连续金融市场中的无套利

对于所有G∈ B（R+）我们有a.s.P（ζ- δ ∈ G | Fδ∧T、 σ（WδT，T∈ R+）=-ZGqjjeqjjxdx。利用（6.7）、单调收敛定理和（6.9），我们得到了0=limn→∞P（τn（X）≤ ζ - δ, ζ ≤ T）=limn→∞P（τn（Fn（Yδ∧T、 Wδ））≤ ζ - δ, ζ - δ + δ ≤ T），利用[33，定理5.4]和L emma 6.4，我们进一步得到=limn→∞ZTP（τn（Fn（Yδ∧T、 Wδ））≤ s、 s+δ≤ T）(-qjj）eqjjsds=limn→∞ZTEP公司P（τn（Fn（Yδ∧T、 Wδ））≤ s | Fδ∧T） 1{s+δ≤T}(-qjj）eqjjsds，由于[33，定理5.4]和Wδ和Fδ的独立性∧T、 等于=limn→∞ZTZ公司OhmP（τn（Fn）（Yδ（ω））∧T（ω，Wδ））≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-最后，利用（6.10）和单调收敛定理，我们得到=limn→∞ZTZ公司OhmP（τn（Yω）≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-qjj）eqjjsds=ZTZOhmP（τ（Yω）≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-qjj）eqjjsds。由于Feller的爆炸试验（见[36，定理5.5.29]），Yω在有限时间内以正概率达到l或r。事实上，因为Yω是正则的，因为[41，命题2.2]，[4，定理1.1]暗示Yω甚至以正概率达到任意快的l或r，即P（τ（Yω）≤ ε） >0对于所有ε>0。因此，IDENTITYZZOhmP（τ（Yω）≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-qjj）eqjjsds=0表示λ\\-a.a.s∈ （0，T）我们有P（δ≤ T- s） =0。然而，因为ξ是不可约的，所以对于所有t>0的情况，P（ξt=j）>0。这是一个矛盾，（ii）的证明是完整的。引理6.2的证明：定义，ζ∧ T- δ ∧ T注意，对于所有t∈ R+{ι≤ t} ={ζ≤ t+δ∧ T}∈ Ft+δ∧T、 26 D.Criens表明ι是一个Fδ停止时间。此外，我们有所有的s，t∈ R+{s∧ ι + δ ∧ T≤ t}={s+δ∧ T≤ t}∩∈Fs+δ∧Tz}|{{s+δ∧ T≤ ζ ∧ T}∪{ζ ∧ T≤ t}∩ {s+δ∧ T>ζ∧ T}|{z}∈Fζ∧T∈ Ft.因此，随机时间s∧ ι + δ ∧ T是F停止时间。我们从经典规则出发，推导出了a.s。

对于所有t∈ R+Yt∧ι+δ∧T=φ+Zt∧ι+δ∧Tu（Ys，ξs）ds+Zt∧ι+δ∧Tσ（Ys，ξs）dWs=Yδ∧T+Ztu（Ys∧ι+δ∧T、 j）1{s≤ι} ds+Ztσ（Ys∧ι+δ∧T、 j）1{s≤ι} dWδs。由于SDE（6.4）满足爆炸前的强存在性和唯一性，引理6.3意味着a.s.Yt∧ι+δ∧T=Xt∧ι对于所有t∈ R+。关于{ζ≤ T} {δ ≤ T}我们有ι=ζ- δ和定理如下。引理6.3的证明：由于局部化，我们可以假设τ是有限的。根据[47，命题V.1.5]和L'evy的表征，过程Cwt，Wt+τ- Wτ，t∈ R+，是（Ft+τ）t≥0-布朗运动。由于强存在唯一性假设，存在一个解过程O=（Ot）t≥0至SDEdOt=u（Ot）dt+v（Ot）dcWt，O=Uτ。我们设置ZT，（Ut，t≤ τ、 加班费-τ、 t>τ。过程Z具有连续路径和定理6.1（i）证明中使用的类似参数，表明它是F自适应的。设θZn，inf（t∈ R+：Zt6∈ （ln，rn））。关于{τ≥ t型∧ θZn}我们有a.s.Zt∧θZn=ψ+Zt∧θZnu（Zs）ds+Zt∧θZnv（Zs）dWs。接下来，我们讨论集合{τ<t上发生了什么∧ θZn}。设置θOn，inf（t∈ R+：Ot6∈ （ln，rn））。在{τ<θZn}上，我们有a.s.θZn=θOn+τ。此外，请注意∧ （θOn+τ）- τ=（θ开，如果θ开+τ≤ t、 t型- τ、 如果t≤ θOn+τ。因此，t∧ （θOn+τ）- τ ≤ θ打开。时变随机积分的经典规则产生{τ<t∧ θZn}a.s.Zt∧θZn=Zτ+Zt∧θZn-τu（Os）ds+Zt∧θZn-τv（Os）dcWs=Zτ+Zt∧θZnτu（Os-τ） ds+Zt∧θZnτv（Os-τ） dWs=ψ+Zt∧θZnu（Zs）ds+Zt∧θZnv（Zs）dWs。我们得出结论，Z是SDE（5.11）的一个解过程，其驱动因子为W，初始值为ψ。通过强存在唯一性假设，我们得出结论：a.s.Z=V。Z的定义意味着索赔。连续金融市场中的无套利27引理6.4的证明：用初值x表示维纳测度∈ R乘以wx和uj具有与ξ和初值j相同的Q矩阵的费勒-马尔可夫链定律∈ J、 设C为坐标过程生成的C（R+，R）上的σ场。

我们从附录[20，命题4.1.5，定理4.4.2，4.4.6]中的引理A.1推导出（j，x）7→ （uj Wx）（F）是Borel Forever F∈ D 过程（ξ，W）是一个强马尔可夫过程，在以下意义上：∈ D C和每个a.s.最终停止时间θ，我们有a.s.P（（ξ·+θ，W·+θ）∈ F | Fθ）=（uξθ） WWθ）（F）。对于所有A∈ D和F∈ Cξ，W和（ξ，W）的强马尔可夫性质意味着a.s.P（ξ·+δ∧T∈ A、 W·+δ∧T∈ F | Fδ∧T） =uξδ∧T（A）WWδ∧T（F）=P（ξ·+δ∧T∈ A | Fδ∧T） P（W·+δ∧T∈ F | Fδ∧T） 。这意味着σ（ζ- δ） 和σ（Wδt，t∈ R+）独立于给定的Fδ∧T、 现在，[33，命题5.6]得出a.s.P（ζ- δ ∈ G | Fδ∧T、 σ（WδT，T∈ R+）=P（ζ- δ ∈ G | Fδ∧T） 。利用ξ和（6.5）的强马尔可夫性质，我们得到了F∈ FδP（ζ- δ ∈ G、 F）=-ZGqjjeqjjxdx P（F）。证明是完整的。6.2. 本地唯一性。对于从R+到I或R的连续函数空间，我们用C表示坐标过程生成的σ-场。此外，我们用Co，（Cot）t表示≥0由相应坐标过程和C，（Ct）t生成的过滤≥0其右侧连续版本。图像空间将从上下文中清除。设ρ：C（R+，I）×D（R+，J）→ [0, ∞]成为Co 执行停止时间。ρ的一个n示例是τ（α，ω），inf（t∈ R+：α（t）6∈ U或ω（t）6∈ V），其中U I和V J是开放的：引理6.5。τ是Co 执行停止时间。证明：见【47，提案I.4.5】和【20，提案2.1.5】。设u:I×J→ R和σ：I×J→ R{0}是Borel函数，使得（6.1）成立，σ满足（6.2）和所有j∈ J（本术语见第2.2节）。换句话说，我们要求定理6.1第（i）部分的条件成立。对于i=1，2，让(Ohmi、 Fi，Fi，Pi）是具有右连续完全过滤Fi=（拟合）t的过滤概率空间≥0

设Wi=（Wit）t≥0是一维布朗运动，ξi=（ξit）t≥0be是Q矩阵Q且ξi=J的J值不可约Feller–Markov链∈ J、 让Xi=（Xit）t≥0是一个自适应的连续I值过程，这样dxit∧ρ（Yi，ξi）=u（Xit，ξit）1{t≤ρ（Xi，ξi）}dt+σ（Xit，ξit）1{t≤ρ（Xi，ξi）}dWit，Xi=y∈ 一、 这意味着随机积分定义良好。我们强调ξ和ξ具有相同的法律，因为它们具有相同的Q矩阵，参见示例4.2。本节的主要观察内容如下：定理6.6。Po （十）·∧ρ（X，ξ），ξ）-1=Po （十）·∧ρ（X，ξ），ξ）-1、证明：我们遵循[28]中使用的山田-渡边式理念。定义Ohm*, C（R+，I）×C（R+，I）×D（R+，J）×C（R+，R），F*, C C D C、 28 D.CRIENSand对于i=1，2Yi：Ohm*→ C（R+，I），Yi（ω，ω，ω，ω）=ωI，Z：Ohm*→ D（R+，J），Z（ω，ω，ω，ω）=ω，Z：Ohm*→ C（R+，R），Z（ω，ω，ω，ω）=ω。用W表示维纳测度，并表示ξibyu的唯一定律。由于引理A.1在附录中，我们有πo （ξi，Wi）-1= u  W、 当连续函数空间具有局部一致拓扑时，它是一个PolishSpace，相应的Borelσ场由坐标过程生成。因此，存在正则条件概率Qi:D（R+，J）×C（R+，R）×C→ [0，1]使得Pi（Xi∈ dω，ξi∈ dω，Wi∈ dω）=Qi（ω，ω，dω）u（dω）W（dω）。我们定义了一个概率度量Q(Ohm*, F*) byQ（dω×dω×dω×dω），Q（ω，ω，dω）Q（ω，ω，dω）u（dω）W（dω）。滥用符号表示F的Q-完成*再次由F*并用F表示*t完成\\s>t（Cs 铯 Ds公司 Cs），t∈ R+。从现在起，我们考虑(Ohm*, F*, F*= （F）*t） t型≥0，Q）作为基础过滤概率空间。鉴于[28，命题4.6，5.6]，对于所有∈ ctmapω7→ Qi（ω，A）是可测量的w.r.t.u W-完成ofTs>t（Dos Cos）。

换言之，[27，假设10.43]是满足的，我们从[28，引理2.7，2.9]，[27，命题10.46]和L'evy的特征中得出，Zi是一个带有Q矩阵Q的马尔可夫链，Zi是一个布朗运动和Dyit∧ρ（Yi，Z）=u（Yit，Zt）1{t≤ρ（Yi，Z）}dt+σ（Yit，Zt）1{t≤ρ（Yi，Z）}dZt，Yi=y。在定理6.6的证明完成后，给出以下引理的证明。引理6.7。几乎可以肯定是Y·∧ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）=Y·∧ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）。由于Galmarino的测试，这意味着a.s.ρ（Y，Z）=ρ（Y，Z）。因此，a.s.Y·∧ρ（Y，Z）=Y·∧ρ（Y，Z）和权利要求源自Q的定义。引理6.7的证明：步骤1：由于局部化，我们可以假设ρ（Y，Z）∧ ρ（Y，Z）是有限的。回顾以下事实（见[47，命题III.3.5]）：如果（Zt）t≥0是一个Feller–右连续过滤的马尔可夫链G=（Gt）t≥0和γ是有限的G-停止时间，然后（Zt+γ）t≥0是过滤（Gt+γ）t的Feller–马尔可夫链≥0和两条链具有相同的Q矩阵。根据定理4.4（i），对于i=1，2存在一个过程（Oit）≥0定义为doit=u（Oit，Zt+ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z））dt+σ（Oit，Zt+ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z））dWρt，其中wρt，Zt+ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）- Zρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z），t∈ R+，初始值Oi=Yiρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）。现在，setVit，（是的，是的≤ ρ（Y，Z）∧ ρ（Y，Z），Oit-ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z），t>ρ（Y，Z）∧ ρ（Y，Z）。在引理6.3的证明中，我们从时变随机积分的经典规则中推断出，dvit=u（Vit，Zt）dt+σ（Vit，Zt）dZt，Vi=y，（6.11），即Vand Vare全局解。因此，仍然需要为全局方程（6.11）提供一个路径唯一性的版本。连续金融市场中的无套利29步骤2：我们使用归纳法。Let（ζn）n∈Nbe停止时间ζ，inf（t∈ R+：Zt6=Z），ζn，inf（t≥ ζn-1： Zt6=Zζn-1） ，n≥ 2、我们强调ζn∞ 作为n→ ∞.

几乎肯定是在{t≤ ζ} 我们有vit=y+Ztu（Vis，j）ds+Ztσ（Vis，j）dZs，i=1，2。回顾一下，在定理6.1（i）的假设下，SDE（6.4）满足强存在性和唯一性（直到爆炸），我们从引理6.3中推断出，对于所有≤ ζ.当N=1时，我们的ζ=∞ 证明是完整的。在下面，我们假设n≥ 2在这种情况下，a.s.ζn<∞ 适用于所有n∈ N、 假设N∈ N是指a.s.Vt=所有t的Vt≤ ζn.利用时变随机积分的经典公式，我们得到了{t≤ ζn+1- ζn}∩ {Zζn=j}Vit+ζn=Viζn+Zt+ζnζnu（Vis，j）ds+Zt+ζnζnσ（Vis，j）dZs=Viζn+Ztu（Vis+ζn，j）ds+Ztσ（Vis+ζn，j）dWns，其中wnt，Zt+ζn- Zζn，t∈ R+。我们再次从引理6.3得出结论，对于所有t，a.s.Vt+ζn=Vt+ζ≤ ζn+1- ζn.因此，所有t的a.s.Vt=Vt≤ ζn+1我们的索赔如下。6.3. 定理2.5的证明。（i） 。回想一下，J={1，…，N}与1≤ N≤ ∞. 对于n∈ 未定义τn，inf（t∈ [0，T]：St6∈ （ln，rn）或ξt≥ n∧ N） 。由于假设c在I×J的comp-act子集上有界，Novikov条件意味着（τn）n∈Nis是Z的一个定位序列。我们通过Radon–Nikodym衍生Qndp，ZT定义QnB∧τn.根据Girsanov定理，Bn，W-Z·∧τnc（Ss，ξs）dst是一个Qn布朗运动，使得dst∧τn=（b（St，ξt）+c（St，ξt）σ（St，ξt））1{t≤τn}dt+σ（St，ξt）1{t≤τn}dBnt。我们从引理A.1、例4.2和定理4.3推导出，在qn过程ξremainsa Feller–Markov链下，Q矩阵不变。W、 l.o.g.我们将W、ξ和F扩展到初始时间间隔R+。

将定理6.1应用于u，b+cσ，得到(Ohm, F、 F，P）存在自适应的连续I值过程X=（Xt）t≥0使得dxt=（b（Xt，ξt）+c（Xt，ξt）σ（Xt，ξt））dt+σ（Xt，ξt）dWt，X=S。我们设置ρn，inf（t∈ [0，T]：Xt6∈ （ln，rn）或ξt≥ n∧ N）。根据引理6.5和定理6.6，Po （十）·∧ρn，ξ）-1=Qno （S）·∧τn，ξ）-因此，使用Galmarino的测试，我们得到→∞Qn（τn=∞) = 画→∞P（ρn=∞) = 现在，在定理2.1的证明中，Z是鞅。（二）。这个结果类似于定理2.3，其中必须使用定理6.1代替定理5.3。我们省略了细节。30 D.CRIENS7。定理4.3步骤1的证明。让g∈ A和setMgt，g（ξt）- g（ξ）-ZtLg（ξ，s）ds，t∈ [0，T]。（7.1）由于鞅问题（A，L，T）的定义，过程MG是一个局部鞅，具有局部序列（ρn（ξ））n∈N、 因此，二次变化过程【Mg，W】得到了很好的定义。我们的第一步是证明a.s.【Mg，W】=0。我们解释了对于ξ和W的自然过滤的完全右连续版本，W Mgis是一个局部鞅。让0≤ s<t≤ T，G∈ σ（Wr，r∈ [0，s]）、WSF和F∈ σ（ξr，r∈ [0，s]），Es。独立性假设yieldsthatEPWtMgt公司∧ρm（ξ）G∩F= EP公司风电机组EP公司管理层∧ρm（ξ）F= EP公司WsG公司EP公司Mgs公司∧ρm（ξ）F= EP公司WsMgs公司∧ρm（ξ）G∩F.通过一个单调的类参数，我们得到了WtMgt公司∧ρm（ξ）B= EP公司WsMgs公司∧ρm（ξ）B对于所有B∈ Ws系列∨ 锿。由于向下定理（见[48，定理I I.51.1]），过程·∧ρm（ξ）是完全右连续型G，（Gt）t的鞅∈（重量）的[0，T]∨Et）t∈[0，T]。因此，因为ρm（ξ）∞ 作为m→ ∞, W-Mgis是一个局部G-鞅。根据幂律，W和MG也是局部G鞅。按部件积分意味着[W，Mg]=W Mg-Z·WsdMgs-Z·Mgs-dWs，其中随机积分定义为局部G-鞅。在这里，我们使用可以独立于过滤定义的[W，Mg]。

我们推断过程[W，Mg]是一个有限变化的连续局部G-鞅，因此a.s[W，Mg]=0。第2步。在这一步中，我们确定了Q下B和ξ的定律。很明显，由于Girsanov定理，B是Q-布朗运动。接下来，我们在(Ohm, F、 F，Q）过程ξ是鞅问题（a，L，T）的一个解过程。根据步骤1和Girsanov定理-Ztd[Z，Mg]sZs=Mg-Z·θsd[W，Mg]s=Mgis局部Q-鞅。等价Q~ P表示Q（ξ=e）=1，Mg·∧ρn（ξ）是Q-a.s.有界的。因此，权利要求如下。第3步。借用文献[20，定理4.10.1]的思想，证明了B和ξ的Q-依赖性。我们将Cb（R）定义为所有两次连续可微函数R的集合→ R具有有界的一阶和二阶导数。假设f∈ Cb（R）带infx∈Rf（x）>0且定义为Ft，f（Bt）exp-Ztf′（Bs）f（Bs）ds, t型∈ [0，T]。根据It^o公式，我们得到dkft=exp-Ztf′（Bs）f（Bs）dsdf（Bt）-f′（Bt）dt= 经验值-Ztf′（Bs）f（Bs）dsf′（Bt）dBt。因此，Kfis是一个Q-鞅，因为它是一个有边界的局部Q-鞅。回想一下，二次变化过程不受等效测量变化的影响。通过步骤1，Q-a.s.【B，Mg】=0。由于部分集成，我们得到dkftmgt=KftdMgt+Mgt-dKft+d[Kf，Mg]t=KftdMgt+Mgt-dKft，这意味着KfMg·∧ρm（ξ）是一个Q-鞅，因为它是一个有界局部Q-鞅。连续金融市场中的无套利31设ζ为停止时间，使ζ≤ T和seteQ（G），EQGKfζ均衡器Kfζ, G∈ F、 因为KfMg·∧ρm（ξ），kf和Mf·∧ρm（ξ）是Q-鞅（另请参见步骤2），可选停止定理意味着对于所有停止时间ψ≤ TEeQ公司Mgψ∧ρm（ξ）=均衡器Mgψ∧ρm（ξ）Kfζ均衡器Kfζ= 因此，根据[47，命题II.1.4]，Mg·∧ρm（ξ）是aeQ鞅。因为EQ~ Q、 这意味着(Ohm, F、 F，eQ）过程ξ是马丁格尔问题（a，L，T）的求解过程。

鞅问题（A，L，j，T）的唯一性假设意味着eq（Γ）=Q（Γ）（7.2）对于所有Γ，ξt∈ Gξtn∈ Gn公司,其中G，Gn公司∈ B（J）和0≤ t<···<tn≤ T我们确定Q（Γ）>0时的th，并定义Q（F），公式FΓQ（Γ），F∈ F、 利用Eq的定义（7.2），Kfis是一个Q-鞅的事实和可选的stoppingtheorem，我们得到了EqKfζ=均衡器KfζΓQ（Γ）=eQ（Γ）eQKfζQ（Γ）=等式Kfζ= f（0）。由于ζ是任意的，我们得出结论：Kfis-abQ鞅。此外，bQ（B=0）=1遵循B是Q-布朗运动的事实。最后，due到[20，命题4.3.3]，过程B是abQ布朗运动。我们的结论是BQ学士学位∈ FBsk公司∈ Fk公司= Q学士学位∈ FBsk公司∈ Fk公司,对于所有F，Fk公司∈ B（R）和0≤ s<···<sk≤ T通过BQ的定义，我们已经证明了t hatQ学士学位∈ FBsk公司∈ Fk，ξt∈ Gξtm∈ 克= Q学士学位∈ FBsk公司∈ Fk公司Qξt∈ Gξtm∈ Gn公司,这意味着σ-字段σ（ξt，t∈ [0，T]）和σ（Bt，T∈ [0，T]）与Q无关。证明是完整的。定理4.4的证明，因为σ（ξt，t∈ [0，T]）和σ（Wt，T∈ 假设[0，T]）与P无关，在定理4.3的证明中，a.s.[Z，W]=0。因此，Girsanov的Theorem暗示W是aQ布朗运动。获取0≤ s<···<sm≤ T、 0个≤ t<···<tn≤ T，（Gk）k≤m级 B（J）和（Fk）k≤n B（R）和setΓ，ξs∈ Gξsm∈ 克,Γ,Wt公司∈ FWtn公司∈ Fn公司.σ（ξt，t）的P-ind依赖性∈ [0，T]）和σ（Wt，T∈ [0，T]）和维纳测度产生thatQ（Γ）的唯一性∩ Γ）=EPZTΓ∩Γ= EP公司ZTΓP（Γ）=Q（Γ）Q（Γ）。我们得出的结论是σ（ξt，t∈ [0，T]）和σ（Wt，T∈ [0，T]）与Q无关。32 D.CRIENSFor g∈ A.*we设置mgt，g（ξt）- g（ξ）-ZtL公司*g（ξ，s）ds，t∈ [0，T]，Kft，f（ξT）- f（ξ）-ZtLf（ξ，s）ds，t∈ [0，T]，Kf gt，f（ξT）g（ξT）- f（ξ）g（ξ）-ZtL（fg）（ξ，s）ds，t∈ [0，T]。过程Kf和Kf gare lo cal P-鞅。

我们设置vt，f（ξ）exp-ZtLf（ξ，s）f（ξs）ds, t型∈ [0，T]。部件集成意味着DZT=Vtdf（ξt）- f（ξt）L（ξ，t）f（ξt）dt= VtdKft。再次使用部件集成和标识L*g=f（L（fg）- gLf）产量dztmgt=Zt-dMgt+管理-dZt+d[Z，Mg]t=Vtf（ξt-)dMgt+管理-dKft+d[f（ξ），g（ξ）]t= 及物动词f（ξt-)dg（ξt）- f（ξt-)L*g（ξ，t）dt+g（ξt-)df（ξt）- g（ξt-)Lf（ξ，t）dt-g（ξ）+ZtL*g（ξ，s）dsdKft+d[f（ξ），g（ξ）]t= 及物动词d（fg）（ξt）- L（f g）（ξ，t）dt-g（ξ）+ZtL*g（ξ，s）dsdKft公司= 及物动词dKf燃气轮机-g（ξ）+ZtL*g（ξ，s）dsdKft公司.我们得出结论，ZMgis是一个局部P-鞅，从[30，命题III.3.8]可以看出，MGIS是一个局部Q-鞅。由于等效Q~ P、 我们的结论是(Ohm, F、 F，Q）过程ξ是鞅问题（a）的解过程*, L*, j、 T）。定理4.9Let（Xt）t的证明≥0是D（R+，J）上的坐标过程，表示mft，f（Xt）f（J）exp-ZtLf（X，s）f（Xs）ds, t型∈ [0，T]。按u定义，Po ξ-1a D（R+，J）上的Borel概率测度。我们必须证明这一点MfT公司= 1、从[27，引理2.9]可以看出，Mfis是一个具有局部化序列（ρn）n的局部u-鞅∈N、 适用于所有N∈ N、 通过Radon–Nikody MDerivatedundu=MfT确定Borel概率度量unon D（R+，J）∧ρn。在定理4.9的证明完成后，证明了以下引理。引理9.1。Letu*是鞅问题（a）解过程的唯一律*, L*, j∞).适用于所有n∈ N我们有uN=u*点播∧ρn.回顾{ρn>T}∈ 点∧ρn，引理9.1表示euMfT公司= 画→∞EuMfT公司∧ρn{ρn>T}= 画→∞u*（ρn>T）=1。这就完成了证明。引理9.1的证明：我们采用了[30，定理III.2.40]的证明。为了简化符号，我们设置T∧ ρn，ρ。我们用uj表示鞅问题（a）解过程的唯一律*, L*, j∞).连续金融市场无套利33步骤1。