多层面安全资本要求的风险分担

假设X∈ X和Z=ZX∈ M等于∧（X）=π（Z）和X-Z∈ A+。Asπ（Z）∈ R和∧A+≤ 0，X∈ dom（λ）。选择易学∈ 哎，我∈ [n] ，这样X- Z=Pni=1Yi。对于任何Z∈ 因此，AsZwe有X=Pni=1Yi+Ziand∧（X）≤nXi=1ρi（Yi+Zi）=nXi=1ρi（Yi）+nXi=1pi（Zi）≤ π（Z）=∧（X），其中我们使用了ρi（Yi）≤ 0和π（Z）=Pni=1pi（Zi）（命题3.1）。这表明∧在X处的真实性。现在假设L（ρi）=Ai+ker（pi），i∈ [n] 。让X∈ dom（λ）和X∈ ax使得∧（X）=Pni=1ρi（Xi）。此外，让Ui∈ Si，pi（Ui）=1。同于Xi- ρi（Xi）Ui∈ Ai+ker（pi），14与多维证券市场的风险分担∈ [n] ，根据假设，我们可能会发现∈Qni=1ker（pi），这样Xi- ρi（Xi）Ui+Ni∈ Aiforevery i公司∈ [n] 。pni=1ρi（Xi）Ui的事实- Niis是X的最佳回报，立即生效。在拓扑环境中，最优payoff的存在与minkowski和a++ker（π）闭合密切相关：命题3.4。相反（X，, τ） 是拓扑Riesz空间，∧是真的。那么，当且仅当∧是l.s.c.且eve ry X时，a++ker（π）是闭合的∈ dom（λ）允许最佳支付。证据首先假设A++ker（π）是闭合的。对于下半连续性，我们必须确定Lc（λ）对于每个c都是闭合的∈ R、 为此，让Ui∈ 硅∩ X++使pi（Ui）>0，并设置U：=Pni=1Ui。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设π（U）=1。我们将显示lc（∧）=cU+A++ker（π），（3.4），每当A++ker（π）闭合时，它都是闭合的。（3.4）中的右侧集合通过∧的M可加性包含在左侧集合中。对于逆包含，设X∈ Lc（λ）。对于s>c，有一个Zs∈ M s uch该c≤ π（Zs）≤ s和X- Zs公司∈ A+。考虑decompositionx- sU=X- Zs+（π（Zs）- s） U+Z- π（Zs）U.As X- Zs+（π（Zs）- s） U型 十、- Zs公司∈ A+和Zs- π（Zs）U∈ ker（π），a+的单调性表示X- 苏∈ A++ker（π）。因此，X- cU=lims↓cX公司- 苏∈ 证明了clτ（A++ker（π））=A++ker（π），和（3.4）。

在（3.4）中设置c=0表示L（λ）=A++ker（π）。因此，X- ∧（X）U∈ 所有X的A++ker（π）∈ dom（λ），对于合适的N∈ ker（π）依赖于X我们有X- ∧（X）U+N∈ A+和π（λ（X）U- N） =λ（X）。因此，X的最佳payoff由∧（X）U给出- N∈ M、 假设∧是l.s.c.，并且每个X∈ dom（λ）允许获得最佳回报。Let（Xi）i∈Ibe a++k（π）中的一个网络，收敛于X∈ 十、然后∧（X）≤ 0乘以∧的最小连续性。让Z∈ M是X的最优payofff，因此π（Z）=∧（X）≤ 0。对于如上所述的u和Y：=X- Z∈ A+我们得到Y+π（Z）U∈ A+由A+的单耳性决定。阿尔索兹- π（Z）U∈ ker（π）。因此X=（Y+π（Z）U）+（Z- π（Z）U）∈ A++ker（π）。命题3.4与[6，命题4.1]相关。与命题3.3一起，这是帕累托最优解存在的有力条件，我们将应用第4和第5条。唯一非平凡的步骤将是验证∧的正确性和A++ker（π）的封闭性。3.3. 平衡的存在。当市场损失由Fr'echet晶格（X，, τ). 由于这一概念在文献中不明确，我们强调Fr'echet格是一个局部凸的实拓扑Riesz空间，其拓扑是完全可度量的。与多维证券市场的风险分担15特别是，Banach格是Fr'echet格。作为一个更一般的例子，可以考虑维纳空间C（[0，∞)) 非负半直线上所有连续函数的点序≤ 以及度量D（f，g）的拓扑τDarising：=∞Xk=1-kmax0≤r≤k | f（r）- g（r）| 1+最大值0≤r≤k | f（r）- g（r）|，f，g∈ C（[0，∞ )).显然，（C（[0，∞)), ≤, τD）不是Banach晶格，而是Fr'echet晶格。

如果所讨论的原语是连续的轨迹，例如，某些商品的n et值随时间的变化，则可以选择作为mod elspace。对于以下主要元定理，如果模型空间是一个Fr'ech et晶格，则提供平衡的存在性，请回顾共同接受证券的定义：=Tni=1Si。此外，我们在这里和下面的int dom（λ）中设置为风险分担函数∧的有效域的τ-内部。给定一个p-roper函数f:X→ (-∞, ∞], 它的对偶共轭是函数f*: 十、*→ (-∞, ∞] 由f定义*（φ） =su pX∈Xφ（X）- f（X）。给定X∈ dom（f），φ∈ 十、*是f在X处的次梯度，如果f（X）=φ（X）- f*(φ).提案3.5。假设X是Fr'echet晶格，∧是l.s.c.且正确。此外，让（NR）满足，即存在aZ∈ˇS，π（~Z）6=0。如果W∈Qni=1xi是指W：=W+…+西尼罗河∈ int d om（∧），W存在Pareto最优分配，W存在平衡点（X，φ）。固定W∈Qni=1 W：=W+…+西尼罗河∈ int dom（λ）。由于Fr'echet格是桶形空间，因此∧在W处可由[16，推论2.5和命题5.2]次微分，即存在次梯度φ∈ 十、*满足∧（W）=φ（W）的W处∧的- Λ*(φ). As∧ismonotone，φ∈ 十、*+, 由引理A.4∧确定的an d*（φ） =nXi=1ρ*i（φ| Xi），φ∈ 十、*. （3.5）设Y为W的任意帕累托最优分配。As∧（W）=Pni=1ρi（Yi）∈ R、 λ（W），λ*（φ） 和ρ*i（φ| Xi），i∈ [n] ，都是实数。此外，作为∞ > ρ*i（φ| Xi）≥ supZ公司∈Siφ（Yi+Z）- ρi（Yi+Z）=φ（Yi）- ρi（Yi）+supZ∈Siφ（Z）- pi（Z），φ| Si=pi，i∈ [n] ，必须保持不变，这反过来意味着通过π的线性和命题3.1，φ| M=π。根据（NR），我们可以∈ˇS使得π（▄Z）=1=π（▄Z），i∈ [n] 。LetXi：=Yi+φ（Wi- Yi）~Z，i∈ [n] 。请注意，X∈ AWholds，因为epni=1Wi=Pni=1Yi=W，thusPni=1Xi=W。

此外，X是帕累托最优的：nXi=1ρi（Xi）=nXi=1ρi（Yi）+φ（Wi- Yi）π（~Z）=nXi=1ρi（Yi）+φ（W- W）=nXi=1ρi（Yi）=∧（W）。16与多维证券市场的风险分担，如φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi）≤ ρi（Xi）表示所有i∈ [n] andnXi=1ρi（Xi）=∧（W）=φ（W）- Λ*（W）=nXi=1φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi），ρi（Xi）=φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi）必须保持所有i∈ [n] 。我们认为（X，φ）是一个平衡。实际上，作为φ(-Xi）=φ(-Wi）适用于所有i∈ [n] ，预算约束已得到满足。此外，如果∈ [n] 和Y∈ Xisatisφ(-Y）≤ φ(-Wi）=φ(-Xi），我们得到ρi（Y）≥ φ（Y）- ρ*i（φ| Xi）≥ φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi）=ρi（Xi）。多面体代理系统在本节中，我们假设代理系统（R，…，Rn）在Fr'echet晶格给出的市场空间X上运行。每个代理i∈ [n] 在封闭的理想Xi上运行 X，和X+…+Xn=X。封闭性假设意味着（Xi，, τ ∩ Xi）本身就是一种Fr’Echettice。我们假设每个验收集Ai XI是多面体。定义4.1。让（X，, τ） 成为Fr'echet晶格。凸集C X称为多面体如果有一个有限集J 十、*和β∈ rj使得a={X∈ X | φ ∈ J：φ（X）≤ βφ}.一个agent系统（R，…，Rn）是多面体的，如果它具有属性（NSA）和（SUP），并且每个接受集Ai，i∈ [n] ，是多面体。集合C的多面体等价于某些m的存在性∈ N、 连续线性构造器T:X→ Rm和β∈ rm使得C={X∈ X | T（X）≤ β} ，其中定义的不平等是协调理解的。在验收集的情况下，可以选择表示线性构造的为正。具有多面体接受集的风险度量在Baes等人[6]中发挥着重要作用，其中研究了单个此类风险度量的最优支付集。示例4.2。为了简单起见，我们考虑有限的尺寸设置。

假设A、B和C是由内部风险管理或监管机构提出的未来经济状态的三组不确定且不相交的情景。我们设置Ohm= A.∪ BOhm:= B∪ C、 代理i的相关场景有哪些∈ {1, 2}. B可以被视为一组非平凡的联合相关场景，以及Ohm := A.∪ B∪ C是与整个系统相关的场景集。然而，由于代理i的相关场景是ω∈ Ohmi、 她个人和系统上都有理由要求自己在分享市场损失中的股份在情景ω中保持中立∈ Ohm\\Ohmi、 模型的规范选择在consequenceX：={X：Ohm → R} ，Xi：={X∈ X | X|Ohm\\Ohm我≡ 0}，i=1，2。多维证券市场的风险分担17举例来说，我们假设个人可接受性是根据情景损失约束确定的：让K∈ X和K∈ Xbe两个任意但固定的个体损失耐受向量。考虑风险度量区域：={X∈ X | X≤ K} ，S=跨度{1A，1B}，p（x1A+y1B）=x+y，A：={x∈ X | X≤ K} ，S=span{1B，1C}，p（x1B+y1C）=x+y。在分别实现a、B和C的一种情况下，（箭头指示）证券1A、1B和1C支付单位金额。目标是不超过损失公差和最低成本。4.1. 最优支付、帕累托最优和均衡的存在性。我们转向在上述设置中存在的最优分配。根据定义，多面体试剂系统满足（NSA）和（SUP）。由此产生的风险分担函数∧符合命题3.1（3）。通过3.3和3.4，如果可以建立A++ker（π）的封闭性，则可以证明Pareto最优分配的存在性。对于下面的引理，回想一下Fr'echet空间是一个完全可度量的局部对流向量空间。

特别地，每个Fr'echet晶格都是Fr'echet空间。引理4.3。设X是Fr'echet空间。（1） A子集C X是多面体当且仅当存在闭子空间X，X X确定X=X⊕ 十、 尺寸（X）<∞, 对于多面体C′，C=X+C′ 十、 （2）假设Y和X是Fr'echet空间，C Y是多面体，T:Y→ X是一个目标线性算子。那么T（C）在X上是多面体。证据（1） 将[40，推论2.1]的证明与闭Gr ap h定理[26，定理5]相结合。（2） 根据（1），有两个闭子空间Y，Y Y使得Y=Y⊕ Y、 尺寸（Y）<∞,对于有限维子空间Y中的多面体C′，C=Y+C′。定义X：=T（Y），这是有限维的。Fr'echet空间的每个有限维子空间都由一个闭合的子空间来完成。因此X=X⊕ xf对于闭子空间X.显然，T（C′） Xis是多面体。此外，用γi:X表示→ xit线性子空间Xi上X的投影，T的满射意味着X=γ（X）=γ（T（Y））+γ（T（Y）=γ（T（Y））。此外，T（C）=T（Y）+T（C′）=X+γ（T（Y））+T（C′。γ（T（Y））是有限维空间Xa多面体的子空间，也是二维多面体的sumγ（T（Y））+T（C′）的子空间。以（1）结束。定理4.4。设（R，…，Rn）是Fr'echet晶格X上的多面体智能体系统。那么，集合A++ker（π）是真的、多面体的、闭的，∧是ls。c、 ，并且每X∈ dom（λ）加入最优payoff ZX∈ M、 因此，可以如命题3.3所示，对其进行帕累托最优分配。证据根据假设（SUP），集合A++ker（π）是正确的。

此外，它是多面体：考虑Fr'echet s速度Y：=（Qni=1Xi）×ker（π）。根据假设，集合C：=（Qni=1Ai）×Y不是Fr'echet晶格，因此上述引理4.3.18与多维证券市场风险分担的必要性K（π）是多面体的，T:Y→ 由T（X，…，Xn，N）=Pni=1Xi+N定义的X为满射线性。由于X是一个Fr'echet空间，Lemm a 4.3（2）得到了T（C）=a++ker（π）的多面体。作为多面体，它会自动闭合。因为∧是正确的，所以它是l.s.c.并且每X存在最佳的支付∈ 位置3.4中的dom（λ）。定理4.4与命题3.5一起暗示了平衡的存在：推论4.5。如果Fr'echet晶格X上的多面体代理系统（R，…，Rn）满足（NR），则对于EVERY W∈Qni=1Xisuch that W+…+西尼罗河∈ int dom（λ）存在一个平衡点（X，φ）。4.2. 帕累托最优对应的下半连续性。在本节中，我们考虑对应的P映射X∈ dom（λ）到其帕累托最优分配X∈ AX。调用命题2.6，我们可以表示p（X）=（X∈ AX∧（X）=nXi=1ρi（Xi））。（4.1）有关通信（或集值映射）的术语和特性的简要总结，请参阅附录a.3。下面的定理断言，在温和的条件下，P是低流态连续的。定理4.6。假设对于多面体代理系统，市场空间X为有限维或Xi=X f或所有i∈ [n] 。那么对应关系P是dom（∧）上的下半连续，并且允许dom（∧）上的连续选择。它的证明需要以下高度技术性的引理4.7和4.8，它们的证明模仿了Baes等人的技术。注意，与定理4.4类似，A+是闭合的。引理4.7。如果Ai Xi，i∈ [n] ，是多面体接受集，X是有限维，对应关系Γ：A+ 十、→ AX∩Qni=1下半连续。证据

每个子空间XI也是多面体的。如定义4.1所示，对于每个i∈ [n] we FIXMI公司∈ N、 一个正线性连续算子Ti:X→ Rmi、d向量βi∈ Rmi，suchthatAi={X∈ X | Ti（X）≤ βi}。步骤1：对于FIX ed x∈ A+我们将Γ（X）分解为一个通用分量和一个X依赖分量的和。回顾附录A.1，衰退锥Γ（X）由0+Γ（X）：={Y | 十、∈ Γ（X） k>0：X+kY∈ Γ（X）}。Γ（X）的线性空间为0+Γ（X）∩(-0+Γ（X））={Y∈ A | 我∈ [n] ：Ti（Yi）=0}，一个独立于X的子空间。根据lemma a.2，存在一个独立于X的子空间VQni=1Xisuch，即Γ（X）=α（X）+0+Γ（X），α（X）：=co（ext（Γ（X）∩ 五） ，其中co（·）表示凸包算子，ext（Γ（X）∩ 五） Γ（X）的极值点集∩ 五、 多维证券市场的风险分担19步骤2：在这一步中，我们证明了对应的α：A+→Qni=1将边界集映射到边界集。为此，设D：=dim（X）=dim（X*) 并选择一个基ψ。。。，ψDof X*. 请注意，X∈ Γ（X）∩ V当且仅当，oX是X的分配，即ψj（X+…+Xn）=ψj（X）对于所有j∈ [D] ，或等效ψj（X+…+Xn）≤ ψj（X）和(-ψj）（X+…+Xn）≤ (-ψj）（X）；oAi中的每个西里，即Ti（Xi）≤ βi；o十、∈ 五、 显然，上面列出的属性描述了一个多面体集；更准确地说，对于上面定义的m：=Pni=1mi+2D，我们可以找到一个连续线性算子S:V→ Rmand连续函数f:X→ Rm使得Γ（X）∩ V={X∈ V | S（X）≤ f（X）}。每一行Siof S对应一个V元素*. 根据[8，定理II.4.2]，对于每个极值点X∈ α（X）∩ 集合I（X）={I∈ [m] | Si（X）=fi（X）}，其中至少包含dim（V）元素，满足{Si | i∈ I（X）}=V*. 设F（X）：={I（X）| X∈外景（Γ（X）∩ 五） }是对应于一个极值点的所有此类I（X）的集合。

其基数以极限点的有限个数为界，后者仅取决于dim（V）和m。此外，对于每个I∈ F（X），线性算子SI:V Y 7→ （Si（Y））i∈IIS是客观的，因此在其图像上是可逆的。记住[8，推论II.4.3]，我们已经展示了（SI）I∈F（X）是一个有限的可逆算子族，其基数仅依赖于dim（V）和m。让B X是有界集。对于每个I∈ F（X），fi是连续的，因此将bt映射到一个有界集。此外，S-1通过闭图定理[26，定理5]是连续的，由此{S]有界-1I（fI（X））| X∈ A} 如下所示。回想一下{F（X）| X∈ B} 是有限的。使用Carath'eodory定理[32，定理17.1]，co{s-1I（fI（X））| X∈ B、 我∈ F（X）}是有界的。As【X】∈Bα（X）=[X∈Bco{S-1I（fI（X））| I∈ F（X）} co{S-1I（fI（X））| X∈ B、 我∈ F（X）}，它必须是有界的，并且证明了d步2。步骤3：Γ为下半连续。Let（Xk）k∈N A+收敛于X∈ A+和letX∈ Γ（X）。我们必须证明有一个后续的ce（kλ）λ∈Nand Xλ∈ Γ（Xkλ），如Xλ→ 十、c、 f.附录A.3。为此，让我们首先Yk∈ α（Xk），k∈ N、 这是步骤2的有界序列。传递到子序列（kλ）λ后∈N、 我们可以假设kλ→ Y∈ Γ（X）（当AIS关闭时，i∈ [n] ）。如果Γ（X）是单态，则Y=X必须保持不变，我们可以选择Xλ：=Ykλ。否则，首先假设X位于Γ（X）的相对内部，即存在ε>0，使得X+ε（X- Y）∈ Γ（X），以及。回想一下线性运算符Ti，i的定义∈ [n] 以上和附录i∈ [n] 。让1≤ j≤ mibe任意。Tji（W）的Wedenote是Ti（W）的第j个条目。案例1：Tji（Xi）=来自Yi的βj∈ 哎，我们推断≥ Tji（Xi+ε（Xi- Yi））- βj=ε（βj- Tji（彝语））≥ 0,20与多维证券市场的风险分担，这意味着Tji（Yi）=βj。设置λ（i，j）=1。案例2：Tji（Xi）<βj。

同于Ykλi→ Yiforλ→ ∞, 必须有λ（i，j）∈ N使得对于所有λ≥ λ（i，j）Tji（Ykλi- 易+Xi）≤ βj.因此对于所有λ≥ maxi公司∈[n] ，1≤j≤miλ（i，j），一个得到xλ：=Ykλ- Y+X∈nYi=1Ai∩ AXkλ=Γ（Xkλ）和Xλ→ 十、 需要注意的是，每个X∈ Γ（X）可以近似为Γ（X），c.f相对内部的序列。[32，定理6.3]。这一主张得到了证实。引理4.8。如果Ai Xi，i∈ [n] ，是多面体接受集，所有i的Xi=X∈ [n] ，对应关系Γ：A+ 十、→ AX∩Qni=1下半连续。证据我们将从引理4.7中得到这个断言。对于i∈ [n] 固定引理4.3（1）允许查找闭合子空间Xi、Xi X，有限维的后一个，多面体接受集Ai Xisuch X=Xi⊕ XIND Ai=Xi+~Ai。空间X：=Pni=1xi是有限维的，因此在X中由闭子空间X和投影γi:X进行补充→ Xiare连续线性算子。因此，我们可以重写Ai=X+bian和A+=X+B+，其中Bi=~Ai+γ（Xi）和B+：=Pni=1Bi。此外，A+={X∈ X |γ（X）∈ B+}和Γ：B+ Y→Qni=1Bi∩ {Y∈ （十） n | Pni=1Yi=Y}下半连续引理4.7。现在让我们（Xk）k∈N A+是收敛到X的序列∈ A+，表示γ（Xk）→ k的γ（X）→ ∞. 让X∈ Γ（X），其中Y：=（γ（X）。。。，γ（Xn））∈Γ（γ（X））如下。由于Γ是下半连续的，因此存在一个子序列（kλ）λ∈与非Yλ∈ИΓ（γ（Xkλ）），因此yλ→ Y、 现在我们定义Xλ∈ Xnby设置Xλi：=γ（Xi）+nγ（Xkλ- 十） 注意pni=1Xλi=γ（Xkλ）。一旦我们观察到Xλ+Yλ，则Γ的下半连续性如下∈ Γ（Xkλ）和Xλ+Yλ→ 十、定理4.6的证明。