多层面安全资本要求的风险分担

在超边际理论的术语中，ρR（X）是需要投资于证券U的现金量，以便X与（证券）市场中合适的零成本交易相结合时可以被超套期。最近，Cheridito等人研究了这种松弛的超边缘泛函。以上介绍的U和K（p）之间的分离将在本文中使用。2.2. 代理系统。为了准确地介绍风险分担问题，需要考虑各个代理人之间的相互作用及其特定的资本要求；有关有序向量空间的术语，请参阅[3，第8-9章]。我们考虑一个抽象的单期市场，该市场产生的总损失扣除了Riesz空间（X，). 市场由n个≥ 2个代理，在整篇论文中，我们用集合{1，…，n}中的自然数i来标识每个单独的代理，为了简洁起见，我们应该用[n]来表示。代理人对风险的评估可能相当不一致。这首先反映在假设每个代理按照（订单）理想XI进行操作的情况下 X，i∈ [n] ，它可能是X的适当子集。在不丧失一般性的情况下，我们应施加X=X+…+Xn。在每个理想情况下，因此对于每个代理，一个可接受集Ai对资本化损失进行编码 xi代理人i∈ [n] 被允许为Riesz空间（X，) 是包含{Z∈ X | | Z | |Y |} Y保持所有Y∈ Y、 与多维证券市场的风险分担7安全她可能因证券市场（Si，pi）或Si（Xi）的证券而遭受的损失。我们应规定每个Ri：=（Ai，Si，pi）是（Xi）的风险衡量制度， |Xi×Xi），i∈ [n] 。

总之，独立风险评估完全由风险度量制度的n元组（R，…，Rn）捕获。定义2.2。一个n元组（R，…，Rn），其中，对于每个i∈ [n] ，RIS是Xi上的一个风险度量体系，如果() 就我而言，j∈ [n] ，定价函数计划和协议∩ Sj。此外，如果weset i~ 如果i 6=j且π在Si上是非平凡的∩ Sj，结果图hg=（[n]，{{i，j} [n] | i~ j} ）已连接。公理() 明确相关代理互动的性质：多个代理接受的证券价格必须一致，任何两个代理都可以通过潜在的中介机构调用其他代理进行互动和交换证券。在本文中，我们假设代理构成一个代理系统。这种情况并非牵强附会：定义2.3。共同接受证券的空间为ˇS：=Tni=1Si，其中sm：=S+…+Snis是全球安全空间。如果，除了价格协议之外，对于部分和所有i，S 6={0}和pi | S6=0∈ [n] ，然后假设() 已满足。生成的图是n个顶点上的完整图。此外，如果所有代理都在同一个空间上操作，则Xi=X，i∈ [n] ，可用的证券市场是一致的，由Si=R·U，i给出∈ [n] ，对于某些U∈ X++和pi（rU）=r，r∈ R、 （R，…，Rn）是一个代理系统。如果我们进一步指定X是一个非常丰富的随机om变量空间，并且U=1是值为1的常数随机om变量，那么凸货币风险度量的风险分担结果可以嵌入到我们的代理系统设置中；c、 f.[1、2、22、27]。为了简洁起见，我们在下面写ρIIn代替ρRIF。在整个文件中，X中的总损失将用X或W表示，证券用Z、U或N表示。

为了介绍与（R，…，Rn）相关的风险分担，我们需要可实现和安全分配的概念：定义2.4。向量X=（X，…，Xn）∈Qni=1xi是累计损失W的可实现分配∈ 如果W=X+…+Xn。我们表示W的所有可实现分配的集合∈ X按AW。给定全局安全Z∈ M、 我们用AsZ表示：=AZ∩Qni=1 Z.2.3中的一组安全分配。风险分担问题及其解决方案。给定集合S 6= 和函数F:S→ [-∞, ∞], 我们设置dom（f）：={s∈ S | f（S）<∞} 是f的有效域。我们还将用Lc（f）：={s来缩写它的低层集∈ S | f（S）≤ c} ，c∈ R、 我们现在准备引入风险分担问题。其目标是将系统内的综合风险降至最低。允许采取的补救措施是重新分配与多层面证券市场Sloss的风险共担∈ 所涉及的代理中的X：nXi=1ρi（Xi）→ 最小值以X为准∈ 哦。（2.3）显然，（2.3）中的最佳值小于+∞ 当且仅当W∈Pni=1dom（ρi）。此外，众所周知，（2.3）与经济最优配置的某些概念密切相关，我们在下文中定义了这些概念。定义2.5。设（R，…，Rn）为序向量空间（X，), letW公司∈ X是累计损失，让W∈Qni=1Xibe初始损失捐赠的向量。（1） 可实现的分配X∈ 如果ρi（Xi）<∞, 我∈ [n] ，和forany Y∈ 性质为ρi（Yi）的aw≤ ρi（Xi），i∈ [n] ，实际上ρi（Xi）=ρi（Yi）必须保持所有i∈ [n] 。（2） Sup pose X额外承载向量空间拓扑τ，使得（X，, τ） 是一个拓扑Riesz空间。

元组（X，φ）是W的平衡，如果oX∈ AW++Wn，oφ∈ 十、*为正，φ| Si=pi，i∈ [n] ，o预算约束φ(-Xi）≤ φ(-Wi），i∈ [n] ，保持，o和ρi（Xi）=inf{ρi（Y）| Y∈ Xi，φ(-Y）≤ φ(-Wi）}对于所有i∈ [n] 。在这种情况下，X称为均衡分配，φ称为均衡价格。我们的第一个结果将帕累托最优、均衡和风险分担问题的解决方案联系起来（2.3）。命题2.6（2）确实是福利经济学的第一个基本定理，适用于我们的环境。提案2.6。根据定义2.5的假设，以下情况成立：（1）如果W∈Pni=1dom（ρi），然后X∈ aw是Wif的帕累托最优可实现分配，且仅当nXi=1ρi（Xi）=infY∈AWnXi=1ρi（Yi）。（2.4）（2）任何均衡分配都是帕累托最优的。证明需要以下众所周知的帕累托最优特征；参见，例如，【31，提案3.2】。引理2.7。让W∈Pni=1dom（ρi）。如果X是W的帕累托最优可得分配，则存在所谓的Negishi权重λi≥ 0，i∈ [n] ，并非所有等式均为零，因此nxi=1λiρi（Xi）=infY∈AWnXi=1λiρi（Yi）。（2.5）请注意，预算限制中的负号是由于Ximod el中的元素损失，而φ价格支付与多维证券市场9的风险分担相反，如果X∈ Axsaties（2.5）对于一组严格正权重λi>0，i∈ [n] ，则X是一个帕累托最优可达到分配。命题2.6的证明表明，agent系统的属性() 指示Negishi权重的值。命题2.6的证明。（1） 根据引理2.7，（2.4）的任何解都是帕累托最优解。换个角度，让我们∈Pni=1dom（ρi），设X∈ AWbe是一种帕累托最优可实现分配。Letλ∈ Rn++是Negishi权重的任何向量，因此X是（2.5）的解。回忆对称关系~ 在中() 考虑j，k∈ [n] 这样j~ k

根据定义，我们可能会发现∈ Sj公司∩ 使p：=pj（Z）=pk（Z）6=0。对于t∈ R letXt：=X+tpZej-tpZek公司∈ AX。这里，Zejis是向量，其j-th条目是Z，而所有其他条目都是0。类似地，我们定义了Zek。根据所有ρi的Si可加性，我们推断-∞ <nXi=1λiρi（Xi）≤ 输入∈RnXi=1λiρi（Xti）=nXi=1λiρi（Xi）+inft∈Rt（λj- λk）。只有当λj=λk时，这才可能。使用图G() 已连接，一个感应显示λ=…=λn.将（2.5）的两侧除以λyieldsnXi=1ρi（Xi）=infY∈AXnXi=1ρi（Yi）。（2） 假设W是具有相关平衡（X，φ）的初始损失禀赋。那么φ（Xi）=φ（Wi）通过单调性保持不变。给定Zi∈ pi（Zi）=1和任意yi∈ Xi，φ（Yi+（φ（Xi））- φ（Yi））Zi）=φ（Xi）=φ（Wi）保持为φ=πSi。因此，预算约束得到满足，因此ρi（Xi）≤ ρi（Yi+φ（Xi- Yi）Zi）=ρi（Yi）+φ（Xi）- φ（Yi）。如果我们设置W：=W+…+Wn，对于任何其他分配Y∈ AWwe获得Nxi=1ρi（Xi）≤nXi=1ρi（Yi）+φ（Xi）- φ（Yi）=nXi=1ρi（Yi）sincePni=1φ（Xi）=Pni=1φ（Yi）=φ（W）。通过（1），X是帕累托最优的。3、弱卷积和代表性因子本节包括第2节中介绍的Riesz空间风险分担问题的形式数学处理。我们应将风险划分与各个风险度量的不均衡卷积联系起来，证明其作为市场资本需求的代表性，即代表性代理人，并为其可解性找到有力的充分条件。10与多维证券市场的风险共担然而，在此之前，我们需要引入更多的公理，代理人的系统可能会满足这些公理(). 我们将在本文的各个阶段提及这些问题，但我们始终认为这些问题不会得到满足。

对于n≥ 2设（R，…，Rn）为代理系统。（NSA）无安全套利：对于一些j∈ [n] 它认为Pi6=jker（pi）∩ Sj公司 ker（pj）；（NR）联合证券市场的非冗余性：存在Z∈ˇS和Z∈ AsZsuch thatPni=1pi（Zi）6=0。（SUP）保障性：给定局部凸Hausdor ff拓扑Riesz空间（X，, τ） 带双空格X*, 有一些φ∈ 十、*+和一个常数γ∈ R使得（i）对于所有Z∈Qni=1SiwithPni=1pi（Zi）=0我们有φ（Z+…+Zn）=0，对于一些▄Z∈Qni=1SiwithPni=1pi（～Zi）6=0我们有φ（～Z+…+～Zn）6=0；（ii）所有Y∈Qni=1我们有φ（Y+…+Yn）≤ γ.（辅助∞) 无限保障能力：（Ri）i∈Nis是一系列风险度量机制，在同一局部凸Haus-Dorff拓扑Riesz空间（X，, τ） 使（R，…，Rn）满足() 适用于所有n∈ N和s都有φ∈ 十、*带PI∈NsupY公司∈Aiφ（Y）<∞ φ| Si=pi，i∈ N、 如果每个代理能够从其他代理获得任意有价值的证券化，则违反了条件（NSA），而其他代理可以零成本提供证券化。这将揭示证券市场的不匹配，导致所有代理人都假设拥有无限财富。如果存在Z，则联合证券市场的非冗余性尤其令人满意∈对于某些i，π（Z）6=0∈ [n] ，因此由定义属性() 一个代理系统∈ [n] 。因此，在（NR）项下，有一种共同接受的对市场有价值的证券。关于条件（SUP），将φ视为定价函数。（i） 是φ和个别价格pi之间的一致性要求。（ii）解读为，如果X非常差，则无法分解所有代理可接受的损失X，即φ值(-十） 相应付款的-Xunderφ小于一定水平-γ. （辅助∞) 是对（Ri）i所有子系统的（SUP）加强∈N、 3.1。风险分担职能部门和代表代理人。

命题2.6推动了风险分担功能的定义：∧：X→ [-∞, ∞], x7→ infX公司∈AXnXi=1ρi（Xi）。它对应于所谓的风险度量ρ，…，的弱卷积。。。，ρn，Andhus继承如下属性-单调性和凸性。我们参考附录A.2，特别是引理A.3，以获得这些事实的简要总结。我们的下一个结果意味着，如果p正确，∧再次是ty-pe（2.2）的风险度量：共享r isklevel是市场必须为使市场可接受的累积证券支付的最小初始价格。因此，市场行为可能被视为与在X上运行的多维证券市场11共享的代表性代理的行为。回想定义2.4，AsZdenotes是z的一组安全分配∈ M、 提案3.1。定义π（Z）：=infZ∈AsZPni=1pi（Zi），Z∈ M、 （1）对于任何Z∈ M和任意Z∈ AsZ，π（Z）可以表示为π（Z）=nXi=1pi（Zi）+π（0）。π（0）=0或π（0）=-∞. π（0）=0与（NSA）等价，在这种情况下，π是实值、线性且满足π| Si=π，i∈ [n] 。否则π≡ -∞.（2） ∧可以表示为∧（X）=inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ B} ，X∈ X，对于任何单调凸集B X满足A+ B L（λ）。这里，A+：=Pni=1Ai。（3） 如果（NSA）和（SUP）保持不变，则∧是合适的。（4） 如果∧是正确的，则（NSA）成立，即π（0）=0，π为正。在这种情况下，（A+，M，π）是X上的风险度量制度，∧是相关的风险度量。证据（1） 让Z∈ M和let Z∈ AsZbe武断，但固定。恒等式AsZ=Z+a表示π（Z）=nXi=1pi（Zi）+infN∈AsnXi=1pi（Ni）=nXi=1pi（Zi）+π（0）。考虑V：={（pi（Ni））i∈[n] | n∈ As}，它是Rn的一个子空间。在下面的g中，用Rn的第l个单位向量表示wedenote。注意π（0）=0当且仅当dim（V）<n。实际上，设1=（1，1，…，1）∈ Rnand观察π（0）=infx∈Vh1，xi-∞ 在casedim（V）=n的情况下。

假设dim（V）<n，即V⊥6={0}，设0 6=λ∈ 五、⊥. 如第2.6（1）条所述，ej- 埃克∈ V适用于所有j，k∈ [n] 这样j~ k、 这意味着λj=λk。作为关系~ 导出一个连通图λ∈ R·1=V⊥. 因此，对于所有x，我们得到h1，xi=0∈ 意味着π（0）=0，所以我们证明了π（0）=0和dim（V）<n的等价性。但是dim（V）<n等价于∈ [n] 这样EJ/∈ 五、 这反过来等于（NSA）：每当Z∈ Sj位于Minkowski sumPi6=jker（pi），pj（Z）=0必须保持。（2） 我们首先注意到A+是凸的和单调的。确实，让X，Y∈ X使得Y∈ A+和X Y修复Y∈ Ayi这样∈ 哎，我∈ [n] ，和X∈ AX任意。根据theRiesz分解性质（c.f.[3，第8.5节]），有W。。。，西尼罗河∈ X+这样的Y- X=Pni=1WI和Wi |易- Xi |，意思是W∈ 是的-十、 因此，尽管我∈ [n] ，我们获得Yi- Wi公司∈ Ai由Ai的单调性决定，因此X=Pni=1Yi- Wi公司∈ A+。此外，L（λ）也是单调和凸的，这源于∧的相应性质。对于B B′，我们有inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ B}≥ inf公司π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ B′.12与多维证券市场共享风险A+ 对于任意X，证明了L（λ），（2）∈ X我们可以显示两个估计∧（X）≥ inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ A+}，（3.1）和∧（X）≤ inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ L（λ）}。（3.2）如果∧（X）=∞. 如果X∈ dom（λ）=Pni=1dom（ρi），选择性别∈ ax使得ρi（Xi）<∞, 我∈ [n] ，ε>0任意。假设Z∈Qni=1sis，对于pi（Zi）≤ ρi（Xi）+εnand Xi- Zi公司∈ 哎，我∈ [n] 。设置Z*:= Z+…+Znand observeX公司- Z*∈ A+以及nxi=1ρi（Xi）+ε≥nXi=1pi（Zi）≥ π（Z*) ≥ inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ A+}。这证明了（3.1）。我们现在转到（3.2）。如果∧（X）=∞, 假设有一些Z∈ M使得X- Z∈ L（λ）Pni=1dom（ρi）。

选择Y∈ AX-Zsuch Thayi公司∈ dom（ρi）表示所有i，并设Z∈ AsZbe武断。然后∧（X）≤nXi=1ρi（Yi+Zi）=nXi=1ρi（Yi）+nXi=1pi（Zi）<∞.这是一个矛盾，没有这样的Z∈ M可以存在。（3.2）在这种情况下成立。现在假设X∈ dom（λ）和假设Z∈ M满意度X- Z∈ L（λ）。因此，对于任意ε>0，存在Y∈ AX-Zsuch thatPni=1ρi（Yi）≤ ε. 同Y+Z∈ AXfor all Z轴∈ AsZ，∧（X）≤ infZ公司∈AsZnXi=1ρi（Yi+Zi）=nXi=1ρi（Yi）+π（Z）≤ ε+π（Z）。当ε>0任意选择时，我们得到（3.2）。（3） 假设（NSA）和（SUP）已满，让φ∈ 十、*如（SUP）中所述，注意π由（1）线性化。对于某些κ>0，我们将证明φ| M=κπ，因此通过重新缩放φ| M=π可以在不损失一般性的情况下假设。为此，我们将要求（SUP）（ii）重申为supY∈A+φ（Y）<∞, 这意味着功能φ的正性是由A+的单耳性决定的。（SUP）（i）尤其指φ| ker（π）≡ 0.对于每个i∈ [n] fix用户界面∈ 硅∩ X++使得U：=Pni=1 Isatis fiesπ（U）=Pni=1pi（Ui）=1。对于所有Z∈ M、 Z- π（Z）U∈ ker（π），我们推断φ（Z- π（Z）U）=0，或等于M上的φ=φ（U）π。通过（SUP）（i）的第二部分，对于某些▄Z，φ（▄Z）6=0∈ M，π（~Z）6=0。利用φ的正性，我们得到0<φ（~Z）π（~Z）=φ（U），因此我们可以设置κ：=φ（U）。最后，如果κ=1，X∈ X为任意数，Z为任意数∈ M等于X- Z∈ A+，π（Z）=φ（Z）=φ（X）- φ（X- Z）≥ φ（X）- 苏比∈A+φ（Y）>-∞.右侧的边界与Z无关。使用∧在（2）中的表示，适当性如下。（4） 注意∧是（2）的M-加法。既然∧是正确的，我们就不能有π≡ -∞, 当ceπ（0）=0时，即（NSA）由（1）保持。关于π的正性，选择Y∈ X带∧（Y）∈ R、 与多维证券市场风险共担13Z∈ M∩ X+，∧的单调性，然后sh ows∧（Y）≤ ∧（Y+Z）=∧（Y）+π（Z），其尾部为π（Z）≥ 因此，（A+，M，π）是一种风险度量制度。

上述命题为假设（SUP）提供了更为几何的视角。支持agent系统在局部凸Hausdorff拓扑Riesz空间（X，, τ） 和满意度（NSA）。此外，假设我们可以找到一个安全Z*∈ 我就是这样*/∈ clτ（A++ker（π）），（3.3），其中，这里和下面的clτ（·）表示一个集合相对于拓扑τ的闭包。那么（SUP）表示Z*是一种以真正的市场成本获得的证券；它可以用线性泛函φ与A++ker（π）严格分离∈ 十、*+, 此函数与（SUP）中所述完全相同。在命题3.1（4）的情况下，代表代理人的行为由风险度量制度（A+，M，π）给出。风险分担功能是与市场接受集A+和全球安全市场（M，π）相关的市场资本要求。3.2. 最优支付和帕累托最优。我们现在将注意力转向帕累托最优分配的存在性。根据提案2.6，W∈ dom（λ）允许帕累托最优分配当且仅当∧在W处精确，即（2.4）成立。我们将看到，这个问题与市场证券ZW的存在密切相关∈ M表示市场可接受性W- ZW公司∈ 最小价格π（ZW）=∧（W）时的A+。Baes等人在[6]中研究了后一个问题。定义3.2。W∈ X允许最佳回报ZW∈ M如果W- ZW公司∈ A+和π（ZW）=∧（W）。提案3.3。假设∧是正确的。如果X∈ X允许最佳报酬∈ M、 然后是X∈ dom（λ）和∧在X处是精确的。特别是对于任何Yi∈ 哎，我∈ [n] ，和Z∈ AsZXsuch thatPni=1Yi=X-ZX分配（一+子）i∈[n]∈ 轴帕累托最优。如果moreoverL（ρi）=Ai+ker（pi），i∈ [n] ，则∧在X处精确∈ dom（λ）当且仅当X允许非最优支付。证据由于∧是正确的，我们有π是线性的，有限值，π| Si=π，i∈ [n] ，根据命题3.1。