连续金融市场中的无套利

我们证明了j 7→ uj（G）是所有G的Borel∈ D、 遵循【54，练习6.7.4】中概述的策略。回想一下，我们假设*包含可数确定集a。设P为D（R+，J）上具有分布收敛拓扑的Borel P概率测度空间。注意，Do适应过程是D-鞅当且仅当它是Do鞅。含义=> 遵循向下定理（见[48，TheoremII.51.1]）及其含义<= 遵循塔式规则。对于g∈eA设置，g（Xt）- g（X）-ZtKg（Xs）ds，t∈ R+。定义I为所有ν的集合∈ P使得νo 十、-1=某些j的δJj∈ J、 此外，设M是所有ν的集合∈ P使得eν（千克∧ρm- 千克∧ρm）1G= 0，对于所有g∈eA，所有有理s<t，m∈ 可数判定类Dos中的N和G。根据唯一性假设，{uj，j∈ J} =我∩ M、 因为集合{δj，j∈ J} 是Borel根据[8，定理8.3.7]和ν7得出的→ ν o 十、-1是连续的，我是Borel。由于[1，定理15.13]，集合M是Borel。我们得出结论{uj，j∈ J} 是波雷尔。LetΦ：{uj，j∈ J}→ J定义为Φ（uJ）=所有J的J∈ J、 我们注意到Φ是一个连续注入。因此，逆映射Φ-1这是由于toKuratovski定理（[8，命题8.3.5]）引起的Borel。这意味着j 7→ uj（G）是所有G的Borel∈ D.第2步。因为un~ u，我们有un（X=j）=1。在定理4.4的证明中，我们看到对于所有g∈ A.*工艺Kg·∧ρ是一个un-鞅。第3步。每t∈ R+we表示为θt:D（R+，J）→ D（R+，J）由θtω（s）=ω（t+s）给出的移位算子。回顾ρ是有界的，我们从[30，引理III.2.44]推导出ρ∨ θ-1ρ（D）=D。因此，我们可以关联到每个G∈ D a（不一定唯一）G′∈ Doρ D这样的G=ω ∈ D：（ω，θρ（ω）ω）∈ G′.我们定义了ν（G），Zun（dω）uω（ρ（ω））（dω*)1G′（ω，ω*).从[30，引理III.2.47]可以看出，ν是一种概率度量，即ν是明确定义的。

我们的目标是证明ν解决了鞅问题（A*, L*, j∞). 提供一个参数，ν是（Xt，t<ρ（X），Xt）的定律-ρ（X），t≥ ρ（X），如果Xis根据u采样，而Xis根据ujj采样，j=Xρ（X）。换句话说，我们将u推广到全局鞅问题的解。对于G∈ Dowe canchoose G′=G×D（R+，J）。因此，ν（X=j）=un（X=j）=1。设ψ为有界Do停止时间和fix m∈ N、 对于ω，α∈ D（R+，J）和t∈ R+we设置z（ω，α）（t），（ω（t），t<ρ（ω），α（t- ρ（ω）），t≥ ρ（ω），andV（ω，α）((ψ ∧ ρm）∨ ρ - ρ（z（ω，α）），α（0）=ω（ρ（ω）），否则为0。根据[18，定理IV.103]，映射V是Doρ D-可测量，使得V（ω，·）是所有ω的Do停止时间∈ D（R+，J）。此外，从定义中可以明显看出（ψ∧ ρm）（ω）∨ ρ（ω）=ρ（ω）+V（ω，θρ（ω）ω）34 D.CRIENSforω∈ D（R+，J）。对于所有ω∈ {ρ < ψ ∧ ρm}∈ Doρ和α∈ D（R+，J），α（0）=ω（ρ（ω）），我们有V（ω，α）≤ ρm（α）。进一步注意，对于ω∈ {ρ < ψ ∧ ρm}KgV（ω，θρ（ω）ω）（θρ（ω）ω）=Kg（ψ∧ρm）（ω）-ρ（ω）（θρ（ω）ω）=g（ω（（ψ∧ ρm）（ω）））- g（ω（ρ（ω）））-Z（ψ）∧ρm）（ω）ρ（ω）Kg（ω（s））ds=Kg（ψ∧ρm）（ω）（ω）- Kgρ（ω）（ω）。因为Kg·∧ρ是un-鞅，我们有eνKgρ∧ψ∧ρm= EunKgρ∧ψ∧ρm= 0，由于可选停止定理。因此，我们得到νKgψ∧ρm= EνKgψ∧ρm- Kgρ∧ψ∧ρm= EνKgψ∧ρm- Kgρ{ρ<ψ∧ρm}= EνKgV（·，θρ）（θρ）1{ρ<ψ∧ρm}=Zun（dω）Euω（ρ（ω））KgV（ω，·）∧ρm{ρ(ω)<(ψ∧ρm（ω）}=0，同样是由于可选停止定理（回想一下，V（ω，·）是有界的，Kg·∧ρmisauj-鞅对所有j∈ J） 。我们从[47，命题II.1.4]得出结论，Kg·∧ρmis aν鞅，因此在ν下的坐标过程（Xt）t≥0解决鞅问题（A*, L*, j∞). 唯一性假设意味着ν=u*. 因为同样对于G∈ ρ我们可以选择G′=G×D（R+，J），我们得到u*（G） =ν（G）=un（G）。证明是完整的。附录A。

马氏链与布朗运动的独立性≤ ∞ 成为一个时间范围，让(Ohm, F、 F，P）是右连续且完全过滤F=（Ft）t的完全概率空间∈[0，T]，它支持一维布朗运动W=（Wt）T∈[0，T]和一个Feller–Markov链ξ=（ξT）T∈[0，T]。我们假设ξ的初值ξ是确定的。回想一下我们的约定，W是F的布朗运动，ξ是F引理a.1的马尔可夫链。σ（Wt，t∈ [0，T]）和σ（ξT，T∈ [0，T]）是独立的。证明：让f∈ C（J）应确保Qf∈ C（J），其中Q是ξ的Q矩阵。We setM，f（ξ）- f（ξ）-Z·Qf（ξs）ds。让g∈ Cb（R）使infx∈Rg（x）>0和setK，g（W）exp-Z·g′（Ws）g（Ws）ds.^o公式得出K是鞅。p过程M是Dynk-in公式的鞅。因此，按部分积分得到的结果是Dmtkt=MtdKt+KtdMt+d[M，K]t.（A.1），因为ξ在一个有限的时间间隔内只有有限多个跳跃，过程M在有限的时间间隔内具有有限的变化。因此，由于K具有连续路径，因此它遵循a.s.[M，K]=0的条件。鉴于（A.1），我们得出结论，M K是一个鞅。现在，回顾示例4.2，我们可以在定理4.3证明的步骤3中进行论证，以获得所声称的独立性。参考文献【1】Aliprantis，C.和Border，K【2013年】，《有限维分析：搭便车指南》，Springer。[2] Anderson，W.（2012），《连续时间马尔可夫链：面向应用的方法》，纽约州斯普林格。[3] Blanchet，J.和Ruf，J.（2016），“测量构造变化的弱收敛准则”，随机模型32（2），233–252。连续金融市场中的无套利35【4】Bruggeman，C.和Ruf，J【2016】，“一维差异命中率快速”，《概率论》第21期电子通信，第7页【5】Cheridito，P.、Filipovic，D.和Yor，M。

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克莱恩斯-德国慕尼黑技术大学数学系电子邮件地址：david。criens@tum.de