连续金融市场中的无套利

ξ的重复出现确保了这种切换差异达到区域j，从而导致矛盾。如果初始状态jis已经爆炸，更准确地说，如果σ满足jand limxrv（x，j）<∞ 或limxlv（x，j）<∞, ξ的重复性是不需要的。注意到ξ在N<∞, 我们得到如下结果：推论2.7。假设c在I×J的紧子集上有界，σ满足所有J的条件∈ J和N<∞. 那么，Z是鞅当且仅当i f（2.7）成立。证明：如果N<∞, ξ的递推源自【44，定理1.5.6，3.4.1】。现在，这个主张是基于定理2.5。在金融应用中，N可以解释为业务周期的状态数，因此N<∞ 是一个合理的假设。2.3. 相关文献评论。非负局部鞅的鞅性质一直是人们研究的热点。我们提到了一些相关的工作：【13、27、30】中考虑了一般半鞅设置，而【5、34、39、43、50、53】中研究了扩散和/或跳跃扩散设置。据我们所知，对于一般It^o过程或马尔可夫切换设置理论，2.1、2.3和2.5是第一个结果，为某些随机指数的鞅性质提供了积分检验。对于微分情形dst=b（St）dt+σ（St）dWt，非负局部鞅z=E的鞅性质的完整表征Z·c（Ss）dWs在局部可积条件下，已在[43]中得到证明。我们强调，在[43]中，差异被允许爆炸，这是我们框架中未包含的一个特性。如果S是非爆炸性的，则[43]的主要定理表明Z是鞅当且仅当Iflixrv（u，σ）=limxlv（u，σ）=∞,其中，u、b+cσσ和v的定义如（2.2）所示。

定理2.1和2.3或推论2.7暗示了相同的条件。对于严格的局部鞅性质，我们要求σ满足ES条件，这在[43]中没有规定。定理2.1、2.3和2.5的核心思想是结合了Lyapunov型参数（在定理2.1的情况下）、与一维效应的比较（在定理2.3的情况下）或局部唯一性属性（在定理2.5的情况下）的局部度量变化。使用局部变更度量的想法并不新鲜。例如，它已在[5、11、13、50、53]中使用。李雅普诺夫和比较论点的灵感来自【11】，其中研究了多维差异。为了在我们的一般设置中使用这些想法，我们证明了It^o过程的newLyapunov条件，并将比较参数从多维差异设置传输到一维It^o过程框架，见下文第5节。将局部唯一性与随机指数的鞅性质联系起来的思想可以追溯到[29，31，32]。最近，该方法在[5、11、34、53]中使用。尽管连续金融市场中的终端女性套利7表明了相反的情况，但地方唯一性是法律唯一性的有力体现。在定理2.5的证明中，我们通过Yamada–Watanab e-typeargument从路径唯一性推导出局部唯一性。3、关于任意集0<T<∞ 成为有限的时间范围，让(Ohm, F、 F，P）是一个完全过滤概率空间，具有右连续和完全过滤F=（Ft）t∈[0，T]。

我们考虑由一项风险资产组成的金融市场，其贴现价格过程为P=（Pt）t∈[0，T]，它被假定为具有确定初值的正连续半鞅。回想一下下面的经典术语：如果Q是等价（局部）鞅测度（E（L）MM），则概率测度Q称为等价（局部）鞅测度（E（L）MM~ P和P是（局部）Q-鞅。严格正局部P-鞅Z=（Zt）t∈如果ZP是（局部）P-鞅，则Z=1的[0，T]称为严格（局部）鞅密度（S（L）MD）。在下文中，我们研究了当Pis是It^o过程的随机指数或正开关微分时SMD、ELMMs和EMM的存在与不存在。如果Pis为正It^o过程或实值切换微分的随机指数，则可根据第2.3.1节中的鞅标准推导出类似结果。随机指数m模l。假设P是重新估值It^o过程S=（St）t的随机指数∈[0，T]具有确定性初始值S∈ R和dyn amicsdSt=btdt+σtdWt，（3.1），其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]是实值渐进可测过程，因此（3.1）中的随机积分得到了很好的定义。我们假设λ\\ P-a.e.σ6=0，对应于P具有非消失波动性的假设。3.1.1. 无套利。在下文中，我们将研究SMD、ELMM或EMM何时存在。作为最小条件，我们假设（NUPBR）成立。这相当于存在风险的市场价格θ=（θt）t∈[0，T]，即。

一种实值的渐进可测过程，如a。s、 ZTθsds<∞和λ\\ P-a.e.b- θσ = 0.（3.2）我们定义了连续局部鞅，E-Z·θsdWs.（3.3）部分积分和（3.2）产生的dztpt=ZtPt（σt- θt）dWt，（3.4），这表明ZP是一个局部鞅，或者，等价地，Z是一个SLMD。我们观察到如下：（O1）如果ZP是鞅，那么Z是定义的SMD。（O2）如果Z是鞅，我们可以通过Radon–NikodyMyDerivativedQdp定义概率测度Q，Zt和Q是一个ELMM（3.4）和[30，命题III.3.8]。（O3）如果ZP和Z是鞅，则（O2）中定义的Q是[30，命题III.3.8]中的EMM。总之，为了证明SMD、ELMM和EMM的存在性，我们必须确定ZP和Z的鞅性质的条件。以下是本节的主要结果：定理3.1。假设如下：（L1）序列τn，inf（t∈ [0，T]：| St |≥ n） ，n∈ N、 （3.5）是Z.8 D.CRIENS的定位序列（L2）有Borel函数a:R→ (0, ∞) 和ζ：[0，T]→ R+这样A∈ Lloc（R），ζ∈ L（[0，T]），σT（ω）≤ λ的ζ（t）a（St（ω））\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.那么，Z是一个鞅，Q由dqdp定义，zt是一个ELMM，b=W+Z·θtdt（3.6）是一个Q-布朗运动，使得S=S+Z·σtdBt。如果添加Z∞dza（z）=∞,（3.7）那么Q是EMM，Z是SMD。证明：我们将定理2.1应用于I，R，ln，-n、 rn、n和c，-θ. 注意，（L1）等于（M1）。此外，设置u（x）≡ u（x），0。然后，（L2）表示（M2），因为（3.2）表示λ\\P-a.e.b+cσ=0。最后，请注意z±∞xexp- 2Zxxu（y）dydx=Z±∞xexp- 2Zxxu（y）dydx=±∞ ,这表明（M3）符合[36，问题5.5.27]。我们得出结论，Z是鞅，Q是（O 2）的ELMM。接下来，我们假设（3.7）成立。我们将定理2.1应用于I，R，ln，-n、 rn、n和C，σ- θ表示局部鞅z′，ZPP=EZ·（σs- θs）dWs是鞅。

在这种情况下，Q是EMM，Z是（O1）和（O3）的SMD。通过（L1），集合{Zγ∧τn：γ停止时间}是一致可积的（见[30，命题I.1.47]）。因此，supγEPZ′γ∧τn{Z′γ∧τn≥K}≤ e | S |+nsupγEPZγ∧τn{Zγ∧τn≥e-|S|-nK}→ 0作为K→ ∞,其中supγ是所有stop in g乘以γ的上确界。根据[30，命题I.1.47]，我们得出结论，（M1）适用于Z′。注意，（3.2）表示λ\\ P-a.e.b+cσ=σ。因此，我们设置u（x）≡ u（x），1，注意（L2）表示Z′的（M2）。利用Fubini的theoremand（3.7），我们得到了thatlimx∞v（1，a）（x）=2Z∞xe公司-2yZyxe2ua（u）dudy=2Z∞xe2ua（u）Z∞ue公司-2ydydu=Z∞xdua（u）=∞.因为-∞xexp- 2Zxxdydx=-∞,[36，问题5.5.27]得出limx-∞v（1，a）（x）=∞. 因此，（M3）表示Z′。我们得出Z′是鞅且p屋顶是完备的。在我们的环境中，可能存在多个ELMM，在应用程序中应选择哪个ELMM是一个重要的问题。定理3.1中的ELMM是【25】中定义的连续金融市场中的最小局部m artingaleNO套利9measure（MLMM）。对于MLMM的财务解释，我们参考【25】，对于可能应用的一般概述，我们参考【23】。在下面的定理4.3中，我们发现了MLMM的一个新特性：MLMM保持了风险源的独立性和规律。在下一段中，我们将假设（L1）和（L2）与[37]中介绍的所谓弱等价局部鞅测度（WELMM）联系起来。我们在假设F=FTand（NUPBR）成立的情况下，从一般的角度解释了这种联系。稍微滥用符号，设Z=（Zt）t∈[0，T]是具有局部化序列（τn）n的SLMD∈N、 对于everyn∈ N我们可以通过Radon–Nikodym导数qndp，ZT定义概率度量qnb∧τn.很容易看出，对于停止的过程P，Qnis是一个ELMM·∧τn。

换句话说，对于每n∈ N概念（NFLVR）适用于在τN之后无风险投资的所有可接受策略。粗略地说，这一观察结果表明，如果我们可以采取限制，则（NFLVR）适用→ ∞. 如【37】第2.4.2节所述，Alaoglu定理得出（Qn）n∈NHA是弱者的聚集点Q*L的对偶上的拓扑∞(Ohm, F、 P），这是一个完全可加性概率，因此对于所有a，Q（a）=0∈ F，P（A）=0，见[14]附录。我们使用无衬线字体来强调Q不一定是一个概率度量，因为它可能不是可数加法。注意，对于每个n，Q=Qnon Fτ∈ N、 利用这一事实，可以得出如下结论：∈ 当Q（A）=0时，我们也有P（A）=0，这表明Q和P具有相同的空集。确实，如果∈ F=fti，Q（A）=0，我们有A∩ {τn>T}∈ Fτ与随后的Qn（A∩ {τn>T}）=Q（A∩ {τn>T}）=0表示所有n∈ N、 这意味着P（A∩ {τn>T}）=0，因为P-a.s.τn∞ 作为n→ ∞,我们得出结论，P（A）=0。在[37]之后，我们称Q为WELMM。ELMMs和ELMMs之间以及（NUPBR）和（NFLVR）之间的主要区别在于，WELMM不一定是一种度量。条件（L1）的概念是识别一个WELMM，如上所述，它是ELMM的自然条件。假设（τn）n∈（3.5）中给出的Nis表示控制资产规模。从建模的角度来看，这一假设是合理的，因为正如Lyaso fff[40，第488页]所解释的，“风险证券的预期瞬时净回报过大，导致对资金的需求过大（投资此类证券），这反过来意味着利率越来越高，这反过来意味着风险的市场价格越来越低”。在米贾托维奇（Mijatovi\'c）和乌鲁索夫（Urusov）[42]的差异设置中，（L1）相当于局部可获取性条件[42，Eq。

3.2]关于MPR，请参见[43，引理6.3]。条件（L2）关注候选WELMM的可数可加性，这对应于当n→ ∞. 实际上，Q是可数加的当且仅当iflim supn→∞Q（τn>T）=lim supn→∞Qn（τn>T）=1，（3.8），这也是我们在定理2.1的证明中检查的条件。如果Q是可数加的，那么（3.8）来自单调收敛定理和P-a.s.τn∞ asn公司→ ∞. 相反，假设（3.8）成立。Let（Ek）k∈N F是与tk递减的序列∈NEk=. 那么，因为Ek∈ F=英尺，我们有Ek∩ {τn>T}∈ Fτn，产生thatlim supk→∞Q（Ek）≤ Q（τn≤ 林素福→∞Q（Ek∩ {τn>T}）=Q（τn≤ T）+lim SUP→∞Qn（Ek∩ {τn>T}）=Q（τn≤ T）→ 0和n→ ∞.因此，Q在零处是连续的，这意味着它是可数相加的。3.1.2. 金融泡沫的存在。在定理3.1中，我们给出了anELMM存在的条件。在本节中，我们推导了（3.7）的对应项，这意味着存在[9]意义上的泡沫。正如我们解释的n ext，当非负局部鞅是严格局部鞅时，SMD存在的问题与qu估计强相关。我们回顾如下：在[25]中，MLMM被称为最小鞅测度。因为我们区分了ELMMS和EMM，所以我们调整了术语。10 D.CRIENSLemma 3.2。如果Z是SLM D，则存在风险θ=（θt）t的市场价格∈[0，T]和局部鞅N=（Nt）T∈[0，T]这样a.s。N>-1，[N，W]=0，Z=EN-Z·θsdWs.（3.9）证明：见【51，定理1】。如果Z是SMD，（3.9）保持不变，ZP=PEN+Z·（σs- θs）dWs（3.10）定义为鞅。如果不是这样，我们就有矛盾，不存在SMD。以下是本节的主要结果：定理3.3。

假设存在一个Borel函数a:R→ (0, ∞) 使（1，a）满足条件（本术语见第2.1节），a（St（ω））≤ λ的σt（ω）\\ P-a.a.（t，ω）∈[0，T]×Ohm andZ公司∞dza（z）<∞.（3.11）则不存在SMD。证明：我们使用定理2.3和I、R和u，1证明（3.10）中定义的ZP是严格局部鞅。因为θ是MPR，λ\\ P-a.e.b+（σ- θ） σ=σ=u（S）σ。此外，Fubini定理和（3.11）得出thatlimx∞v（1，a）（x）=Z∞xdza（z）<∞.因此，定理2.3第（ii）部分的条件成立，我们得出结论，ZP是一个严格的局部鞅。因此，如上所述，不存在SMD。条件（3.7）和（3.11）提供了MLMM是否为EMM的测试。在功能设置中，条件可归结为一个单一的有效和必要条件，如【11，命题5.2】所示。3.1.3. 示例：具有变化点的差异模型。Fontana等人[24]研究了具有变化点的模型的y（NUPBR）和（NFLVR）。作者感兴趣的是过滤的影响，它代表了不同层次的信息。在H′假设的弱形式下，该模型可以包含在我们的框架中。更准确地说，在这种情况下，S的形式为dst=utdt+σ（1）（t，St）1{t≤τ}+σ（2）（t，St）1{t>τ}dWt，其中τ是停止时间。假设系数σ（i）在第二个变量中是正的、连续的和Lipschitzcontinuous的，在第一个变量中是一致的，参见【24，条件i】。定理3.1为（NFLVR）提供了局部条件。例如，在【24，第3.3节】中描述的特殊情况下，定理3.1得出（NFLVR）始终成立，因为ut=u（1）（t，St）1{t≤τ}+u（2）（t，St）1{t>τ}，（3.12），其中u（i）是局部有界的。这扩展了文献[24]中的观察结果（NUPBR）在这些案例中的适用性。此外，如果除（3.12）外，i=1，2σ（i）（t，x）≤ 常数。

x、 （t，x）∈ [0，T]×[1，∞),然后偶数（NFFLVR）成立。[24]中未研究该概念（NFFLVR）。连续金融市场无套利113.2。马尔可夫切换的扩散模型。在这一节中，我们假设P是一个具有d个不确定初值P的正连续半鞅∈ (0, ∞) 和dynamicspt=b（Pt，ξt）dt+σ（Pt，ξt）dWt，其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，ξ=（ξT）T∈[0，T]是状态空间J，{1，…，N}，1的连续时间不可约Feller-Markov链≤ N≤ ∞, 和确定性初值j∈ J、 和b：（0，∞) ×J→ R和σ：（0，∞) ×J→ R{0}是Borel函数su chthat1+| b（·，j）|σ（·，j）∈ Lloc（（0，∞)) 对于所有j∈ J、 我们可以将N解释为商业周期中所有可能状态的数量。不可约性假设意味着我们排除了从初始状态无法达到的商业周期的所有状态。出于技术原因，我们假设ξ为Feller过程。如果N<∞任何值在J中的马尔可夫链都是一个Feller过程，因为Jar上的所有实值函数都是连续的且在单位内消失。由于附录中的引理A.1，风险ξ和W的来源是相互依赖的。引理甚至表明，如果没有它们的独立性，就不可能对ξ和Was马尔可夫过程进行建模。这一观察结果为独立性假设提供了一种新的解释，该假设通常被解释为受商业周期影响的价格过程和驱动布朗运动所代表的额外独立风险源。3.2.1. 没有和存在套利。

我们强加了以下两个假设：系数b在（0，∞) ×J，σ在（0，∞) ×J和σ满足所有J的es条件∈ J、 该术语见第2.2节。我们定义θ（x，j），b（x，j）σ（x，j），这是一个以（0，∞) ×J.过程θt，θ（Pt，ξt）是aMPR。我们定义了连续局部鞅Z，如（3.3）所示。请注意，第3.1节中的观测值（O1）–（O3）也适用于此设置。我们称E（L）MM Q为Radon–NikodymderivativedQdP=zt最小（局部）鞅测度（M（L）MM）。下面的理论为M（L）MM的存在和Z是SMD提供了条件。定理3.4。（i） 假设zzσ（z，j）dz=∞ 对于所有j∈ J、 （3.13）那么，Z是一个鞅，概率测度Q由Radon–NikodymderivativedQdP定义，zt是一个ELMM。此外，（3.6）中定义的B是Q-布朗运动，使得P=P+Z·σ（Pt，ξt）dBt。如果添加Z∞zσ（z，j）dz=∞ 对于所有j∈ J、 （3.14）那么Q是EMM。（ii）如果（3.14）成立，则Z是SMD。证明：当使用定理2.5代替定理2.1时，该主张类似于定理3.1的证明。定理2.5表明，如果ξ是递归的，则定理3.4中的条件是充分和必要的。下面的定理使这一点更加精确。定理3.5。假设ξi是循环的。12 D.CRIENS（i）如果存在j∈ J使得zzσ（z，J）dz<∞,（3.15）那么Z是严格局部鞅，MLMM不存在。（ii）如果存在j∈ J这样z∞zσ（z，j）dz<∞,（3.16）则Z不是SMD。特别是，MMM不存在。证明：当使用定理2.5代替定理2.3时，该主张类似于定理3.3的证明。回顾在N<∞ 马尔可夫链ξ是递归的，我们得到如下结果：推论3.6。假设N<∞.