连续金融市场中的无套利

我们得出结论，对于所有n∈ NQn（τn≤ T）经验值-ZTζ（s）ds（V（ln）∧ V（rn））≤ EQnUnτn{τn≤T}≤ EQnUnT公司≤ 五（S）。18 D.CRIENSBy（5.3）存在序列（nk）k∈N N带nk→ ∞ 作为k→ ∞ 使得V（lnk）∧对于所有k，V（rnk）>0∈ N和limk→∞V（lnk）∧ V（rnk）=∞. 我们从0推断≤ Qnk（τnk≤ T）≤ V（S）expZTζ（s）dsV（lnk）∧ V（rnk）thatlimk→∞Qnk（τnk≤ T）=0。因为{τn≤ T}c={τn=∞}, 我们得到1=limk→∞Qnk（τnk=∞) ≤ lim支持→∞Qn（τn=∞) ≤ 1，这意味着（5.2）。证明是完整的。5.1.2. 整体测试。乐塔：我→ (0, ∞) 安·杜，你：我→ R是Borel函数，因此A+| u |+| u |∈ Lloc（一）。回想第2节，如果（f，g）是（u，a），（u，a）对之一，我们设置v（f，g）（x）=Zxxexp-Zyx2f（z）dzZyx2 exp（Rux2f（z）dz）g（u）dudy，x∈ 一、 （5.5）对于固定x∈ 一、 本节的主要结果如下：定理5.2。假设limxrv（u，a）（x）=limxlv（u，a）（x）=∞.（5.6）此外，对于所有n∈ N假设λ\\ Qn-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohmσt（ω）≤ ζ（t）a（St（ω）），bt（ω）≤ σt（ω）u（St（ω）），bt（ω）≥ σt（ω）u（St（ω））。（5.7）然后，（5.2）保持不变。证明：由于[36，引理5.5.26]，有不同的函数U：[x，r）→ [1, ∞) 安度：（l，x）→ [1, ∞) 具有局部绝对连续导数和λ\\-空集N′ 例如，对于所有x，ui增大，ui减小，U（x）=U（x）=1，U′（x）=U′（x）=0∈ [x，r）\\N′和所有y∈ （l，x]\\N′a（x）U′（x）+uU′（x）= U（x）和a（y）U′（y）+uU′（y）= U（y），1+v（U，a）≤ u和1+v（u，a）≤ U、 我们定义了（U，on[x，r），U，on（l，x）]，这是一个具有局部绝对连续导数的可微函数。特别是，V′≥ [x，r]上的0，V′≤ 0开（l，x），V′+uV′≥ （l，x）\\N′和v′+uV′上的0≥ [x，r]N′上的0。此外，limxrV（x）=limxlV（x）=∞,根据假设（5.6）。LeteN是所有（t，ω）的集合∈ [0，T]×Ohm 使（5.7）成立。

Forall（t，ω）∈eN:St（ω）∈ [x，r）\\N′LV（t）（ω）=σt（ω）V′（St（ω））+bt（ω）V′（St（ω））≤ σt（ω）V′（St（ω））+u（St（ω））V′（St（ω））≤ ζ（t）a（St（ω））V′（St（ω））+u（St（ω））V′（St（ω））= ζ（t）V（St（ω））。以同样的方式，我们可以看到所有（t，ω）∈eN:St（ω）∈ （l，x]\\N′LV（t）（ω）≤ ζ（t）V（St（ω））。我们得出结论，（5.4）适用于N=N′。该主张源自定理5.1。连续金融市场无套利195.2。不存在的标准。在这一节中，我们给出了定理5.2的逆命题。如第2节所示，设I=（l，r）带-∞ ≤ l<r≤ +∞ 让a：我→ (0, ∞) 而你，你：我→ R是borelfunction，使得a+| u |+| u |∈ Lloc（一）。如果（f，g）是一对（u，a），（u，a）中的一对，我们将v（f，g）设置为（5.5）。设0<T<∞, (Ohm, F） 是一个可测量的空间，具有右连续过滤F=（Ft）t∈[0，T]和s∈ 一、 假设(Ohm, F、 F）支持三个逐步可测量的过程S=（St）t∈[0，T]，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]。我们将I定义为所有p air（Q，B）的集合，包括概率测度Q(Ohm, F） 和an（F，Q）-布朗运动B=（Bt）t∈[0，T]S是Q-a.S.I值，dst=btdt+σtdBt，S=S，其中隐式表示积分定义良好。定理5.3。（i） 假设该对（u，a）满足YW条件（该术语见第2.1节）和limxrv（u，a）（x）<∞.然后，不存在对（Q，B）∈ I使得λ\\ Q-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≤ bt（ω）。（5.8）（ii）假设对（u，a）满足YW条件和limxlv（u，a）（x）<∞.然后，不存在对（Q，B）∈ I使得λ\\ Q-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≥ bt（ω）。（5.9）证明：（i）。我们在证明[11，定理4.1]时使用了比较和矛盾论证。对于矛盾，假设（Q，B）∈ 我是（5.8）所持有的Such。W、 l.o.g.我们假设F isQ完成。

在下面的工作中(Ohm, F、 F，Q）。因为ais是积极的和持续的anda。sλ\\（{t∈ [0，T]：a（St）>σT}）=0，ZTσsds<∞,函数[0，T] t 7→Ztσsa（Ss）dsa是一个有限的、连续且严格递增的函数，这意味着函数φt，inf也是如此s∈ [0，T]：Zsσra（Sr）dr≥ t型, t型∈ [0，T]，见[47，p.179-180]。此外，我们还有a.s.φt≤ t代表所有t∈ [0，T]。我们在前面提到的属性失效的空集上重新定义φtto bezero。因为F是完全的，（φt）t的这个模型∈[0，T]是有限停车时间的连续递增序列。接下来，我们设置Fφ，（Fφt）t∈[0，T]。以下引理来自【47，命题V.1.4，V.1.5】。引理5.4。假设（Ht）t∈[0，T]是逐步可测量的。然后，时间变化过程（Hφt）t∈[0，T]是Fφ-渐进可测，a.s.ZtHφsds=ZφtHsσsa（Ss）ds，T∈ [0，T]，前提是积分定义良好。此外，过程Bφ=（Bφt）t∈[0，T]是连续局部Fφ-鞅，a.s.[Bφ，Bφ]=φ，如果a.s.RTHsds<∞ 然后也是a.s.RTHφsdφs<∞ a.s.ZtHφsdBφs=ZφtHsdBs，t∈ [0，T]。20 D.CRIENSWe根据引理5.4推导出a.s.λ\\t型∈ [0，T]：a（SφT）>σφ或u（SφT）σφT>bφT=ZφT{a（Ss）>σs}∪{u（Ss）σs>bs}σsa（Ss）ds=0。我们将在下文中使用这一观察结果，无需进一步参考。用HT应用引理5.4，a（St）σt{σt>0}，t∈ [0，T]得出a.s.dφT=a（sφT）σφtdt。（5.10）再次使用引理5.4，我们得到了所有t∈ [0，T]SφT=Sφ+Zφtbsds+ZφTσsdBs=S+Ztbφsa（SφS）σφsds+ZtσφsdBφS=S+Ztbφsa（SφS）σφsds+Zta（SφS）dB′，其中b′，Z·∑φsdBφsa（SφS）。根据引理5.4和（5.10），我们得到了所有t∈ [0，T][B′，B′]T=Ztσφsa（SφS）d[Bφ，Bφ]S=Ztσφsa（SφS）dφS=Ztσφsa（SφS）a（SφS）σφsds=T。因此，B′是一个连续的局部Fφ-鞅，a.S[B′，B′]T=T表示T∈ [0，T]，即由于L'evy的特征，anFφ-布朗运动。

我们总结了dsφt=a（Sφt）bφtσφtdt+a（Sφt）dB′t，Sφ=S(Ohm, F、 Fφ，Q）我们可以推广（B′t）t∈[0，T]到布朗运动（B′T）T≥0，例如参见[47，定理V.1.7]的证明。我们将使用以下术语：当我们说（Vt）t≥0是一个连续的[l，r]-值过程。我们的意思是，它的所有路径在[l，r]-拓扑中都是连续的，并且被{l，r}吸收，也就是说，对于所有t≥ τ（V），inf（t∈ R+：Vt6∈ 一） 。本公约符合[36，定义5.5.20]。定义5.5。Letu：I→ R和v：I→ R be Borel函数。我们说一个SDEdVt=u（Vt）dt+v（Yt）dB*t、 （5.11）其中（B*t） t型≥0是一维布朗运动，如果在任何完全概率空间上，则满足爆炸前的强存在唯一性(Ohmo、 Fo，Po），完全正确连续过滤Fo=（Fot）t≥0，它支持布朗运动（B*t） t型≥0和一个I值fo-可测随机变量ψ，存在一个高达不可分辨的唯一自适应连续l，r-值过程（Vt）t≥0以便a.s.Vt∧θn=ψ+Zt∧θnu（Vs）ds+Zt∧θnv（Vs）dB*s、 t型≥ 0，n∈ N、 式中θN，inf（t∈ R+：Vt6∈ （ln，rn）），n∈ N、 连续金融市场中的无套利21综合指数定义良好是一件好事。过程（Vt）t≥0被称为具有驱动程序（B）的解决方案processto（5.11*t） t型≥由于【19，备注4.50（2），定理4.53】，SDEdVt=a（Vt）u（Vt）dt+a（Vt）dB*t（5.12）满足了强大的存在性和爆炸性。因此，存在一个解决方案过程（Yt）t≥0至（5.12），带驱动器（B′t）t≥在定理5.3的证明完成后，证明了以下引理。引理5.6。几乎可以肯定Yt≤ 所有t的Sφt≤ T∧ τ（Y）。因为（Yt）t≥0由于[41，命题2.2]和limxrv（u，a）（x）<∞, 我们从[41，命题2.12]和[4，定理1.1]推导出（Yt）t∈[0，T]以正概率到达r。

因此，由于引理5.6，（St）t∈[0，T]以正概率到达r。这是一个传统。（二）。对于矛盾，假设（Q，B）∈ 我是这样（5.9）成立的。根据第（i）部分中的相同论证，存在一个过程（Yt）t≥0使Dyt=a（Yt）u（Yt）dt+a（Yt）dB′t，Y=s，和a.s.sφt≤ Ytfor all t公司≤ T∧ τ（Y）。因为limxlv（u，a）（x）<∞, 工艺（Yt）t∈[0，T]以正概率到达l，并且路径排序再次给出了矛盾。引理5.6的证明：存在函数hn∈ H和κn∈ 这是所有x，y∈ 【ln，rn】| a（x）- a（y）|≤ hn（| x- y |），a（x）u（x）- a（y）u（y）|≤ κn（| x- y |）。我们设置ρn，inf（t∈ [0，T]：Sφt6∈ （ln、rn）或Yt6∈ （ln，rn））。注意，对于所有t∈ （0，T）我们有∧ρnd[Y- Sφ，Y- Sφ]shn（| Ys- SφS |）=Zt∧ρna（Ys）- a（SφS）hn（| Ys- SφS |）ds≤Ztds=t。因此，[47，引理IX.3.3]意味着Y的当地时间·∧ρn- Sφ·∧ρnin原点为a.s.零。我们从田中的公式推导出a.s.（Yt∧ρn- Sφt∧ρn）+=Zt∧ρn{Ys-SφS>0}d（Ys- SφS），t∈ [0，T]。取期望，利用Y的布朗部分的鞅性质·∧ρn- Sφ·∧ρnandJensen不等式得出了所有t∈ [0，T]等式（年初至今）∧ρn- Sφt∧ρn）+= EQhZt∧ρn{Ys-SφS>0}a（Ys）u（Ys）- a（SφS）bφSσφSdsi公司≤ EQhZt∧ρn{Ys-SφS>0}a（Ys）u（Ys）- a（SφS）u（SφS）dsi公司≤ EQhZt∧ρn{Ys-SφS>0}κn（| Ys- SφS |）dsi≤ZtEQ公司κn（（Ys∧ρn- SφS∧ρn）+）ds公司≤Ztκn均衡器（Ys）∧ρn- SφS∧ρn）+ds。最后，Bihari引理（见[11，引理E.2]）得出了所有t∈ [0，T]等式（年初至今）∧ρn- Sφt∧ρn）+= 因此，根据Y和Sφ的连续路径，权利要求如下。22 D.CRIENS5.3。定理2.1的证明。因为非负局部鞅是超鞅，所以只有当EP[ZT]=1时，zi才是鞅当an d。通过（M1），我们可以通过氡–NikodymderivativedQndP=ZT来确定QnB∧τn.我们注意到假设λ\\ P-a.e.σ6=0表示（5.1）。

根据toGirsanov定理，存在一个Qn布朗运动Bn=（Bnt）t∈[0，T]这样∧τn=（bt+ctσt）1{t≤τn}dt+σt{t≤τn}dBnt。单调收敛定理得出ZT公司= lim支持→∞EP公司ZT{τn=∞}= lim支持→∞Qn（τn=∞).根据（M2）和（M3），定理5.2得出thatlim supn→∞Qn（τn=∞) = 因此，EP[ZT]=1，证明是完整的。5.4. orem 2.3的证明。对于矛盾，假设（Zt）t∈[0，T]是鞅。通过Radon–Nikodym导数QDP，ZT确定的呼吸概率测量值Q。根据Girsanov定理，存在一个Q-布朗运动B=（Bt）t∈[0，T]使得dst=（bt+ctσT）dt+σtdBt。因此，在（SL1）成立的情况下，我们获得了与定理5.3第（i）部分的矛盾，在（SL2）成立的情况下，我们获得了与定理5.3第（ii）部分的矛盾。证明是完整的。定理2.5的证明该部分分为两部分：首先，我们证明了切换微分的存在性、不存在性和局部唯一性；其次，我们推导了定理2.5.6.1。存在和不存在标准。如第2.2节所述，设I=（l，r）与-∞ ≤ l<r≤ +∞ 和J={1，…，N}与1≤ N≤ ∞. 此外，设u:I×J→ R和σ：I×J→ R{0}是Borel函数，使得1+u（·，j）σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、 （6.1）我们∈ I和setv（x，j），Zxxexp-Zyx2u（z，j）σ（z，j）dzZyx2 exp（Rsx2u（z，j）σ（z，j）dz）σ（s，j）dsdyfor（x，j）∈ I×J.Let(Ohm, F、 F，P）是一个具有右连续完全过滤F=（Ft）t的过滤完全概率空间≥0，它支持布朗运动W=（Wt）t≥0，a J值可约连续时间Feller–马尔可夫链ξ=（ξt）t≥0和一个I值F-可测随机变量φ。本节的主要结果如下：定理6.1。

（i） 假设σ满足所有j的es条件∈ J（本术语见第2.2节）和thatlimxlv（x，J）=limxrv（x，J）=∞ 对于所有j∈ J、 （6.2）然后，存在一个自适应的I值连续过程（Yt）t≥0使得y=φ+Z·u（Ys，ξs）ds+Z·σ（Ys，ξs）dWs，（6.3）其中隐含的是积分定义良好。（ii）假设存在j∈ J使得σ满足J和limxlv（x，J）<∞ 或limxrv（x，j）<∞.设0<T≤ ∞ 成为一个暂时的地平线。如果ξ是循环的，则不存在适应的I值连续过程Y=（Yt）t∈[0，T]使得（6.3）成立。连续金融市场中的无套利23证据：N=1的情况涉及所有债权都已知的经典分歧，详情参见[4、19、36]。我们在假设N的情况下证明了该索赔≥ 2.（一）。我们通过γ，0，γn，inf（t）定义ξ的跳跃时间≥ γn-1： ξt6=ξγn-1） ，n∈ N、 因为ξ是不可约的，所以我们有a.s.γN<∞ （见【33，定理10.19】）和a.s.γn- γn-1> 0表示所有n∈ N、 我们遵循[26，定理IV.9.1]的p屋顶的思想，从SDEsdXjt=u（Xjt，j）dt+σ（Xjt，j）dW′t，（6.4）的解显式构造过程Y，其中W′=（W′t）t≥0是布朗运动。对于构造，我们需要一个强存在性和唯一性属性，我们解释了nex t.Fix j∈ J、 根据[19，备注4.50（2），定理4.53]和Feller爆炸测试（见[36，定理5.5.29]），SDE（6.4）具有弱解，并且满足所有确定性初始值的路径唯一性。

我们从[33，定理18.14]得出结论，存在一个Borel函数Fj:I×C（R+，R）→ C（R+，I）使得对于任何一维布朗运动，W′=（W′t）t≥0和任何I值随机变量ψ，与σ（W′t，t）无关∈R+，过程Xj=Fj（ψ，W′）是（6.4）的一个求解过程，Xj=ψ，这适用于完成W′和ψ的自然过滤，请参见[36，定义5.2.1]。函数Fjis独立于ψ定律，并普遍适用（定义见[33，p.346]）。设置Wn，W·+γn- Wγn.由于[47，命题V.1.5]和L'evy的表征，过滤Fn的Wnisa布朗运动，（Ft+γn）t≥特别是，Wn独立于Fγn。通过感应，de finey，Xj∈JFj（φ，W）1{ξ=j}，Yn，Xj∈JFj（Yn-1γn-γn-1，Wn）1{ξγn=j}，n∈ N、 此外，setYt，∞Xn=0Ynt-γn{γn≤t<γn+1}，t∈ R+。过程Y是I值的和连续的，正如我们接下来解释的，它也是F自适应的。定义Ht，Ynt-γn{γn<t}。我们声称（Ht）t≥0是F-逐步可测量的。因为t 7→Ynt公司-γn{γn<t}是左连续的，s7→ Ynt公司-s{s<t}是右连续的，一个近似参数表明这有助于解释（ht）t≥0，（Ynt-ζ{ζ<t}）t≥0表示任何F停止时间ζ的F-adap，该时间取可数集合2中的值-mN表示一些m∈ N和满意度ζ≥ γn.Let G∈ B（R）并设置Nm、t、2-明尼苏达州∩ [0，t）。我们有{hmt∈ G}=[k]∈牛米，吨{hmt∈ G}∩ {ζ=k}∪{0 ∈ G}∩ {ζ ≥ t}∈ 这里，我们使用{Ynt-k∈ G}∈ 英尺-k+γn 英尺-k+ζ和该Ft-k+ζ∩ {ζ=k}∈ 因此，英尺（Ht）t≥0是F-逐步可测量的，因此是（Yt）t≥0为F自适应。我们注意到γn- γn-1=inf（t∈ R+：ξt+γn-16=ξγn-1） ，这是一个Fn-1-停车时间。因此，Yn-1γn-γn-1是Fγn可测量的，因此与σ（Wnt，t）无关∈ R+。这将产生过程Xn，j，Fj（Yn-1γn-γn-1，Wn）满意度dxn，jt=u（Xn，jt，j）dt+σ（Xn，jt，j）dWnt，Xn，j=Yn-1γn-γn-1.24天。

CRIENSThus，由于时变随机积分的经典规则（见[47，命题V.1.4，V.1.5]），a.s.对于t∈ [γn，γn+1]在{ξγn=j}上我们有ynt-γn=Yn-1γn-γn-1+Zt-γnu（Xn，js，j）ds+Zt-γnσ（Xn，js，j）dWns=Yn-1γn-γn-1+Ztγnu（Yns-γn，j）ds+Ztγnσ（Yns-γn，j）dWs=Yn-1γn-γn-1+Ztγnu（Ys，ξs）ds+Ztγnσ（Ys，ξs）dWs。通过感应，a.s.表示t∈ [γn，γn+1]Ynt-γn=φ+Ztu（Ys，ξs）ds+Ztσ（Ys，ξs）dWs。因此，过程Y满足SDEdYt=u（Yt，ξt）dt+σ（Yt，ξt）dWt，S=φ，并且（i）的证明是完整的。（二）。对于矛盾，假设Y满足（6.3）。让j∈ J应使limxlv（x，J）<∞或limxrv（x，j）<∞. 我们定义δ，inf（t∈ R+：ξt=j），ζ，inf（t≥ δ：ξt6=j）。因为ξ是循环的，所以我们有a.s.δ<∞, 参见【44，定理1.5.7】。由于ξ和[33，引理10.18]的强马尔可夫性质，对于所有G∈ B（R+）它保持p（ζ- δ ∈ G） =-ZGqjjeqjjxdx，（6.5），其中qjj<0是ξ的Q矩阵的第j对角元素。回想一下我们的约定，我们称之为进程V=（Vt）t≥当所有路径在[l，r]拓扑中都是连续的，并且在{l，r}中被吸收，即Vt=Vτ（V），对于所有≥ τ（V），inf（t∈ R+：Vt6∈ 一） 。从[19，备注4.50（2），定理4.53]可以看出，SDE（6.4）在定义5.5的意义上满足了强存在性和唯一性，直至爆炸。因此，存在一个连续的[l，r]值过程X=（Xt）t≥0使得dxt=u（Xt，j）dt+σ（Xt，j）dWδt，X=Yδ∧T、 （6.6）式中，Wδ，W·+δ∧T- Wδ∧过滤Fδ是布朗运动，（Ft+δ∧T） T型≥在（ii）的证明完成后，我们证明了以下引理。引理6.2。几乎可以肯定，对于所有0，Yt+δ=XT≤ t型≤ ζ - δ在{ζ≤ T}。因为在{τ（X）<∞} 我们有Xτ（X）6∈ 一、 引理6.2表示th atP（τ（X）≤ ζ - δ, ζ ≤ T）=0。（6.7）在（ii）的证明完成后，给出以下引理的证明。引理6.3。

假设SDE（5.11）满足爆炸前的强存在性和唯一性。设ψ为I值F-可测随机变量，设（Vt）t≥0为（5.11）的求解过程，其中驱动器W和初始值ψ，τ为停止时间。然后，所有适应的I值连续过程（Ut）t≥0带DUT=u（Ut）1{t≤τ}dt+v（Ut）1{t≤τ}dWt，U=ψ，与（Vt）无法区分∧τ） t型≥设lnl，rnr为序列，使得l<ln+1<ln<rn<rn+1<r，并设置为函数α：r+→ [l，r]τn（α），inf（t∈ R+：α（t）6∈ （ln，rn））。我们从引理6.3和Galmarino检验（见[30，引理III.2.43]）得出结论，对于所有n∈ Nsdedxjt=u（Xjt，j）1{t≤τn（Xj）}dt+σ（Xjt，j）1{t≤τn（Xj）}dWt，（6.8）连续金融市场中的无套利25满足通常意义上的弱存在性和路径唯一性，请参见[36，定义5.3.1,5.3.2]。因此，根据【33，定理18.14】，存在一个Borel函数Fn:R×C（R+，R）→C（R+，I）使得当Xjsolves（6.8）时，驱动程序W=（Wt）t≥0和（可能是随机的）初始值Xj，然后a.s.Xj=Fn（Xj，W）。引理6.3和Galmarino的检验场，即a.s.τn（X）=τn（Fn（yδ∧T、 Wδ））。（6.9）因为爆炸前的强存在唯一性对于SDE（6.4）成立，对于a.a.ω∈ Ohm存在一个Fδ适应的连续[l，r]值过程Yω=（Yωt）t≥0使得dyωt=u（Yωt，j）dt+σ（Yωt，j）dWδt，Yω=Yδ（ω）∧T（ω）∈ 一、 我们强调初始值Yδ（ω）∧T（ω）是确定性的。引理6.3和Galmarino的试验结果表明，a.s.τn（Yω）=τn（Fn（Yδ（ω））∧T（ω），Wδ））。（6.10）在（ii）的证明完成后，我们证明了以下引理。引理6.4。