（l，r）如第2.1节所示，且(Ohm, F） 是支持三个实值过程S=（St）t的可测空间∈[0，T]，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]。前向n∈ N我们定义了一个概率测度Qn和一个右连续Qn完全滤波fn=（Fnt）t∈[0，T]打开(Ohm, F） 使S、b和σFn逐渐可测量。

我们设置τnasin定理2.1，即τn=inf（t∈ [0，T]：St6∈ （ln，rn）），其中lnl，rnr是这样的序列：l<ln+1<ln<rn<rn+1<r。此外，假设Qn-a.s.dSt∧τn=bt{t≤τn}dt+σt{t≤τn}dWnt，S∈ 一、 其中Wn=（Wnt）t∈[0，T]是上的布朗运动(Ohm, F、 Fn，Qn）。这意味着积分定义得很好。我们还假设λ\\ Qn-a.e.所有n的σ6=0∈ N（5.1）和我们fix a Borel函数ζ：[0，T]→ R+使ζ∈ L（[0，T]）。5.1.1. 李雅普诺夫准则。在本节中，我们给出了lim-supn的Lyapunov型条件→∞Qn（τn=∞) = 1.（5.2）对于f∈ C（I，R）具有局部绝对连续导数，众所周知存在λ\\-空集Nf 使得f在I上有一个二阶导数f′。在这种情况下，我们设置lf，f′（S）b+f′（S）1I\\Nf（S）σ。定理5。让V：I→ (0, ∞) 可与局部绝对连续导数区分，如thatlim supn→∞V（ln）∧ V（rn）=∞.（5.3）假设存在λ\\-空集N I使得lv（t）（ω）1I\\N（St（ω））≤ λ的ζ（t）V（St（ω））1I\\N（St（ω））\\ Qn-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, n∈ N、 （5.4）然后，（5.2）保持不变。证明：设Ls为连续Qn半鞅的局部时间·∧τn。占领时间公式得出Qn-a.s.Zτn∧TN（Ss）σsds=2Z∞-∞N（x）LST（x）dx=0，这意味着Qn-a.sλ\\（{t∈ [0，τn∧ T）]：St∈ N} ）=0。我们将在下文中使用这一事实，无需进一步参考。SetUn，exp-Z·∧τnζ（s）dsV（S）·∧τn）。使用It^o公式的广义版本（见[49，引理IV.45.9]），我们得到了过程un+Z·∧τnexp-Zsζ（z）dzζ（s）V（Ss）- 低压（s）dsn是一个局部Qn鞅。我们从（5.4）和非负局部鞅是超鞅这一事实中推导出，Qn-a.s.Un≤ Qn从U=V（S）开始的超级马丁格尔。W、 l.o.g.我们假设S∈ （左，右）。注意，对于所有n∈ N我们有Qn-a.s.sτN∈ {τn上的{ln，rn}≤ T}。