多层面安全资本要求的风险分担

P-a.s.，估算艾岛- Akλi≤（gi- gkλi）（X- ∧（X）U+N）+fkλi（X- ∧（X）U+N）- fkλi（Xkλ- ∧（Xkλ）U+Nkλ）+fi（0）- fkλi（0）（5.8）保持。λ的第三项消失→ ∞. 由于支配收敛，第一个tirm在范数中消失。根据估算fkλi（X- ∧（X）U+N）- fkλi（Xkλ- ∧（Xkλ）U+Nkλ）≤十、- Xkλ- （λ（X）- ∧（Xkλ））U+N- Nkλ,我们发现第二项也在范数中消失了。设置N：=ψ（N）。ρi的下半连续性-来自定理5.6，适用于n=1-yieldsnXi=1ρi（Ai+∧（X）Ui- Ni）≤ lim infλ→∞nXi=1ρi（Akλi+∧（Xkλ）Ui- Nkλi）=lim infλ→∞∧（Xkλ）=∧（X）。对∧的定义最终得出该不等式实际上是一个等式，即nXi=1ρi（Ai+∧（X）Ui- Ni）=∧（X）。证明了（Ai＋∧（X）Ui- Ni）i∈[n]∈bP（X）和更高的半连续性，c.f.附录A.3。同样的证明适用于X∈ dom（λ）使得∧在X处是连续的。5.3. 常规模型空间。本节的目的是证明，假设代理在空间X=L上操作，并不限制定理5.6和5.9以及推论5.8的一般性。实际上，X可以被选择为LW内的任何定律不变理想，关于P-a.s.阶，属于以下两类之一：（BC）有界情形：X=L∞配备supr emum norm k·k∞.（UC）无界情况：L∞ 十、 Lis是一个P-律不变Banach格，赋以一个阶连续律不变格范数k·k。由于X是一个超Dedekind完备Riesz空间，这意味着当Xn↓ 0顺序，kXnk↓ 0也适用。多维证券市场的风险分担29在无界情况下，可以证明身份嵌入∞→ X→ 大连续，即存在常数κ，K>0，使得kXk≤ κkXk∞和kY k≤ KkY kholds适用于所有X∈ L∞还有Y∈ 十、

此外，对于所有φ∈ 十、*有一个独特的Q∈ 那么QX∈ Landφ（X）=所有X的E[QX]h old∈ 十、读者可能会想到这里的lp空间，1<p<∞, 或者更普遍地说，Orlicz心脏配备了卢森堡标准，例如[13、14、24]。以下扩展结果对于这种推广至关重要：引理5.10。设R：=（A，S，p）是Banach晶格X满意（BC）或（UC）上的风险度量制度。假设A是k·k-闭的，定律不变且满足A∩R 6=,p（Z）=E[QZ]f或某些Q∈ dom（σA）∩ L∞. 如果我们设置B：=clk·k（A），R：=（B，S，p）isa陆地风险度量制度ρR | X=ρR.Proof。作为Q∈ dom（σA）∩ L∞, σB（Q）=supY∈BE【QY】=σA（Q）成立，σB（Q）<∞. 为了验证（2.1）假设X∈ 土地Z∈ S是这样的X+Z∈ B、 然后p（Z）=E[QZ]=E[Q（X+Z）]- E[QX]≤ σB（Q）- E【QX】<∞.R是L上的风险度量制度。对于恒等式ρR | X=ρR，必须显示a=B∩ 十、集合A∩ L∞根据假设和σ（L）不为空∞, L∞)-由[34，引理1.3]闭合。这就解决了案件（BC）。如果是（UC），则为∈ A、 根据[11，命题2和4（2）]，有一个序列ce（πn）n∈Nof有限可测量分区∏NofOhm 这样的话∩L∞ E[X |σ（πn）]→ 标准值为X。我们推断A=clk·k（A∩L∞). 与σ（L）一起∞, L∞)A的封闭性∩ L∞, 我们得到A是σ（X，L∞)-关闭A=B∩ X紧随其后。根据前面的引理，我们将假设o每个单独的接受集Ai X是闭合的，定律不变且满足Ai∩R 6=;o 证券市场（Si，pi）同意假设5.2。对于f∈ C、 我∈ [n] 和X∈ fiyields的X，1-Lipschitz连续性| fi（X）|≤ |X |+| fi（0）|∈ XP-a.s.因为X是id eal，fi（X）∈ X也适用；因此，f（X） Xn，如果我们插入X∈ Xin（5.6），由此得出的帕累托最优分配位于xn，因为U，N∈ Xnas Si 所有i的X∈ [n] 。定理5.11。

设X是满足（BC）或（UC）的Banach格，并假设agentsystem（R，…，Rn）如所述。然后，命题5.5、定理5.6和5.9以及推论5.8在X代替Land k·k代替k·k证明时一字不差地成立。Let Ridenote对Lemma5.10中Rito Las风险度量制度的扩展。将定理5.6应用于ρR。。。，ρRnand X∈ X获得定理5.6和推论5.8的一般版本。这与命题3.4一起概括了命题5.5。定理5.9的证明只需要在（5.7）和（5.8）中修改。我们可以在第一种情况下用KWKBY KkWkk代替KWKK，在第二种情况下使用k·k的顺序连续性。对于平衡对应的上半连续性的最终定理，回想一下有限风险度量ρR:L∞→ 风险计量制度产生的风险∞is30如果ρR（Xn），则与多维证券市场的风险分担从上到下连续↓ ρR（X）每当（Xn）n∈N L∞和X∈ L∞A如此Xn↓ X a.s.定理5.12。假设（NR）是满足的，如果（BC）ρ从上面连续，而如果（UC）X是反的。进一步假设A+与水平集Lc（E[·]）不一致，并考虑对应关系E:XnXn×X*映射W到shapeXi=Yi+φ（Wi）的平衡分配（X，φ- Yi）φ（~Z）~Z，i∈ [n] ，其中Y∈bP（W+…+Wn），~Z∈ˇS，π（~Z）6=0，φ是∧atW+…+的次梯度Wn。那么E在那个工作中是上半连续的→ W∈Qni=1int dom（ρi），k→ ∞, 和（Xk，φk）∈ E（Wk）意味着子序列（kλ）λ的存在∈Nsuch that（X，φ）：=limλ→∞（Xkλ，φkλ）∈ E（W）。证据设W：=Pni=1Wi∈ int dom（λ）。根据命题3.5的证明，我们推断，实际上，every（X，φ）∈ E（W）是W的平衡。

对于上半连续性，我们应首先确定近似序列的平衡值位于对偶X中的一个依次相对紧的集合中*. 因此，我们将证明存在ε>0，常数c依赖于W，因此，给定任何X∈ X带kX-W k公司≤ ε和∧在X上的任何次梯度φ，它保持kφk*≤ 坎德∧*（φ） =Pni=1ρ*i（φ）≤ c、 正如我们将在后面详细说明的那样，这些边界意味着∧的所有次梯度都位于aσ（X）中*, X）-序列紧集。为了证明这个断言，int dom（∧）上∧的连续性（[16，推论2.5]）允许我们选择ε>0，这样∧（W+Y）- ∧（W）|≤ 1 kY k时≤ 2ε. 现在让δ>0等于δε+δkW k≤ ε和fix x，使得kX- W k公司≤ ε和∧在X处的次梯度φ。此外，假设Y∈ X是这样的kY k≤ 1、我们从次梯度不等式∧（X）+εφ（Y）得到≤ ∧（X+εY）≤ ∧（W）+1。重新排列这个不等式yieldskφk*= 超级k≤1φ（Y）≤∧（W）+1- ∧（X）ε≤ε=：c。此外，∧（X）=φ（X）- Λ*（φ） =1+δ（φ（（1+δ）X）- Λ*(φ)) -δ1 + δΛ*(φ)≤1+Δ∧（（1+δ）X）-δ1 + δΛ*(φ).通过重新排列这个不等式，我们得到nxi=1ρ*i（φ）=∧*(φ) ≤Δ∧（（1+δ）X）+1+Δ∧（X）≤2 + δδ- ∧（W）=：c，与多维证券市场的风险分担31，其中我们使用了k（1+δ）X- W k公司≤ 从δ的选择中选择2ε。现在考虑序列（Wk）k∈NQni=1输入dom（ρi），使Wki→ Wi，k→ ∞, 保持所有i∈ [n] 。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Wk：=Wk+…+W周围半径为ε的球中的Wknlies。对于每个k∈ N假设（Xk，φk）∈ E（周），k∈ N、 WesetXki=Yki+φk（Wki- Yki）φ（~Z）~Z，i∈ [n] 。作为Yk∈bP（Wk）和Wk→ W，k→ ∞, 我们可以假设，在传递到子序列之后，Yk→ Y∈bP（W）根据定理5.9。现在我们将选择一个收敛的子序列（φk）k∈N

在案例（BC）中，我们从[28，命题3.1（iii）]和引理A.4得出结论，dom（λ*)  dom（ρ*)  五十、 这意味着∧的所有次梯度ψ对于唯一的“Q”，其sh apeψ=E[“Q·]∈ L+。因此，对于唯一的Qk，平衡价格由φk=E[Qk·]给出∈ L(Ohm, F、 P）+。此外，σ（L，L）中的所有次梯度Qklie∞)-紧集Lc（ρ*). 我们可以调用EberleinˇSmulian定理[3，定理6.34]来找到子序列（kλ）λ∈确保Qkλ→ Q∈ l弱，或等效φkλ→ φ=E[Q·]inσ（X*, X）。在（UC）情况下，X的反射性、Banach-Alaoglu定理和上述边界意味着序列相对紧集Γ的存在，使得φ∈ Γ无论何时kX- W k公司≤ ε和φ是X处∧的半径。因此存在σ（X*, X）-收敛子序列（φkλ）λ∈N、 因此，在这两种情况下，φkλ（Wkλi- Ykλi）→ φ（Wi- Yi），λ→ ∞.还有待证明φ是W处∧的次梯度。但作为∧*为弱*l.s.c.和φkλ（Wkλ）→ φ（W），我们得到∧（W）=lim supλ→∞φkλ（Wkλ）- Λ*（φkλ）=φ（W）- lim infλ→∞Λ*（φkλ）≤ φ（W）- Λ*（φ） ，这意味着th at，必然∧（W）=φ（W）- Λ*（φ） dφ是W处∧的次梯度。5.4. 示例。最后，我们给出两个例子。示例5.13。我们考虑模型空间X：=Lon，其中两个代理按照熵风险度量给出的可接受性标准进行操作。更准确地说，我们选择0<β≤ γ任意和定义：={X∈ L |ξβ（X）≤ 0}，A：={X∈ L |ξγ（X）≤ 0}，其中，对于α>0，ξα（X）：=αlogE[EαX], 十、∈ 五十、 众所周知，c.f.[22，示例2.9]，ξ：=ξβξγ= ξβγβ+γ.可以表明，对于任何大于0的α，L（ξα）的方向集由0+L（ξα）=-L+。任意概率测度Q≈ P具有有界Radon-Nikodym导数Q，涉及多维证券市场的32个风险分担SP，因此满足假设5.2，可以用作证券的定价度量，即。

定价函数由pi=pEQ[·]、Q给出<< P如上所述，P>0固定。此外，我们选择∈ F使得Q（A）=和S=M=跨度{1A，1Ac}，和S=R·1A。鉴于这些规范，（R，R）是一个代理系统。注意，ker（π）={Nr：=r1A- r1Ac | r∈ R} 。为了简洁起见，我们现在将描述A++ker（π）并设置α：=βγβ+γ。给定A+，X的特征- Nr编号∈ A+if且仅当E[EαXA]·E[EαXAc]≤, 因此，有一个解决方案r∈ R至0≥α对数E[Eα（X-Nr）]=α对数e-αrE[eαXA]+eαrE[eαXAc].现在，对于任意X∈ dom（λ）=dom（ξα），我们注意到∧（X）=inf{π（r1）| r∈ R、 X个- r1级∈ A++ker（π）}=inf卢比r∈ R、 e类-αrE[eαXA]·e[eαXAc]≤=pαlog E[EαXA]+log E[EαXAc]+2 log（2）.此后，我们选择解决方案r*ofe公司-αrE[eα（X-∧（X））A]+eαrE[eα（X-∧（X））Ac]=1，例如r*:= log2E[eα（X-∧（X））A]p1- 4E[eα（X-∧（X））A]·E[Eα（X-∧（X））Ac]+1！。使用[22，Examp le 2.9]的结果，（γβ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*),ββ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*)) ∈A×A。因此，以下是X的帕累托最优分配：γβ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*) + ∧（X）1+个*,ββ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*)示例5.14。这里，我们选择模型空间X=L∞并说明了两个接受集不如示例5.13中相似的代理的帕累托最优分配的存在性。为此，我们确定了两个参数β∈ （0，1）和γ>0，并假设代理1的可接受性基于风险平均值，即A={X∈ L∞| ξ（X）：=AVaRβ（X）≤ 0}={X∈ L∞|  Q∈ Q：等式【X】≤ 0}，其中Q={Q=QdP | 0≤ Q≤1.-βP-a.s.，E[Q]=1}。

如例5.13所示，代理2的接受集由熵风险度量给出，即A：={X∈ L∞| ξ（X）：=γ对数E[EγX]≤ 0}.对偶共轭ξ*ξα的α由aq的相对熵给出<< P相对于P，P在任何时候都是有限的∈ L∞.多维证券市场的风险分担33By【23，示例4.34和定理4.52】，A+=A+Ais的支持函数由σA+（Q）=σA（Q）+σA（Q）=（γH（Q | P）给出，如果Q：=QdP∈ Q∞ 否则，Q∈ L∞,式中，H（Q | P）：=EQ[log（dQdP）]表示Q的相对熵，与P.S uppose有关。对于一些∈ F带P（A）∈(0, 1 - β). 作为定价标准，我们选择任意Q*∈ Q哪个满意Q∈QQ（A）<Q*（A） <最大值∈QQ（A）=P（A）1- β. （5.9）作为定价规则，我们设定pi：=等式*[·]，i=1，2，结果inker（π）=span{N：=1A- r*Ac}，r*=Q*（A） 1个- Q*（A） 。由于（5.9）满足假设5.2。让X∈ L∞是任何累计损失。利用[20，定理3]，我们得到了对偶表示∧（X）=maxQ∈eQEQ【X】-γH（Q | P），其中eq={Q∈ Q | Q（A）=Q*（A） }。现在，我们将计算正确的比例因子s∈ R如X所示- ∧（X）- 序号∈ A+。这是当且仅当，我们对所有Q∈ Q\\eQEQ【X】-γH（Q | P）- ∧（X）≤ 序号【N】。我们获得≥ supQ公司∈Q\\eQ:Q（A）>Q*（A） 等式[X]-γH（Q | P）+∧（X）EQ[N]≤ infQ公司∈Q\\eQ:Q（A）<Q*（A） γH（Q | P）+∧（X）-EQ[X]| EQ[N]|，边界描述了一个先验的非空区间。选择任意s*在此时间间隔内。结合【27，提案3.2和第3.5节】，我们得出（十）- ∧（X）- s*N- ζ） +，（X- ∧（X）- s*N）∧ ζ∈ A×A.适用于适当的ζ∈ R、 因此（X，X）由X（ζ）=（X）给出- ∧（X）- s*N- ζ)+- s*r*Ac+λ（X）和X（ζ）=（X- ∧（X）- s*N）∧ ζ+s*Ais是多维证券市场X.34风险分担的帕累托最优配置6。最优投资组合分割在本节中，我们研究最优投资组合分割的存在性。

为了彻底讨论这个问题，我们参考了Tsanakas【36】，尽管我们考虑的问题与toWang【37】非常相似。金融机构持有的投资组合产生未来损失W。为了分散W带来的风险，可考虑将投资组合划分为n个子组合X。。。，Xn公司∈ X，X+…+Xn=W，并将这些子手册转让给不同的法律实体，例如在潜在的不同监管制度下运作的子附属机构。据Tsanakas观察，对于凸的但非正同质的风险度量，在没有交易成本等市场摩擦的情况下，引入更多子公司通常可以任意引入风险，因此，没有动机停止这种拆分过程。然而，由于n可以任意大，在这种情况下不应忽视交易成本，我们将研究在市场摩擦下发现成本最优投资组合分割的问题。更准确地说，我们将子公司建模为f族（ρi）i∈Fr'echet格（X，, τ） –需要ρ*我≥ 0代表所有i∈ N–相关风险度量制度（Ri）i∈Nch检查有限保障能力（SUP∞): 作为其中一家母公司，假设每n∈N、 子系集（ρi）i∈[n] 形成一个令人满意的代理系统（SUP）似乎很自然。让我们进一步c:N→ [0, ∞) 是一个成本递减函数。引进子公司的交易成本i∈ [n] c（n）给出了在其中拆分投资组合的公式。条件限制→∞c（n）=∞ 防止内部拆分。

最后引入∧n（X）：=infX∈AXPni=1ρi（Xi），X∈ 通常的风险分担函数与（R，…，Rn）相关。请注意，对于所有X∈ X，n∈ N、 每X∈ xn当Pni=1Xi=X时，估计Pni=1ρi（Xi）=Pni=1ρi（Xi）+ρn+1（0）≥ ∧n+1（X）h olds，其中包含∧n（X）≥ ∧n+1（X），n∈ N、 在此设置中，如果每个∧nis精确于dom（∧N），则存在最优投资组合拆分：定理6.1。假设（Ri）i∈Nis是Fr'Echettice X上的一系列风险度量制度，用于检查（SUP∞) 并使所有ρi归一化。此外，对于所有n，假设∧nis在dom（∧n）上精确∈ N和let W∈对于某些m，Pmi=1dom（ρi）∈ N、 然后是（N*, 十、Xn公司*), 其中n*∈ N和X+…+Xn公司*= W是Nxi=1ρi（Xi）+c（n）的解→ 最小值受限于X+…+Xn=W，n∈ N、 （6.1）证明。注意（SUP∞) 可以重写为 φ∈∞\\i=1dom（ρ*i） :∞Xi=1ρ*i（φ）<∞. （6.2）让m*:= 最小{m∈ N∧m（W）<∞} = 最小{m∈ N | W∈Pmi=1dom（ρi）}<∞. 通过（6.2），我们得到∧n（W）≥ φ（W）-P∞i=1ρ*i（φ）>-∞ 适用于所有n≥ m级*. 因此，∧n（W）+c（n）=∞每当n<m时*andlim信息→∞∧n（W）+c（n）≥ φ（W）-∞Xi=1ρ*i（φ）+limn→∞c（n）=∞.与多维证券市场风险共担35因此，我们可以发现*∈ N使得∧N*（W）+c（n*) = infn公司∈N∧N（W）+c（N）∈ R、 现在选择一个可实现的分配X∈ Xn公司*X的∧n*（十） =Pn*i=1ρi（Xi），以获得（6.1）的解。推论6.2。假设（Ri）i∈Nis是Fr'Echettice X上的一系列风险度量制度，使得所有ρi均归一化。那么，定理6.1的断言在以下两个条件下成立：（1）风险度量（ρ，…，ρn）符合定理5.11 f或每个n∈ N和定价函数由pi=pEQ[·]| sif给出，对于p>0和概率测度q<< P带su pY∈AiEQ[Y]≤ 0，i∈ N、 特别是，Q=P.（2）（补充∞) 已满足要求，并且对于每个n∈ N、 （R，…，Rn）是一个多面体智能体系统。证据

（1） 设Q=QdP，Q∈ L∞+, 如断言中所述。让我∈ 任意选择并回顾命题5.3证明中现金附加风险度量ξ的定义。按（5.4），ξ*i（Q）≤ 定理5.11在n=1 y的情况下，每个X∈ dom（ρi）加入最优payofff ZX∈ Si，即X- ZX公司∈ Aiand pEQ[ZX]=π（ZX）=ρi（X）。因此，ρ*i（pQ）=supX∈dom（ρi）pEQ[X]- ρi（X）=supX∈dom（ρi）pEQ[X- ZX]≤ pξ*i（Q）≤ 相反，当ρiis归一化时，我们得到ρ*i（pQ）≥ 因此，（SUP∞) h olds和φin（6.2）可选择为φ=pEQ[·]。在定理5.9的证明中，ξ*一（1）≤ 0保留所有i∈ N、 （6.1）在（1）下的可解性来自定理5.11和6.1。（2） 根据定理4.4∧nis，dom（∧n）上每n∧nis精确∈ N附录A.技术补充。1、凸x集的几何。固定局部凸Hausdor ff拓扑Riesz空间（X，, τ） 带双空格X*. C的支持函数是f函数σC:X*→ (-∞, ∞], φ 7→ 苏比∈Cφ（Y）。C的衰退锥是集合+C：={U∈ X | Y∈ C k≥ 0：Y+kU∈ C} 。当且仅当Y+U时，向量U位于0+C∈ C代表f或所有Y∈ C、 U称为C的方向。C的线性空间是向量空间lin（C）：=0+C∩ (-0+C）。在接受s et A的情况下，单调性意味着dom（σA） 十、*+. 如果C是闭的，则Hahn-Banach分离定理表明C={Y∈ X | φ ∈ dom（σC）：φ（Y）≤ σC（φ）}。将此身份与衰退锥的定义和线性度空间yieldsLemma A.1相结合。如果是C X是闭的和凸的，J dom（σC）是C={X∈ X | φ ∈ J：φ（X）≤ σC（φ）}，36与多维证券市场的风险分担n+C=\\φ∈JL（φ）={U∈ X | φ ∈ J：φ（U）≤ 0}和lin（A）=\\φ∈Jker（φ）最后，我们给出了闭凸集合到有限维空间的分解结果。