多层面安全资本要求的风险分担

它来自于[8，引理II.16.2和II.16.3]证明中的论点。引理A.2。让C Rdbe凸且闭且V：=lin（C）⊥. 如果外部（C∩ 五） 表示C的极值点集∩ V和co（·）是凸包算子，C可以写成asC=co（ext（C∩ 五） ）+0+C.A.2。非理想卷积。让（X，) 是一个Riesz空间，假设函数gi:X→ (-∞, ∞], 我∈ [n] ，给出了。g的弱卷积或epi和。。。，gnis功能ni=1gi:X→ [- ∞ , ∞], x7→ inf{Pni=1gi（Xi）| X，…，Xn∈ X，Pni=1Xi=X}。据说卷积在X处是精确的∈ 如果有X。。。，Xn公司∈ X，其中Pni=1Xi=xSoch thatnXi=1gi（Xi）=(ni=1gi）（X）。引理A.3。假设Xi X，i∈ [n] ，是Riesz空间（X，) 这样X=Pni=1Xi。如果所有gi:X→ (-∞, ∞] 是凸的，那么ni=1GiS凸面。如果gi在xi上关于 就我而言∈ [n] ，即X，Y∈ Xi，X Y表示gi（X）≤ gi（Y），和gi | X\\Xi≡ ∞, 然后ni=1gis X上的单调。证据我们只证明单调性。设X，Y∈ X，X Y，让X，Y∈Qni=1Xi，Pni=1Xi=X，Pni=1Yi=Y。因此，我们有0 Y- X=| Y- X |Pni=1 | Yi- Xi |。根据X的Riesz空间性质和Riesz分解性质（c.f.[3，第8.5节]），有一个向量Z∈ （X+）确认Y- X=Pni=1Zi，这样Zi=| Zi | |易- Xi，i∈ [n] 。Xibe是一个理想的y字段，实际上是Z∈Qni=1Xi。通过区域Xi的单调性，我∈ [n] ，我们获得(ni=1gi）（X）≤nXi=1gi（Yi- Zi）≤nXi=1gi（Yi）。作为(ni=1gi（Y）=inf{Pni=1gi（Yi）| Y∈Qni=1Xi}根据假设gi | X \\ Xi≡ ∞, 右侧的适当Y表示支持该断言。请注意，风险分担功能满意度∧=ni=1gi，其中gi（X）=ρi（X），如果X∈ Xiandgi（X）=∞ 否则，X∈ 十、这些函数从ρi引理A.4继承了X上的凸性和X上的单调性。

给定一个拓扑Riesz空间（X，, τ）和真函数gi:X→(-∞, ∞], 我∈ [n] ，以下标识有效：(ni=1gi）*=Pni=1g*土地和dom((ni=1gi）*) =Tni=1dom（g*i） 。与多维证券市场的风险分担37A。3、往来函件。给定两个非空集A和B，A映射：A→ 2b将A的元素映射到B的子集被称为对应关系，并用Γ：AB表示。现在假设（X，τ）和（Y，σ）是拓扑空间，并让Γ：XY是对应的。连续函数ψ：X→ Y是Γifψ（x）的连续选择∈ Γ（x）保持所有x∈ 十、如果（X，σ）是第一个可数的，则Γ在X处是上半连续的∈ X如果，无论何时（xk）k∈Nis a序列σ-收敛于x和（yk）k∈N Y等于yk∈ Γ（xk），k∈ N、 有一个极限点y∈ Γ（x）of（yk）k∈N、 如果两个拓扑空间都是第一可数的，则x处的Γislower半连续∈ X如果，无论何时（xk）k∈Nis a序列σ-收敛于x和y∈ Γ（x），有一个子序列（kλ）λ∈与非yλ∈ Γ（xkλ），λ∈ N、 使得yλ→ y相对于τasλ→ ∞.与我们的研究相关的下半连续对应的一个例子是安全分配图，如·：M Z 7→ 亚利桑那州∩Qni=1Si。引理A.5。在全球证券市场上，对应关系As·是低半连续的，并且允许连续选择ψ：M→Qni=1Si，关于M.证明的任何规范。设h·，·i是M.集S上的内积：={0}。我们声称存在自然数0=m<m≤ ... ≤ MN和Z。。。，Zmn公司∈Sni=1尽管如此∈ [n] ，它保持{Zmi-1+1, ..., Zmi}是十、∈ Si | X⊥ span{Z，…，Zmi-1}. 注意，每个Z∈ M可以表示为Z=Pmni=1hZi，ZiZi，因此M ap pingψ：Z 7→ AsZde由ψ（Z）i定义：=Pmii=mi-1+1hZi，ZiZi，i∈ [n] ，是关于M上任何范数的As·和continuous的选择。下半连续性立即跟随。参考文献【1】Acciaio，B。

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