连续金融市场中的无套利

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英文标题：
《No Arbitrage in Continuous Financial Markets》
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作者：
David Criens
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We derive integral tests for the existence and absence of arbitrage in a financial market with one risky asset which is either modeled as stochastic exponential of an Ito process or a positive diffusion with Markov switching. In particular, we derive conditions for the existence of the minimal martingale measure. We also show that for Markov switching models the minimal martingale measure preserves the independence of the noise and we study how the minimal martingale measure can be modified to change the structure of the switching mechanism. Our main mathematical tools are new criteria for the martingale and strict local martingale property of certain stochastic exponentials.
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中文摘要：
我们推导了一个金融市场中存在和不存在套利的积分检验，该金融市场的风险资产要么被建模为Ito过程的随机指数，要么被建模为带有马尔可夫切换的正扩散。特别地，我们得到了最小鞅测度存在的条件。我们还证明了对于马尔可夫切换模型，最小鞅测度保持了噪声的独立性，并研究了如何修改最小鞅测度来改变切换机制的结构。我们的主要数学工具是鞅的新准则和某些随机指数的严格局部鞅性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> No_Arbitrage_in_Continuous_Financial_Markets.pdf (514.55 KB)

2022-6-10 19:57:38 上传

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关键词：金融市场 无套利 Mathematical independence Applications

连续金融市场中的无套利参见CRIENSAbstract。我们推导了金融市场中存在和不存在套利的积分测试，其中一种风险资产被建模为It^操作过程的随机指数，或者是马尔可夫切换的正差异。特别地，我们得到了最小鞅测度存在的条件。我们还表明，对于马尔可夫切换模型，最小鞅测度预先服务于噪声的依赖性，并研究了如何修改最小鞅测度来改变切换机制的结构。我们的主要数学工具是某些随机指数的mart-ingale和严格局部鞅性质的新判据。1、导言无套利是金融数学许多领域的根本利益所在。我们的目标是通过贴现价格过程P=（Pt）t对一种风险资产建模的金融市场进行系统的讨论∈[0，T]，我们假设它是It^o过程的随机指数，即动态Pt=Pt（btdt+σtdWt），（1.1）或是马尔可夫切换的正微分，即动态Pt=b（Pt，ξT）dt+σ（Pt，ξT）dWt，（1.2），其中ξ=（ξT）T∈[0，T]是连续时间马尔可夫链，W=（Wt）T∈[0，T]是布朗运动。对于半鞅市场，无套利的经典概念是Delbaen和Schachermayer[15，16]定义的无消失风险免费午餐（NFLVR）和Sin[52]定义的无消失风险可行免费午餐（NFFLVR）。（NFLVR）和（NFFLVR）之间的差异体现在考克斯和霍布森意义上的金融泡沫概念中【9】。

对于我们的市场来说，众所周知，（NFLVR）等价于等价局部鞅测度（ELMM）的存在，参见【16】，而（NFFLVR）等价于等价鞅测度（EMM）的存在，参见【6、52、55】。Fernholz随机投资组合理论中使用的无套利条件是无相对套利（NRA）。在completemarkets中，Fern holz和Karatzas[21]表明（NRA）等价于严格鞅密度（SMD）的存在。较弱的概念是具有有界风险的无无界利润（NUPBR），已知其等价于严格局部鞅密度（SLMD）的存在，请参见【7】。（NUPBR）被认为是投资组合优化所需的最小概念，参见[35]。本文的第一个发现是对S MD S、ELMMs和EMM是否存在的整体测试。对于（1.1），根据波动系数σ的马尔可夫上限和下限制定测试，对于（1.2），测试取决于x 7→ σ（x，j），j在马氏链ξ的状态空间中。我们结果的主要创新之处在于，它们适用于存在多种风险源的情况。除了马尔可夫转换框架外，这是一个有变化点的扩散模型的例子，它代表了经济形势的变化，例如利率的突然调整或主要金融机构的违约。一般来说，（NFLVR）和/或（NFFLVR）是否适用于具有变化点的amod el的问题很难解决，请参阅[24]了解此方向的一些结果。我们的积分测试提供了易于验证的明确标准。对于马尔可夫切换的许多应用，日期：2020年2月13日。2010年数学学科分类。60G44、60H10、91B70。关键词和短语。

无套利、金融泡沫、最小鞅测度、It^o过程、切换扩散、随机指数。D、 克莱恩斯-慕尼黑技术大学数学系，德国，大卫。criens@tum.de.Acknowledgment：作者感谢裁判的出色报告，这有助于大幅改进文章。此外，他还感谢副主编提出了许多宝贵的建议。2 D.CRIENSmod el（1.2）了解ELMM的变化如何影响马尔科夫链ξ的动力学很重要。作为第二个贡献，我们从通过鞅问题建模的独立风险源的一般角度来研究这个问题。特别是，我们证明了最小局部鞅测度（MLMM），见[25]，保持了风险源的独立性和规律。据我们所知，文献中尚未报道这种性质。本文的第三个贡献是对由It^o过程或切换微分驱动的某些随机指数的鞅性质进行积分测试。这些特征是我们研究无套利的关键工具。我们对相关文献进行了评述。对于连续半鞅模型，Criens【11】、Delbaen和Shirakawa【17】、Lyaso ff【40】和Mijatovi\'c an dUrusov【43】研究了无套利的情况。Criens、Delbaen和Shirakawa、Mijatovi\'c和Urusov证明了SMD、ELMM和EMM在不同框架中存在的完整测试。我们的结果可以看作是It^o过程或马尔可夫交换框架的推广。对于与（1.1）类似的模型，Lyaso Off证明了ELMM的存在是由p rob能力测度与Wiener测度的等价性决定的。这种表征的结构与我们的结果非常不同。

在下面的第3.3节中，我们对[11、17、40、43]中的结果进行了更详细的评论。随机指数的鞅性质正受到频繁的研究。在这一点上，我们提到了布兰切特（Blanchet）和联阵（Ruf）[3]、切里迪托（Cheridito）等人（Cheridito et al）[5]、克莱恩（Criens）[11]和卡尔森（Kallsen）和穆勒（Muhle-Karbe）[34]的文章。Criens使用基于Lyapunov函数和矛盾的参数来验证多维DiffusionSetting中某个随机指数的鞅性质。我们将这些技术转换为通用It^o流程设置。Cheridito等人和Kallsenand Muhle–Karbe通过一种基于【30】中定义的局部唯一性概念的方法，将随机指数的鞅性质与爆炸概率联系起来。这项技术可以追溯到Jacod和M’emin【29】以及Kabanov等人【31，32】的工作。我们对马尔可夫切换设置使用类似的参数。主要困难是爆炸准则和局部唯一性的证明。这两种方法都与Blanchet和Ruf的工作有着密切的关系，后者已经证明了非负局部鞅的鞅性质的紧性准则。例如，李雅普诺夫函数、爆炸和紧密性之间的联系在[12]中进行了解释。让我们也评论一下我们结果的连续问题和扩展：如果贴现价格过程P是一个类型为dpt=btdt+σtdWt的正It^o过程，我们关于随机指数鞅性质的结果可以用来获得与模型（1.2）具有类似结构的无套利的特征。此外，如果Pis是具有马尔可夫切换的离散的随机指数，即dPt=PtdSt，dSt=b（St，ξt）dt+σ（St，ξt）dWt，我们的鞅准则产生了与（1.1）结构类似的无套利条件。询问多维模型也很有趣。

在这种情况下，可以通过本文中使用的类似论点来证明[11]的精神。然而，这些条件非常复杂，难以表述，而且占用了大量空间。因此，我们将自己局限于一维情况。本文的结构如下。在第二节中，我们给出了某些随机指数的鞅和严格局部鞅性质的条件。在第3.1节中，我们研究了模型（1.1），在第3.2节中，我们研究了模型（1.2）。在第4节中，我们说明了MLMM保留了风险源的独立性和法律，并解释了如何修改MLMM以影响其他风险源的法律。其余部分收集了证据。2、随机指数固定有限时间范围0<T<∞ AND出租(Ohm, F、 F，P）是一个完全过滤概率空间，具有右连续和完全过滤F=（Ft）t∈[0，T]。此外，将状态空间i（l，r）与-∞ ≤ l<r≤ +∞.在下面两节中，我们给出了某些随机指数的鞅和严格局部鞅性质的条件。连续金融市场无套利32.1。一般情况。假设S=（St）t∈[0，T]是具有确定性初值S的I值It^o过程∈ I和dynamicdst=btdt+σtdWt，其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]是实值渐进可测过程。b和σ的积分定义得很好，即a.s.ZT，这是合法的|bs |+σsds<∞.我们假设λ\\ P-a.e.σ6=0，后者将对应于我们考虑波动率不为零的资产价格过程的假设。设c=（ct）t∈[0，T]是一个实值逐步可测量的过程，因此a.s.ZTCDS<∞,设N=（Nt）t∈[0，T]是局部鞅，使得a.s。

N≥ -1和[N，W]=0。对于非负局部鞅，EN+Z·csdWs,（2.1）是真实的或严格的局部马尔可夫。这里，E表示随机指数。Z的结构在数学金融中非常重要，因为Z是严格局部鞅密度的原型，见下面的引理3.2。让a，a：我→ (0, ∞), u、 u：我→ R和ζ：[0，T]→ R+be Borel函数，使得a+a+| u |+| u |∈ Lloc（I），ζ∈ L（[0，T]）。如果（f，g）是（u，a），（u，a）。我们设定v（f，g）（x），Zxxexp-Zyx2f（z）dzZyx2 expRux2f（z）dzg（u）dudy，x∈ 一、 （2.2）其中x∈ 我已经确定了。设lnl，rnr为序列，使得l<ln+1<ln<rn<rn+1<r。本节的第一个主要结果如下：定理2.1。假设如下：（M1）序列τn，inf（t∈ [0，T]：St6∈ （ln，rn）），n∈ N、 是Z的本地化序列，即Z·∧τ是每n的鞅∈ N、 我们使用inf() , ∞.（M2）对于λ\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohmσt（ω）≤ ζ（t）a（St（ω）），u（St（ω））σt（ω）≤ bt（ω）+ct（ω）σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≥ bt（ω）+ct（ω）σt（ω）。（M3）limxrv（u，a）（x）=limxlv（u，a）（x）=∞.那么，Z是鞅。第5节给出了这个定理的证明。备注2.2。（M3）与x的选择无关，参见[36，问题5.5.28]。接下来，我们提供了定理2.1的对应项。设H是所有Borel函数H:R的集合+→从零开始的R+严格递增，满足zεdzh（z）=∞ 对于所有ε>0，设K为所有Borel函数的集合κ：R+→ 从零开始的R+，严格递增、凹且满足εdzκ（z）=∞ 对于所有ε>0.4 D的情况，克里恩新情况（f，g）是一对（u，a），（u，a）。

我们认为（f，g）满足山田-渡边（YW）条件，如果每n∈ N存在hn∈ H和κn∈ K这样，对于所有x，y∈ 【ln，rn】| g（x）- g（y）|≤ hn（| x- y |），g（x）f（x）- g（y）f（y）|≤ κn（| x- y |）。本节的第二个主要结果如下：定理2.3。假设以下条件之一：（SL1）对（u，a）满足λ的YW条件\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≤ bt（ω）+ct（ω）σt（ω），（2.3）和limxrv（u，a）（x）<∞ .（SL2）对（u，a）满足λ的YW条件\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≥ bt（ω）+ct（ω）σt（ω），和limxlv（u，a）（x）<∞ .那么，Z是严格局部鞅。第5节给出了这个定理的证明。在下面的第2.3节中，我们对定理2.1和2.3的假设以及相关文献进行了评论。2.2. 马尔可夫切换情况。在本节中，我们考虑第2.1节中设置的一个特例，并假设S是一个切换差异。在详细介绍设置之前，我们先澄清一下术语：如果一个过程是一个马尔可夫链，则称之为Feller–马尔可夫链，而马尔可夫链是一个Feller过程，因为相应的转移半群是连续函数空间上的自映射，在整体上消失。对于暗示马尔可夫链为Feller–Markov的条件，我们参考[2]。同样重要的是要强调，无论何时我们确定了过滤和马尔可夫链，我们都假设马尔可夫链是给定过滤的马尔可夫链。

马尔可夫链的所有未解释终结论，如不可约、循环等，都可以在[44]中找到。我们假设S=（St）t∈[0，T]是一个具有确定性初值的I值It^o过程∈ I和dynamicdst=b（St，ξt）dt+σ（St，ξt）dWt，（2.4），其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，ξ=（ξT）T∈[0，T]是状态空间J，{1，…，N}，1的连续时间不可约Feller-Markov链≤ N≤ ∞, 和确定性初值j∈ J、 和b:I×J→ R和σ：I×J→ R{0}是Borel函数，因此1+| b（·，j）|σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、 （2.5）暗示（2.4）中的积分定义良好。我们允许N=∞ 在这种情况下，J=N。类型（2.4）的过程称为切换差异，J的元素称为状态。设c:I×J→ R是一个Borel函数，使得C（·，j）σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、 （2.6）引理2.4。几乎可以肯定Tc（Ss，ξs）ds<∞.证明：集合F，{ξs:s∈ [0，T]}，m，min∈[0，T]s和M，最大值∈[0，T]Ss。利用ξ仅在有限时间间隔[0，t]内产生无数次跳跃，连续金融市场无套利的占用时间公式5连续半鞅和（2.6），我们得到了a.s.ZTc（Ss，ξs）ds=ZTc（Ss，ξs）σ（Ss，ξs）d[S，S]S≤Xj公司∈FZT公司c（Ss，j）σ（Ss，j）d[S，S]S=Xj∈FZMm公司c（x，j）σ（x，j）2LST（x）dx≤ maxy公司∈[m，m]2LST（y）Xj∈FZMm公司c（x，j）σ（x，j）dx<∞,其中，Ls表示S的本地时间。证明了引理。我们对非负局部鞅的鞅性质感兴趣，EZ·c（Ss，ξs）dWs.对于选择c=c（S，ξ）和N=0，该定义与（3.3）一致。在陈述本节的主要结果之前，我们先确定一些符号。

因为Lloc（I） Lloc（I）、（2.5）和（2.6）表示| b（·，j）+c（·，j）σ（·，j）|σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、 因此，我们可以设置v（x，J），Zxxexp-Zyx2（b+cσ）（z，j）σ（z，j）dzZyx2 expRsx2（b+cσ）（z，j）σ（z，j）dzσ（s，j）dsdyfor（x，j）∈ I×J和a固定x∈ 一、 我们认为σ满足j的Engelbert–Schmidt（es）条件∈ J如果下列条件之一成立：（ES1）对于每个紧集K I有Borel函数f:K→ [0, ∞] 和h:R→ [0, ∞ ]常数c>0，从而满足以下特性：（i）fσ（·，j）∈ L（K）。（ii）对于原始Zudyh（y）=∞.（iii）对于所有x，x+y∈ K、 y型∈ (-c、 c）|σ（x+y，j）- σ（x，j）|≤ f（x）h（y）。（ES2）对于每个紧集K I有Borel函数g:K→ R和h:R→ [0, ∞] 常数c>0表明满足以下特性：（i）g在增加。（ii）对于原始Zudyh（y）=∞.（iii）对于所有x，x+y∈ K、 y型∈ (-c、 c）\\{0}|σ（x+y，j）- σ（x，j）|≤ h（y）| g（x+y）- g（x）| | y |。（四）infx∈Kσ（x，j）>0。我们说，如果马尔可夫链ξ是一个递归马尔可夫链，则当它扩展到有限时间间隔R+时，它是递归的。下面的定理给出了一个几乎完整的答案，当Z是真或严格的局部鞅时。第6.6节D.克里恩定理2.5给出了一个证明。（i） 假设c在i×J的紧子集上有界，σ满足所有J的条件∈ J和thatlimxrv（x，J）=limxlv（x，J）=∞ 对于所有j∈ J、 （2.7）那么，Z是鞅。（ii）假设ξ是循环的，并且存在j∈ J使得σ满足J和limxrv（x，J）<∞ 或limxlv（x，j）<∞.（2.8）那么，Z是严格局部鞅。备注2.6。定理2.5（ii）的证明基于一个矛盾论点。在（2.8）成立且Z是鞅的情况下，存在具有爆炸区域j的I值切换分歧。